第11讲 统计（4个知识点+8种必考题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（沪教版2020必修第三册）

第11讲 统计 1.了解随机抽样的必要性和重要性；理解随机抽样的目的和基本要求；理解简单随机抽样中的抽签法、随机数法；掌握用样本平均数估计总体平均数的方法． 2.理解分层随机抽样的概念；掌握用分层随机抽样从总体中抽取样本；掌握两种抽样的区别与联系． 3.知道获取数据的基本途径，包括统计报表和年鉴、社会调查、试验设计、普查和抽样、互联网等． 4.结合实例，能用样本估计百分位数；理解百分位数的统计含义． 5.会求样本数据的众数、中位数、平均数；理解用样本的数字特征、频率分布直方图估计总体的集中趋势． 6.理解方差、标准差的含义，会计算方差和标准差；掌握求分层随机抽样总样本的平均数及方差的方法． 知识点01 统计中的相关概念 总体 一般地，在获取数据时，我们把所考察对象(某一项指标的数据)的全体叫作总体 个体 把组成总体的每一个考察对象叫作个体 样本 从总体中所抽取的一部分个体叫作总体的一个样本 样本容量 样本中个体的数目叫作样本容量 【即学即练1】从某公司600名员工中抽取20名进行体重的统计分析，下列说法正确的是（　　） A．600名员工是总体 B．每个被抽查的员工是个体 C．抽取的20名员工的体重是一个样本 D．抽取的20名员工的体重是样本容量 【答案】C 【分析】根据统计中样本，总体及样本容量的概念进行判断. 【详解】本题抽取的是20名员工的体重，因此600名员工的体重是总体， 每个员工的体重是个体，这20名员工的体重构成一个样本，样本容量为20. 故ABD错误，C正确； 故选：C. 知识点02 简单随机抽样 1. 抽签法 用抽签法从个体个数为N的总体中抽取一个容量为k的样本的步骤： (1)将总体中的N个个体编号； (2)将这N个号码写在形状、大小相同的号签上； (3)将号签放在同一箱中，并搅拌均匀； (4)从箱中每次抽出1个号签，连续抽取k次； (5)将总体中与抽到的号签的编号一致的k个个体取出. 2. 随机数表法 (1)相关概念 制作一个表，这个表由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字组成，表中任一位置出现任一数字的概率相同，且不同位置的数字之间是独立的. 这样的表称为随机数表，其中的每个数都称为“随机数”. 于是，我们只要按一定的规则从随机数表中选取号码就可以了. 这种抽样方法叫作随机数表法. (2)用随机数表法抽取样本的步骤 ①对总体中的个体编号(每个号码位数一致). ②在随机数表中任选一个数. ③从选定的数开始按一定的方向读下去，若得到的号码在编号中，则取出；若得到的号码不在编号中或前面已经取出，则跳过. 如此继续下去，直到取满为止. ④根据选定的号码抽取样本. 3. 简单随机抽样 一般地，从个体数为N的总体中逐步不放回地取出n个个体作为样本(n<N)，如果每个个体都有相同的机会被取到，那么这样的抽样方法称为简单随机抽样. 抽签法和随机数表法都是简单随机抽样. 【即学即练2】（2024春•长宁区校级月考）现利用随机数表法从编号为00，01，02，，18，19的20支水笔中随机选取6支，选取方法是从下列随机数表第1行的第9个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6支水笔的编号为　　 95226000 49840128 66175168 39682927 43772366 27096623 92580956 43890890 06482834 59741458 29778149 64608925 A．14 B．08 C．09 D．06 【分析】根据随机数表法的读取规则，即可求解． 【解答】解：依次选出的编号为：01，17，09，08，06，14； 则选出来的第6支水笔的编号为14． 故选：． 【点评】本题考查随机数表法的读取规则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 知识点03 分层抽样 1. 定义 一般地，当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使样本更客观地反映总体情况，我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几个部分，然后按各个部分在总体中所占的比实施抽样，这种抽样方法叫作分层抽样，所分成的各个部分称为“层”. 2. 步骤 (1)将总体按一定标准分层； (2)计算各层的个体数与总体的个体数的比； (3)按各层的个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量； (4)在每一层进行抽样(可用简单随机抽样). 3. 特点 (1)适用于总体由差异明显的几部分组成的情况； (2)按比例确定各层应抽取个体的个数； (3)在每一层进行抽样时，可采用简单随机抽样的方法； (4)分层抽样能充分利用已掌握的信息，使样本具有良好的代表性； (5)分层抽样也是等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都是，而且在每层抽样时，可以根据个体情况采用不同的抽样方法. 【即学即练3】（2023秋•长宁区校级期末）①植物根据植株的高度及分枝部位等可以分为乔木、灌木和草木三大类，某植物园需要对其园中的不同植物的干重（烘干后测定的质量）进行测量；②检测员拟对一批新生产的1000箱牛奶抽取10箱进行质量检测；上述两项调查应采用的抽样方法是　　 A．①用简单随机抽样，②用分层随机抽样 B．①用简单随机抽样，②用简单随机抽样 C．①用分层随机抽样，②用简单随机抽样 D．①用分层随机抽样，②用分层随机抽样 【分析】根据已知条件，结合简单随机抽样、分层随机抽样的特点，即可求解． 【解答】解：①乔木、灌木和草木分类明显，①适合用分层随机抽样， ②样本容量较小，且分类不明显，②适合用简单随机抽样． 故选：． 【点评】本题主要考查简单随机抽样、分层随机抽样的特点，属于基础题． 知识点04 百分位数 1. 一般地，一组数据的k百分位数是这样一个值pk，它使得这组数据中至少有k%的 数据小于或等于pk，且至少有(100-k)%的数据大于或等于pk. 如果将样本数据从小到大排列成一行，那么k百分位数pk所处位置如图所示. 2. 四分位数：中位数即为50百分位数，我们也把中位数、25百分位数和75百分位数称为四分位数. 【即学即练4】（2024•黄浦区校级模拟）样本数据20，24，6，15，18，10，42，57，2的第25百分位数为 　　． 【分析】根据百分位数的求法计算即可求解． 【解答】解：将样本数据从小到大排列为2，6，10，15，18，20，24，42，57，则， 所以第25百分位数为第3个数，即10． 故答案为：10． 【点评】本题主要考查百分位数的定义，是基础题． 题型一．简单随机抽样 1．（2023秋•长宁区校级期末）已知一个总体含有个个体，要用简单随机抽样方法从中抽取一个个体，则在抽样过程中，每个个体被抽取的概率　　 A．变小 B．变大 C．相等 D．无法确定 【分析】结合简单抽样的定义可知，即可求解． 【解答】解：由简单随机抽样方法的定义可知，在抽样过程中，每个个体被抽取的概率相等． 故选：． 【点评】本题主要考查简单抽样的定义，是基础题． 2．（2022秋•浦东新区校级期末）从个个体中抽取个个体作为样本，先确定抽样间隔，即抽样间距为不大于的整数，从第一段1，2，，这个号码中随机地抽取一个号码为的个体，则号码为，，，，的个体构成样本，所以每个个体入样的可能性　　 A．与有关 B．与编号有关 C．不一定相等 D．相等 【分析】结合系统抽样求解即可． 【解答】解：由题意可得，这类抽样为系统抽样， 又系统抽样与简单随机抽样一样，都是等概率抽样，它是客观的，公平的， 故选：． 【点评】本题考查了系统抽样，属基础题． 3．（2023秋•黄浦区校级月考）为了解黄浦区全体高二学生“小三门”的选科情况，区教育局共联络了950名黄浦区在读高二学生进行调查，在这项调查中，样本量是 　950　． 【分析】根据样本量的定义即可求解． 【解答】解：由题意可知样本量为：950． 故答案为：950． 【点评】本题考查了简单随机抽样的基本知识，属于基础题． 4．（2023秋•嘉定区校级期末）总体是由编号为01，02，，29，30的30个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 　19　． 【分析】根据随机数表选取编号的方法求解即可． 【解答】解：随机数表第1行的第5列和第6列数字为15，则选取的5个个体依次为：15，08，02，16，19，故选出来的第5个个体的编号为19． 故答案为：19． 【点评】本题考查随机数表选取编号的方法，属于基础题． 题型二．分层随机抽样 5．（2023秋•松江区校级期末）某校读书节期间，共120名同学获奖（分金、银、铜三个等级），从中随机抽取24名同学参加交流会，若按高一、高二、高三分层随机抽样，则高一年级需抽取6人；若按获奖等级分层随机抽样，则金奖获得者需抽取4人．下列说法正确的是　　 A．高二和高三年级获奖同学共80人 B．获奖同学中铜奖所占比例一定最低 C．获金奖的同学可能都在高一年级 D．获奖同学中金奖所占比例可能最高 【分析】直接根据分层抽样的比例关系计算得到答案． 【解答】解：对选项：高二和高三年级获奖同学共，错误； 对选项：不能确定银奖和铜奖的人数，错误； 对选项：高一年级人数为30，金奖人数为20，故获金奖的同学可能都在高一年级，正确． 对选项：金奖人数为，银奖和铜奖的人数和为100人， 故获奖同学中金奖所占比例不可能最高，错误； 故选：． 【点评】本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题． 6．（2021秋•青浦区校级期末）某中学高三年级共有学生1600人，为了解他们的身体状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本，若样本中共有男生12人，则该校高三年级共有女生　　 A．1260 B．1230 C．1120 D．1140 【分析】利用分层抽样的性质直接求解． 【解答】解：高三年级共有学生1600人， 按性别用分层抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本， 样本中共有男生12人， 则高三年级的女生人数约为：． 故选：． 【点评】本题考查概率的求法，考查分层抽样等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 7．（2023秋•嘉定区校级期末）某校从高二女生中随机抽取了一个容量为20的身高样本，数据从小到大排序如下（单位：、155、158、164、164、165、165、165、166、167、168、168、169、170、170、170、171、、176、178，若样本数据的90百分位数是175，则的值为 　174　． 【分析】结合百分位数的定义，即可求解． 【解答】解：， 样本数据的90百分位数是175， 则，解得． 故答案为：174． 【点评】本题主要考查百分位数的定义，属于基础题． 8．（2023秋•闵行区校级期末）某大学共有教师1000人，其中教授、副教授、讲师、助教的人数比为，现用分层抽样的方法从全校所有教师中抽取一个容量为40的样本，讲师应抽取的人数为 　12　． 【分析】根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解． 【解答】解：用分层抽样的方法从全校所有教师中抽取一个容量为40的样本， 则讲师应抽取的人数为：． 故答案为：12． 【点评】本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题． 9．（2023秋•宝山区校级期末）某新学校高一、高二、高三共有学生950名，为了了解同学们的兴趣爱好，计划采用分层抽样的方法，从这950名学生中抽取一个样本容量为190的样本，若从高一、高二、高三抽取的人数恰好组成一个以为公比的等比数列，则此学校高一年级的学生人数为 　450　人． 【分析】假设高一、高二、高三抽取人数分别为，根据抽取的容量可得，然后简单计算，即可得到高一人数． 【解答】解：因为高一、高二、高三抽取的人数恰好组成一个以为公比的等比数列， 设从高二年级抽取的学生人数为人， 则从高二、高三年级抽取的人数分别为， 由题意可得，解得，， 设我校高一年级的学生人数为，再根据，求得． 故答案为：450． 【点评】本题主要考查分层抽样方法的应用，属于基础题． 10．（2023秋•黄浦区期末）某高中二年级共有学生425名，其中男生204名，女生221名，为了解该校高二年级学生的身高情况，从中抽取50名学生测量身高，若采用分层随机抽样的方法，则要抽取男生的人数为 　24　． 【分析】根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解． 【解答】解：由分层抽样的定义可知，要抽取男生的人数为：人． 故答案为：24． 【点评】本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题． 11．（2023秋•长宁区校级期末）从总体容量为的一批电子元件中抽取一个容量为30的样本，若每个电子元件被抽到的可能性为，则总体容量　200　． 【分析】根据已知条件，推得，解出，即可求解． 【解答】解：由题意可知，，解得． 故答案为：200． 【点评】本题主要考查简单随机抽样，属于基础题． 题型三．频率分布直方图 12．（2021秋•上海期末）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则样本容量和抽取的初中生中近视人数分别为　　 A．100，28 B．200，28 C．100，40 D．200，40 【分析】根据分层抽样法的定义解答题目 【解答】解：根据图1可得出学生的总人数为： ，样本容量为， 抽取的初中生人数为：， 根据图2得初中近视眼人数为：， 故选：． 【点评】本题目主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题目的关键，是基础题目． 13．（2022秋•长宁区月考）某地教育行政部门为了解“双减”政策的落实情况，在某校随机抽取了100名学生，调查他们课后完成作业的时间，根据调查结果绘制如图频率直方图，根据此频率直方图，下列结论中错误的是　　 A．估计校学生的平均完成作业的时间超过2.7小时 B．所抽取的学生中有25人在2小时至2.5小时之间完成作业 C．该校学生完成作业的时间超过3.5小时的概率估计为 D．估计该校有一半以上的学生完成作业的时间在2小时至3小时之间 【分析】对，根据直方图中平均数的公式计算，可判断；对，利用直方图中2小时至2.5小时之间的频率判断；对，计算超过3.5小时的频率可判断：对，计算做作业的时间在2小时至3小时之间的频率，可判断． 【解答】解：对，直方图可计算学生做作业的时间的平均数为： ，所以正确； 对，直方图中2小时至2.5小时之间的频率为，故所抽取的学生中有人在2小时至2.5小时之间完成作业，故正确； 对，由直方图得超过3.5小时的频率为，所以正确； 对，做作业的时间在2小时至3小时之间的频率为，所以错误． 故选：． 【点评】本题考查由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量，由频率分布直方图估计平均数，属于基础题． 14．（2021秋•青浦区校级期末）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成、两组，每组100只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如图直方图： 记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到（C）的估计值为0.70． （1）求乙离子残留百分比直方图中，的值； （2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）． 【分析】（1）由频率分布直方图的性质列出方程组，能求出乙离子残留百分比直方图中，． （2）利用频率分布直方图能估计甲离子残留百分比的平均值和乙离子残留百分比的平均值． 【解答】解：（1）为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”， 根据直方图得到（C）的估计值为0.70． 则由频率分布直方图得： ， 解得乙离子残留百分比直方图中，． （2）估计甲离子残留百分比的平均值为： ． 乙离子残留百分比的平均值为： ． 【点评】本题考查频率、平均值的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 题型四．频率分布折线图、密度曲线 15．（2021秋•徐汇区校级期中）如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天． （1）求此人在该市的两天中有空气重度污染的概率； （2）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明） （3）求这14天空气质量指数的第70百分位数． 【分析】（1）由古典概型的概率公式求解即可； （2）利用折线图的波动性，结合方差的意义，即可得到答案； （3）由百分位数的定义求解即可． 【解答】解：（1）根据题意，事件“此人在该市的两天中有空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日或5日或7日或8日”， 所以此人在该市的两天中有空气重度污染的概率为； （2）由图可知，从3月5日开始连续三天的空气质量指数波动最大，最不稳定， 所以从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大； （3）从小到大排列空气质量指数为： 25，37，40，57，79，86，86，121，143，158，160，160，217，220， 因为， 所以这14天空气质量指数的第70百分位数为158． 【点评】本题考查了折线图的应用，古典概型概率公式的应用，百分位数定义的理解与应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题． 题型五．用样本估计总体 16．（2023秋•浦东新区期末）某校有学生1800人，为了解学生的作业负担，学校向学生家长随机抽取了1000人进行调查，其中的家长回答他们孩子每天睡眠时间大致在小时，的家长回答他们孩子回家做作业的时间一般在小时，下列说明正确的是　　 A．总体是1000 B．个体是每一名学生 C．样本是1000名学生 D．样本容量是1000 【分析】根据已知条件，结合总体、个体、样本、样本容量的定义，即可求解． 【解答】解：总体是1800学生每天睡眠时间和作业时间，故错误； 个体是每一名学生每天睡眠时间和作业时间，故错误； 样本是1000名学生每天睡眠时间和作业时间，故错误； 样本容量是1000，故正确． 故选：． 【点评】本题主要考查统计的知识，属于基础题． 17．（2023秋•黄浦区校级月考）经过市场抽检，质检部门得知市场上食用油合格率为，经调查，某市市场上的食用油大约有80个品牌，则不合格的食用油品牌大约有　　 A．64个 B．640个 C．16个 D．160个 【分析】由题意，利用样本的数字特征估计总体的数字特征，从而得出结论． 【解答】解：由题意，市场上食用油不合格率为， 故不合格的食用油品牌大约有（个， 故选：． 【点评】本题主要考查用样本的数字特征估计总体的数字特征，属于基础题． 18．（2022秋•长宁区月考）为了了解某水库里大概有多少条鱼，先打捞出了1000条鱼，在鱼身上标记一个不会掉落的印记后放回水库，过一段时间后再次捕捞了200条鱼，发现其中5条鱼有印记．则这个水库里大概有 　40000　条鱼． 【分析】利用“捉放捉”原则即可求得这个水库里大概有40000条鱼． 【解答】解：设水库里大概有条鱼，则，解得． 故答案为：40000． 【点评】本题考查总体与样本的概念，属于基础题． 题型六．用样本估计总体的集中趋势参数 19．（2023秋•徐汇区校级期末）为调研某地空气质量，连续10天测得该地的日均值（单位为，依次为36，26，17，23，33，106，42，31，30，33，则下列四个结论中正确的个数为　　 ①前4天的极差大于后4天的极差； ②前4天的方差小于后4天的方差； ③这组数据的中位数为31或33； ④这组数据的第60百分位数与众数相同． A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】将数据按照从小到大的顺序排列，分别判断所给命题的真假． 【解答】解：①前4天的极差为，后4天的极差为， 显然，所以①正确； ②前4天的数据的平均数为， 方差， 后4天的数据平均数， 方差为， 所以前4天的方差大于后4天的方差，所以②不正确； 数据按从小到大的顺序为：17，23，26，30，31，33，33，36，42，106， ③这组数据的中位数为，所以③不正确； ④因为，所以这组数据的第60百分位数为从小到大顺序的第6和第7个数的平均数，即33， 众数是33，所以这组数据的第60百分位数和众数相同，所以④正确． 故选：． 【点评】本题考查统计中数据的求法，属于基础题． 20．（2023秋•宝山区校级期末）一组数据3，5，8，，11，15，18的平均数为10，则该数据的中位数是 　10　． 【分析】先利用平均数求，再求中位数即可． 【解答】解：因为3，5，8，，11，15，18的平均数为10， 所以，解得． 这组数据按照从小到大的顺序排列为：3，5，8，10，11，15，18， 该数据的中位数是10． 故答案为：10． 【点评】本题主要考查平均数公式，以及中位数的定义，属于基础题． 21．（2023秋•徐汇区期末）根据气象学上的标准，连续5天的日平均气温低于即为入冬．将连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，现有3组样本①，②，③，依次计算得到结果如下：①平均数且极差小于或等于3；②平均数且标准差；③众数等于5且极差小于或等于4，则3组样本中一定符合入冬指标的样本组号是 　①③　． 【分析】根据题意，由平均数和极差的定义分析①③，举出反例可得②不符合题意，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析三组数据： 对于①，假设有数据大于或等于10，由极差小于或等于3， 得到此数据中最小值为，此时数据的平均数必然大于7， 与矛盾，故假设错误， 此组数据全部小于10，一定符合入冬指标； 对于②，举反例：1，1，1，1，11，平均数，且标准差， 但不符合入冬指标； 对于③，众数为5，极差小于等于4， 则最大数不超过9，一定符合入冬指标． 故答案为：①③． 【点评】本题考查平均数，众数，极差，标准差等概念，注意平均数，众数，极差，标准差的计算公式，属于基础题． 22．（2023秋•徐汇区校级期末）某射击运动员连续射击5次，命中的环数（环数为整数）形成的一组数据中，中位数为8，唯一的众数为9，极差为3，则该组的平均数为 　7.8　． 【分析】首先分析数据的情况，再根据平均数公式计算即可． 【解答】解：这组数据共5个数，中位数为8，则从小到大排列时，8的前面有两个数， 后面也有两个数，又唯一的众数为9，则有两个9， 其余数字均只出现一次，则最大数字为9， 又极差为3，所以最小数字为6， 所以这组数据为6、7、8、9、9， 则平均数为， 故答案为：7.8． 【点评】本题考查平均数的定义，属于基础题． 23．（2023秋•杨浦区校级期末）为深入学习宣传党的二十大精神，某校开展了“奋进新征程，强国伴我行”二十大主题知识竞赛．其中高一年级选派了10名同学参赛，且该10名同学的成绩依次是：70，85，86，88，90，90，92，94，95，100．则下列说法正确的序号为 　①②④　．（写出全部正确的序号） ①中位数为90，平均数为89 ②极差为30，方差为58 ③70百分位数为92 ④去掉一个最低分和一个最高分，平均数变大，方差变小 【分析】根据题意，通过中位数、平均数、极差、方差、百分位数的计算，逐项判断即可． 【解答】解：对于①，10个分数从小到大进行排列后， 第5个和第6个数的平均值为，即中位数为90； 这10个数的平均值为， 所以命题①正确； 对于②，这10个数的极差为， 方差为， 所以命题②正确； 对于③，由于， 所以70百分位数是第7个数和第8个数的平均数，即， 所以命题③错误； 对于④，去掉一个最低分和一个最高分的平均数为，平均数变大， 方差为，方差变小， 所以命题④正确． 故答案为：①②④． 【点评】本题考查了中位数、平均数、极差、方差、百分位数的计算问题，是基础题． 24．（2022秋•徐汇区校级月考）由8个整数形成的样本数据中，至少有六个互不相同的整数，若平均数、中位数、唯一的众数和全距（即样本中最大数与最小数之差）都是8，则可能成为样本数据中的最大整数是 　12　． 【分析】根据平均数、中位数、唯一的众数和全距求得最大整数的值． 【解答】解：依题意，平均数中位数众数，所以偏态系数为0，数据分布对称， 因为存在众数且众数唯一， 所以可设这8个整数为，，，8，8，，，， 且， 所以，解得． 故答案为：12． 【点评】本题主要考查平均数、中位数、众数的定义，属于基础题． 25．（2022秋•长宁区月考）下列说法中正确的是 　②③　． ①一组数据中比中位数大的数和比中位数小的数一样多； ②极差、方差、标准差都是描述一组数据的离散程度的统计量； ③平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的统计量． 【分析】根据中位数，平均数、众数、极差、方差和标准差的定义即可判断． 【解答】解：对于①，中位数是一组数据按照从小到大的顺序排列，位于中间的那个数据（或中间两个数据的平均数），但是也有一些特殊的，比如：1，2，3，4，4，5，6，7，8这组数据，中位数是4，而比4小的数据是3个，比4大的数据却是4个，所以一组数据中比中位数大的数和比中位数小的数不一定一样多，故①错误； 对于②，极差反映的是一组数据最大值与最小值的差，方差和标准差反映了数据分散程度的大小，所以说极差、方差、标准差都是描述一组数据的离散程度的统计量，故②正确； 对于③，平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量，所以说平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的统计量，故③正确． 故答案为：②③． 【点评】本题主要考查中位数，平均数、众数、极差、方差和标准差的定义，属于基础题． 26．（2022秋•宝山区校级月考）工厂年前加紧手套生产，设该工厂连续5天生产的手套数依次为，，，，（单位：万只），若这组数据，，，，的方差为1.44，且，，，，的平均数为4，则该工厂这5天平均每天生产手套 　1.6　万只． 【分析】设每天生产的平均值为，利用方差的计算公式以及平均数的计算公式，建立关于的方程，求解即可． 【解答】解：设每天生产的平均值为， 由题意可得，， 则， 又因为，， 则有，解得， 所以该工厂这5天平均每天生产手套1.6万只． 故答案为：1.6． 【点评】本题考查了平均数的求解，解题的关键是掌握平均数与方差的计算公式，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题． 题型七．用样本估计总体的离散程度参数 27．（2023秋•松江区校级月考）下列为说法错误的是　　 A．设一组样本数据，，，的方差为2，则数据，，，的方差为8 B．90，92，92，93，93，94，95，97，99，100的中位数为93.5 C．甲、乙、丙三种个体按的比例分层抽样调查，若抽取的甲种个体数为9，则样本容量为18 D．数据的标准差比较小时，数据比较集中 【分析】对于：根据方差的性质运算求解；对于：根据中位数的定义运算求解；对于：根据分层抽样运算求解；对于：根据标准差的意义理解判断． 【解答】解：对于选项：由方差的性质可得数据，，，的方差为，故错误； 对于选项：本组数据有10个，则中位数是第5、6位数据的平均数，故正确； 对于选项：设样本容量为，则， 所以，故正确； 对于选项：根据标准差的意义可知：数据的标准差比较小时，数据比较集中，故正确． 故选：． 【点评】本题考查方差的性质、中位数的定义、分层抽样、标准差的意义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 28．（2023秋•杨浦区校级期末）一组样本数据为1，，4，5，，8，若，是方程的两根，则这个样本的方差是 　5　． 【分析】根据题意，解关于的方程，得到样本数据为1，2，4，5，4，8，再由平均数与方差的计算公式算出答案． 【解答】解：方程的两根为2，4，故这组样本数据为1，2，4，5，4，8， 它们的平均数为， 所以这个样本的方差为． 【点评】本题主要考查平均数与方差的计算公式等知识，考查了计算能力，属于基础题． 29．（2023秋•闵行区校级月考）一名射击运动员在一次射击测试中射击10次，每次命中的环数如下： 5 6 6 7 7 7 7 8 8 9 则其射击成绩的方差　1.2　． 【分析】根据已知条件，结合平均数和方差的公式，即可求解． 【解答】解：命中环数的平均数为：， 其射击成绩的方差． 故答案为：1.2． 【点评】本题主要考查平均数和方差的公式，属于基础题． 30．（2023•徐汇区二模）设一组样本数据，，，的方差为0.01，则数据，，，的方差为　1　． 【分析】根据题意，由方差的性质，若，，，的方差为，则，，的方差为，据此计算可得答案． 【解答】解：根据题意，一组样本数据，，，的方差， 则数据，，，的方差为； 故答案为：1 【点评】本题考查方差的计算公式，注意方差的性质，属于基础题． 31．（2023秋•杨浦区校级期末）在2019中国北京世界园艺博览会期间，某工厂生产、、三种纪念品，每一种纪念品均有精品型和普通型两种，某一天产量如下表：（单位：个） 纪念品 纪念品 纪念品 精品型 100 150 普通型 300 450 600 现采用分层抽样的方法在这一天生产的纪念品中抽取200个，其中种纪念品有40个． （1）求的值； （2）用分层抽样的方法在种纪念品中抽取一个容量为5的样本，从样本中任取2个纪念品，求至少有1个精品型纪念品的概率； （3）从种精品型纪念品中抽取5个，其某种指标的数据分别如下：、、10、11、9，把这5个数据看作一个总体，其均值为10，方差为2，求的值． 【分析】（1）根据题意，计算一天所生产的纪念品总数，由分层抽样方法可得，解可得答案； （2）根据题意，分析样本中，精品型纪念品和普通型纪念品的数目，由古典概型公式计算可得答案； （3）根据题意，由平均数、方差公式可得关于、的等式，进而变形可得答案． 【解答】解：（1）根据题意，该工厂一天所生产的纪念品总数为． 现采用分层抽样的方法在这一天生产的纪念品中抽取200个，其中种纪念品有40个， 则有，解得； （2）设所抽取的样本中有个精品型纪念品，则，解得， 所以，容量为5的样本中，有2个精品型纪念品，3个普通型纪念品． 因此，至少有1个精品型纪念品的概率为； （3）根据题意，在5个数据的样本中，其均值为10，方差为2， 则有，得． 由于总体的方差为2，则，可得， 所以． 【点评】本题考查古典概型以及数据方差的计算，涉及分层抽样，属于基础题． 32．（2023秋•杨浦区校级期末）某学校为了获得该校全体高中学生的体育锻炼情况，按照男、女生的比例分别抽样调查了55名男生和45名女生的每周锻炼时间，通过计算得到男生每周锻炼时间的平均数为8小时，方差为6；女生每周锻炼时间的平均数为6小时，方差为8．根据所有样本的方差来估计该校学生每周锻炼时间的方差为 　7.89　． 【分析】首先计算抽查的所有男女生每周锻炼时间的平均数，然后可套公式计算所有男女生每周锻炼时间的方差，然后可得答案． 【解答】解：抽查的所有男女生每周锻炼时间的平均数为（小时）， 则所有男女生每周锻炼时间的方差为， 根据所有样本的方差来估计该校学生每周锻炼时间的方差为7.89． 故答案为：7.89． 【点评】本题考查方差计算方法，考查数学运算能力，属于基础题． 33．（2023秋•浦东新区期末）中国17岁射击运动员黄雨婷在2023年杭州亚运会上以顽强作风和精湛技艺为中国代表团摘得三枚金牌，展现了奋发向上、勇攀高峰的精神面貌．以下是她在女子10米气步枪个人项目决赛最后淘汰赛阶段14次射击取得的成绩（单位：环） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.3 10.3 10.4 10.4 10.8 10.8 10.5 10.4 10.7 10.5 10.7 10.7 10.3 10.6 则该组数据的方差是 　0.032　．（近似到 【分析】利用平均数与方差的计算公式求解即可． 【解答】解：由题意先求出平均数为， 则方差为． 故答案为：0.032． 【点评】本题主要考查了方差的计算公式，属于基础题． 题型八．百分位数 34．（2023秋•崇明区校级期末）为了解某校高三年级男生的体重，从该校高三年级男生中抽取17名，测得他们的体重数据如下（按从小到大的顺序排列，单位： 56 56 57 58 59 59 61 63 64 65 66 68 69 70 73 74 83 据此估计该校高三年级男生体重的第75百分位数为 　69　． 【分析】根据百分位数的求法求得正确答案． 【解答】解：， 数据从小到大第13个数是69， 所以第75百分位数为69． 故答案为：69． 【点评】本题考查百分位数的计算，是基础题． 35．（2023秋•虹口区校级期末）某校从高一新生中随机抽取了一个容量为20的身高样本，数据从小到大排序如下（单位：，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，170，170，170，171，，176，178，若样本数据的85百分位数是173，则的值为 　175　． 【分析】根据已知条件，结合百分位数的定义，即可求解． 【解答】解：， 样本数据的85百分位数是173， 则，解得． 故答案为：175． 【点评】本题主要考查百分位数的求解，属于基础题． 36．（2023秋•松江区校级月考）抽取某校高一年级10名女生，测得她们的身高（单位：数据如下：155 157 158 161 163 165 162 165 164 162，据此估计该校高一年级女生身高的第25百分位数是 　158　． 【分析】利用百分位数的定义求解即可． 【解答】解：10名女生身高（单位：数据按从小到大排列如下：155 157 158 161 162 162 163 164 165 165， 由，得第25百分位数是158． 故答案为：158． 【点评】本题主要考查百分位数的定义，属于基础题． 37．（2023秋•杨浦区校级期末）小明为了解自己每天花在体育锻炼上的时间（单位：，连续记录了7天的数据并绘制成如图所示的茎叶图，则这组数据的第60百分位数是 　58　． 【分析】把茎叶图的数据从小到大排列，结合百分数的计算方法，即可求解． 【解答】解：根据茎叶图中的数据从小到大排列为：42，47，54，55，58，70，96，则， 这组数据的第5个数据为所求第60百分位数：58． 故答案为：58． 【点评】本题考查第百分位数计算，属于基础题． 38．（2023秋•闵行区期中）2023年3月1日，“中国日报视觉”学习强国号上线．某党支部理论学习小组抽取了10位党员在该学习平台的学习成绩如下：83，85，88，90，91，91，92，93，96，97，则这10名党员学习成绩的分位数为 　93　． 【分析】根据题意，由百分位数的计算公式计算可得答案． 【解答】解：根据题意，10个数据从小到大依次为83，85，88，90，91，91，92，93，96，97， 而， 则这10名党员学习成绩的分位数为93． 故答案为：93． 【点评】本题考查百分位数的计算，注意百分位数的计算公式，属于基础题． 39．（2023秋•徐汇区期末）某个品种的小麦麦穗长度（单位：的样本数据如下：10.2、9.7、10.8、9.1、8.9、8.6、9.8、9.6、9.9、11.2、10.6、11.7，则这组数据的第80百分位数为 　10.8　． 【分析】将数据从小到大排序后，运用百分位数的运算公式即可． 【解答】解：数据从小到大排序为：8.6、8.9、9.1、9.6、9.7、9.8、9.9、10.2、10.6、10.8、11.2、11.7，共有12个， 所以， 所以这组数据的第80百分位数是第10个数即：10.8． 故答案为：10.8． 【点评】本题考查百分位数的运算，属于基础题． 40．（2023秋•宝山区校级期末）随机抽取某校甲乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：，获得身高数据如下： 甲班：170 179 162 168 158 182 179 168 163 171 乙班：159 173 179 178 162 181 176 168 170 165 （1）计算甲班的样本方差； （2）求乙班数据的分位数． 【分析】（1）利用平均数与方差的计算公式即可得解； （2）利用百分位数的定义求解即可． 【解答】解：（1）依题意，设甲班的样本平均数为，方差为， 则， 所以； （2）将乙班数据从小到大重新排列得：159，162，165，168，170，173，176，178，179，181， 又，所以乙班数据的分位数为第3位数，即． 【点评】本题主要考查方差的求法，百分位数的求法，考查运算求解能力，属于基础题． 一．选择题（共2小题） 1．（2021秋•嘉定区校级月考）下列统计中的数字特征，不能反映样本离散程度的是　　 A．众数 B．极差 C．方差 D．标准差 【分析】结合众数，极差，方差，标准差的定义，即可依次求解． 【解答】解：对于，一组数据中出现次数最多的数值，叫众数， 众数是一组数据中占比例最多的那个数，它不能反映样本离散程度，故错误， 对于，极差表示一组数据最大值与最小值的差，极差越大数据越分散，极差越小数据越集中， 故极差能反映样本数据的离散程度，故正确， 对于，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立， 故方差能反映样本数据的离散程度，故确， 对于，标准差是方差的算式平方根，标准差也能反映样本数据的离散程度，故正确． 故选：． 【点评】本题主要考查众数，极差，方差，标准差的定义，属于基础题． 2．（2021秋•徐汇区校级期中）从总体中随机抽取的样本为、3、、1、1、3、2、2、0、0，则该总体标准差的估计值是　　 A．2 B． C． D． 【分析】先求出样本平均数，再求出样本方差，最后求出样本标准差，由此能求出该总体标准差的估计值． 【解答】解：从总体中随机抽取的样本为、3、、1、1、3、2、2、0、0， 样本平均数为， 样本方差为， 样本标准差为， 该总体标准差的估计值是． 故选：． 【点评】本题考查总体标准差的估计值的求法，考查平均数、方差、标准差计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 二．填空题（共9小题） 3．（2021秋•黄浦区校级期末）以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：（单位：分） 78，70，72，86，88，79，80，81，94，84，56，98，83，90，91． 则这15人成绩的第80百分位数是 　90.5　． 【分析】把该组数据从小到大排列，计算，从而找出对应的第80百分位数． 【解答】解：该组数据从小到大排列为： 56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98． 且， 所以这15人成绩的第80百分位数是． 故答案为：90.5． 【点评】本题考查了一组数据的百分位数问题，是基础题． 4．（2021秋•杨浦区校级期末）某次高一年级数学期末考试的填空题第六题，答对得4分，答错得0分，全年级480人的正确率高达，则全年级该题得分的标准差为 　1.2　． 【分析】根据题意，分析可得全年级中得4分的人数，进而求出其平均数和方差，进而计算可得答案． 【解答】解：根据题意，全年级480人的正确率高达，即得4分的有人， 其余48人的分为0， 则得分的平均数， 则全年级该题得分的方差， 则其标准差为1.2； 故答案为：1.2． 【点评】本题考查方差、标准差的计算，注意求出数据的平均数，属于基础题． 5．（2021秋•普陀区校级期末）数据：1，1，3，4，6的方差是 　3.6　． 【分析】根据题意，由方差的计算公式计算可得答案． 【解答】解：对于数据1，1，3，4，6，其平均数， 则其方差， 故答案为：3.6． 【点评】本题考查数据方差的计算，注意方差的计算公式，属于基础题． 6．（2021•杨浦区二模）已知一组数据，3，，6的中位数为4，则其总体方差为　　． 【分析】先利用中位数的定义求出，然后由方差的计算公式求解即可． 【解答】解：因为数据，3，，6的中位数为4， 所以，故， 所以这组数据的平均数为， 故方差为． 故答案为：． 【点评】本题考查了特征数的求解，解题的关键是掌握中位数的定义以及方差的计算公式，考查了化简运算能力，属于基础题． 7．（2021秋•嘉定区校级月考）有一组数据，，，，其平均值为2，方差为3．则另一组数据，，，的方差为 　12　． 【分析】根据已知条件，结合方差线性公式，即可求解． 【解答】解：数据，，，方差为3， 数据，，，的方差为． 故答案为：12． 【点评】本题主要考查方差的线性公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题． 8．（2021秋•嘉定区校级月考）某校有学生960人，教职工120人，现用分层抽样的方式从所有师生中抽取一个容量为的样本，已知从教职工中抽取的人数为6，则　54　． 【分析】根据已知条件，结合分层抽样的规则，得到方程，即可求解． 【解答】解：由题意可得，，解得． 故答案为：54． 【点评】本题主要考查分层抽样的规则，属于基础题． 9．（2021秋•杨浦区校级月考）某一射击选手在一场比赛中，得到的环数及相应的频率如表所示： 环数 6 7 8 9 10 频率 0.10 0.10 0.40 0.25 0.15 则该选手射击环数的方差为 　1.2875　． 【分析】根据频率分布表求出平均值，再由方差的计算公式，即即可求解． 【解答】解：由题意可知，平均值， 故方程． 故答案为：1.2875． 【点评】本题主要考查方差的求解，考查计算能力，属于基础题． 10．（2023秋•宝山区校级期末）已知一组样本数据2、3、5、6，则该组数据的第70百分位数为 　5　． 【分析】首先计算指数，再由百分位数的定义可得答案． 【解答】解：这组样本数据从小到大排列为2、3、5、6， 又， 则该组数据的第70百分位数为第3个数5． 故答案为：5． 【点评】本题考查百分位数的计算，是基础题． 11．（2021秋•浦东新区校级期末）已知样本9，10，11，，的平均数是10，标准差是，则　96　． 【分析】先由平均数的公式列出，然后根据方差的公式列方程，求出和的值即可求出的值． 【解答】解：根据平均数及方差公式，可得：， 即， 标准差是，方差为2． ， 即， 解得，或，， 则， 故答案为：96． 【点评】本题主要考查了平均数和方差等概念，以及解方程组，考查学生的计算能力． 三．解答题（共2小题） 12．（2022秋•闵行区校级期末）下面是甲、乙两名运动员在某次男子10米气手枪射击选拔赛中的得分数据（单位：环）． 甲 9.6 9.9 9.2 9.4 9.9 10.1 10.2 9.7 9.6 9.3 10.0 10.4 10.1 9.9 乙 10.2 10.7 9.7 10.0 9.1 10.0 8.6 9.8 9.6 9.7 10.9 9.5 10.3 9.2 分别计算两名运动员得分的平均数与标准差，并分析比较两名运动员的射击水平． 【分析】根据平均数和方差的计算公式，结合方差的意义进行分析判断即可． 【解答】解：设甲、乙两名运动员得分的平均数分别为，，标准差分别为，， ， ， ， ， 所以甲运动员比乙运动员射击水平稳定． 【点评】本题考查数据的平均数、标准的计算，注意平均数、标准差的计算公式，属于基础题． 13．（2021秋•奉贤区校级月考）某个学校抽100名学生，进行某个学科调研测试的分数的频率分布表如表，满分100分． 分数段 频率 ， 0.1 ， 0.3 ， ， 0.13 ， 0.07 （1）求表格中的的数值； （2），分数段的学生成绩如下：86、80、81、80、81、82、84、87、87、89、84、83、85，求100名学生成绩的86百分位数； （3），的学生成绩的方差为2.2，平均分为67，，的学生成绩的方差为3.1，平均分为76，求，分数段的学生的总体方差．（结果精确到 【分析】（1）根据所有的频率之和为1得到方程，求解即可； （2）首先求出，内的数据个数，再将，分数段的成绩从小到大排列，则86百分位数为第86个和第87个数的平均数，从而计算可得； （3）由（1）得，内有30个数据，分别设为，，，，，内有40个数据，分别计为，，，，现根据平均数，方差公式计算可得． 【解答】解：（1）依题意可得，解得； （2）由（1）可得，即，内一共有人，将，分数段的学生成绩按照从小到大的顺序为：80，80，81，81，82，83，84，84，85，86，87，8789，所以整个数据从小到大第86个数为83，第87个数为84， 因为，所以成绩的86百分数为第86个和第87个数的平均数为； （3）由（1）得，内有个数据，分别设为，，，， ，内有个数据，分别计为，，，， 依题意可得， ， 即，所以， ， ， ， 所以， 所以，分数段的学生的总体平均数为， ，分数段的学生的总体方差为 ． 【点评】本题考查频率分布的性质，平均数与方差的计算，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 统计 1.了解随机抽样的必要性和重要性；理解随机抽样的目的和基本要求；理解简单随机抽样中的抽签法、随机数法；掌握用样本平均数估计总体平均数的方法． 2.理解分层随机抽样的概念；掌握用分层随机抽样从总体中抽取样本；掌握两种抽样的区别与联系． 3.知道获取数据的基本途径，包括统计报表和年鉴、社会调查、试验设计、普查和抽样、互联网等． 4.结合实例，能用样本估计百分位数；理解百分位数的统计含义． 5.会求样本数据的众数、中位数、平均数；理解用样本的数字特征、频率分布直方图估计总体的集中趋势． 6.理解方差、标准差的含义，会计算方差和标准差；掌握求分层随机抽样总样本的平均数及方差的方法． 知识点01 统计中的相关概念 总体 一般地，在获取数据时，我们把所考察对象(某一项指标的数据)的全体叫作总体 个体 把组成总体的每一个考察对象叫作个体 样本 从总体中所抽取的一部分个体叫作总体的一个样本 样本容量 样本中个体的数目叫作样本容量 【即学即练1】从某公司600名员工中抽取20名进行体重的统计分析，下列说法正确的是（　　） A．600名员工是总体 B．每个被抽查的员工是个体 C．抽取的20名员工的体重是一个样本 D．抽取的20名员工的体重是样本容量 知识点02 简单随机抽样 1. 抽签法 用抽签法从个体个数为N的总体中抽取一个容量为k的样本的步骤： (1)将总体中的N个个体编号； (2)将这N个号码写在形状、大小相同的号签上； (3)将号签放在同一箱中，并搅拌均匀； (4)从箱中每次抽出1个号签，连续抽取k次； (5)将总体中与抽到的号签的编号一致的k个个体取出. 2. 随机数表法 (1)相关概念 制作一个表，这个表由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字组成，表中任一位置出现任一数字的概率相同，且不同位置的数字之间是独立的. 这样的表称为随机数表，其中的每个数都称为“随机数”. 于是，我们只要按一定的规则从随机数表中选取号码就可以了. 这种抽样方法叫作随机数表法. (2)用随机数表法抽取样本的步骤 ①对总体中的个体编号(每个号码位数一致). ②在随机数表中任选一个数. ③从选定的数开始按一定的方向读下去，若得到的号码在编号中，则取出；若得到的号码不在编号中或前面已经取出，则跳过. 如此继续下去，直到取满为止. ④根据选定的号码抽取样本. 3. 简单随机抽样 一般地，从个体数为N的总体中逐步不放回地取出n个个体作为样本(n<N)，如果每个个体都有相同的机会被取到，那么这样的抽样方法称为简单随机抽样. 抽签法和随机数表法都是简单随机抽样. 【即学即练2】（2024春•长宁区校级月考）现利用随机数表法从编号为00，01，02，，18，19的20支水笔中随机选取6支，选取方法是从下列随机数表第1行的第9个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6支水笔的编号为　　 95226000 49840128 66175168 39682927 43772366 27096623 92580956 43890890 06482834 59741458 29778149 64608925 A．14 B．08 C．09 D．06 知识点03 分层抽样 1. 定义 一般地，当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使样本更客观地反映总体情况，我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几个部分，然后按各个部分在总体中所占的比实施抽样，这种抽样方法叫作分层抽样，所分成的各个部分称为“层”. 2. 步骤 (1)将总体按一定标准分层； (2)计算各层的个体数与总体的个体数的比； (3)按各层的个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量； (4)在每一层进行抽样(可用简单随机抽样). 3. 特点 (1)适用于总体由差异明显的几部分组成的情况； (2)按比例确定各层应抽取个体的个数； (3)在每一层进行抽样时，可采用简单随机抽样的方法； (4)分层抽样能充分利用已掌握的信息，使样本具有良好的代表性； (5)分层抽样也是等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都是，而且在每层抽样时，可以根据个体情况采用不同的抽样方法. 【即学即练3】（2023秋•长宁区校级期末）①植物根据植株的高度及分枝部位等可以分为乔木、灌木和草木三大类，某植物园需要对其园中的不同植物的干重（烘干后测定的质量）进行测量；②检测员拟对一批新生产的1000箱牛奶抽取10箱进行质量检测；上述两项调查应采用的抽样方法是　　 A．①用简单随机抽样，②用分层随机抽样 B．①用简单随机抽样，②用简单随机抽样 C．①用分层随机抽样，②用简单随机抽样 D．①用分层随机抽样，②用分层随机抽样 知识点04 百分位数 1. 一般地，一组数据的k百分位数是这样一个值pk，它使得这组数据中至少有k%的 数据小于或等于pk，且至少有(100-k)%的数据大于或等于pk. 如果将样本数据从小到大排列成一行，那么k百分位数pk所处位置如图所示. 2. 四分位数：中位数即为50百分位数，我们也把中位数、25百分位数和75百分位数称为四分位数. 【即学即练4】（2024•黄浦区校级模拟）样本数据20，24，6，15，18，10，42，57，2的第25百分位数为 　　． 题型一．简单随机抽样 1．（2023秋•长宁区校级期末）已知一个总体含有个个体，要用简单随机抽样方法从中抽取一个个体，则在抽样过程中，每个个体被抽取的概率　　 A．变小 B．变大 C．相等 D．无法确定 2．（2022秋•浦东新区校级期末）从个个体中抽取个个体作为样本，先确定抽样间隔，即抽样间距为不大于的整数，从第一段1，2，，这个号码中随机地抽取一个号码为的个体，则号码为，，，，的个体构成样本，所以每个个体入样的可能性　　 A．与有关 B．与编号有关 C．不一定相等 D．相等 3．（2023秋•黄浦区校级月考）为了解黄浦区全体高二学生“小三门”的选科情况，区教育局共联络了950名黄浦区在读高二学生进行调查，在这项调查中，样本量是 　　． 4．（2023秋•嘉定区校级期末）总体是由编号为01，02，，29，30的30个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 　　． 题型二．分层随机抽样 5．（2023秋•松江区校级期末）某校读书节期间，共120名同学获奖（分金、银、铜三个等级），从中随机抽取24名同学参加交流会，若按高一、高二、高三分层随机抽样，则高一年级需抽取6人；若按获奖等级分层随机抽样，则金奖获得者需抽取4人．下列说法正确的是　　 A．高二和高三年级获奖同学共80人 B．获奖同学中铜奖所占比例一定最低 C．获金奖的同学可能都在高一年级 D．获奖同学中金奖所占比例可能最高 6．（2021秋•青浦区校级期末）某中学高三年级共有学生1600人，为了解他们的身体状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本，若样本中共有男生12人，则该校高三年级共有女生　　 A．1260 B．1230 C．1120 D．1140 7．（2023秋•嘉定区校级期末）某校从高二女生中随机抽取了一个容量为20的身高样本，数据从小到大排序如下（单位：、155、158、164、164、165、165、165、166、167、168、168、169、170、170、170、171、、176、178，若样本数据的90百分位数是175，则的值为 　　． 8．（2023秋•闵行区校级期末）某大学共有教师1000人，其中教授、副教授、讲师、助教的人数比为，现用分层抽样的方法从全校所有教师中抽取一个容量为40的样本，讲师应抽取的人数为 　　． 9．（2023秋•宝山区校级期末）某新学校高一、高二、高三共有学生950名，为了了解同学们的兴趣爱好，计划采用分层抽样的方法，从这950名学生中抽取一个样本容量为190的样本，若从高一、高二、高三抽取的人数恰好组成一个以为公比的等比数列，则此学校高一年级的学生人数为 　　人． 10．（2023秋•黄浦区期末）某高中二年级共有学生425名，其中男生204名，女生221名，为了解该校高二年级学生的身高情况，从中抽取50名学生测量身高，若采用分层随机抽样的方法，则要抽取男生的人数为 　　． 11．（2023秋•长宁区校级期末）从总体容量为的一批电子元件中抽取一个容量为30的样本，若每个电子元件被抽到的可能性为，则总体容量　　． 题型三．频率分布直方图 12．（2021秋•上海期末）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则样本容量和抽取的初中生中近视人数分别为　　 A．100，28 B．200，28 C．100，40 D．200，40 13．（2022秋•长宁区月考）某地教育行政部门为了解“双减”政策的落实情况，在某校随机抽取了100名学生，调查他们课后完成作业的时间，根据调查结果绘制如图频率直方图，根据此频率直方图，下列结论中错误的是　　 A．估计校学生的平均完成作业的时间超过2.7小时 B．所抽取的学生中有25人在2小时至2.5小时之间完成作业 C．该校学生完成作业的时间超过3.5小时的概率估计为 D．估计该校有一半以上的学生完成作业的时间在2小时至3小时之间 14．（2021秋•青浦区校级期末）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成、两组，每组100只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如图直方图： 记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到（C）的估计值为0.70． （1）求乙离子残留百分比直方图中，的值； （2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）． 题型四．频率分布折线图、密度曲线 15．（2021秋•徐汇区校级期中）如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天． （1）求此人在该市的两天中有空气重度污染的概率； （2）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明） （3）求这14天空气质量指数的第70百分位数． 题型五．用样本估计总体 16．（2023秋•浦东新区期末）某校有学生1800人，为了解学生的作业负担，学校向学生家长随机抽取了1000人进行调查，其中的家长回答他们孩子每天睡眠时间大致在小时，的家长回答他们孩子回家做作业的时间一般在小时，下列说明正确的是　　 A．总体是1000 B．个体是每一名学生 C．样本是1000名学生 D．样本容量是1000 17．（2023秋•黄浦区校级月考）经过市场抽检，质检部门得知市场上食用油合格率为，经调查，某市市场上的食用油大约有80个品牌，则不合格的食用油品牌大约有　　 A．64个 B．640个 C．16个 D．160个 18．（2022秋•长宁区月考）为了了解某水库里大概有多少条鱼，先打捞出了1000条鱼，在鱼身上标记一个不会掉落的印记后放回水库，过一段时间后再次捕捞了200条鱼，发现其中5条鱼有印记．则这个水库里大概有 　　条鱼． 题型六．用样本估计总体的集中趋势参数 19．（2023秋•徐汇区校级期末）为调研某地空气质量，连续10天测得该地的日均值（单位为，依次为36，26，17，23，33，106，42，31，30，33，则下列四个结论中正确的个数为　　 ①前4天的极差大于后4天的极差； ②前4天的方差小于后4天的方差； ③这组数据的中位数为31或33； ④这组数据的第60百分位数与众数相同． A．0 B．1 C．2 D．3 20．（2023秋•宝山区校级期末）一组数据3，5，8，，11，15，18的平均数为10，则该数据的中位数是 　　． 21．（2023秋•徐汇区期末）根据气象学上的标准，连续5天的日平均气温低于即为入冬．将连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，现有3组样本①，②，③，依次计算得到结果如下：①平均数且极差小于或等于3；②平均数且标准差；③众数等于5且极差小于或等于4，则3组样本中一定符合入冬指标的样本组号是 　　． 22．（2023秋•徐汇区校级期末）某射击运动员连续射击5次，命中的环数（环数为整数）形成的一组数据中，中位数为8，唯一的众数为9，极差为3，则该组的平均数为 　　． 23．（2023秋•杨浦区校级期末）为深入学习宣传党的二十大精神，某校开展了“奋进新征程，强国伴我行”二十大主题知识竞赛．其中高一年级选派了10名同学参赛，且该10名同学的成绩依次是：70，85，86，88，90，90，92，94，95，100．则下列说法正确的序号为 　　．（写出全部正确的序号） ①中位数为90，平均数为89 ②极差为30，方差为58 ③70百分位数为92 ④去掉一个最低分和一个最高分，平均数变大，方差变小 24．（2022秋•徐汇区校级月考）由8个整数形成的样本数据中，至少有六个互不相同的整数，若平均数、中位数、唯一的众数和全距（即样本中最大数与最小数之差）都是8，则可能成为样本数据中的最大整数是 　　． 25．（2022秋•长宁区月考）下列说法中正确的是 　　． ①一组数据中比中位数大的数和比中位数小的数一样多； ②极差、方差、标准差都是描述一组数据的离散程度的统计量； ③平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的统计量． 26．（2022秋•宝山区校级月考）工厂年前加紧手套生产，设该工厂连续5天生产的手套数依次为，，，，（单位：万只），若这组数据，，，，的方差为1.44，且，，，，的平均数为4，则该工厂这5天平均每天生产手套 　　万只． 题型七．用样本估计总体的离散程度参数 27．（2023秋•松江区校级月考）下列为说法错误的是　　 A．设一组样本数据，，，的方差为2，则数据，，，的方差为8 B．90，92，92，93，93，94，95，97，99，100的中位数为93.5 C．甲、乙、丙三种个体按的比例分层抽样调查，若抽取的甲种个体数为9，则样本容量为18 D．数据的标准差比较小时，数据比较集中 28．（2023秋•杨浦区校级期末）一组样本数据为1，，4，5，，8，若，是方程的两根，则这个样本的方差是 　　． 29．（2023秋•闵行区校级月考）一名射击运动员在一次射击测试中射击10次，每次命中的环数如下： 5 6 6 7 7 7 7 8 8 9 则其射击成绩的方差　　． 30．（2023•徐汇区二模）设一组样本数据，，，的方差为0.01，则数据，，，的方差为　　． 31．（2023秋•杨浦区校级期末）在2019中国北京世界园艺博览会期间，某工厂生产、、三种纪念品，每一种纪念品均有精品型和普通型两种，某一天产量如下表：（单位：个） 纪念品 纪念品 纪念品 精品型 100 150 普通型 300 450 600 现采用分层抽样的方法在这一天生产的纪念品中抽取200个，其中种纪念品有40个． （1）求的值； （2）用分层抽样的方法在种纪念品中抽取一个容量为5的样本，从样本中任取2个纪念品，求至少有1个精品型纪念品的概率； （3）从种精品型纪念品中抽取5个，其某种指标的数据分别如下：、、10、11、9，把这5个数据看作一个总体，其均值为10，方差为2，求的值． 32．（2023秋•杨浦区校级期末）某学校为了获得该校全体高中学生的体育锻炼情况，按照男、女生的比例分别抽样调查了55名男生和45名女生的每周锻炼时间，通过计算得到男生每周锻炼时间的平均数为8小时，方差为6；女生每周锻炼时间的平均数为6小时，方差为8．根据所有样本的方差来估计该校学生每周锻炼时间的方差为 　　． 33．（2023秋•浦东新区期末）中国17岁射击运动员黄雨婷在2023年杭州亚运会上以顽强作风和精湛技艺为中国代表团摘得三枚金牌，展现了奋发向上、勇攀高峰的精神面貌．以下是她在女子10米气步枪个人项目决赛最后淘汰赛阶段14次射击取得的成绩（单位：环） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.3 10.3 10.4 10.4 10.8 10.8 10.5 10.4 10.7 10.5 10.7 10.7 10.3 10.6 则该组数据的方差是 　 ．（近似到 题型八．百分位数 34．（2023秋•崇明区校级期末）为了解某校高三年级男生的体重，从该校高三年级男生中抽取17名，测得他们的体重数据如下（按从小到大的顺序排列，单位： 56 56 57 58 59 59 61 63 64 65 66 68 69 70 73 74 83 据此估计该校高三年级男生体重的第75百分位数为 　　． 35．（2023秋•虹口区校级期末）某校从高一新生中随机抽取了一个容量为20的身高样本，数据从小到大排序如下（单位：，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，170，170，170，171，，176，178，若样本数据的85百分位数是173，则的值为 　　． 36．（2023秋•松江区校级月考）抽取某校高一年级10名女生，测得她们的身高（单位：数据如下：155 157 158 161 163 165 162 165 164 162，据此估计该校高一年级女生身高的第25百分位数是 　　． 37．（2023秋•杨浦区校级期末）小明为了解自己每天花在体育锻炼上的时间（单位：，连续记录了7天的数据并绘制成如图所示的茎叶图，则这组数据的第60百分位数是 　 　． 38．（2023秋•闵行区期中）2023年3月1日，“中国日报视觉”学习强国号上线．某党支部理论学习小组抽取了10位党员在该学习平台的学习成绩如下：83，85，88，90，91，91，92，93，96，97，则这10名党员学习成绩的分位数为 　　． 39．（2023秋•徐汇区期末）某个品种的小麦麦穗长度（单位：的样本数据如下：10.2、9.7、10.8、9.1、8.9、8.6、9.8、9.6、9.9、11.2、10.6、11.7，则这组数据的第80百分位数为 　　． 40．（2023秋•宝山区校级期末）随机抽取某校甲乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：，获得身高数据如下： 甲班：170 179 162 168 158 182 179 168 163 171 乙班：159 173 179 178 162 181 176 168 170 165 （1）计算甲班的样本方差； （2）求乙班数据的分位数． 一．选择题（共2小题） 1．（2021秋•嘉定区校级月考）下列统计中的数字特征，不能反映样本离散程度的是　　 A．众数 B．极差 C．方差 D．标准差 2．（2021秋•徐汇区校级期中）从总体中随机抽取的样本为、3、、1、1、3、2、2、0、0，则该总体标准差的估计值是　　 A．2 B． C． D． 二．填空题（共9小题） 3．（2021秋•黄浦区校级期末）以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：（单位：分） 78，70，72，86，88，79，80，81，94，84，56，98，83，90，91． 则这15人成绩的第80百分位数是 　　． 4．（2021秋•杨浦区校级期末）某次高一年级数学期末考试的填空题第六题，答对得4分，答错得0分，全年级480人的正确率高达，则全年级该题得分的标准差为 　　． 5．（2021秋•普陀区校级期末）数据：1，1，3，4，6的方差是 　　． 6．（2021•杨浦区二模）已知一组数据，3，，6的中位数为4，则其总体方差为　　． 7．（2021秋•嘉定区校级月考）有一组数据，，，，其平均值为2，方差为3．则另一组数据，，，的方差为 　　． 8．（2021秋•嘉定区校级月考）某校有学生960人，教职工120人，现用分层抽样的方式从所有师生中抽取一个容量为的样本，已知从教职工中抽取的人数为6，则　　． 9．（2021秋•杨浦区校级月考）某一射击选手在一场比赛中，得到的环数及相应的频率如表所示： 环数 6 7 8 9 10 频率 0.10 0.10 0.40 0.25 0.15 则该选手射击环数的方差为 　 　． 10．（2023秋•宝山区校级期末）已知一组样本数据2、3、5、6，则该组数据的第70百分位数为 　　． 11．（2021秋•浦东新区校级期末）已知样本9，10，11，，的平均数是10，标准差是，则　　． 三．解答题（共2小题） 12．（2022秋•闵行区校级期末）下面是甲、乙两名运动员在某次男子10米气手枪射击选拔赛中的得分数据（单位：环）． 甲 9.6 9.9 9.2 9.4 9.9 10.1 10.2 9.7 9.6 9.3 10.0 10.4 10.1 9.9 乙 10.2 10.7 9.7 10.0 9.1 10.0 8.6 9.8 9.6 9.7 10.9 9.5 10.3 9.2 分别计算两名运动员得分的平均数与标准差，并分析比较两名运动员的射击水平． 13．（2021秋•奉贤区校级月考）某个学校抽100名学生，进行某个学科调研测试的分数的频率分布表如表，满分100分． 分数段 频率 ， 0.1 ， 0.3 ， ， 0.13 ， 0.07 （1）求表格中的的数值； （2），分数段的学生成绩如下：86、80、81、80、81、82、84、87、87、89、84、83、85，求100名学生成绩的86百分位数； （3），的学生成绩的方差为2.2，平均分为67，，的学生成绩的方差为3.1，平均分为76，求，分数段的学生的总体方差．（结果精确到 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$