3.2.1函数的单调性（第2课时）课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数单调性，系统讲解增函数、减函数定义及单调区间概念，通过定义前提、图示解析建立基础认知，衔接单调性证明与单调区间判断题型，形成“定义-证明-应用”的学习支架。 其亮点在于以数学思维中的推理能力为核心，通过定义法证明四步法培养逻辑推理，借助图象法判断单调性发展几何直观，如分式函数y=(2-x)/(x+3)的单调区间分析。资料结构清晰，助力学生掌握数学语言精确表达，也为教师提供系统教学资源。

3.2.1 函数的单调性与最大(小)值 第2课时 函数的单调性 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸;PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意: 1. 课名:微软雅黑48号字; 2.(第一课时):微软雅黑32号字; 3.学校名称:请填写全称; 4.学科、年级、主讲人、学校:华文楷体28号字(具体根据文字量可适当调整)。 英文 1.课名:字体以Times New Roman为主,字号一般使用32—36号,特别强调可以用40号; 2.(Period 1):字体使用Arial,字号为28; 3.正文一般用24—28号,特别强调可用32号。 注意标点的规范(例如:中文省略号为……,可用Shift+数字键6打出中文省略号,英文省略号为…) 1 知识点1 增函数与减函数的定义 前提条件 一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间D⊆I 条件 ∀x1,x2∈D,x1<x2 都有f(x1)_ f(x2) 都有f(x1)_ f(x2) 图示 < > 结论 f(x)在区间D上单调递增 f(x)在区间D上单调递减 特殊 情况 当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,我们就称它是_函数 当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是_函数 增 减 要点2 函数的单调区间 如果函数y=f(x)在区间D上_,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)_,区间D叫做y=f(x)的单调区间. 注意: (1)函数单调性关注的是整个区间上的性质,单独一点不存在单调性问题,所以单调区间的端点若属于定义域,则该点处区间可开可闭,若区间端点不属于定义域则只能开. (2)单调区间D⊆定义域I. (3)遵循最简原则,单调区间应尽可能大. 单调递增或单调递减 单调性 题型一 ——函数单调性的证明 考点一 考点一 【分析】∀x1,x2∈(0,1),且x1<x2,只需证明f(x1)>f(x2)即可. 探究1 (1)证明函数的单调性的常用方法是利用函数单调性的定义,其步骤是: ①取值,在给定区间上任取两个自变量x1,x2; ②作差变形,将f(x1)-f(x2)进行代数恒等变形,一般要出现乘积形式,且含有x1-x2的因式; ③判断符号,根据条件判断f(x1)-f(x2)变形后的正负; ④得出结论. (2)讨论函数的单调性时注意两点:一是参数对单调性的影响,二是函数在定义域的子区间上可能具有不同的单调性. 巩固训练1 证明:函数f(x)=x3+x在R上是增函数. 注:a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2). 题型二 ——函数单调性的判断 √ √ 【解析】 A、B、D都为假命题,其中D中若k=0,则命题不成立. 探究2 巩固训练1 (1)如图所示为函数f(x)的图象,其单调递增区间是_,单调递减区间是_. [-1,0],[1,2],[3,4] [0,1],[2,3] 巩固训练2 【多选题】设f(x),g(x)都是单调函数,则下列命题中正确的是( ) A.若f(x)单调递增,g(x)单调递增,则f(x)-g(x)单调递增 B.若f(x)单调递增,g(x)单调递减,则f(x)-g(x)单调递增 C.若f(x)单调递减,g(x)单调递增,则f(x)-g(x)单调递减 D.若f(x)单调递减,g(x)单调递减,则f(x)-g(x)单调递减 √ √ 题型三 ——函数的单调区间 例3 写出下列函数的单调区间. (1)y=|x2-3x+2|; 巩固训练 【解析】 (2)单调递减区间是(-∞,2),(2,+∞),无单调递增区间. (3)y=|x|(1-x). 小 结 ——解决单调性问题的方法与技巧 1.判断函数单调性的方法 (1)定义法:根据函数单调递增、单调递减的定义,按照四个步骤:“取值——作差变形——判断符号——下结论”进行判断. (2)图象法:画出函数的图象,根据图象的上升和下降趋势,判断函数的单调性. 2.函数的单调区间 (1)要求单调区间,先确定函数的定义域. (2)如果一个函数在其定义域内的两个区间A,B上都单调递增(减),一般不能认为该函数在区间A∪B上单调递增(减),如函数f(x)=-在区间(-∞,0)和(0,+∞)上都是单调递增的,但不能说函数的单调递增区间是(-∞,0)∪(0,+∞). (3)单调区间的书写:若函数在区间端点处有定义,则既可以写成闭区间也可以写成开区间;若函数在区间端点处没有定义,则必须写成开区间.当单调区间有两部分或两部分以上时,中间不能用并集符号,也不能用“或”字,只能用“,”隔开或用“和”字. (4)常见函数的单调区间. (5)图象变换对单调性的影响. ①上下平移不影响单调区间,即y=f(x)和y=f(x)+b的单调区间相同. ②左右平移影响单调区间.如y=x2的单调递减区间为(-∞,0], y=(x+1)2的单调递减区间为(-∞,-1]. ③y=kf(x),当k>0时,单调区间与f(x)相同, 当k<0时,单调区间与f(x)相反. 能力提升 【分析】设-1<x1<x2<1,由定义写出差式f(x2)-f(x1),通过a的不同取值对差的符号的影响进行讨论. 强基训练 已知f(x)>0在R上恒成立,并且满足f(x+y)=f(x) f(y),当x>0时,f(x)>1,求证:f(x)在R上是增函数. 证明:∀x1,x2∈R,且x1<x2, 则x2-x1>0, ∵当x>0时,f(x)>1, ∴f(x2-x1)>1, 又∵f(x)>0在R上恒成立, ∴f(x2)=f((x2-x1)+x1)=f(x2-x1) f(x1)>f(x1). ∴f(x)在R上是增函数. 感谢观看与聆听 THANKS 要点3 函数单调性的几条性质 (1)f(x)在区间D上单调递增,x1,x2∈D,且x1≠x2,则 ①x1<x2 f(x1)<f(x2); ②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0; ③eq \f(f(x1)-f(x2),x1-x2)>0. 即x与f(x)的变化趋势相同. (2)f(x)在区间D上单调递减,x1,x2∈D,且x1≠x2,则 ①x1<x2 f(x1)>f(x2); ②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0; ③eq \f(f(x1)-f(x2),x1-x2)<0. 即x与f(x)的变化趋势相反. (3)如果f(x)在区间D上为单调函数,且区间A⊆D,那么f(x)在区间A上具有相同的单调性. (4)如果f(x)具有竖直对称轴(x=a),那么在对称轴两侧f(x)具有相反的单调性,如f(x)=x2. (5)如果f(x)具有对称中心(a,b),那么在关于(a,b)对称的区间上f(x)具有相同的单调性,如f(x)=eq \f(1,x). 【证明】∀x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=eq \f(2,x1)+1-eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x2)+1))=eq \f(2,x1)-eq \f(2,x2)=eq \f(2(x2-x1),x1x2). 又0<x1<x2, ∴x2-x1>0,x1x2>0, ∴f(x1)-f(x2)=eq \f(2(x2-x1),x1x2)>0,即f(x1)>f(x2), ∴函数f(x)在(0,+∞)上单调递减. 例1 (1)已知函数f(x)=eq \f(2,x)+1,证明:函数f(x)在(0,+∞)上单调递减. (2)求证:函数f(x)=x+eq \f(1,x)在区间(0,1)上单调递减. 【证明】∀x1,x2∈(0,1),且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1+\f(1,x1)))-eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2+\f(1,x2))) =(x1-x2)+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x1)-\f(1,x2))) =(x1-x2)-eq \f(x1-x2,x1x2)=(x1-x2) eq \f(x1x2-1,x1x2) ∵0<x1<x2<1, ∴x1-x2<0,0<x1x2<1,x1x2-1<0. ∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2). ∴f(x)在(0,1)上单调递减. 【证明】∀x1,x2∈R,且x1<x2, 则f(x1)-f(x2) =(xeq \o\al(3,1)+x1)-(xeq \o\al(3,2)+x2) =(xeq \o\al(3,1)-xeq \o\al(3,2))+(x1-x2) =(x1-x2)(xeq \o\al(2,1)+x1x2+xeq \o\al(2,2))+(x1-x2) =(x1-x2)(xeq \o\al(2,1)+x1x2+xeq \o\al(2,2)+1) =(x1-x2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1+\f(x2,2)))\s\up12(2)+\f(3,4)x\o\al(2,2)+1)). ∵x1<x2 ∴x1-x2<0 而eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1+\f(x2,2))) eq \s\up12(2)+eq \f(3,4)xeq \o\al(2,2)+1>0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2). ∴f(x)=x3+x在R上是增函数. 巩固训练2 证明:函数f(x)=-eq \r(x)在定义域上是减函数. 【证明】f(x)=-eq \r(x)的定义域为[0,+∞), ∀x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2, 则f(x1)-f(x2) =(-eq \r(x1))-(-eq \r(x2)) =eq \r(x2)-eq \r(x1) =eq \f((\r(x2)-\r(x1))(\r(x2)+\r(x1)),\r(x2)+\r(x1)) =eq \f(x2-x1,\r(x2)+\r(x1)). ∵0≤x1<x2, ∴x2-x1>0,eq \r(x2)+eq \r(x1)>0. ∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2). ∴f(x)=-eq \r(x)在定义域[0,+∞)上是减函数. 例2 (1)若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a,b,总有eq \f(f(a)-f(b),a-b)>0成立,则必有( ) A.f(x)在R上是增函数 B.f(x)在R上是减函数 C.函数f(x)先增后减 D.函数f(x)先减后增 【解析】eq \f(f(a)-f(b),a-b)>0 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a-b>0,,f(a)-f(b)>0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a-b<0,,f(a)-f(b)<0)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>b,,f(a)>f(b)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<b,,f(a)<f(b).)) ∴f(x)在R上是增函数.故选A. (2)【多选题】下列命题中的假命题是( ) A.y=eq \f(1,x)在定义域内为减函数 B.y=(x-1)2在(0,+∞)上单调递增 C.y=-eq \f(1,x)在(-∞,0)上单调递增 D.y=kx不是增函数就是减函数 判断函数单调性的常用方法: (1)定义法. (2)定义的等价形式(对于任意的x1,x2∈D,且x1≠x2): ①eq \f(f(x1)-f(x2),x1-x2)>0 f(x)在D上单调递增. ②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0 f(x)在D上单调递增. ③eq \f(f(x1)-f(x2),x1-x2)<0 f(x)在D上单调递减. ④(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0 f(x)在D上单调递减. (3)利用已知函数的单调性. 【解析】 (1)y=|x2-3x+2|=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2-3x+2(x≤1或x≥2),,-(x2-3x+2)(1<x<2).)) 作出函数图象如图所示. 根据图象,可知单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,\f(3,2)))和[2,+∞), 单调递减区间是(-∞,1]和eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2),2)). (2)y=eq \f(2-x,x+3). 【解析】 (2)y=eq \f(2-x,x+3)=-eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(5,x+3)))=-1+eq \f(5,x+3). 方法一(图象法):作出函数的大致图象如图所示, 得函数的单调递减区间是(-∞,-3)和(-3,+∞), 无单调递增区间. 方法二(利用已知函数的单调性):y=eq \f(2-x,x+3)的图象是由y=eq \f(5,x)的图象先向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度得到的, ∵y=eq \f(5,x)在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减, ∴y=eq \f(2-x,x+3)在(-∞,-3)和(-3,+∞)上单调递减, 即函数y=eq \f(2-x,x+3)的单调递减区间是(-∞,-3)和(-3,+∞),无单调递增区间. 写出下列函数的单调区间. (1)y=eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x-\f(3,2))); 【解析】 (1)单调递减区间是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(-∞,\f(3,2))),单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2),+∞)). (2)y=eq \f(2x+4,x-2); 【解析】 (3)单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(1,2))),单调递减区间是(-∞,0],eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),+∞)). (3)记住几条常用的结论: ①函数y=-f(x)与函数y=f(x)的单调性相反. ②当f(x)恒为正或恒为负时,函数y=eq \f(1,f(x))与函数y=f(x)的单调性相反. ③在公共区间内:单调递增+单调递增=单调递增, 单调递增-单调递减=单调递增. 函数 单调递增区间 单调递减区间 y=kx+b (k≠0) k>0 (-∞,+∞) 无 k<0 无 (-∞,+∞) y=ax2+ bx+c (a≠0) a>0 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(b,2a),+∞)) eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(-∞,-\f(b,2a))) a<0 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(-∞,-\f(b,2a))) eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(b,2a),+∞)) y=eq \f(k,x) (k≠0) k>0 无 (-∞,0),(0,+∞) k<0 (-∞,0),(0,+∞) 无 y=eq \r(x) [0,+∞) 无 讨论函数f(x)=eq \f(ax,x2-1)在(-1,1)上的单调性,其中a为非零常数. 【解析】∀x1,x2∈(-1,1),且x1<x2, 则f(x2)-f(x1)=eq \f(ax2,x\o\al(2,2)-1)-eq \f(ax1,x\o\al(2,1)-1)=eq \f(a(x1x2+1)(x1-x2),(x\o\al(2,1)-1)(x\o\al(2,2)-1)), 因为-1<x1<x2<1, 所以x1x2+1>0,x1-x2<0,xeq \o\al(2,1)-1<0,xeq \o\al(2,2)-1<0. 当a>0时,f(x2)-f(x1)<0,即f(x1)>f(x2), 故f(x)在(-1,1)上单调递减; 当a<0时,f(x2)-f(x1)>0,即f(x1)<f(x2), 故f(x)在(-1,1)上单调递增. $