上册 第四章 4 探索三角形相似的条件-【新课程能力培养】2025-2026学年九年级上册数学同步练习（北师大版）

参考答案与提示 &解：DE/BC,EF/AB四边形DBFE是平行四边形，BFBD,DE-BR、瓷-品-瓷瓷-沿 -能AE=2CR,光号-g-gBF-6,A=4BD=4B-An=2四边形BDEF的周长-2〔Bn+DE-2x2+ 6)=16. 9解：D/AM,北，瓷器WR=c,治-长 10号提示：过点D作DG/BC交AB于点C11.多2A13D 3相似多边形 1.一定2.6cm3.68°4.18cm5.C6.A7.D8.C9.都不相似.理由略. 0解：aA0 DCADFE,÷0-8小0-是DAE9 1.解：()：矩形ABCD一矩形DMC,MD=-NC=号AD,MN=DC=AB=4,号-识. 4-AD 4D4 ,AD=4V2.(2)矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为DM=2 AB 2 12解：（)不相似.1B=30,AB'-28,BC-20,BC=18,器≠8矩形ABCD与矩形A"B'CD不相 似。2)若矩形ABCD与AgGD相似，则0当招-C时，即00-262解得15；②当设-6 BC AB 时，即0-2，解得9.当15或x9时，矩形A8CD与矩形A'BC0相似 20 13.解：四边形ABCD是矩形，ADLDC.AC=VAD+CD=V2+下-V5. 矩形ABCD∽矩形AB,C,C∽矩形AB,C,C,∽矩形AB.C.C, 46-4验-48.品瓷%2 AC 4C=V5,4C=5V5,AC=5.V5卫，，4C=.V5□ 2 2 22 D c-,cce.5,cc-.2…,cc-. 第13题答图 2 22 2 2- 矩形AB.C.Cn的周长-2(4Cn+CnC)=3x(V5Y 2- 矩形AB.CC的面积=ACCC=V5.5尸.V5.(V5=-V5产= 2 22 2 2 22-1 22- 14.1:215.D 4探索三角形相似的条件（第1课时）】 124cm230334.2:15号或46C7A8A 9.解：在Rt△ABC中，AB=20,AC=12,.BC=16.DE垂直平分AB,∴AD=BD=10.∠C=∠BDE,∠B=∠B, ABGAEBE0.是-8断品-8bE-空 1O.证明：(1)：四边形ABCD是正方形，△EDF是等腰直角三角形，：AD=CD,DE=DF,∠ADC=∠EDF= 90°，∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF.∴.∠ADE=∠CDF,∴.△ADE≌△CDF(SAS).(2)由(I)知∠E=∠DFC= 45°，又.'∠EFD=45°，∴.∠EFC=90°..'∠B=90°，∴.∠B=∠EFC..∠AGB=∠CGF,.∴.△ABG∽△CFG. 1.解：《(I)DB平分∠ADC,∠ADB=∠CDR又∠ABD=∠BCD-90P,AABD△BCD品-0 BD=ADCD.(2)BM∥CD,.∠MBD=∠BDC..∠ADB=∠MBD,且∠ABD=90°..BM=MD,∠MAB=∠MBA. ∴BM=MD=AM=4.BD2=AD.CD,CD=6,AD=8,∴BD=48..∴BC=BD-CD=12.∴MC=MB2+BC=28.∴.MC=2V7. 2LWm-∠C.∠BW=2cm.:△WW-ACN器-岩-子，即n-号小2V”号 .MN—=2 22 数学 九年级上册（北师大版） MN考V7. 2.313.9提示：过点E作EHLAC,设EF与AC相交于点M,AD=x,先证△AHE~△ACB,得BH AD=x.再证Rt△EHD是等腰直角三角形，进而证△FDM≌△EHM(AAS).再根据△CEF的面积是△BEC面积的 2倍，得方程(103x-225-5).14.B 15.证明：(1)四边形ABCD是菱形，AB=BC,AC⊥BD.又∠ABC=60°，∴.△ABC是等边三角形.AB= AC.点F为BC的中点，∴AF⊥BC.∴.LBOC=∠BFE=90°.又LEBF=LCB0,∴.△BEF∽△BCO. (2)BF=CF,AO=CO,B0LAC,AF⊥BC,AE=CE,BE=CE.AE=BE.△ABC是等边三角形，AC=BC. :.CG⊥AB.∴.∠BGE=∠AGE=90°，BG=AG.又GE=GE,△BEG≌△AEG(SAS). 16.证明：(1)四边形ABCD是矩形，∠BAD=∠ADE=90°，AB=DC..∠ABD+∠ADB=90°.：AE⊥BD, ∠DAE+∠ADB=90.∠ABD=∠DAE.△ADE∽△BAD..AD=DE.AD=DEAB. AB AD AB=DC,.AD2=DE·DC. (2)如图，连接AC,交BD于点O.由(1)知，∠ADE=90°，∴.∠DAE+∠AED=90°. .AE⊥BD,.∠DAE+∠ADB=90°..∠ADB=∠AED.∠FEC=∠AED,.∠ADO=∠FEC 四边形ABCD是矩形，4C=BD,01=0D=BD.EF=CF=BD,0A=0D=EF=CR 2 .∠ADO=∠OAD,∠FEC=∠FCE.∠ADO=∠FEC,∠ADO=∠OAD=∠FEC=∠FCE. ∴.△ODA≌△FEC(AAS)..CE=AD. 第16题答图 4探索三角形相似的条件（第2课时）】 1520,子3空465或15°5D6A7()相似。（②）相似 8.证明：(1)AB=AC,∴.∠B=∠C.:∠BDE=180°-∠B-∠DEB,∠CEF=180°-∠DEF-∠DEB,∠DEF=∠B, ∠BDE=∠CER△BDE∽△CER(2)△BDE∽△CER,:BE=DS.点E是BC的中点，：BE=CE. CF EF CE-DE.∠DEF=∠B=LC,△DEF∽△ECR∴LDFE=LCFE.FE平分LDFC CF EF 9.解：(1)四边形ABCD是矩形，∠ADE=∠BCE=90°，AD∥CF∴.∠DAF=∠AFC.AF平分∠DAC, ∠DAF=∠CAF.∠FAC=∠AFC..AC=CFAB=4,BC=3,.AC=VAB+BC=V3+4=5..CF=5.∠FAD=∠AFC, ∠ADE=∠CEADEAFCE.是-器设DE=,期号六解得=号DE=号(2)AD/P阴， 5=4-x AH∥DF,.四边形ADFH是平行四边形..∴AD=FH=3..CH=2,BH=5..AD∥BH,.∠DAG=∠BHG,∠ADG= ∠BaA4caI68%品写c=号c-发DE=号，器品-号又2G-∠B, △EDG∽△CDB..∠DGE=∠CBD.∴.EG∥BC.∴.∠1=∠AHC.又DF∥AH,∠AHC=∠DFC..∴∠1=∠DFC. 10答案不唯-，∠AE∠C或∠AE-LC或把-品或长-把 I1.证明：BE=3,EC=6,CF-2，,BC=3+6=9.四边形ABCD是正方形，AB=BC=9,∠B=∠C=90.4 EC 号号器-号品-柴A1B服aGF 9_3BE_3 12.解：(1)FH=V2FG.证明：如图 1,连接AH,CE,AF,△ABC和△ADE都 是等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°， F,H分别是DE,BC的中点，AH⊥BC AFL DE.AH-CH-BC,AF-EF-DE. 图1 图2 ∠CMH=∠E1F-45∠HAF=∠BAC, AC 第12题答图 =4E=Y2.△AHF∽△ACE..=4H=Y2 ΓAE2 2 ..CE=V2FH.点F,G分别是DE,DC的中点，.CE=2FG. 228 参考答案与提示 .·FH=V2FG (2)FH=FG.证明：如图2，连接AH,CE,AF,:△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE=120°， ∠AED=∠ADE=∠ACB=∠B=30点R,H分别是DE,BC的中点，AH LBG,AFLDE,∠CAH=∠E1F× 120-60∠H=∠EAC提-品分△MhF△MCE思是-号G5-H点KG分别是DE, DC的中点，.CE=2FG.FH=FG. 4探索三角形相似的条件（第3课时） 1.相似三边对应成比例的两个三角形相似2.∠E3.8,104.C5.D6.C7.A8.相似.理由略. 9.两种截法是10cm,25cm,30cm或12cm,30cm,36cm. 10.△DE∽△ABC.提示：利用三角形中位线可推出三条边对应成比例. IL解：AB-BG=AG,△ABC∽△ADE.∴LBMC=LDAE,LE=LC.LBAD=LCAE.∠AFE=∠BFC ∴.∠BAD=∠CBE. 12.解：(1)2V52V10(2)BC=V4+2=2V5.又由(1)知，AC=2V5,AB=2V10,∴AC+ BC=AB=40.∴.∠ACB=90°.(3)△CAB和△DEF相似.理由：DE=DF=V+22=V5,EF=VI+32=V10.则 AC=BC=AB-2..△CAB∽△DEF DE DE EF 13.解：(1)相似，理由略.(2)答案不唯一，下面6个三角形中的任意两个均可：△DPP,△PPF, △DPP4,△PPD,△PPP,△FDP. 4解：)品品 ∠A=∠A'(2)△ABC∽△A'B'C.如图，过点D,D'分别作DE∥BC, DE∥B'C',DE交AC于点E,D'E交A'C于点E. :DE/∥BC,LADE=LB,∠AED=LACB,△ADE∽△ABC..AD-DE=AE AB BCAC 同理，得4D-DE=A'E.AD-A'D.DE-DE.DEBC AB-BC-ACAB-ABTBC-BCDE-BC 同理，得瓷器，12，即尧瓷器长 D A AC A'CE'C A'C 第14题答图 品长-器.品器瓷ADCEACE.CD--LCEm.eB∥C,∠GEDm∠AC18r 同理，∠CED∠ACB-180,∠AcB-∠4GD%营，△ABCAABC. 4探索三角形相似的条件（第4课时）】 1.黄金分割2.5(V5-1)cm3.3-V54.V+15.S=S,6.A7.D8.略9.6V5-12, 2 10.解：(1)略(2)提示：证明△ABC∽△BDC,得AD=AC.DC. 11解：(1)略(2)是.提示：先证明四边形EBCF是矩形.然后设CD=a,AD=b,则么=V5-L, 2 CF=a-b=V-⊥.矩形EBCF是黄金矩形.(3)归纳：在黄金矩形内以短边为边作一个正方形后，所得到 EF 6 2 的另外一个四边形是矩形，而且是黄金矩形 12.(V5-1)13.D14.A "5相似三角形判定定理的证明 .52.V33号或子4D5A6A7相似，理由略。8略9相似理由：“部肥3， 2 BDBC2· ∠ABD=∠DBC,..△ABD∽△DBC. 10证明：折报能，△4BC△ADE∠BD=∠CR∠AC-∠D1R报报，△ABG △MDa4880MBEc-Ac-AD 1.()证明：因边形ABCD为正方形，AD=AB-0C-BC,∠A=∠D-0.ME-D,小6-分 229口数学 九年级上册（北师大版） 探索三角形相似的条件（第1课时） 自主导学Q典例精析 例题如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3,∠ADE=60°， 试求线段AE的长. 【分析】要先根据边长为9，BD=3,求出CD的长，然后根据∠ADE= 60° 60°和△ABD的外角∠ADC的性质得到∠DAB=∠EDC,可证△ABD∽ D △DCE,再结合相似三角形对应边成比例即可求出AE的长 例题图 【解答】，△ABC是等边三角形，∴.∠B=∠C=60°，AB=BC. ∴.CD=BC-BD=9-3=6,∠ADC=∠BAD+∠B. .∠ADC=∠ADE+∠EDC,∠ADE=60°，∴.∠DAB=∠EDC. 又∠R=∠G=60,AAD么nCE80.即名品GE-2 .AE=AC-CE=9-2=7. 【点拨】解此类题时要观察图形，找到相似的三角形，而正确利用等边三角形内角是60 及三角形外角的性质得到∠DAB=∠EDC是得出相似的关键 基础巩固达标闯关 卡多多 1.三角形三边之比为3：5：7，与它相似的三角形最长边为21cm,则其余两边长的和 为 2.如图，若△ABC∽△DEF,则∠D的度数为 3.如图，∠C=∠E=90°，AD=10,DE=8,AB=5,则AC= 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图 4.如图，∠BAD=∠CAE,∠B=∠D,AB=2AD,则△ABC∽△ADE的相似比为 5.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D为AB的中点，E在线段AC上，AD= AB 瓷，则 C 6.如图，AB∥EF∥DC,AD∥BC,EF与AC交于点G,则图中相似三角形共有() A.3对 B.5对 C.6对 D.8对 80 图形的相似 第四章 7.如图，已知AB∥CD,AD与BC相交于点P,AB=4,CD=7,AD= 10,则AP的长等于() A智 B. Cm D.2 第7题图 8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,若AD=1, BD=4,则CD=() A.2 B.4 C.v2 D.3 第8题图 9.如图，在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB,交BC于点E, ◇E AB=20,AC=12.求BE的长. D 第9题图 能力提升螂综合拓展 IO.如图，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交 于点G,连接CF求证： (1)△DAE≌△DCF (2)△ABG△CFG. 第10题图 11.如图，∠ABD=∠BCD=9O°，DB平分∠ADC,过点B作BM∥CD交AD于点M.连接 CM交DB于点N. (1)请说明：BD=AD.CD (2)若CD=6,AD=8,求MN的长. B 第11题图 时 口数学 九年级上册（北师大版） 中考链接⊙真题演练 12.(2024重庆)如图，在△ABC中，延长AC至点D,使CD=CA,过点D作DE∥CB, 且DE=DC,连接AE交BC于点F若∠CAB=∠CFA,CF=1,则BF= 第12题图 第13题图 第14题图 13.(2024·苏州)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CB=5,CA=10,点D,E分别在 AC,AB边上，AE=V5AD,连接DE,将△ADE沿DE翻折，得到△FDE,连接CE,CF. 若△CEF的面积是△BEC面积的2倍，则AD= 14.(2024.河南)如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点E为OC的中 点，EF∥AB交BC于点F若AB=4,则EF的长为() A号 B.1 c告 D.2 15.(2024·德阳)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，对角线AC与BD相交于点O, 点F为BC的中点，连接AF与BD相交于点E,连接CE并延长交AB于点G.求证： (1)△BEF∽△BCO, (2)△BEG≌△AEG. 第15题图 16.(2024·上海)如图，在矩形ABCD中，E为边CD上一点，且AEL BD. (1)求证：AD2=DE·DC (2)F为线段AE的延长线上一点，且满足EF=CF=BD,求证：CE=AD. 第16题图 2 图形的相似 第四章 探索三角形相似的条件（第2课时） 自主导学Q、典例精析 一P多 例题如图，BD,CE是△ABC的两条高，请说明△ADE∽△ABC 【分析】要说明△ADE∽△ABC,已知它们有一个公共角∠A,所 以只需找到另一组对应角相等或公共角的两边对应成比例.而通过高的 条件能得出∠ADB=∠AEC=90°，所以先得出△ADB∽△AEC,进而得 例题图 治长，再根据∠A为公共角得出△4nA4C 【解答】.BD,CE是△ABC的两条高，.∠ADB=∠AEC=90°. ZA=∠A,△ADB△MEC,20 又.∠A=∠A,.△ADE∽△ABC. 【点拨】判定三角形相似时，当两个三角形中已有一个角对应相等时，要判定这两个三 角形相似，一般先想到找另一组对应角相等或看这个角的两边是否对应成比例，从而得到相似. 基础巩固达标闯关 1.如图，DE与BC不平行，当4B 时，△ABC与△ADE相似 AC 2.如图，已知A(3,0),B(0,6),当点C的坐标为 时，△A0C △BOA. 第1题图 3.如图，在四边形ABCD中，已知∠B=∠ACD,AB=6,BC=4,AC=5,CD=7.5,则AD= 第2题图 第3题图 第5题图 第6题图 4.在△ABC中，∠B=25°，AD是BC边上的高，并且AD2=BD·DC,则∠BCA的度数为 5.如图，要使△ACD∽△ABC,需要补充的条件是() A折船 B器爬 C.CD2=AD-DB D.AC2=AD.AB 6.如图，点P是正方形ABCD边BC上一点，且BP-3PC,点Q是DC的中点，则AQ: QP=() A.2:1 B.3:1 C.3:2 D.5:2 83 口数学 九年级上册（北师大版） 7.根据下列条件判断Rt△ABC和Rt△A'B'C'是否相似，其中∠C=∠C'=90°. (1)AC=14 cm,BC=6 cm,A'C'=7 cm,B'C'=3 cm. (2)AB=V6 cm,AC=V3 cm,A'B'=V30 cm,A'C'=V15 cm 能力提升睡综合拓展 8.如图，在△ABC中，AB=AC,点E在边BC上移动（点E不与点B,C重合），满足 ∠DEF=∠B,且点D,F分别在边AB,AC上. (1)求证：△BDE∽△CEF (2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分DFC. 第8题图 9.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,AF平分∠DAC,分别交DC,BC的延长线于 点E,F连接DF,过点A作AH∥DF,分别交BD,BF于点G,H. (1)求DE的长， (2)请说明：∠1=∠DFC. 第9题图 函 图形的相似 第四章 中考链接⊙真题演练 10.(2024·滨州)如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC 上，添加一个条件使△ADE∽△ACB,则这个条件可以是 (写 出一种情况即可)· 11.(2024广州)如图，点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD 第10题图 上，BE=3,EC=6,CF=2.求证：△ABE∽△ECF E 第11题图 12.(2023·伊春)如图1，△ABC和△ADE是等边三角形，连接DC,点F,G,H分别 是DE,DC和BC的中点，连接FG,FH.易证：FH=V3FG (1)如图2，若△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°，其他条 件不变，判断H和FG之间的数量关系，写出你的猜想并证明. (2)如图3，若△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE=120°，其他条件不 变，判断FH和FG之间的数量关系，写出你的猜想并证明. 术感 图2 图3 第12题图 85 口数学 九年级上册（北师大版） 探索三角形相似的条件（第3课时） 自主导学Q典例精析 例题如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 和△DEF的顶点都在格点上，判断△ABC和△DEF是否相似，并说 明理由 D 【分析】首先由勾股定理和小正方形的边长为1，能求出△ABC 例题图 和△DBF各边的长，可得出虎品-部，然后由三组对应边对应成比例判定△ABC和 △DEF相似. 【解答】△ABC和△DEF相似.理由：由勾股定理，得AB=2V5,AC=V5,BC=5, ,m以，V5,提2Y5罗，品，=2写，提 DE-4 祭，△ABC∽△DF AC_BC 【点拨】在有关网格三角形相似的问题中，常常需要利用网格的单位长度和勾股定理求 三角形的各边长.结合三条对应边成比例的方法判断两个三角形是否相似. 基础巩固达标闯关 一P多B 1.如图，两个三角形的关系是 (填“相似”或“不相似”)，理由是 6cm 7.5cm 4 cm 9cm 5 cm 第1题图 第2题图 2如周，A8-6-6则2C 3.一个三角形的三边之比为3：4：5，另一个三角形的最短边长为6，另外两边长分别 为 时，这两个三角形相似. 4.若△ABC的各边都分别扩大到原来的3倍得到△A'BC,下列结论正确的是() A.△ABC与△A'B'C'的对应角不相等 B.△ABC与△A'B'C'不一定相似 C.△ABC与△A'BC'的相似比为1：3 D.△ABC与△A'B'C的相似比为3：1 86 图形的相似 第四章 5.在△ABC和△A'B'C'中，AB=9cm,BC=8cm,CA=5cm,A'B'=4.5cm,B'C'=2.5cm, C'A'=4cm,则下列说法错误的是() A.△ABC与△A'B'C'相似 B.AB与B'A'是对应边 C.两个三角形的相似比是2：1 D.BC与B'C'是对应边 6.已知△ABC的三边长分别为6cm,7.5cm,9cm,△DEF的一边长为4cm,当 △DEF的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似(） A.2 cm,3 cm B.4 cm,5 cm C.5 cm,6 cm D.6 cm,7 cm 7.如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是 ☑ 第7题图 A D 8.一个三角形的三边长分别为12cm,8cm,7cm,另一个三角形的三边长分别为 16cm,24cm,14cm,这两个三角形相似吗？为什么？ 9.一个钢筋三脚架三边长分别为20cm,50cm,60cm,现要再做一个与其相似的钢筋 三脚架，而只有长为30cm和50cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根截下 两段（允许有余料）作为另两边，写出所有不同的截法 ⑦ 口数学 九年级上册（北师大版） 能力提升睡综合拓展 10.如图，点O是△ABC内一点，点D,E,F分别是OA,OB,OC边中点，试猜想 △ABC是否相似于△DEF,并证明你的结论. 第10题图 11.如图，4B=BC=4C,试说明∠BAD=∠CBE AD DE AE 第11题图 12.如图，在8×8的正方形网格中，△CAB和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的 顶点上，AC与网格上的直线相交于点M. (1)填空：AC= ,AB= (2)求∠ACB的值. (3)判断△CAB和△DEF是否相似，并说明理由. 第12题图 88 图形的相似 第四章 *13.如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上 (1)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由. (2)点P,P,P,P4,P,D,F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3 个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似（要求写出两个符合条件的三角形， 并在图中连接相应线段，不必说明理由). 第13题图 中考链接©真题演练 -s多多 14.(2020·南京)如图，在△ABC和△A'BC'中，点D,D'分别是AB,A'B'上一点， ADA'D' ABA'B' (1)当CD=AC=AB时，求证：△ABC∽△A'B'C CD'A'CA'B' 证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格 AD_A'D' AD AB AB AB' ADAB △ADC∽△A'D'C CD_AC_AB △ABC∽△A'B'C CD-AC-AB AC AB ACAB (②)当品长5C时，判断△ABC与△4BC是否相似，并说明理由， 第14题图 89