第13章 统计（高效培优单元测试·强化卷）数学沪教版2020必修第三册

第13章 统计（高效培优单元测试·强化卷） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．在对某中学高一年级学生体重（单位：kg）的调查中，按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取部分学生进行测量，已知抽取的男生有50人，其体重的平均数和方差分别为54，20，抽取的女生有40人，其体重的平均数和方差分别为45，11，则估计该校高一年级学生体重的方差为 ． （参考公式：已知总体分为两层，各层的样本量，平均数，方差分别为m，，；n，，，记总的样本平均数和样本方差为，，其中． 2．已知一组数据的平均数和方差均为1.若，则数据的方差为 . 3．现需要对某种疫苗进行检测，从800支疫苗中抽取60支进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800支按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第7行第10列的数开始向右读，依次读取三位数，则得到的第4个样本个体的编号是 .（下面摘取了随机数表第7行至第9行） 84 42 17 53 31  57 24 55 06 88  77 04 74 47 67  21 76 33 50 25  83 92 12 06 76 63 01 63 78 59  16 95 56 67 19  98 10 50 71 75  12 86 73 58 07  44 39 52 38 79 33 21 12 34 29  78 64 56 07 82  52 42 07 44 38  15 51 00 13 42  99 66 02 79 54 4．第33届夏季奥运会在巴黎顺利举行，某校为此举办了一次以巴黎奥运会为主题的知识竞赛，其中高一年级某班的8名参赛学生的成绩（单位：分）分别为：88，92，91，91，94，95，89，96，则这8名学生成绩的方差为 . 5．某商场为优化服务，对顾客做满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分）．现随机抽取了其中个数据，依次为，则这组数据的第百分位数是 ． 6．某校高一年级名同学在一次数学测验中成绩(百分制，均为整数)的频率分布直方图如图，则成绩在之间的学生人数为 ．    7．某汽车4店欲通过分层随机抽样了解、、三个小区居民对新能源汽车的购买意愿．已知这三个小区的人口分别为1200人、800人、500人，若总样本量为100人，则应从小区抽取 人． 8．从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数，这个试验的样本空间Ω＝ . 9．已知甲、乙两组数据按从小到大排序后如下： 甲：27，m，39； 乙：n，32，34，38. 若这两组数据的中位数相同，平均数也相同，则 . 10．某工厂对新设备进行调试，已知第一次调试后生产的前10件产品的某项指标值的平均值（单位：mm）为98，方差为1．为测试其稳定性，将设备断电重启后再生产5件产品，已知这5件产品的该项指标值分别为100，101，103，102，99，至此第一次调试结束．则第一次调试后生产的所有产品的该项指标值的平均值为 ，方差为 ． 11．在一次人才招聘会上，有一家公司的招聘员告诉你，“我们公司的收入水平很高”“去年，在名员工中，最高年收入达到了万，员工年收入的平均数是万”，而你的预期是获得万元年薪，下列判断中，正确的判断的个数是 个． （1）年薪为万元的员工在这家公司算高收入者； （2）如果招聘员继续告诉你，“员工年收入的变化范围是从万到万”，那么这个信息能使你作出自己是否受聘的决定； （3）如果招聘员继续给你提供了如下信息，员工收入的第一四分位数为万，第三四分位数为万，则这条信息能使你作出自己是否受聘的决定； （4）根据（3）中招聘员提供的信息，估计平均数比中位数高． 12．有如下说法： ①为了解西青区高中年级全体学生每天综合体育活动时间情况，现只抽取某校高一年级学生每天综合体育活动时间的情况作为样本，这样的抽样方式是合理的； ②为了治疗某种病毒，研制出一种新疫苗，希望知道新疫苗是否有效，为此进行动物实验.实验室的笼子里有100只小白鼠，现要从中抽取10只作实验用，将笼里的100只小白鼠按1～100编号，任意选出编号范围内的10个不重复数字，把相应编号的小白鼠作为实验用的小白鼠，以上抽样方法为简单随机抽样； ③若在一次实验中，事件A的发生的概率为，则重复做100次这样的试验，事件A恰好发生1次； ④在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道数据，只知道抽取了男生24人，其平均身高为；抽取女生26人，其平均身高为. 根据以上数据估计树人中学高一年级全体学生平均身高为. 其中结论正确的序号为 . 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．若一组样本数据的平均数为2，方差为4，则数据，的平均数和方差分别为（   ） A． B． C． D． 14．某班20名学生的某次物理测验成绩（单位：分）分别为.记这20名学生此次物理测验成绩的第70百分位数为，这20名学生中此次物理测验成绩不低于分的学生有人，现从这人中随机抽取2人，则这2人中恰有1人此次物理测验成绩高于90分的概率是（    ） A． B． C． D． 15．如图的框线图显示某班学生在一次考试中得分（以分为单位）的分布．在该考试中，俊邦获得最低得分，而颖怡的得分等于该分布的下四分位数．若俊邦在该考试的标准分是及该分布的标准偏差是8分，则颖怡在该考试的标准分是（　　） A． B． C．1 D．1.25 16．设、及分别为某组数的平均数、分布域（极差）及方差，而、及分别为这组数的平均数、分布域（极差）及方差．下列何者必为正确？（　　） I． II． III． A．只有I及II B．只有I及III C．只有II及III D．I、II及III 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．某班级有50名学生，现在发起自愿订阅语文、数学、英语资料的活动，已知订阅语文资料的学生有名，订阅数学资料的学生有名，订阅英语资料的学生有名，且.从50名学生中随机抽取一名学生，记“订阅了语文资料”，“订阅了数学资料”，“订阅了英语资料”，. (1)若，，，求这三个数据的平均数和方差； (2)若，，求的最大值； (3)求的最小值.（参考公式：对于随机事件A，B，C有 18．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求频率分布直方图中a的值与样本成绩的平均数、中位数； (2)在样本答卷成绩为，，的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13人，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少人？ (3)若落在的平均成绩是57，方差是2，落在的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数和总方差． 参考公式：其中为总样本平均数． 19．某社区组织了以“奔向幸福，‘毽’步如飞”为主题的踢毽子比赛活动，初赛结束后有甲、乙两个代表队进入决赛，已知每队有5名队员，按团体总数排列名次，在规定时间内每人踢100个以上（含100）为优秀.下表是两队各队员的比赛成绩. 1号 2号 3号 4号 5号 总数 甲队 103 102 98 100 97 500 乙队 97 99 100 96 108 500 经统计发现两队5名队员踢毽子的总个数相等，按照比赛规则，两队获得并列第一. 学习统计知识后，我们可以通过考查数据中的其它信息作为参考，进行综合评定： (1)甲、乙两队的优秀率分别为_____________、________________； (2)甲队比赛数据的中位数为___________个；乙队比赛数据的中位数为__________个； (3)分别计算甲、乙两队比赛数据的方差； (4)根据以上信息，你认为综合评定哪一个队的成绩好？简述理由. 20．某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有n人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值，并根据频率分布直方图，估计这n人的平均年龄和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者.若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率. 21．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值； (2)求样本成绩的众数，中位数和平均数； (3)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差. 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13章 统计（高效培优单元测试·强化卷） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．在对某中学高一年级学生体重（单位：kg）的调查中，按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取部分学生进行测量，已知抽取的男生有50人，其体重的平均数和方差分别为54，20，抽取的女生有40人，其体重的平均数和方差分别为45，11，则估计该校高一年级学生体重的方差为 ． （参考公式：已知总体分为两层，各层的样本量，平均数，方差分别为m，，；n，，，记总的样本平均数和样本方差为，，其中． 【答案】 【分析】根据题意，求得总体的平均数，结合分层抽样的方差的计算公式，即可求解. 【详解】根据题意，抽取的男生有50人，其体重的平均数和方差分别为54，20， 抽取的女生有40人，其体重的平均数和方差分别为45，11， 则总体的平均数为， 则高三年级学生体重的方差为 . 故答案为：. 2．已知一组数据的平均数和方差均为1.若，则数据的方差为 . 【答案】/ 【分析】根据一组数据的平均数和方差公式以及性质即可求解. 【详解】数据的平均数和方差均为1， 则 则数据的平均数为， 数据的方差为，即， 所以数据的平均数为1， 所以数据的方差为 . 故答案为： 3．现需要对某种疫苗进行检测，从800支疫苗中抽取60支进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800支按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第7行第10列的数开始向右读，依次读取三位数，则得到的第4个样本个体的编号是 .（下面摘取了随机数表第7行至第9行） 84 42 17 53 31  57 24 55 06 88  77 04 74 47 67  21 76 33 50 25  83 92 12 06 76 63 01 63 78 59  16 95 56 67 19  98 10 50 71 75  12 86 73 58 07  44 39 52 38 79 33 21 12 34 29  78 64 56 07 82  52 42 07 44 38  15 51 00 13 42  99 66 02 79 54 【答案】704 【分析】根据随机数表读取编号的方法，即可求得答案. 【详解】按照所给随机数表，依次读取的个体编号为157，245，506，704， 所以得到的第4个样本个体的编号是704. 故答案为：704 4．第33届夏季奥运会在巴黎顺利举行，某校为此举办了一次以巴黎奥运会为主题的知识竞赛，其中高一年级某班的8名参赛学生的成绩（单位：分）分别为：88，92，91，91，94，95，89，96，则这8名学生成绩的方差为 . 【答案】7 【分析】由方差计算公式可得答案. 【详解】由题可得数据平均数为：. 则方差为：. 故答案为：7 5．某商场为优化服务，对顾客做满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分）．现随机抽取了其中个数据，依次为，则这组数据的第百分位数是 ． 【答案】/ 【分析】先求出第百分位数的位置，再根据位置确定对应的数值． 【详解】对于个数据，第百分位数的位置为，， 第百分位数的位置为：， 又该调查数据升序排列为：， 第3个数据是，第4个数据是， 第百分位数为：． 故答案为：． 6．某校高一年级名同学在一次数学测验中成绩(百分制，均为整数)的频率分布直方图如图，则成绩在之间的学生人数为 ．    【答案】5 【分析】由频率分布直方图可得，据此可估计大致人数. 【详解】 所以成绩在之间的学生人数为. 故答案为：5 7．某汽车4店欲通过分层随机抽样了解、、三个小区居民对新能源汽车的购买意愿．已知这三个小区的人口分别为1200人、800人、500人，若总样本量为100人，则应从小区抽取 人． 【答案】20 【分析】根据分层抽样计算求解. 【详解】4店欲通过分层随机抽样了解、、三个小区居民对新能源汽车的购买意愿． 这三个小区的人口分别为1200人、800人、500人， 若总样本量为100人，则应从小区抽取人． 故答案为：. 8．从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数，这个试验的样本空间Ω＝ . 【答案】 【分析】取出的4件产品中，最多有4件次品，最少是没有次品，由此能求出样本空间. 【详解】取出的4件产品中，最多有4件次品，最少是没有次品， 所以样本空间. 故答案为：. 9．已知甲、乙两组数据按从小到大排序后如下： 甲：27，m，39； 乙：n，32，34，38. 若这两组数据的中位数相同，平均数也相同，则 . 【答案】/ 【分析】根据中位数和平均数的定义，即可求解. 【详解】因为两组数据的中位数相同，所以， 因为两组数据的平均数相同，所以， 解得，故. 故答案为： 10．某工厂对新设备进行调试，已知第一次调试后生产的前10件产品的某项指标值的平均值（单位：mm）为98，方差为1．为测试其稳定性，将设备断电重启后再生产5件产品，已知这5件产品的该项指标值分别为100，101，103，102，99，至此第一次调试结束．则第一次调试后生产的所有产品的该项指标值的平均值为 ，方差为 ． 【答案】 99 【分析】由平均数公式即可求解第一空；根据方差的定义可求解第二空. 【详解】设15件产品的编号为，其中，，，，， 且，， 故平均值； 因为，所以， 即， 则，所以， 方差． 故答案为：99；. 11．在一次人才招聘会上，有一家公司的招聘员告诉你，“我们公司的收入水平很高”“去年，在名员工中，最高年收入达到了万，员工年收入的平均数是万”，而你的预期是获得万元年薪，下列判断中，正确的判断的个数是 个． （1）年薪为万元的员工在这家公司算高收入者； （2）如果招聘员继续告诉你，“员工年收入的变化范围是从万到万”，那么这个信息能使你作出自己是否受聘的决定； （3）如果招聘员继续给你提供了如下信息，员工收入的第一四分位数为万，第三四分位数为万，则这条信息能使你作出自己是否受聘的决定； （4）根据（3）中招聘员提供的信息，估计平均数比中位数高． 【答案】 【分析】根据平均收入、最高收入之间的关系可判断（1）；根据中位数的定义可判断（2）；根据百分位数的定义可判断（3）；根据中位数与极端值的关系可判断（4）. 【详解】（1）正确：因为平均收入和最高收入相差太大，说明高收入的员工占极少数， 现在已经知道至少有一个人的年收入为万元， 那么其他员工的年收入之和为（万元）， 每人平均收入约万元． 如果再有几个收入特别高的，那么公司其它的员工的收入将会更低， 所以能认为年薪为万元的员工在这家公司算高收入者； （2）不正确：不能作出是否受聘的决定，要看中位数是多少； （3）正确：可以确定有的员工年收入在万元以上，其中的员工年收入在万元以上． （4）正确：收入的中位数大约是万元，因为受年收入万元这个极端值的影响，所以平均数比中位数高很多． 故答案为：. 12．有如下说法： ①为了解西青区高中年级全体学生每天综合体育活动时间情况，现只抽取某校高一年级学生每天综合体育活动时间的情况作为样本，这样的抽样方式是合理的； ②为了治疗某种病毒，研制出一种新疫苗，希望知道新疫苗是否有效，为此进行动物实验.实验室的笼子里有100只小白鼠，现要从中抽取10只作实验用，将笼里的100只小白鼠按1～100编号，任意选出编号范围内的10个不重复数字，把相应编号的小白鼠作为实验用的小白鼠，以上抽样方法为简单随机抽样； ③若在一次实验中，事件A的发生的概率为，则重复做100次这样的试验，事件A恰好发生1次； ④在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道数据，只知道抽取了男生24人，其平均身高为；抽取女生26人，其平均身高为. 根据以上数据估计树人中学高一年级全体学生平均身高为. 其中结论正确的序号为 . 【答案】②④ 【分析】由抽样、简单随机抽样的概念、独立重复试验的概率公式、分层抽样的概念分别判断各说法． 【详解】①只抽取高一年级学生就不合理，同样只抽取一个学校的数据也不合理，因此不合理； ②根据简单随机抽样的概念，正确； ③事件A发生概率为，重复做100次试验，“事件A恰好发生1次” 的概率较大，但不是必然发生，只是一种可能结果，实际试验中，事件A发生次数是随机的，可能0次、1次、2次等 ，错误； ④由分随机抽样知平均身高约为，正确， 故答案为：②④ 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．若一组样本数据的平均数为2，方差为4，则数据，的平均数和方差分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得，，再利用平均数和方差公式可求得结果. 【详解】因为一组样本数据的平均数为2，方差为4， 则，可得，方差为，可得， 因此，对于数据， 平均数为， 方差为 ． 故选：A． 14．某班20名学生的某次物理测验成绩（单位：分）分别为.记这20名学生此次物理测验成绩的第70百分位数为，这20名学生中此次物理测验成绩不低于分的学生有人，现从这人中随机抽取2人，则这2人中恰有1人此次物理测验成绩高于90分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据百分位数的定义求，再确定6人中的成绩分布，应用列举法求古典概率即可. 【详解】因为，所以分， 所以这20名学生中物理测验成绩不低于分的学生有6人， 其中有3人此次物理测验的成绩不高于90分，记为， 有3人此次物理测验的成绩高于90分，记为， 现从这6人中随机抽取2人的情况有，共15种， 其中这2人中恰有1人此次物理测验成绩高于90分的情况有，共9种， 故所求概率. 故选：D 15．如图的框线图显示某班学生在一次考试中得分（以分为单位）的分布．在该考试中，俊邦获得最低得分，而颖怡的得分等于该分布的下四分位数．若俊邦在该考试的标准分是及该分布的标准偏差是8分，则颖怡在该考试的标准分是（　　） A． B． C．1 D．1.25 【答案】B 【分析】利用标准分公式结合题意求解即可. 【详解】设均值为，由题意得俊邦的标准分是及该分布的标准偏差是8分， 则，解得，而颖怡的原始分为， 则颖怡在该考试的标准分是，故B正确. 故选：B 16．设、及分别为某组数的平均数、分布域（极差）及方差，而、及分别为这组数的平均数、分布域（极差）及方差．下列何者必为正确？（　　） I． II． III． A．只有I及II B．只有I及III C．只有II及III D．I、II及III 【答案】A 【分析】由平均数、分布域（极差）和方差的计算公式即可判断. 【详解】假设， 则中，最小，最大， 则， ， ，I对； ，II对； ，III错， 故选：A 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．某班级有50名学生，现在发起自愿订阅语文、数学、英语资料的活动，已知订阅语文资料的学生有名，订阅数学资料的学生有名，订阅英语资料的学生有名，且.从50名学生中随机抽取一名学生，记“订阅了语文资料”，“订阅了数学资料”，“订阅了英语资料”，. (1)若，，，求这三个数据的平均数和方差； (2)若，，求的最大值； (3)求的最小值.（参考公式：对于随机事件A，B，C有 【答案】(1)平均数15，方差6 (2) (3). 【分析】（1）根据平均数与方差的概念进行计算. （2）根据古典概型概率计算公式计算可得. （3）根据和事件的概率公式继续计算即可. 【详解】（1）易得这三个数据的平均数， 方差. （2）依题意，同时订阅了三种资料的有人. 设订阅了数学和英语的有人，减去其中订阅了语文的人数，所以满足的人数有人. 显然不能为负数，所以，且.所以. 故的最大值为. （3）依题意有 ， 所以， 即， 因为总共买了三种资料的有一人， , 由于， 故， 所以所有买了资料的同学至多有人， 从而，所以. 当仅有一人买了三种资料，其余所有人均只买一种资料或不买资料时取得最小值. 18．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求频率分布直方图中a的值与样本成绩的平均数、中位数； (2)在样本答卷成绩为，，的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13人，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少人？ (3)若落在的平均成绩是57，方差是2，落在的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数和总方差． 参考公式：其中为总样本平均数． 【答案】(1)，平均数74，中位数为75 (2)6人 (3)总平均数65，总方差36 【分析】（1）利用频率之和为结合频率分布直方图列式求出，根据平均数、中位数的计算公式计算即可； （2）利用频率分布直方图求出成绩为，，的市民人数，再根据分层抽样的概念求解即可； （3）先利用频率分布直方图求出和的市民人数，再根据平均数和方差公式计算求解即可. 【详解】（1）由频率之和为结合频率分布直方图可得， 解得， 样本成绩的平均数约为． 区间，，的频率分别为． 因为， 的频率为，故中位数位于内 设中位数为x，则， 解得x＝75； （2）由频率分布直方图知，样本答卷成绩在，，的三组市民有（人）， 其中样本答卷成绩在的市民人数为， 用分层抽样的方法应从答卷成绩在的市民中抽取（人）． （3）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 所以总平均数， 总方差. 19．某社区组织了以“奔向幸福，‘毽’步如飞”为主题的踢毽子比赛活动，初赛结束后有甲、乙两个代表队进入决赛，已知每队有5名队员，按团体总数排列名次，在规定时间内每人踢100个以上（含100）为优秀.下表是两队各队员的比赛成绩. 1号 2号 3号 4号 5号 总数 甲队 103 102 98 100 97 500 乙队 97 99 100 96 108 500 经统计发现两队5名队员踢毽子的总个数相等，按照比赛规则，两队获得并列第一. 学习统计知识后，我们可以通过考查数据中的其它信息作为参考，进行综合评定： (1)甲、乙两队的优秀率分别为_____________、________________； (2)甲队比赛数据的中位数为___________个；乙队比赛数据的中位数为__________个； (3)分别计算甲、乙两队比赛数据的方差； (4)根据以上信息，你认为综合评定哪一个队的成绩好？简述理由. 【答案】(1)60%，40%； (2)100；99； (3)；18 (4)甲队的成绩好，理由见解析 【分析】（1）根据甲队和乙队每人踢100个以上(含100)的人数，除以总人数，即可求出甲乙两队的优秀率； （2）根据中位数的定义先把数据从小到大排列，找出最中间的数即可； （3）根据平均数的计算公式先求出甲和乙的平均数，再根据方差公式进行计算即可； （4）分别从甲和乙的优秀率、中位数、方差，进行比较，即可得出答案. 【详解】（1）甲队的优秀率为：， 乙队的优秀率为：. 故答案为：；. （2）甲队5名队员比赛成绩按从小到大的顺序排列为：97，98，100，102，103， 所以甲队比赛数据的中位数为100； 乙队5名队员比赛成绩按从小到大的顺序排列为：96，97，99，100，108， 所以乙队比赛数据的中位数为99. 故答案为：100；99. （3）甲、乙两队比赛数据的平均数均为（个） . . （4）综合评定甲队的成绩好，理由如下： 因为甲队的优秀率比乙队高；甲队的中位数比乙队大；甲队的方差比乙队低，比较稳定，综合评定甲队比较好. 20．某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有n人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值，并根据频率分布直方图，估计这n人的平均年龄和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者.若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率. 【答案】(1)，平均年龄为31.75；中位数为31 (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图频率的性质即可求出，再利用平均数和中位数的公式即可求解； （2）列举出所有的情况，再根据古典概型公式可得. 【详解】（1）由题意有：，解得，                  设这n人的平均年龄为， 则， 由于前2组的频率为， 前3组的频率为， 则中位数在，设中位数为， 则，解得，则中位数为31. （2）由题意得，按照分层抽样第四组应抽取人，记为（甲），，，， 第五组抽取人，记为（乙），， 对应的样本空间的样本点为： ，共包含15个等可能的样本点， 设事件为“甲、乙两人至少一人被选上”， 则，共包含9个等可能的样本点， 所以. 即甲、乙两人至少有一人被选上的概率为.. 21．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值； (2)求样本成绩的众数，中位数和平均数； (3)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差. 【答案】(1)； (2)众数为75，中位数为75，平均数为74； (3)平均数为62，方差为37. 【分析】（1）根据频率和为1求得； （2）根据直方图，及众数、中位数、平均数求法求值； （3）根据已知求样本总均值，再由总方差公式求样本总方差. 【详解】（1）由每组小矩形的面积之和为1，得，解得； （2）由，得样本成绩的众数为75， 成绩落在内的频率为， 成绩落在内的频率为， 故中位数在内，由，得样本成绩的中位数为75， 由， 得样本成绩的平均数为74； （3）由频率分布直方图知，成绩在的样本数为， 成绩在的样本数为， 所以， 总方差为. 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $