24.4 弧长和扇形面积 教学设计2025-2026学年 人教版（2012）九年级 数学上册

课时教学设计 第十四周 第3课时 新课题目 24.4 弧长和扇形面积 教学目标 （核心素养） (1)经历探索弧长和扇形面积公式的过程，培养学生的探索能力，会利用弧长和扇形面积计算公式解决问题； (2)在弧长和扇形面积计算公式的探究过程中，理解局部与整体之间的关系，感受转化、类比的数学思想； (3)体验数学与人类生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，提高他们的学习积极性. 重点 了解扇形的概念，理解n° 的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用. 难点 通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n° 的圆心角所对的弧长l＝ 和扇形面积S扇＝ 的计算公式，并应用这些公式解决一些问题. 教具 课件 教学方法 引导法，讲练法，小组合作法 教学过程 主要师生活动 设计意图 一、创设情境，导入新知 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料.如图所示. 如何求一段弧的长度? 师生活动：同学们先讨论，然后带着疑问点开启今天课堂内容. 二、小组合作，探究概念和性质 知识点一：与弧长相关的计算 探究一 如何求一段弧的长度? 合作探究 n° 的圆心角所对的弧长呢？ 总结 n° 的圆心角所对的弧长: . 典例精析 例1 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算如图所示管道的展直长度 L (单位：mm，精确到 1 mm). 分析：管道的展直长度 L = AC + BD +弧 AB 的长 弧 AB 的长：也可以用 表示 知识点 2：与扇形相关的计算 探究二 如何求圆的部分面积? 扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形． 问题一 由扇形的定义可知，扇形面积就是圆面积的一部分．你能类比刚才我们研究弧长公式的方法推导出扇形面积的计算公式吗？ 360° 所对的扇形的面积：πR2 1° 所对的扇形的面积： 问题二 圆心角是 n° 的扇形的面积呢？ 如果扇形的半径为 R，圆心角为 n°，那么扇形面积的计算公式为S扇形=________. 2.如图 1 是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板；该展板的部分示意图如图 2 所示；它是以 O 为圆心，OA，OB 长分别为半径，圆心角∠O =120° 形成的扇面，若 OA = 3m ，OB =1.5m，则阴影部分的面积为 ( ) A. 4.25π m2 B. 3.25π m2 C. 3π m2 D. 2.25π m2 师生活动： 学生自主思考总结，然后小组讨论，代表回答问题. 探究三 圆心角是 n° 所对的弧长公式和扇形的面积公式之间的关系. 方法总结 圆心角为 n° 的扇形的面积是: 例3 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水面高 0.3 m，求截面上有水部分的面积 (精确到 0.01 m2). 师生活动：教师给出例题后，让学生独立作业，同时分别选派四名同学上黑板演算. 教师巡视，对学生演算过程中的失误及时予以指正，最后师生共同评析。 方法总结 弓形的面积公式: 弓形的面积 = 扇形的面积 ± 三角形的面积 三、当堂练习，巩固所学 1. 75° 的圆心角所对的弧长是 2.5π cm，则此弧所在圆的半径是_____cm. 2. 某扇形的圆心角为 72°，面积为 5π，则此扇形的弧长为 ( ) A．π B．2π C．3π D．4π 设计意图：创设现实问题情境，引导学生发现数学问题，不仅能很好地吸引学生注意力，还能让学生切身体会到生活中处处都时数学，感受数学美，了解知识的产生. 设计意图：由己有知识入手，经过特殊值的推导，调动学生课堂参与的积极性，在教师的指引下， 在热烈的讨论中互相启发、质疑、争辩、补充，学生自己得出公式. 不仅锻炼学生的合作学习能力、表达能力，同时让学生对知识有了更深刻、全面、正确的理解，培养了他们的抽象思维能力、科学严谨的学习态度. 设计意图： 从特殊到一般，通过图形，更加的直观解释了弧长公式，让学生感受数学的严谨性以及数学结论的确定性. 设计意图： 让学生利用公式进行弧长的有关计算，明确弧长与所在圆的半径、圆心角的度数关系密切，熟练公式的应用. 设计意图：引导学生自己根据已有的知识推导公式，由于少部分学生对 弧长与扇形面积之间的关系掌握仍有些困难，因此引导他们采用类比的方法 进行探究，这样可以让部分学生恢复解题的自信. 设计意图：在问题中使学生体验感性知识到理性知识，从具体到抽象的过程，对数学模型进行定性研究。 设计意图： 通过扇形面积公式和弧长公式的比较，发现它们的异同点，从而推导扇形面积的第二个计算公式。学生观察、思考，找出两个公式的所需条件，提高学生应用公式的能力。 设计意图：及时练习巩固，体现学以致用的观念，消除学生学无所用的思想顾虑. 作业设计 练习题，练习册 板书设计 第1课时 弧长和扇形面积 1．弧长公式：l＝ 2．扇形的面积公式：S扇形＝＝ lR 课后反思 教研组长意见及签字 课时教学设计 第十四周 第4课时 新课题目 24.4 弧长和扇形面积 教学目标 （核心素养） 1.掌握弧长和扇形面积的计算公式；并能灵活应用，解决实际问题； 2.利用圆的周长及面积公式，推导弧长和扇形面积的计算公式，培养学生由“特 殊到一般”的数学思想，发展学生合情推理的能力； 3.通过学生对图形观察、对比、归纳，激发学生的求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心. 重点 会求圆锥的侧面积和全面积，并能解决一些简单的实际问题.. 难点 会求圆锥的侧面积和全面积，并能解决一些简单的实际问题. 教具 课件 教学方法 引导法，讲练法，小组合作法 教学过程 主要师生活动 设计意图 一、创设情境，导入新知 观察下面图片，你能从中看出什么图形吗？ 预设：圆锥 师生活动：让学生自主回答. （学生积极踊跃发言，问答提出的问题.） 二、小组合作，探究概念和性质 知识点一：圆锥及其相关概念 探究一 观察右图圆锥的形成轨迹，说说它有哪些特征. 师生活动：学生通过观察图形发现:圆锥的高通过底面的圆心，并垂直于底面. 定义总结： 圆锥的相关概念： 把连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段 (如线段 SA，SB 等) 叫做圆锥的母线． 母线有__无数__条，都___相等____. 圆锥的相关概念： 如果用 r 表示圆锥底面圆的半径，h 表示圆锥的高，l 表示圆锥的母线长，那么 r、h、l 之间的等量关系是：___r2 + h2 = l2 _________． 师生活动：先由学生通过观察图形给出自己的见解，再由教师引导与总结得出:圆锥的母线1、圆锥的高h、圆锥底面圆半径r恰好构成一个直角三角形 ,所以圆锥可以看做是一个直角三角形绕它的一条直角边旋转一周所构成的图形，满足]2= h2+r2,利用这一关系，已知任意两个量，可以求出第三个量. 探究二 拿出提前准备好的教具—圆锥，请同学沿着母线展开并画一画展开后的图形，探究侧面展开的扇形的圆心角 n° 与圆锥底面圆的半径 r 之间的关系. 圆心角 n° 所对弧长 = 底面圆周长 1. 如图是一个废弃的扇形统计图，小明同学利用它的阴影部分制作一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是 ( ) A.3.6 B.1.8 C.3 D.6 典例精析 例1 一个工厂要用某种贵重的金属生产你所制作的锥形帽，请帮助工厂计算一下生产这种锥形帽所需的材料. r 表示圆锥底面圆的半径 l 表示圆锥的母线长 所需的材料：计算圆锥全面积 S全 = S侧+S底= πrl+ πr2 = πrl S底 = πr2 圆锥侧面积：S侧 = πrl. 圆锥全面积： S全 = S侧 + S底 = πrl+ πr2 = πr(l+r). 例2 蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建 20 个底面积为 12 m2，高为 3.2 m，外围高为 1.8 m 的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡 ( π 取3.142，结果取整数 ) ？ 师生活动： 学生自主思考,独立解题,老师给予订正. 解：如图是蒙古包的示意图．根据题意， 下面圆柱的底面积为 12 m2， 高为 h2 = 1.8 m； 上面圆锥的高为 h1 = 3.2－1.8 = 1.4(m). 三、当堂练习，巩固所学 1. 圆锥的底面半径为 3 cm，母线长为 6 cm，则这个圆锥侧面展开图扇形的圆心角是_____． 2. 已知圆锥的底面圆半径为 3 cm，高为 4 cm，则它的侧面积是 ，全面积是 ． 3.如图所示，有一个圆锥形的粮堆，其轴截面是边长为 6 m 的等边三角形，在圆锥的母线 AC 的中点 P 处有一只老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在点 B 处，它要沿圆锥侧面到达点 P 处捕捉老鼠.求小猫所经过的最短路程. 设计意图： 创设情境，激发学生学习的兴趣和探究欲望，为本节课的探究做好铺垫. 设计意图：通过观察圆锥形成的动图过程，体会其特性. 设计意图：引导学生注意圆锥侧面和底面之间的关系. 设计意图：通过实际问题， 引导学生结合扇形面积公式推导圆锥侧面积计算公式和圆锥全面积计算公式. 设计意图：通过实际应用，不仅能很好地吸引学生注意力，还能让学生切身体会到生活中处处都时数学，感受数学美,培养学生用数学眼光观察显示世界的意识，学生感受从具体的蒙古包抽象出几何图形的过程，培养学生的几何直观. 设计意图：及时练习巩固，体现学以致用的观念，消除学生学无所用的思想顾虑. 作业设计 练习题，练习册 板书设计 第2课时 圆锥的侧面积和全面积 圆锥侧面积：S侧 = πrl. 圆锥全面积： S全 = S侧 + S底= πrl+ πr2 = πr(l+r). 课后反思 教研组长意见及签字 学科网（北京）股份有限公司 $