22.3勾股定理（第3课时勾股定理的逆定理）（题型专练）数学新教材沪教版五四制八年级上册

22.3 勾股定理（第3课时 勾股定理的逆定理） 目录 A 基础达标题 题型一、判断三边能否构成直角三角形 1 题型二、在网格中判断直角三角形 1 题型三、利用勾股定理的逆定理求解 3 B 能力提升题 题型一、勾股定理逆定理的实际应用 3 题型二、求最短路径(勾股定理的应用) 4 题型三、勾股定理逆定理的拓展问题 5 C 拓展培优题 题型一、判断三边能否构成直角三角形 1．将下列长度的3根木棒首尾依次连接，能组成直角三角形的是（   ）． A．1，2，3 B． C． D．6，8，10 2．适合下列条件的中，能确定是直角三角形的有（    ） ①            ②， ③，，        ④，， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．若的三边a，b，c 满足  ，则是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 4．一个三角形三边长的比是，这个三角形 （填“是”或“不是”）直角三角形． 5．如图，点是内一点，且，若是等腰三角形，，，，则的度数为 ． 题型二、在网格中判断直角三角形 6．如图，在5×5的正方形网格中，从点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 7．如图所示网格中，已知，两个格点，现要在网格中另取一格点，使得，则这样的格点共有（   ）个    A． B． C． D． 8．如图，若在边长为1的正方形网格中，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 9．图中，是直角三角形的序号是 ． 10．如图，在的正方形网格中，点A，B，C都在正方形网格的格点上，则 ． 题型三、利用勾股定理的逆定理求解 11．已知的三条边分别为，，，满足，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 12．三角形的三边满足，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 13．下列几组数，能组成勾股定理的（   ） （1），， （2），，（3）， ， （4），， （5），， A．个 B．个 C．个 D．个 14．如图，在四边形中，，，，，四边形的面积为 ． 15．已知一个三角形的三边长分别为、、，则这个三角形的面积为 ． 题型一、勾股定理逆定理的实际应用 16．在下列三角形中，能从几何角度直接验证的图形是（    ） A． B． C． D． 17．我国古代著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问沙田一段，有三斜，其中小斜3里，中斜4里，大斜5里，欲知为田几何？”题目大意：有一块三角形沙田，三条边长分别为3里，4里，5里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里，则该沙田的面积为（　　） A． B． C． D． 18．木工要切割一块直角三角形木板，量得木板的三边长分别为，，，则这块木板 （填“合格”或“不合格”）． 19．如图，四边形是一个菜园，已知，，，，． (1)王大叔准备在，两点之间搭建一条篱笆，求篱笆的长． (2)求四边形的面积． 题型二、求最短路径(勾股定理的应用) 20．如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（   ） A． B． C． D． 21．如图，长方体的高为，底面是边长为的正方形．现有一小虫从顶点A 出发，沿长方体表面爬行到顶点C处，则小虫爬行的最短路程是（   ） A． B． C． D． 22．某校“灯谜节”的奖品是一个底面为等边三角形的灯笼（如图），在灯笼的侧面上，从顶点到顶点缠着一圈彩带，已知此灯笼的高为，底面边长为，则这圈彩带的长度至少为（   ） A． B． C． D． 23．如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，已知，一只蚂蚁从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走 的路程． 24．如图，是长为，宽为，高为的长方体纸箱，E点处有几滴蜂蜜，一只蚂蚁欲从点A出发沿纸箱表面爬行到点E处吃蜂蜜，则蚂蚁爬行的最短距离是 ． 题型三、勾股定理逆定理的拓展问题 25．若一个三角形的三条边的长度分别为，则这个三角形是(   ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 26．在中，，则（    ） A．一定是锐角 B．一定是直角 C．一定是钝角 D．都有可能 27．已知一个三角形三边长分别是4，9，12，要作最长边上的高正确的图形做法是（　　　） A． B． C． D． 28．如图，点C为直线l上的一个动点，于D点，于E点，，，当长为 为直角三角形． 1．在中，下列条件：①；②：：：4：5：③；④，．能判断是直角三角形的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，在的正方形网格中，的顶点都在格点上，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在四边形中，已知，，，，，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 4．已知中，，，，则的面积为 ． 5．如图，已知正方形网格中的，若小方格边长为1，则 ， ， ，判断的形状为 三角形． 6．如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得，，，，且．这块菜地的面积是 ． 7．如图，为了居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机A，B，且A，B均位于地下管道的同侧，售卖机A，B之间的距离（）为100米，管道分叉口M与B之间的距离为60米，于点N，M到的距离（）为48米．假设所有管道的材质相同． (1)求B，N之间的距离； (2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机B引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 2 / 25 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $ 22.3 勾股定理（第3课时 勾股定理的逆定理） 目录 A 基础达标题 题型一、判断三边能否构成直角三角形 1 题型二、在网格中判断直角三角形 3 题型三、利用勾股定理的逆定理求解 7 B 能力提升题 题型一、勾股定理逆定理的实际应用 9 题型二、求最短路径(勾股定理的应用) 12 题型三、勾股定理逆定理的拓展问题 17 C 拓展培优题 题型一、判断三边能否构成直角三角形 1．将下列长度的3根木棒首尾依次连接，能组成直角三角形的是（   ）． A．1，2，3 B． C． D．6，8，10 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理直接判断即可得到答案． 【详解】解：A、因为，不满足三角形两边之和大于第三边，所以不能构成三角形，不符合题意； B、，不能构成直角三角形，不符合题意； C、，，，不能构成直角三角形，不符合题意； D、，能构成直角三角形，符合题意． 故选：D． 2．适合下列条件的中，能确定是直角三角形的有（    ） ①            ②， ③，，        ④，， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本理题考查三角形内角和定理及勾股定理的逆定理，解题关键是熟知三角形内角和等于180°及勾股定理的逆定理． 根据三角形内角和定理及勾股定理逆定理进行逐项分析即可． 【详解】解：①∵，， ∴， ∴，故该选项符合题意； ②∵，， ∴，故该选项符合题意； ③ ∵，，，， ∴， ∴不是直角三角形，故该选项不符合题意； ④∵，，，， ∴， ∴是直角三角形，故该选项符合题意． 综上所述，能确定是直角三角形的有3个． 故选：C． 3．若的三边a，b，c 满足  ，则是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】本题主要考查了连比，勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理判定直角三角形． 假设，再根据勾股定理的逆定理判定直角三角形即可． 【详解】解：根据，假设， ∴， ∵， ∴是直角三角形， 故选：B． 4．一个三角形三边长的比是，这个三角形 （填“是”或“不是”）直角三角形． 【答案】是 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．根据勾股定理的逆定理进行解答即可． 【详解】解：∵三角形三边长的比是， ∴设三角形三边长分别为，，，， 又∵， ∴此三角形是直角三角形． 故答案为：是． 5．如图，点是内一点，且，若是等腰三角形，，，，则的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理，是解题的关键．根据等腰三角形的性质和勾股定理求出，，根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，，求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ，， ，， ， 是直角三角形，， ， 故答案为：． 题型二、在网格中判断直角三角形 6．如图，在5×5的正方形网格中，从点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了网格与勾股定理、勾股定理的逆定理，先利用网格与勾股定理分别求出各边长，然后按照勾股定理逆定理依次判断即可． 【详解】解：由网格特点，，，，，，， A．∵，，， ∴，则为直角三角形，故该选项符合题意； B．∵，，， ∴，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； C．∵，，， ∴，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； D．∵，，， ∴，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； 故选：A． 7．如图所示网格中，已知，两个格点，现要在网格中另取一格点，使得，则这样的格点共有（   ）个    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理以及逆定理与网格问题，根据网格的特点，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，   设网格中每个小正方形的边长为，连接, 由图可知，, , , , , , ; 综上，共有个格点使得． 故选：C． 8．如图，若在边长为1的正方形网格中，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握相关知识是解题关键．根据题意，结合勾股定理可得，然后根据勾股定理的逆定理即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可知，， ， ∴， ∴的形状为直角三角形． 故选：A． 9．图中，是直角三角形的序号是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理求边长及逆定理证明直角三角形；先分别求出每个三角形的边长，再根据勾股定理逆定理判断即可． 【详解】解：三角形的三边长分别为，，3，因为，所以不是直角三角形，故不符合题意； 三角形的三边长分别为，，3，因为，所以不是直角三角形，故不符合题意； 三角形的三边长分别为，，，因为，所以不是直角三角形，故不符合题意； 三角形的三边长分别为，，，因为，所以是直角三角形，故符合题意； 三角形的三边长分别为，，，因为，所以是直角三角形，故符合题意； 三角形的三边长分别为，，，因为，所以不是直角三角形，故不符合题意； 故答案为：． 10．如图，在的正方形网格中，点A，B，C都在正方形网格的格点上，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，先用勾股定理分别计算，，的长，由此即可判断是等腰直角三角形即可． 【详解】解：根据勾股定理，得， ， ， ∴，， ∴，. 故答案为：． 题型三、利用勾股定理的逆定理求解 11．已知的三条边分别为，，，满足，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解决此题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理； 【详解】解：∵的三条边分别为，，，满足， ∴， 根据勾股定理逆定理可知：， 故选：C． 12．三角形的三边满足，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，由题意得，推出即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故这个三角形是直角三角形； 故选：A 13．下列几组数，能组成勾股定理的（   ） （1），， （2），，（3）， ， （4），， （5），， A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先求出各组数较小两个数的平方和，与最大的数的平方进行比较，若结果相等，则能满足勾股定理，反之不能． 【详解】解：（1），，故，故能组成勾股定理； （2），，故，故不能组成勾股定理； （3），，故，故不能组成勾股定理； （4），， 故，故能组成勾股定理； （5），， 故，故能组成勾股定理； 综上，故能组成勾股定理的有组数． 故选：C ． 14．如图，在四边形中，，，，，四边形的面积为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的运用，掌握勾股定理及其逆定理的计算是关键． 根据勾股定理得到，则是直角三角形，，由图形面积的计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴ ， 故答案为：16 ． 15．已知一个三角形的三边长分别为、、，则这个三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：∵， ∴这个三角形是直角三角形，其中直角边为和， ∴这个三角形的面积为， 故答案为：． 题型一、勾股定理逆定理的实际应用 16．在下列三角形中，能从几何角度直接验证的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】本题考查了勾股定理的逆定理和垂线段最短的性质，解题的关键是构造直角三角形并利用相关性质验证大小关系． 通过构造三边长为、、的直角三角形，利用勾股定理的逆定理证明其为直角三角形，再结合垂线段最短的性质验证． 【解答】解：如图，中，，，， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∵垂线段最短， ∴， ∴， 故A符合题意， 选项、、均无法通过几何角度直接验证， 故选：A． 17．我国古代著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问沙田一段，有三斜，其中小斜3里，中斜4里，大斜5里，欲知为田几何？”题目大意：有一块三角形沙田，三条边长分别为3里，4里，5里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里，则该沙田的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键． 直接利用勾股定理的逆定理结合直角三角形面积求法得出答案． 【详解】解：∵， ∴三条边长分别为3里，4里，5里，构成了直角三角形， ∴该沙田的面积为（平方里）． 故选A． 18．木工要切割一块直角三角形木板，量得木板的三边长分别为，，，则这块木板 （填“合格”或“不合格”）． 【答案】合格 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理的应用，根据“”可判断三角形木板为直角三角形，故可得结论． 【详解】解：∵木板的三边长分别为，，， ∴， 而， ∴， ∴三角形木板为直角三角形， 故答案为：合格． 19．如图，四边形是一个菜园，已知，，，，． (1)王大叔准备在，两点之间搭建一条篱笆，求篱笆的长． (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）利用勾股定理的逆定理可证明，再根据列式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， 答：篱笆的长为； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 题型二、求最短路径(勾股定理的应用) 20．如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据勾股定理求边长是解题的关键；先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：长方体侧面展开图如图所示． 由题意，得， 在中，， 故选：． 21．如图，长方体的高为，底面是边长为的正方形．现有一小虫从顶点A 出发，沿长方体表面爬行到顶点C处，则小虫爬行的最短路程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平面展开——最短路径问题，勾股定理，化为最简二次根式，此类问题先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再利用两点之间，线段最短，确定两点之间的最短路径．关键是在平面图形上构造直角三角形解决问题． 将立体图形展开，有两种不同的展法，连接，利用勾股定理求出的长，找出最短的即可． 【详解】解：①如图，将长方体的上面和右面或者前面和下面展开在同一平面内，    ∵，，， ∴； ②如图，将长方体的正面和右面展开在同一平面内， ∵，，， ∴， ∵ ∴小虫爬行的最短路程为． 故选：B． 22．某校“灯谜节”的奖品是一个底面为等边三角形的灯笼（如图），在灯笼的侧面上，从顶点到顶点缠着一圈彩带，已知此灯笼的高为，底面边长为，则这圈彩带的长度至少为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；画出三棱柱的侧面展开图，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：将三棱柱沿展开，其展开图如图， 此时所需彩带的长度最短， ∴； 故选C． 23．如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，已知，一只蚂蚁从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走 的路程． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，最短路径的计算，理解最短路径，正确运用勾股定理是关键． 根据题意得到半圆的周长为，得到展开后图形的长，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，取的中点M， ∴， ∵长方形地毯，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为， ∴，，， ∴半圆的弧长为， 将中间半圆展开，如图所示，连接， ∴， ∴， ∴一只蚂蚁从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走的路程， 故答案为： ． 24．如图，是长为，宽为，高为的长方体纸箱，E点处有几滴蜂蜜，一只蚂蚁欲从点A出发沿纸箱表面爬行到点E处吃蜂蜜，则蚂蚁爬行的最短距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，长方体的展开图，具备一定的空间想象能力，将几何体展开是解题的关键． 分三种情况讨论：①通过前面和上面抵达；②通过前面和左侧面抵达；③通过右侧面和上面抵达；分别展开长方体，运用勾股定理计算． 【详解】解：如图，连接， ①通过前面和上面抵达，则最短距离为； ②通过前面和左侧面抵达；， ③通过右侧面和上面抵达； ∵ ∴最短距离是． 故答案为：． 题型三、勾股定理逆定理的拓展问题 25．若一个三角形的三条边的长度分别为，则这个三角形是(   ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的拓展知识，只需比较较小的两边的平方和与最长边的平方的大小关系即可得解．若三角形的三边分别是、、，是三角形的最长边，则有：（1）这个三角形是锐角三角形；（2）这个三角形是直角三角形；（3）这个三角形是钝角三角形．掌握利用比较较小的两边的平方和与最长边的平方的大小关系来推导三角形的形状是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴这个三角形是锐角三角形． 故选：A． 26．在中，，则（    ） A．一定是锐角 B．一定是直角 C．一定是钝角 D．都有可能 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形边角关系，由已知条件入手，把进行变形，变形为，再利用三角形边角关系得,把其代入可得关系式，再利用完全平方公式得，可得，可得一定是锐角． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是三角形的三边， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴一定是锐角． 故选：A． 27．已知一个三角形三边长分别是4，9，12，要作最长边上的高正确的图形做法是（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形的三边为4，9，12，可知该三角形为钝角三角形，其最长边上的高在三角形内部，即过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上． 【详解】解：∵42+92=97＜122， ∴三角形为钝角三角形， ∴最长边上的高是过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形高的画法．当三角形为锐角三角形时，三条高在三角形内部；当三角形是直角三角形时，两条高是三角形的直角边，一条高在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，两条高在三角形外部，一条高在内部． 28．如图，点C为直线l上的一个动点，于D点，于E点，，，当长为 为直角三角形． 【答案】3或2或． 【分析】作BF⊥AD于F，根据矩形的性质得到BF=DE=4，DF=BE=1，根据勾股定理用CD表示出AC、BC，根据勾股定理的逆定理列式计算，得到答案． 【详解】解：作BF⊥AD于F， 则四边形DEBF为矩形， ∴BF=DE=4，DF=BE=1， ∴AF=AD-DF=3， 由勾股定理得，      当△ABC为直角三角形时， 即 解得，CD=3， 如图2，作BH⊥AD于H， 仿照上述作法，当∠ACB=90°时， 由勾股定理得，   由得： 解得： 同理可得：当∠ABC=90°时， 综上：的长为：3或2或． 故答案为：3或2或． 【点睛】本题考查的是勾股定理及其逆定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么 1．在中，下列条件：①；②：：：4：5：③；④，．能判断是直角三角形的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理、勾股定理逆定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 根据三角形内角和定理、勾股定理逆定理对每个条件逐一进行分析即可． 【详解】解：①∵， ∴． ∵三角形内角和为，即， 把代入可得， 解得， ∴是直角三角形． ②已知，设，，． ∵三角形内角和为， ∴，即， 解得． 则，，， ∴不是直角三角形． ③∵， ∴， 根据勾股定理的逆定理，可知是直角三角形，且． ④∵，，， ，， ， 根据勾股定理的逆定理，可知是直角三角形，且． 综上，能判断是直角三角形的条件有①③④，共3个， 故选：C． 2．如图，在的正方形网格中，的顶点都在格点上，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，掌握相关知识是解决问题的关键．利用勾股定理，勾股定理的逆定理逐项判断即刻． 【详解】A、在中，由勾股定理，，故本选项不符合题意； B、由勾股定理可求，，，则，由勾股定理逆定理可得，故本选项不符合题意； C、在中，由勾股定理，，故本选项不符合题意； D、在中，由勾股定理，，故本选项符合题意． 故选：． 3．如图，在四边形中，已知，，，，，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与逆定理，熟悉掌握勾股定理是解题的关键． 利用勾股定理求出的长，再利用逆定理求出，即可通过面积公式求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．已知中，，，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理． 由于，，，根据勾股定理的逆定理可得出三角形是直角三角形；由此即可求解 【详解】解：∵，， ∴；； ∴ ∴三角形是直角三角形 ∴的面积为： 故答案为： 5．如图，已知正方形网格中的，若小方格边长为1，则 ， ， ，判断的形状为 三角形． 【答案】 8 32 40 直角 【分析】本题考查勾股定理及逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 根据勾股定理可以计算出的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断的形状． 【详解】解：由图可得，，，， ∴， ∴是直角三角形． 故答案为：8，32，40，直角． 6．如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得，，，，且．这块菜地的面积是 ． 【答案】114 【分析】连接，先在中，利用勾股定理求出的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后根据四边形的面积=的面积+的面积，进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴四边形的面积=的面积+的面积 ∴这块菜地的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 7．如图，为了居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机A，B，且A，B均位于地下管道的同侧，售卖机A，B之间的距离（）为100米，管道分叉口M与B之间的距离为60米，于点N，M到的距离（）为48米．假设所有管道的材质相同． (1)求B，N之间的距离； (2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机B引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 【答案】(1)B，N之间的距离为36米 (2)珍珍的观点正确 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）直接利用勾股定理求解即可； （2）先求出线段的长，进而求出线段的长，则可证明，得到，即，再由垂线段最短即可得到结论． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得（米）， 答：B，N之间的距离为36米； （2）解：∵米，米， ∴米， 在中，由勾股定理得米， ∴， ∴， ∴，即， ∴由垂线段最短可知，是这些管道中最省材料的，即珍珍的观点正确． 2 / 25 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $