第06讲 函数的概念及其表示讲义——2026届高三数学一轮复习

2026高考数学一轮专题讲义与课时精练 第06讲 函数的概念及其表示 【基础回顾】 知识点1．函数的概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 知识点2．函数的三要素 (1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域． (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数． 知识点3．函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 知识点4．分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 知识点5 函数定义域 1.求函数 的定义域 2. 抽象函数定义域 原则: (1)定义域一定是 的范围; (2)同一对应法则下的括号内整体范围一样. ① 已知 的定义域是 ,求 的定义域 解不等式 ,其解集就是 的定义域. ② 已知 的定义域是 ,求 的定义域 利用 求 的值域,该值域就是 的定义域. ③已知 的定义域是 ,求 的定义域 利用 先求出 的值域 ,然后解不等式 ,其解集就是 的定义域. 知识点6 函数值域 主要方法有：图像法，换元法，分离常数法，判别式法，单调性法等 【必备知识】 1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点：在定义域内画竖线，最多和图像有一个交点． 2．在函数的定义中，非空实数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集． 3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． 题型一 函数的概念 函数的含义及判断两个函数是同一个函数的方法 (1)函数概念中有两个要求：①A，B是非空的实数集；②集合A中的每个元素在集合B中有且只有一个元素与之对应． (2)两个函数满足定义域和对应关系相同时，才是同一个函数． 【例题精讲】 1．下列从集合A到集合B的对应关系中，y是x的函数的是（　　） A．A＝B＝R，对应关系 B．A＝B＝R，对应关系 C．A＝B＝[0，+∞），对应关系 D．A＝B＝[0，+∞），对应关系f：x→y2＝x 【答案】C 【解答】解：对于A，的定义域为{x|x≠0}， 又A＝R，不满足题意， 即A不合题意； 对于B，的定义域为{x|x≥0}， 又A＝R，不满足题意， 即B不合题意； 对于C，当时，当A＝[0，+∞）时，B＝[0，+∞），满足题意， 即C符合题意； 对于D，当y2＝x时，当x＝1时，y＝±1，不满足题意，即D不合题意． 故选：C． 2．如图所示各图中反映了变量y是x的函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：根据函数的概念，对于任意的x都有唯一的y与之对应，故A，B，C错误，D正确． 故选：D． 3．下列各组函数是同一个函数的是（　　） A． B．f（x）＝x﹣1与 C．f（x）＝x2与 D． 【答案】D 【解答】解：对于选项A，f（x）定义域为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），g（x）定义域为[1，+∞），故选项A不是同一函数； 对于选项B，f（x）定义域为R，g（x）定义域为{x∈R|x≠0}，故选项B不是同一函数； 对于选项C，f（x）定义域为R，g（x）定义域为[0，+∞），故选项C不是同一函数； 对于选项D，f（x）与g（t）定义域都是（0，+∞），且对应法则相同，故选项D是同一函数． 故选：D． （多选）4．下列命题正确的是（　　） A．命题“∀x，y∈R，x2+y2≥0”的否定是“∃x，y∉R，x2+y2＜0” B．与y＝|x|是同一个函数 C．函数的值域为 D．若函数f（x+1）的定义域为[1，4]，则函数f（x）的定义域为[2，5] 【答案】BD 【解答】解：对于选项A，命题“∀x，y∈R，x2+y2≥0”的否定是“∃x，y∈R，x2+y2＜0”，故选项A错误； 对于选项B，函数与y＝|x|的定义域为x∈R， 且，所以两个函数是同一个函数，故选项B正确； 对于选项C，函数的定义域为[1，+∞）， 函数，令，则t≥0， 所以， 所以函数的值域为[1，+∞），故选项C错误； 对于选项D，若函数f（x+1）的定义域为[1，4]，可得2≤x+1≤5， 则函数f（x）的定义域为[2，5]，故选项D正确． 故选：BD． （多选）5．设A＝[0，2]，B＝[0，2]，下列选项能表示从集合A到集合B的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【解答】解：根据函数的定义知，对于数集A中的任意一个元素，在数集B中都有唯一确定的元素和它对应， 则满足从集合A到集合B的函数关系， 由此判断选项A、D满足，选项B中的自变量范围为[0，1]，不是[0，2]，选项B错误； 选项C中，因变量的取值范围是[0，3]，不是[0，2]的子集，选项C错误． 故选：AD． 题型二 函数的解析式 函数解析式的求法 （1） 代入法 ① 由 求复合函数 ② 由 等求 （2）凑配法【整体替换法,适用于 等类型. 】 （3）换元法【如 . 换元与凑配可以交替使用,如 等类型. 】 ( 4 ) 待定系数法 告知函数类型或给出函数图象,就要设出该函数表达式,如 是一次函数,则可设 ; ①利用条件得恒等式，由对应项的系数相等完成；②或利用条件得方程组，然后解方程组即可. ( 5 ) 解方程组法 ① 与 ,或 与 ; 【前者 ,后者 】 ②一奇一偶函数 与 ； ③ 与 ,或 与 ; 【前者 ,后者 方法: 将原方程中的变量进行变量替换得新方程, 联立原方程解方程组! （6）图象变换法【根据变换过程、对称关系、相关关系等用代入法求曲线（或轨迹）方程. 】 （7）赋值法【对两个变量交替使用特殊值带入. 】 【例题精讲】 1．已知函数f（x）的定义域为R，对任意x∈R均满足：2f（x）﹣f（﹣x）＝4x+1，则函数f（x）解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：对任意x∈R均满足：2f（x）﹣f（﹣x）＝4x+1①， 将x换成﹣x，有2f（﹣x）﹣f（x）＝﹣4x+1②， ①×2+②得：3f（x）＝4x+3，即． 故选：A． 2．已知f（x﹣1）＝x2+x﹣2，则函数f（x+1）的解析式为（　　） A．f（x+1）＝x2+5x+1 B．f（x+1）＝x2+3x C．f（x+1）＝x2+5x+4 D．f（x+1）＝x2+3x+6 【答案】C 【解答】解：令x﹣1＝t，得x＝t+1， 可得f（t）＝（t+1）2+（t+1）﹣2＝t2+3t， 即f（x）＝x2+3x， 则f（x+1）＝（x+1）2+3（x+1）＝x2+2x+1+3x+3＝x2+5x+4． 故选：C． 3．已知二次函数f（x）满足f（x+1）＝f（x）+2x，且f（1）＝2，则f（x）的解析式是（　　） A．f（x）＝x2﹣x+2 B．f（x）＝x2+x+2 C．f（x）＝x2﹣x+1 D．f（x）＝x2+x+1 【答案】A 【解答】解：已知二次函数f（x）满足f（x+1）＝f（x）+2x，且f（1）＝2， 设f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），则f（x+1）＝a（x+1）2+b（x+1）+c， 由f（x+1）＝f（x）+2x，得a（x+1）2+b（x+1）+c＝ax2+bx+c+2x， 化简得（2a+b）x+a+b＝（b+2）x， ∴，解得 ， 由f（1）＝2，得c＝2， 故f（x）＝x2﹣x+2． 故选：A． 4．已知，则f（x）＝（　　） A．x2+2 B．x2﹣2 C． D．x2+2（|x|≥2） 【答案】D 【解答】解：设，当x＞0时，t≥2，当x＜0时，t≤﹣2，所以|t|≥2， 由）2+2，得f（t）＝t2+2，|t|≥2， 所以f（x）＝x2+2，|x|≥2． 故选：D． 5．已知函数f（x）的定义域为R，且对∀x∈R，f（x）+xf（﹣x）＝x2，则f（3）＝（　　） A． B． C． D．2 【答案】B 【解答】解：已知函数f（x）的定义域为R，且对∀x∈R，f（x）+xf（﹣x）＝x2， 分别令x＝3和x＝﹣3得到： ，解得：． 故选：B． 题型三 分段函数 分段函数求值问题的解题思路 (1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值． (2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验． 【例题精讲】 1．已知函数，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵已知函数， ∴ 1 故选：B． 2．已知函数y，若f（a）＝10，则a的值是（　　） A．3或﹣3 B．﹣3或5 C．﹣3 D．3或﹣3或5 【答案】B 【解答】解：若a≤0，则f（a）＝a2+1＝10 ∴a＝﹣3（a＝3舍去） 若a＞0，则f（a）＝2a＝10 ∴a＝5 综上可得，a＝5或a＝﹣3 故选：B． 3．函数，满足f（x）＞1的x的取值范围（　　） A．（﹣1，1） B．（﹣1，+∞） C．{x|x＞0或x＜﹣2} D．{x|x＞1或x＜﹣1} 【答案】D 【解答】解：当x≤0时，f（x）＞1 即 2﹣x﹣1＞1，2﹣x＞2＝21，∴﹣x＞1，x＜﹣1， 当x＞0时，f（x）＞1 即 1，x＞1， 综上，x＜﹣1 或 x＞1， 故选：D． （多选）4．已知函数，下列关于函数f（x）的结论正确的是（　　） A．f（x）的定义域是R B．f（x）的值域是（﹣∞，5） C．若f（x）＝3，则 D．f（x）的图象与直线y＝2有一个交点 【答案】BCD 【解答】解：对A，f（x）的定义域是（﹣∞，2），故A错误； 对B，当x≤﹣1时，x+2≤1， 当﹣1＜x＜2时，0≤x2＜4，1≤x2+1＜5， 所以f（x）的值域是（﹣∞，5），故B正确； 对C，由B选项的分析可知，若f（x）＝3， 则，解得，故C正确； 对D，画出f（x）的图象如下图所示，由图可知，故D正确． 故选：BCD． （多选）5．已知函数，则下列图像正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解答】解：因为的图象如图所示，D符合题意； A：y＝f（x﹣1）的图象可右y＝f（x）的图象向右平移1个单位，A符合题意； B：y＝f（|x|），B选项不符合题意； C；y＝f（﹣x）的图象与y＝f（x）的图象关于y轴对称，C符合题意． 故选：ACD． 题型四 函数的定义域： 求实体函数定义域，抽象函数的定义域及已知定义域求参等。 【例题精讲】 1．函数的定义域为（　　） A．（99，100） B．[99，100] C．（﹣∞，100] D．[99，+∞） 【答案】B 【解答】解：函数， 则，解得99≤x≤100， 故f（x）定义域为[99，100]． 故选：B． 2．已知函数的定义域为R，求实数a的取值集合（　　） A．（0，2） B．[0，2] C．（0，2] D．[0，2） 【答案】B 【解答】解：函数的定义域为R， 所以对x∈R恒成立， 当a＝0时，不等式为，满足题意； 当a≠0时，，解得：0＜a≤2， 综上所述：a∈[0，2]． 故选：B． 3．已知函数，则函数f（x2）的定义域为（　　） A．（﹣∞，4）∪（4，5） B．[﹣5，4）∪（4，5] C． D． 【答案】D 【解答】解：由题意可得，，则满足，解得，且x≠±2， 所以函数f（x2）的定义域为． 故选：D． （多选）4．若函数的定义域为R，则实数m可以是（　　） A．0 B．3 C．6 D．8 【答案】ABC 【解答】解：函数的定义域为R， 则对任意x∈R，2mx2﹣mx+1＞0恒成立， 当m＝0时，则1＞0恒成立， 当m≠0时，则， 解得0＜m＜8， 综上所述，实数m取值范围是[0，8）． 故选：ABC． （多选）5．下列说法正确的是（　　） A．若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为[0，1] B．的最大值为 C．的图象关于（﹣2，1）成中心对称 D．函数的减区间是（﹣∞，2） 【答案】AC 【解答】解：选项A，函数f（x）的定义域为[0，2]，由0≤2x≤2，解得0≤x≤1， 所以函数f（2x）的定义域为[0，1]，故选项A正确． 选项B，，因为﹣x2+1≤1，所以由指数函数的单调性可得， 所以当x＝0时函数取得的最小值为，故选项B不正确． 选项C，因为的对称中心为（0，0），将函数的图象向左平移2个单位， 再向上平移1个单位得到，对称中心为（﹣2，1），故选项C正确． 选项D，y＝x2﹣4x﹣5为开口向上的二次函数，且x2﹣4x﹣5＞0时，解得x＜﹣1或x＞5， 所以当x＜﹣1时，y＝x2﹣4x﹣5单调递减，当x＞5时，y＝x2﹣4x﹣5单调递增， 结合对数函数的单调性可知函数的减区间是（﹣∞，﹣1），故选项D错误． 故选：AC． 题型五 函数的值域 主要方法有：图像法，换元法，分离常数法，判别式法，单调性法等 【例题精讲】 1．已知a，b∈R，定义运算“⊗”，，设f（x）＝x2⊗2x，x∈（1，3），则f（x）的值域是（　　） A．（1，9） B．[1，9） C．（2，9） D．[2，9） 【答案】C 【解答】解：由题意得， 1＜x≤2时，f（x）＝2x∈（2，4]， 2＜x＜3时，f（x）＝x2∈（4，9）， 所以f（x）的值域为（2，9）． 故选：C． 2．函数的值域为（　　） A． B． C．（﹣∞，﹣2] D． 【答案】D 【解答】解：令，则x＝t2+1，t≥0， 则， 故当时，函数取得最大值， 所以的值域为． 故选：D． 3．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有数学王子的美誉，他和牛顿，阿基米德并列为世界三大数学家，并用其姓名命名的“高斯函数”为y＝[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，例如[﹣3.15]＝﹣4，[2.1]＝2，已知函数，令函数g（x）＝[f（x）]，则g（x）的值域为（　　） A．（﹣1，1） B．{0，1} C．{﹣1，0} D．{﹣1，0，1} 【答案】C 【解答】解：由题意可知，， 令t＝x2+1（t≥1），则（t≥1）， ∵， ∴，即﹣1≤f（t）＜1， ∴﹣1≤f（x）＜1， 又∵g（x）＝[f（x）]， ∴当﹣1≤f（x）＜0时，g（x）＝﹣1， 当0≤f（x）＜1时，g（x）＝0， 综上可知，g（x）的值域为{﹣1，0}． 故选：C． （多选）4．已知函数f（x）＝x，下面有关结论正确的有（　　） A．定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞） B．值域为（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞） C．在（﹣2，0）∪（0，2）上单调递减 D．图象关于原点对称 【答案】ABD 【解答】解：因为f（x）＝x，所以定义域为{x|x≠0}，A正确； 显然f（﹣x）＝﹣f（x），且定义域关于原点对称，所以f（x）是奇函数，D正确； 当x＞0时，4，当且仅当x＝2时取等号，结合该函数为奇函数，所以值域为（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞），B正确； 因为f（﹣1）＝﹣5＜f（1）＝5，所以C错误． 故选：ABD． （多选）5．若函数f（x）在区间[a，b]上值域为[ka，kb]，则称[a，b]为f（x）的“k倍增区间”，则（　　） A．若[0，b]为f（x）＝x2的“1倍增区间”，则b＝1 B．函数存在“1倍增区间” C．若函数存在“1倍增区间”，则m的取值范围是 D．二次函数存在“2倍增区间” 【答案】ACD 【解答】解：对于A，由题意知，[0，b]为f（x）＝x2的单调递区间，函数值域为[0，b2]， 若[0，b]为f（x）＝x2的“1倍增区间”，则b＝b2，则b＝1或b＝0 （舍去），选项A正确； 对于B，函数f（x）＝1中x的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，+∞）， 若f（x）＝1存在“1倍增区间”[a，b]（a＜b），则必有a＜b＜0或0＜a＜b， 又因为函数在区间（﹣∞，0），（0，+∞）上递减， 则，即，解得 ，不符合a＜b＜0或0＜a＜b，选项B错误； 对于C，因为函数f（x）＝m在[1，+∞）上单调递减， 若存在“1倍增区间”[a，b]（1≤a＜b）， 则，即， 两式作差得a﹣b，即（a﹣b）（）＝（a﹣1）﹣（b﹣1）＝a﹣b， 又1≤a＜b，所以1，故01， 所以m＝aa+1，设t，t∈[0，1），则m＝t2﹣t+2， 即t∈[0，）是t2﹣t+2﹣m＝0的一个根； 同理t∈（，1]也是t2﹣t+2﹣m＝0的一个根， 即t2﹣t+2﹣m＝0在区间[0，1]上有两个不相等的实数根， 只需，解得m≤2，选项C正确； 对于D，若函数f（x）x2+x存在“2倍增区间”， 设定义域为[a，b]，值域为[2a，2b]， 当a＜b≤1 时，函数在定义域上单调递增，则， 则a，b是方程x2+x＝2x的两个不相等的实数根，解得x＝0或x＝﹣2， 所以存在定义域为[﹣2，0]使得值域为[﹣4，0]，选项D正确． 故选：ACD． 课时精练 一．选择题（共8小题） 1．以下一定是y关于x的函数的是（　　） A． B．y2＝x﹣1（x＞1） C． D． 【答案】D 【解答】解：在A选项中，当x＞0时，一个x对应两个y，与函数的概念不符； 在B选项中，当x＞1时，一个x对应两个y，与函数的概念不符； 在C选项中，当x＞0时，一个x对应两个y，与函数的概念不符； 在D选项中，当x≠0时，一个x对应一个y，与函数的概念相符． 故选：D． 2．下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（　　） A．y＝x与 B．y＝|x|与 C．y＝x与y＝elnx D．y＝x与 【答案】D 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，y＝x，其定义域为R，y＝（）﹣1，其定义域为{x|x≠0}，故两个函数不是相同函数； 对于B，y＝|x|，其定义域为R，y＝（）2，其定义域为{x|x≥0}，故两个函数不是相同函数； 对于C，y＝x，其定义域为R，y＝elnx，其定义域为{x|x＞0}，故两个函数不是相同函数； 对于D，y＝x，其定义域为R，yx，其定义域为R，故两个函数是相同函数； 故选：D． 3．若函数f（x）的定义域为[0，8]，则函数的定义域为（　　） A．（1，16） B．（1，16] C．（1，4） D．（1，4] 【答案】D 【解答】解：函数f（x）的定义域为[0，8]，函数有意义，等价于，解得1＜x≤4， 故函数g（x）的定义域为（1，4]． 故选：D． 4．已知函数f（2x+1）＝3x﹣1，则f（2）＝（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．5 【答案】B 【解答】解：根据题意，函数f（2x+1）＝3x﹣1， 令x＝0，可得f（1+1）＝0﹣1＝﹣1，即f（2）＝﹣1． 故选：B． 5．对任意实数x规定y取4﹣x，x+1，（5﹣x）三个值中的最小值，则函数y（　　） A．有最大值2，最小值1 B．有最大值2，无最小值 C．有最大值1，无最小值 D．无最大值，无最小值 【答案】B 【解答】解：根据题意：y ∴当x≤1时，y≤2 当1＜x＜3时，1＜y＜2 当x≥3时，y≤1 ∴有最大值2，无最小值 故选：B． 6．下列图象中，函数的部分图象有可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：因为，所以定义域为{x|x}， 又f（﹣x）f（x），所以f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除C、D； 0＜x时，f（x）＜0，故B错误，A正确． 故选：A． 7．已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围是（　　） A．0≤a≤8 B．0≤a＜8 C．0＜a≤8 D．0＜a＜8 【答案】B 【解答】解：因为函数定义域为R，所以ax2+ax+2≠0在x∈R上恒成立， 当a＝0时，ax2+ax+2＝2≠0满足要求， 当a≠0时，要满足Δ＝a2﹣8a＜0，解得：0＜a＜8， 综上：0≤a＜8． 故选：B． 8．已知函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（　　） A． B．[﹣1，3] C． D．[﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） 【答案】B 【解答】解：∵函数的定义域为R， ∴（2m+3）x2+2mx+1≥0对任意x∈R恒成立， 当2m+3＝0，即m时，不成立； 当2m+3≠0，即m时，则，解得﹣1≤m≤3． ∴实数m的取值范围是[﹣1，3]． 故选：B． 二．多选题（共3小题） （多选）9．设函数，，则（　　） A．函数y＝f（x）•g（x）为奇函数 B．f（2x）＝2f（x）•g（x） C．函数的值域为（﹣1，1） D．函数在其定义域上为增函数 【答案】ABC 【解答】解：函数，， 则y＝h（x）＝f（x）•g（x）， 其定义域为R，且h（﹣x）h（﹣x）， 则函数y＝f（x）•g（x）为奇函数，故A正确； f（2x）2•2f（x）•g（x），故B正确； y， ∵1+32x＞1，∴02，可得y＝1∈（﹣1，1），故C正确； y1，当x＞0时该函数单调递减，故D错误． 故选：ABC． （多选）10．定义，若函数f（x）＝min{x2﹣3x+3，﹣|x﹣3|+3}，且f（x）在区间[m，n]上的值域为，则区间[m，n]的长度可以是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】ABC 【解答】解：在同一坐标系内作出f（x）的图象如图， 可得f（x）＝min{x2﹣3x+3，﹣|x﹣3|+3}， 其中A（1，1），B（3，3）， 因为f（x）在区间[m，n]上的值域为， 令，解得，即， ，解得或（舍去），即， 令，即， 令，解得，即， 令，解得，即， 因为，， 所以[m，n]的长度的最小值为1，[m，n]的长度最大值为． 故选：ABC． （多选）11．下列选项中正确的有（　　） A．“a＜b”是“”的必要不充分条件 B．与表示同一函数 C．函数的值域为（﹣∞，4] D．定义在R上的函数f（x）满足2f（x）﹣f（﹣x）＝x+1，则 【答案】CD 【解答】解：当a＜b时，不一定成立，即充分性不成立， 当时，a＜b不一定成立．即必要性不成立，A错误； f（x）的定义域为{x|x≠0}，g（x）的定义域为R，不是同一函数，B错误； 令t，则x＝1﹣t2，t≥0， 则f（x）＝2x+4可化为y＝2﹣2t2+4t，y≥0， 结合二次函数的性质可知，当t＝1时，函数有最大值4，即值域为（﹣∞，4]，C正确； 因为2f（x）﹣f（﹣x）＝x+1， 所以2f（﹣x）﹣f（x）＝﹣x+1，解得f（x），D正确． 故选：CD． 三．填空题（共3小题） 12．函数的值域为R，则实数a的取值范围是 　　 ． 【答案】． 【解答】解：若使得函数的值域为R， 只需满足函数f（x）＝ax2+x+a的值域取遍大于0的所有数即可． 当a＝0时，y＝log2024x，符合题意， 当a≠0时，只需满足即可，解得， 综上所述，a的取值范围是． 故答案为：． 13．已知函数若，则f（x）的值域是 　[，2]　 ；若函数f（x）的值域是，则实数m的取值范围是 　[，1]　 ． 【答案】；． 【解答】解：当时，函数为， 画出函数图象： 由图可知，当时，函数有最小值， 当x＝﹣2或x＝2时，函数有最大值f（x）max＝2，则函数的值域为； 当函数的值域为，由函数图象可知， 当且仅当时，函数值，可得， 又由x2+x＝2得x＝﹣2或x＝1，结合图象可得m≤1， 综上所述，，即m的范围为． 故答案为：；． 14．函数f（x），则f（）的值是　　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：当x＞1时，f（x）＝x2﹣x﹣3，则 f（3）＝32﹣3﹣3＝3， ∴， 当x≤1时，f（x）＝1﹣x2， ∴f（）＝f（）＝1． 故答案为：． 四．解答题（共5小题） 15．（1）已知，求f（x）的解析式； （2）已知f（x）是二次函数，且f（0）＝0，f（x+1）＝f（x）+x+1，求f（x）的解析式； （3）已知函数f（x）满足f（﹣x）+2f（x）＝2x，求f（x）的解析式． 【答案】（1），x∈（1，+∞）． （2），x∈R． （3），x∈R． 【解答】解：（1）（换元法）令，得， 代入得，又x＞0，所以t＞1， 故f（x）的解析式是，x∈（1，+∞）． （2）（待定系数法）设f（x）＝ax2+bx+c（a≠0）， 由f（0）＝0，知c＝0，f（x）＝ax2+bx， 又由f（x+1）＝f（x）+x+1， 得a（x+1）2+b（x+1）＝ax2+bx+x+1， 即ax2+（2a+b）x+a+b＝ax2+（b+1）x+1， 所以解得． 所以，x∈R． （3）（解方程组法）由f（﹣x）+2f（x）＝2x，① 得f（x）+2f（﹣x）＝2﹣x，② ①×2﹣②，得3f（x）＝2x+1﹣2﹣x． 即． 故f（x）的解析式是，x∈R． 16．已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）＝2x，f（0）＝1． （1）求f（x）的解析式； （2）∀x∈[﹣1，3]，f（x）+m＞0恒成立，求m的取值范围． 【答案】（1）f（x）＝x2﹣x+1； （2）{m|}． 【解答】解：（1）设f（x）＝ax2+bx+c（a≠0）， 则a（x+1）2﹣ax2+b（x+1）﹣bx+c﹣c＝2x⇒2ax+a+b＝2x，则a＝1，b＝﹣1； f（0）＝1⇒c＝1，则f（x）＝x2﹣x+1； （2）∀x∈[﹣1，3]，f（x）+m＞0恒成立⇒m＞[﹣（x2﹣x+1）]max． ， 当时取等号，故． 即m的取值范围为{m|}． 17．已知函数． （1）若f（x）的定义域为R，求m的取值范围； （2）若f（x）的值域为R，求m的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为R，则mx2+x+2＞0在R上恒成立． 当m＝0时，x+2＞0在R上不恒成立，不符合题意； 当m≠0时，有，解得． 综上，m的取值范围为． （2）函数f（x）的值域为R， 则y＝mx2+x+2的值域必须包含（0，+∞）． 当m＝0时，则y＝x+2的值域包含（0，+∞），符合题意； 当m≠0时，有，解得． 综上，m的取值范围为． 18．求下列问题． （1）求，x∈[3，5]的值域； （2）函数的最大值为　2　 ； 【答案】（1）； （2）2． 【解答】解：（1）函数， 因为函数在[3，5]单调递减， 故函数在[3，5]上单调递增， ∴，，故所求函数的值域是． （2）设，所以x＝1﹣t2． 所以． 所以当t＝1，即x＝0时，ymax＝f（0）＝2． 故答案为：2． 19．已知函数． （1）判断f（x）在区间[2，+∞）上的单调性，并证明你的判断； （2）设函数，若f（x）在区间[2，4]上的值域为A，g（x）在区间[2，8]上的值域为B，且A⊆B，求实数a的取值范围． 【答案】（1）单调递增，证明见解析； （2）[6，7]． 【解答】解：（1）函数f（x）在区间[2，+∞）上的单调递增，证明如下： 任取2≤x1＜x2，则， 0， 所以f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1）， 所以函数f（x）在区间[2，+∞）上的单调递增． （2）由（1）可知f（x）在区间[2，4]上的值域为A＝[4，5]， 因为函数单调递减， 所以g（x）在区间[2，8]上的值域为B＝[a﹣3，a﹣1]， 因为A⊆B，所以a﹣3≤4＜5≤a﹣1⇒6≤a≤7． 所以满足题意的实数a的取值范围为[6，7]． 第10页（共11页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026高考数学一轮专题讲义与课时精练 第06讲 函数的概念及其表示 【基础回顾】 知识点1．函数的概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 知识点2．函数的三要素 (1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域． (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数． 知识点3．函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 知识点4．分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 知识点5 函数定义域 1.求函数 的定义域 2. 抽象函数定义域 原则: (1)定义域一定是 的范围; (2)同一对应法则下的括号内整体范围一样. ① 已知 的定义域是 ,求 的定义域 解不等式 ,其解集就是 的定义域. ② 已知 的定义域是 ,求 的定义域 利用 求 的值域,该值域就是 的定义域. ③已知 的定义域是 ,求 的定义域 利用 先求出 的值域 ,然后解不等式 ,其解集就是 的定义域. 知识点6 函数值域 主要方法有：图像法，换元法，分离常数法，判别式法，单调性法等 【必备知识】 1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点：在定义域内画竖线，最多和图像有一个交点． 2．在函数的定义中，非空实数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集． 3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． 题型一 函数的概念 函数的含义及判断两个函数是同一个函数的方法 (1)函数概念中有两个要求：①A，B是非空的实数集；②集合A中的每个元素在集合B中有且只有一个元素与之对应． (2)两个函数满足定义域和对应关系相同时，才是同一个函数． 【例题精讲】 1．下列从集合A到集合B的对应关系中，y是x的函数的是（　　） A．A＝B＝R，对应关系 B．A＝B＝R，对应关系 C．A＝B＝[0，+∞），对应关系 D．A＝B＝[0，+∞），对应关系f：x→y2＝x 2．如图所示各图中反映了变量y是x的函数是（　　） A． B． C． D． 3．下列各组函数是同一个函数的是（　　） A． B．f（x）＝x﹣1与 C．f（x）＝x2与 D． （多选）4．下列命题正确的是（　　） A．命题“∀x，y∈R，x2+y2≥0”的否定是“∃x，y∉R，x2+y2＜0” B．与y＝|x|是同一个函数 C．函数的值域为 D．若函数f（x+1）的定义域为[1，4]，则函数f（x）的定义域为[2，5] （多选）5．设A＝[0，2]，B＝[0，2]，下列选项能表示从集合A到集合B的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 题型二 函数的解析式 函数解析式的求法 （1） 代入法 ① 由 求复合函数 ② 由 等求 （2）凑配法【整体替换法,适用于 等类型. 】 （3）换元法【如 . 换元与凑配可以交替使用,如 等类型. 】 ( 4 ) 待定系数法 告知函数类型或给出函数图象,就要设出该函数表达式,如 是一次函数,则可设 ; ①利用条件得恒等式，由对应项的系数相等完成；②或利用条件得方程组，然后解方程组即可. ( 5 ) 解方程组法 ① 与 ,或 与 ; 【前者 ,后者 】 ②一奇一偶函数 与 ； ③ 与 ,或 与 ; 【前者 ,后者 方法: 将原方程中的变量进行变量替换得新方程, 联立原方程解方程组! （6）图象变换法【根据变换过程、对称关系、相关关系等用代入法求曲线（或轨迹）方程. 】 （7）赋值法【对两个变量交替使用特殊值带入. 】 【例题精讲】 1．已知函数f（x）的定义域为R，对任意x∈R均满足：2f（x）﹣f（﹣x）＝4x+1，则函数f（x）解析式为（　　） A． B． C． D． 2．已知f（x﹣1）＝x2+x﹣2，则函数f（x+1）的解析式为（　　） A．f（x+1）＝x2+5x+1 B．f（x+1）＝x2+3x C．f（x+1）＝x2+5x+4 D．f（x+1）＝x2+3x+6 3．已知二次函数f（x）满足f（x+1）＝f（x）+2x，且f（1）＝2，则f（x）的解析式是（　　） A．f（x）＝x2﹣x+2 B．f（x）＝x2+x+2 C．f（x）＝x2﹣x+1 D．f（x）＝x2+x+1 4．已知，则f（x）＝（　　） A．x2+2 B．x2﹣2 C． D．x2+2（|x|≥2） 5．已知函数f（x）的定义域为R，且对∀x∈R，f（x）+xf（﹣x）＝x2，则f（3）＝（　　） A． B． C． D．2 题型三 分段函数 分段函数求值问题的解题思路 (1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值． (2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验． 【例题精讲】 1．已知函数，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．已知函数y，若f（a）＝10，则a的值是（　　） A．3或﹣3 B．﹣3或5 C．﹣3 D．3或﹣3或5 3．函数，满足f（x）＞1的x的取值范围（　　） A．（﹣1，1） B．（﹣1，+∞） C．{x|x＞0或x＜﹣2} D．{x|x＞1或x＜﹣1} （多选）4．已知函数，下列关于函数f（x）的结论正确的是（　　） A．f（x）的定义域是R B．f（x）的值域是（﹣∞，5） C．若f（x）＝3，则 D．f（x）的图象与直线y＝2有一个交点 （多选）5．已知函数，则下列图像正确的是（　　） A． B． C． D． 题型四 函数的定义域： 求实体函数定义域，抽象函数的定义域及已知定义域求参等。 【例题精讲】 1．函数的定义域为（　　） A．（99，100） B．[99，100] C．（﹣∞，100] D．[99，+∞） 2．已知函数的定义域为R，求实数a的取值集合（　　） A．（0，2） B．[0，2] C．（0，2] D．[0，2） 3．已知函数，则函数f（x2）的定义域为（　　） A．（﹣∞，4）∪（4，5） B．[﹣5，4）∪（4，5] C． D． （多选）4．若函数的定义域为R，则实数m可以是（　　） A．0 B．3 C．6 D．8 （多选）5．下列说法正确的是（　　） A．若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为[0，1] B．的最大值为 C．的图象关于（﹣2，1）成中心对称 D．函数的减区间是（﹣∞，2） 题型五 函数的值域 主要方法有：图像法，换元法，分离常数法，判别式法，单调性法等 【例题精讲】 1．已知a，b∈R，定义运算“⊗”，，设f（x）＝x2⊗2x，x∈（1，3），则f（x）的值域是（　　） A．（1，9） B．[1，9） C．（2，9） D．[2，9） 2．函数的值域为（　　） A． B． C．（﹣∞，﹣2] D． 3．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有数学王子的美誉，他和牛顿，阿基米德并列为世界三大数学家，并用其姓名命名的“高斯函数”为y＝[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，例如[﹣3.15]＝﹣4，[2.1]＝2，已知函数，令函数g（x）＝[f（x）]，则g（x）的值域为（　　） A．（﹣1，1） B．{0，1} C．{﹣1，0} D．{﹣1，0，1} （多选）4．已知函数f（x）＝x，下面有关结论正确的有（　　） A．定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞） B．值域为（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞） C．在（﹣2，0）∪（0，2）上单调递减 D．图象关于原点对称 （多选）5．若函数f（x）在区间[a，b]上值域为[ka，kb]，则称[a，b]为f（x）的“k倍增区间”，则（　　） A．若[0，b]为f（x）＝x2的“1倍增区间”，则b＝1 B．函数存在“1倍增区间” C．若函数存在“1倍增区间”，则m的取值范围是 D．二次函数存在“2倍增区间” 课时精练 一．选择题（共8小题） 1．以下一定是y关于x的函数的是（　　） A． B．y2＝x﹣1（x＞1） C． D． 2．下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（　　） A．y＝x与 B．y＝|x|与 C．y＝x与y＝elnx D．y＝x与 3．若函数f（x）的定义域为[0，8]，则函数的定义域为（　　） A．（1，16） B．（1，16] C．（1，4） D．（1，4] 4．已知函数f（2x+1）＝3x﹣1，则f（2）＝（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．5 5．对任意实数x规定y取4﹣x，x+1，（5﹣x）三个值中的最小值，则函数y（　　） A．有最大值2，最小值1 B．有最大值2，无最小值 C．有最大值1，无最小值 D．无最大值，无最小值 6．下列图象中，函数的部分图象有可能是（　　） A． B． C． D． 7．已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围是（　　） A．0≤a≤8 B．0≤a＜8 C．0＜a≤8 D．0＜a＜8 8．已知函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（　　） A． B．[﹣1，3] C． D．[﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） 二．多选题（共3小题） （多选）9．设函数，，则（　　） A．函数y＝f（x）•g（x）为奇函数 B．f（2x）＝2f（x）•g（x） C．函数的值域为（﹣1，1） D．函数在其定义域上为增函数 （多选）10．定义，若函数f（x）＝min{x2﹣3x+3，﹣|x﹣3|+3}，且f（x）在区间[m，n]上的值域为，则区间[m，n]的长度可以是（　　） A．1 B． C． D． （多选）11．下列选项中正确的有（　　） A．“a＜b”是“”的必要不充分条件 B．与表示同一函数 C．函数的值域为（﹣∞，4] D．定义在R上的函数f（x）满足2f（x）﹣f（﹣x）＝x+1，则 三．填空题（共3小题） 12．函数的值域为R，则实数a的取值范围是 　 　 ． 13．已知函数若，则f（x）的值域是 　 　 ；若函数f（x）的值域是，则实数m的取值范围是 　 　 ． 14．函数f（x），则f（）的值是　 　 ． 四．解答题（共5小题） 15．（1）已知，求f（x）的解析式； （2）已知f（x）是二次函数，且f（0）＝0，f（x+1）＝f（x）+x+1，求f（x）的解析式； （3）已知函数f（x）满足f（﹣x）+2f（x）＝2x，求f（x）的解析式． 16．已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）＝2x，f（0）＝1． （1）求f（x）的解析式； （2）∀x∈[﹣1，3]，f（x）+m＞0恒成立，求m的取值范围． 17．已知函数． （1）若f（x）的定义域为R，求m的取值范围； （2）若f（x）的值域为R，求m的取值范围． 18．求下列问题． （1）求，x∈[3，5]的值域； （2）函数的最大值为　 　 ； 19．已知函数． （1）判断f（x）在区间[2，+∞）上的单调性，并证明你的判断； （2）设函数，若f（x）在区间[2，4]上的值域为A，g（x）在区间[2，8]上的值域为B，且A⊆B，求实数a的取值范围． 第10页（共11页） 学科网（北京）股份有限公司 $