4.5 相似三角形判定定理的证明（同步练习）2025-2026学年北师大版数学九年级上册

2025-2026学年北师大版数学九年级上册 第四章 图形的相似 4.5 相似三角形判定定理的证明（同步练习） 姓名： 班级： 一、选择题 1．下列各组图形中，一定相似的是（　　） A．所有直角三角形 B．所有等边三角形 C．所有等腰三角形 D．所有锐角三角形 2． 如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在边AC，AB上，BD 平分∠ABC，∠ACE=∠ABD，则与△BEF 一定相似的三角形为(　　) A．△BFC B．△BDC C．△BDA D．△CEA 3．下列说法正确的是（　　） A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．有一组邻边相等且对角线互相垂直的平行四边形是正方形 C．两条边对应成比例且有一个内角相等的两个三角形相似 D．对角线相等的四边形是矩形 4．如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①△ABC，②△BCD，③△BDE，④△BFG，⑤△FGH，⑥△EFK，在②~⑥中，与三角形①相似的是(　　) A．②③④ B．③④⑤ C．④⑤⑥ D．②③⑥ 5．如图，点A，B，C，P，Q，甲、乙、丙、丁都是方格纸的格点，为使△ABC∽△PQR，则点R应是甲、乙、丙、丁中的(　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 6．如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，如果边AB上的点P使得以P，A，D为顶点的三角形和以P，B，C为顶点的三角形相似，则这样的P点共有几个（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，在中，为上一点，，则下列不能表示和相似比的是（ ） A． B． C． D． 8．如图，在三角形纸片ABC中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 9．将三角形纸片△ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B'，折痕为EF．已知AB＝AC＝8，BC＝10，若以点B'，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是（　　）． A．5 B． C．或4 D．5或 二、填空题 10．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图是是网格图形中的格点三角形． （1）图中的面积为　 　； （2）在所给格点图中，与相似且面积最大的格点三角形的斜边长是　 　． 11． 如图，E，F 分别为AC，BC 的中点，D 是EC上一点，且 .若AC=6，BC=4.2，DF=2，则BE 的长为　 　. 12．已知是轴.动点，将绕点顺时针旋转得到点，则的最小值为　 　. 13．如图，四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形，⊙B 的半径为2，P 是⊙B上一动点，则 的最小值为　 　. 14． 如图， 点 C 在 ∠AOB 的内部，∠OCA=∠BCO，∠OCA 与∠AOB互补.若AC=1.5，BC=2，则OC=　 　 15．数学兴趣小组进行探究性学习时，把缺了一角的幻方放进一张矩形纸片中，幻方的四个顶点分别落在矩形的边上，顶点落在矩形内，通过测量发现顶点到的距离为，并测得，通过探究求出了这个幻方（阴影部分）的面积为　 　． 16．如图所示，将矩形分别沿，，翻折，翻折后点A，点D，点C都落在点H上，若，则　 　． 三、解答题 17．已知两个共一个顶点的等腰直角三角形ABC、等腰直角三角形CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M 是AF 的中点，连接MB，ME. （1）如图①，当CB 与CE 在同一直线上时，求证：MB∥CF. （2）如图①，若CB=a，CE=2a，求BM，ME 的长. （3）如图②，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME. 18． 如图，AB=25，BC=40，AC=20，AE=12，AD=15，DE=24. （1） 判断△ABC 与△ADE 是否相似. （2） 若∠BAC=125°，∠EAC=85°，求∠CAD 19．问题提出 如图①，在△ABC 和△DEC 中，∠ACB=∠DCE=90°，BC=AC，EC=DC，点 E 在△ABC 内部，直线 AD 与 BE 交于点F，连接CF.线段AF，BF，CF 之间存在怎样的数量关系? 问题探究 （1）先将问题特殊化.如图②，当点 D，F重合时，直接写出一个等式，表示 AF，BF，CF 之间的数量关系. （2）再探究一般情形，如图①，当点 D，F不重合时，证明(1)中的结论仍然成立. （3）问题拓展 如图③，在△ABC 和△DEC 中，∠ACB=∠DCE=90°，BC=kAC，EC=kDC(k 是常数)，点 E 在△ABC 内部，直线 AD 与BE 交于点F，连接CF.直接写出一个等式，表示线段AF，BF，CF 之间的数量关系. 20．如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别在x轴负半轴、y轴正半轴上，的长分别是方程 的两个根，且 ．过点A 且垂直于的直线交y轴于点F． （1）求点B的坐标； （2）求的长； （3）如图2， 在直线上截取 过点D作轴于点E，在y轴上是否存在一点P，使以D，E，P为顶点的三角形与 相似？ 若存在，求出点 P的坐标； 若不存在，请说明理由． 21．如图1，正方形的边长为4，点是边上一动点（不与端点重合），连接． （1）当时，求的周长； （2）将沿折叠得到，延长交射线于点． ①如图2，当为中点时，求的长； ②当点在边上运动的过程中，小方同学认为的长度是一个定值，而小程同学认为的长度才是一个定值，你认为谁说的对呢？说出你的理由． 参考答案 1．B 2．B 3．A 4．B 5．C 6．C 7．A 8．B 9．D 10．4；10 11． 12． 13．5 14． 15．40 16．​​​​​​​ 17．（1）证明：延长BM交EF于点D， ∵∠ABE=∠ABC=∠CEF=90°， ∴AB//EF ∴∠DFM=∠BAM，且AM=MF，∠AMB=∠DMF ∴△ABM≌△FDM(ASA) ∴AB=DF，BM=DM ∵在等腰直角△ABC和等腰直角△CEF中， AB=BC，EC=EF，∠FCE=45° ∴DF=AB=BC ∴EC-BC=EF-DF， ∴BE=DE，且∠BED=90°， ∴∠EBD=45°=∠FCE ∴BM//CF （2）证明：由(1)可知：AB=BC=DF，BM=DM ∵CB=a，CE=2a， ∴BE=DE=a，且∠CEF=90° ∴△BDE是等腰直角三角形，，且BM=DM， ∴ （3）证明：延长AB交CE于点D，连接DF，延长FE与CB交于点G，连接AG， ∵△ABC是等腰直角三角形 ∴AB=BC，∠BAC=∠BCA=45°，∠ABC=90°， ∵∠ECB=45° ∴∠BDC=45°=∠ECB=∠CAB ∴BD=BC，AC=CD ∵AB=BD，点M为AF中点， ∴ 同理可得：CF=CG， 在△ACG与△DCF中， ∴△ACG≌△DCF(SAS)， ∴DF=AG， ∴BM=ME 18．（1）解： ∴△ABC∽△ADE. （2）解： ∵△ABC∽△ADE， ∴∠BAC=∠DAE=125°. 又∵∠EAC=85°， ∴ ∠CAD = ∠DAE - ∠EAC = 19．（1） （2）成立 证明：如图，过点C作CG⊥CF，交 BE 于点G， ∴∠FCG=∠ACB=90°， ∴∠ACF=∠BCG， 同理可证△ACD≌△BCE， ∴∠CBG=∠CAF， 在△ACF和△BCG中， ∴△ACF≌△BCG（ASA） ∴AF=BG，CF=CG， ∴△CGF 为等腰直角三角形， ∴ ∴BF-AF=BF--BG=GF= CF （3）结论为 证明：由（2）可知∠BCE=∠ACD， ∵ BC=kAC，EC=kDC ∴ ∴△BCE∽△ACD， ∴∠CAD=∠CBG， 过点C作CG⊥CF交BF于点G， 同理可证∠BCG=∠ACF， ∴△BCG∽△ACF， ∴ ∴，， ∵GF2=CG2+CF2即GF2=（kCF）2+CF2 解之： ∴。​​​​​​​ 20．（1）解：，解得：， ∵的长分别是方程的两个根，且， ∴， ∵四边形是矩形， ∴轴，轴， ∴点B的坐标为； （2）解：∵四边形是矩形，，∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：； （3）解：由（2）得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点E的坐标为， 当时，， 即， 解得：， ∴点P的坐标为或； 当时，， 即， 解得：， ∴点P的坐标为或； 综上所述，点P的坐标为或或或． 21．（1）解：∵正方形， ∴， 在中，，， 则， ∴的周长， 故的周长为。 （2）解：①连接，如图， ∵正方形， ∴， 根据折叠的性质，，，． ∴， ∵点E为的中点， ∴ ∴， 在和中，，， ∴． ∴，． ∴， ， ∵ ∴ ∴， 在和中，，， ∴， ∴， ∴． ∴． ②当点F在的延长线上时，为定值，小程同学说得对； 当点F在线段上时，为定值，小方同学说得对． 理由如下： 延长交于点H，交延长线于点G，连接．如图， 由正方形与折叠的性质得，，， ∴对于和，，， ∴， ∴， 在和中，，，， ∴， ，， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， 如图a，当点F在的延长线上时，， ∵，，， ∴； 如图b，当点F在线段上时，， ∵，，， ∴． 故当点F在线段上时，小方同学说得对；当点F在的延长线上时，小程同学说得对。 学科网（北京）股份有限公司 $