第四章 指数函数与对数函数 单元专题讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第四章 指数函数与对数函数 目录 题型1：判断函数零点个数 2  应用函数性质判断 2  数形结合判断 4  应用零点存在定理判断 7 题型2：一元二次方程根的分布 8  根的k分布（两根与k的大小比较） 8  根的区间分布 12 题型3：利用函数零点求参数 16  已知函数零点求参 16  已知零点所在区间求参 19  已知零点个数求参 21 题型4：嵌套函数的零点问题 25  判断嵌套函数的零点个数 25  由嵌套函数的零点情况求参数 27 【强化训练】 30 题型1：判断函数零点个数 方法提炼 函数零点个数的求解与判断： (1) 直接求零点：令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点. (2) 零点存在定理：不仅要求函数图像在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点. (3) 利用图像交点的个数 ①画出函数图像，图像与轴交点的个数就是函数的零点个数. ②将函数拆成，则函数的零点个数即为和的图像的交点个数. (4) 利用函数性质：利用函数的单调性确定函数图像的起伏，则其零点个数不难得到；若函数是周期函数，则只需求出函数在一个周期内的零点个数. (5) 构造函数模型:根据题目的不同,可直接作差构造函数、分离参数后构造函数、先换元再构造函数等. · 应用函数性质判断 【例1.1.】 已知函数，，则函数的零点个数为 . 【答案】3 【难度】0.65 【知识点】零点存在性定理的应用、根据解析式直接判断函数的单调性、求函数零点或方程根的个数、求分段函数解析式或求函数的值 【分析】分，和讨论，结合零点存在性定理和函数单调性判断零点个数. 【详解】当时，，所以0是的零点， 当时，， 因为均在上单调递增，所以在上单调递增， 又，，则， 所以在上有且仅有1个零点， 当时，，易知在上单调递减， 又，则， 所以在上有且仅有1个零点， 综上，的零点个数为3. 故答案为：3. 【例1.2.】 已知函数是奇函数，则函数的零点个数为 ． 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】求函数零点或方程根的个数、由奇偶性求参数 【分析】由函数奇偶性求得，再结合一元二次方程求解即可. 【详解】因为为奇函数， 所以， 联立解得：，经验证符合题意， 所以，， 令， 当时，得：，解得：， 当时，得：，解得：， 所以函数的零点个数为2. 故答案为：2. 【例1.3.】 函数所有零点之和为 ． 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、求零点的和、判断指数型复合函数的单调性、函数对称性的应用 【分析】分析函数的对称性和单调性，再求出所有零点和. 【详解】函数的定义域为R，， 函数的图象关于直线，当时，， 令，任取， ， 由，得，则，， 因此函数在上单调递增，而函数在上单调递增， 则函数在上单调递增，， 于是函数在上有唯一零点，由对称性知，函数在上有唯一零点， 所以函数所有零点之和为2. 故答案为：2 · 数形结合判断 【例1.4.】 已知函数是周期为2的周期函数，且当时，，则函数的零点个数是（   ） A．9 B．10 C．11 D．18 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求函数零点或方程根的个数、函数周期性的应用、函数图象的应用 【分析】作出函数图象，利用数形结合计算即可. 【详解】易知在上为偶函数，结合其周期性，画出函数的图象， 再作出函数的图象，如下图， 由图可知，与共有10个交点， 故原函数有10个零点. 故选：B 【例1.5.】 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则在内所有的零点之和为（    ） A．16 B．12 C．8 D．4 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求函数零点或方程根的个数、函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用 【分析】根据函数的对称性可推导出函数的周期为4，结合对称性作出函数的图象，即可求解. 【详解】由于为奇函数，为偶函数，故和， 进而可得和， 因此，从而， 故为周期为4的周期函数， 当时，，故， 由于，结合，可得，故， 又，故，即，故， 因此， 作出的一个周期内的函数图象，则直线与的两个交点关于直线对称， 因此在内的两个零点之和为4， 则在内的两个零点之和为12，故所有的零点之和为16， 故选：A    【例1.6.】 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则方程的所有实根之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求函数零点或方程根的个数、函数奇偶性的应用 【分析】画出奇函数的图象，将题意转化为函数的图象与直线的交点的横坐标的和，数形结合可得结果． 【详解】由题意得方程的根是函数的图象与直线的交点的横坐标， 根据分段函数的解析式，以及是定义在上的奇函数，作出函数的图象如图所示：    作出直线，由图可知，与的图象有5个交点，从左到右依次记为， 根据的图象的对称性可得， 根据是奇函数得，， 所以， 由得， 所以， 故选：C · 应用零点存在定理判断 【例1.7.】 函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求函数零点或方程根的个数 【分析】由和都在上连续且单调递增，得在上连续且单调递增，所以函数最多有1个零点．再根据,可知函数有且只有一个零点. 【详解】解：由和 都在上连续且单调递增，得 在上连续且单调递增，所以函数最多有1个零点． 因为,,所以函数有且只有一个零点. 故选：B. 【例1.8.】 函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】零点存在性定理的应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】根据题意，分析每一段零点个数，当时，易得一个零点，当，根据单调性及零点存在定理判断即可. 【详解】当时，令，解得， 当时，，， ，所以在上存在零点， 又因为在上单调递增，所以函数在上有唯一零点． 综上，的零点个数为2. 故选：C. 题型2：一元二次方程根的分布 · 根的k分布（两根与k的大小比较） 方法提炼 分布情况 大致图像 综合结论 【例2.1.】 已知函数在上有两个零点，，则当 时，取得最小值. 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】由函数的零点的范围可得a的范围，进而可得两个零点之和及之积，求出的表达式，再求出它的最小值及最小值时的a的值． 【详解】函数在上有两个零点，， 可得，可得， 且，， 所以，则此时 故答案为： 【例2.2.】 关于x的方程至少有一个负实根，则a的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】对和分类讨论求解，结合一元二次方程的根与系数的关系即可求解. 【详解】当时，方程为，有一个负根， 当时，为一元二次方程， 关于的方程至少有一个负根，设根为，， 当时，即时，方程为，解得，满足题意， 当，即时，且时， 若有一个负实根，则，解得， 若有两个负实根，则，解得， 综上所述，则实数的取值范围是； 故答案为：． 【例2.3.】 设 是关于x的方程： 的两个实数根、 (1)若， 求 ； (2)若 是两个不相等的正数，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、解不含参数的一元二次不等式、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】（1）将代入已知方程，利用分解因式法求方程的根； （2）由条件可得，，，结合根与系数关系可得结论. 【详解】（1）若，则方程为， 即，故. （2）因为是两个不相等的正数， 所以， 解得，所以或， 即的取值范围是或. 【例2.4.】 已知关于的方程有4个互不相同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】通过换元令，得，由于有两个不同的正根，列出不等式求解即可. 【详解】由， 得，令， 得， 由题意可知方程有两个不同的正根， 则，解得：， 即实数的取值范围是. 故选：D 【例2.5.】 已知关于的方程有4个互不相同的实数根，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、一元二次方程根的分布问题 【分析】令（），原方程转化为，根据一元二次不等式有两个不等的实根求解即可. 【详解】令（），原方程转化为． 关于的方程有4个互不相同的实数根，即有2个不同的正根， 因此有。解得． 故选：D． · 根的区间分布 方法提炼 分布情况 两根 两根有且仅有一根 一根在，另一根在， 大致图像 结论 大致图像 结论 【例2.6.】 若二次函数在区间上有且仅有一个零点，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】求出二次函数的对称轴，结合开口方向得到不等式，求出答案. 【详解】二次函数的对称轴为，开口向下， 要想满足区间上有且仅有一个零点，需当时，， 解得. 故选：A 【例2.7.】 已知方程的两根，，且，，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】根据二次函数的性质列出不等式，然后求出解集即可. 【详解】令， 由题意，则，得解得． 故选：D． 【例2.8.】 已知函数在区间内只有一个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、一元二次方程根的分布问题 【分析】根据二次函数零点的存在性质，分类讨论，根据零点存在性定理，可得答案. 【详解】当时，即，解得或， 令，则，令，解得，符合题意； 令，则，令，解得，不合题意. 当时，由题意可得，则，解得； 令，则，令，解得或，显然不合题意； 令，则，令，解得或2，显然符合题意. 综上所述，的取值范围为或. 故选：D 【例2.9.】 函数在上有零点，则实数的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】转化为二次方程根的分布求解，按方程的判别式分三大类讨论；当时，再按区间端点处函数值是否为0及符号分类讨论可得. 【详解】对于函数，开口向上，对称轴为， 令，由题意得方程在区间内有根. ， 当，即时，没有零点，不符合题意； 当，即或时， 当时，，零点为，，不符合题意； 当时，，零点为，，符合题意； 当，即或时，方程有两个不相等的根， 由题意方程至少有一个根在区间内. ① 若，解得， 此时，故零点为0或，符合题意； ② 若，解得，同上成立； ③若，要使函数在有零点， ，又，即； 综上可得 . 故选：D. 题型3：利用函数零点求参数 方法提炼 根据函数的零点求参数值或取值范围常用的方法和思路： (1) 直接法：利用零点存在定理构造关于参数的不等式，通过解不等式确定参数取值范围. (2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决. 1　 方程有个根的图象与直线有个交点． 2　 方程有根． (3) 数形结合法：有个零点方程有个实数根函数与的图像有个交点 · 已知函数零点求参 【例3.1.】 已知函数，若存在两个零点，且，则实数 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】对数的运算、对数函数图象的应用、根据指对幂函数零点的分布求参数范围、指数函数图像应用 【分析】先指数函数，对数函数图象画出函数图象，再结合，再应用指对数运算结合函数单调性即可求解. 【详解】画出函数的图象，再画出直线， 可以发现当直线过点时，直线与函数图象有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图象有两个交点， 即方程有两个解，也就是函数有两个零点， 此时满足，即. 不妨设，则， 从而即 设，函数单调递增，且 所以，又，解得， 所以.    故答案为：. 【例3.2.】 已知函数若，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据指对幂函数零点的分布求参数范围 【分析】作出函数图象，观察得出的关系及范围，然后把化为一个变量的函数，再求得范围． 【详解】作出的图象，如图所示．由，得，， 则，，则，， 令，，则， 当时，函数的取值范围是． 故答案为：．    【例3.3.】 已知，若互不相等，且，则的范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】分段函数的性质及应用、根据指对幂函数零点的分布求参数范围 【分析】根据函数的单调性得出的关系及范围，然后利用对勾函数的性质得出结论． 【详解】函数在，上单调递减，在上单调递增，，， 画出的图象，如图， 令，由，得，，， 由，得，即，由，得， 于是，由对勾函数性质知，在上递增，则， 所以的范围是． 故答案为： · 已知零点所在区间求参 【例3.4.】 若函数的零点，则整数的取值为 ． 【答案】或2 【难度】0.65 【知识点】根据零点所在的区间求参数范围 【分析】先将零点问题化为交点问题，再结合图象确定其中一个零点范围，再利用零点存在性定理确定另一个零点范围，最后求解参数即可. 【详解】由题意得的定义域为， 令，则， 可得函数的零点为函数的图象与的图象交点的横坐标， 如答图15-18，可知交点有两个，其中一个交点的横坐标满足．    而函数的零点，解得， 而，， 则，由零点存在性定理得存在作为零点， 因为该零点满足，且为整数，所以， 综上，或2. 故答案为：或2 【例3.5.】 若函数在区间上有零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】零点存在性定理的应用、根据零点所在的区间求参数范围 【分析】由函数有零点转化成函数与在区间上有交点，结合图象，易得不等式组，解之即得. 【详解】由可得， 则函数在区间上有零点等价于函数与在区间上有交点， 因在区间上为减函数，在区间上为增函数，如图所示. 由图知，需使，即，解得. 故答案为：. 【例3.6.】 已知函数（为常数，）． (1)当取何值时，函数为奇函数； (2)当时，若方程在上有实根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据指对幂函数零点的分布求参数范围、由奇偶性求参数 【分析】（1）根据奇函数定义直接构造方程求解即可； （2）根据指数函数和对勾函数单调性可求得，令，将问题转化为方程在上有根，结合单调性可求得结果. 【详解】（1）若为奇函数，则， 即， ，，，解得：. （2）当时，，， ， 当时，，又在上单调递增， 当时，， 令，则方程在上有实根， 在上有实根，又在上单调递增， ，. · 已知零点个数求参 【例3.7.】 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，若在区间上，函数有三个零点，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】题目条件转换为和的图象有三个交点，分别画出和的图象即可求解. 【详解】函数有三个零点，转化为方程有三个根， 分别画出和的图象，    由于为过定点的一条直线，结合图象知有三个不同的交点，可知． 故选：C． 【例3.8.】 已知函数有唯一零点，则实数（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数奇偶性的定义与判断 【分析】令，可得函数为偶函数，结合已知可得，可求得的值. 【详解】因为，所以， 令，则， 又因为， 所以函数为偶函数，又函数有唯一零点， 则有唯一零点，所以，解得. 故选：D. 【例3.9.】 已知函数有3个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】根据对数函数性质得在上有一个零点，进而分析函数在有两个零点，然后利用二次函数零点分布列不等式组，即可求解. 【详解】当时，由，得，则在上有一个零点； 若有3个零点，则在时函数必有两个零点， 因为，所以函数在有两个零点， 当时，无零点，不合题意， 当时，由题意在有两个零点，且， 则需满足，解得， 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 【例3.10.】 已知函数若关于的方程恰有两个不同的根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】分段函数的性质及应用、根据指对幂函数零点的分布求参数范围 【分析】根据对数有意义的条件求出，然后分和进行讨论，再利用数学结合的思想，列出不等式组进行求解即可． 【详解】因为对任意恒成立，所以． 当时，在上单调递减，且当时，，要使得关于的方程恰有两个不同的根，则函数的图象与直线恰有两个交点，如图，      所以，，解得． 当时，，，不满足方程有两个根，故舍去， 故选：B． 【例3.11.】 设，若函数有4个不同的零点，，，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、根据指对幂函数零点的分布求参数范围、函数对称性的应用、函数图象的应用 【分析】作出的大致图象，结合图象得到，可知，进而得到，利用对勾函数的性质，即可求解． 【详解】由题意，，函数 当时，，可得的图象关于直线对称. 作出的大致图象，如图所示. 由，可知. 由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递增， 所以当时，， 所以， 则 . 由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递增， 所以， 即， 即的取值范围是. 故选：A. 题型4：嵌套函数的零点问题 · 判断嵌套函数的零点个数 方法提炼 嵌套函数的零点个数问题求解思路及步骤： (1) 确定内层函数和外层函数； (2) 确定外层函数的零点； (3) 确定直线与内层函数图象的交点个数分别为，则函数的零点个数为. 【例4.1.】 函数，则函数的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】分段函数的性质及应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】设，则解方程，进而利用数形结合求出与的交点个数，从而可得函数的零点个数. 【详解】设，则， 当时，，解得或（舍去），则； 当时，，解得. 画出的函数图象，如下图所示： 由图象可知，与有3个交点，与有2个交点， 所以函数的零点个数为5. 故选：C 【例4.2.】 已知函数，则函数的零点个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】求函数零点或方程根的个数、函数图象的应用 【分析】令，由可得，，，分类讨论结合函数图象分析求解即可. 【详解】求函数的零点个数，即求方程的不同实数根的个数， 如图，作出函数的大致图象， 令，则，解得，，． 当时，，则，此时方程无解； 当时，，则，此时方程有3个不同实数根； 当时，，则，此时方程有2个不同实数根． 综上可知，函数的零点个数为5． 故选：A． · 由嵌套函数的零点情况求参数 方法提炼 已知复合函数实数根的个数，求参数问题处理思路： (1) 先根据解析式画出内（外）层函数图象； (2) 令内函数，结合函数图象及零点个数，分析函数根的个数； (3) 内外层函数相结合确定函数交点个数情况，从而得到关于参数的不等式，解出参数范围即可. 【例4.3.】 已知函数在区间上有两个零点，实数的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】先换元对原函数进行化简，然后根据对勾函数的性质判断单调性和最值，进而求出结果. 【详解】令，因为，所以， 则有方程在内有2个根， 即在内有2个解， 即直线与函数的图象在内有2个交点， 由对勾函数的性质可知，在上单调递减，在上单调递增， 又因为，，， 所以. 故答案为：. 【例4.4.】 已知函数，若关于的方程有3个不同的实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求指数型复合函数的值域、根据函数零点的个数求参数范围、根据二次函数零点的分布求参数的范围、判断指数型复合函数的单调性 【分析】根据、共有3个不同的实数根据可求实数的取值范围，后者可就、、分类讨论即可. 【详解】由可得或， 当时，， 当时，令，解得， 故有两个不同的解且异于， 而在上为减函数，且， 故在上至多有一个实数根， 若在上有一个实数根，则， 即，考虑此时解的个数， 此方程可化为， 因为，故只有一个实数解， 若该解与相同，则即，与矛盾， 故符合题设要求； 若在上无实数根，则或， 即或，考虑解的个数， 若，则，有一个实数根， 故原方程至多有两个不同的实数根，与题设矛盾； 若，则，故， 当且仅当，时等号成立， 故此时至多有一个实数根， 故原方程至多有两个不同的实数根，与题设矛盾； 综上，， 故选：C. 【例4.5.】 已知函数，若关于x的方程有六个相异的实数根，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】作出函数的图象，令，分析可知关于的方程在内有两个不同实数根，根据二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】画出函数的图象如下图所示， 令，则方程可化为. 由图可知：当时，与有个交点， 关于x的方程有六个相异的实数根， 则方程在内有两个不同实数根，所以， 解得，因此，实数的取值范围为. 故答案为：. 【强化训练】 1. 已知函数是周期为2的周期函数，且当时，，则函数的零点个数是（    ） A．9 B．10 C．11 D．18 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数与方程的综合应用、求函数零点或方程根的个数、函数周期性的应用 【分析】分别画出两函数图象，根据交点个数即可求出零点个数. 【详解】由题意，分别画出函数和的图象，如下图所示： 显然的值域为,易知，且当时，两函数图象无交点， 由图可知，与的图象共有10个交点，故原函数有10个零点． 故选：B 2. 若不等式有且只有两个整数解，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】零点存在性定理的应用、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】设，则，由题意可得不等式的解集中的两个整数为，0，则求解即可. 【详解】设，则， 所以不等式的解集中的两个整数为，0， 则 所以 解得． 故选：D 3. 已知函数，若关于的方程有四个不同的实数解、、、，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】函数与方程的综合应用、根据指对幂函数零点的分布求参数范围 【分析】画出函数的图象，根据对称性和对数函数的图象和性质即可求出． 【详解】作出函数的图象如下图所示： 若关于的方程有四个不同的实数解、、、，且， 由可得或，解得或， 所以，， 由得，即，所以，， 由图可知，点、关于直线对称，则， 所以，，其中， 令函数，其中，则函数在上单调递增， 所以，，即，即. 故选：D. 4. （多选）设，则（   ） A．当时， B．当时，有3个零点 C．有实数解 D．当时，有个零点 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】求函数零点或方程根的个数、求分段函数解析式或求函数的值 【分析】直接赋值可得到选项A；数形结合，做出的图像可得到选项B；把原复合方程的解的问题转化为的解的问题可得到选项C；时，的零点问题等价于区间有几个整数问题，进而得到选项D. 【详解】对于A：当时，,，故A选项正确； 对于B：当作出的图像，由图像知只有2个零点，故B选项错误； 对于C：易知满足的解一定是的解， 而当时，，而方程一定有负根，故C选项正确； 对于D：令，当时，有2个零点； 当时， 在且)的图像向右平移一个单位，再向下平移一个单位， 即可得到在的图像，的零点问题等价于区间有几个整数问题， 零点有个； 一共有零点个，故D选项正确. 故选：ACD 5. 设函数 若关于的方程有5个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】画出具体函数图象、函数图象的变换、根据零点求函数解析式中的参数 【分析】令，代入方程解得或，则和共有5个不同的实数根.作出的图象，观察图象即可求出的取值范围. 【详解】令，则，即，即，解得或，则和共有5个不同的实数根.作出的图象，如图： 由图可知，，解得. 故答案为：. 6. 若函数有两个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围、根据零点求函数解析式中的参数 【分析】 令，则只有一个零点，即，据此即可求解. 【详解】 函数的定义域为，令， 则只有一个零点， 且该零点为正数，， 根据函数和的图象及凹凸性可知， 只需满足即可，即：， 又因为，所以实数的取值范围是． 故答案为：. 7. 设是实数，且若关于的方程有且仅有一解，则的取值范围为 . 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】函数与方程的综合应用、分段函数的性质及应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】分类讨论与时的两种情况，利用函数图像，即可求解. 【详解】当时，在单调递减，在单调递增，作出的图像如下： 又直线恒过定点，当时，直线的斜率， 要使有且仅有一解，则直线与的图像只有一个交点，结合函数图像可知：当直线与相切时，只有一个交点，故， 故，解得， 当时，在单调递减，在单调递减，作出的图像如下： 又直线恒过定点，当时，直线的斜率， 要使有且仅有一解，则直线与的图像只有一个交点，结合函数图像可知：直线与始终有交点， 综上可得：或 故答案为：或. 8. 已知方程，求m为何值时： (1)方程有一个正根一个负根； (2)方程两根均大于1； (3)方程在内有实数根． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、一元二次方程根的分布问题 【分析】（1）利用三个二次的关系，数形结合可得关于的不等式组，求解即得； （2）利用三个二次的关系，数形结合可得关于的不等式组，求解即得； （3）由题意，方程在内有实数根包括在内有且仅有一个根和在内有两个根两类情况，结合函数图象考虑端点的函数值，分别列出不等式组，求解即得. 【详解】（1） 设函数，易知该函数的图象开口向上，对称轴为：， 要使方程有一个正根一个负根，需使函数的图象和轴的正负半轴各有一个交点， 如图需使，解得， 故的取值范围为； （2） 要使方程的两根均大于1，如图需使，解得， 故的取值范围为； （3）因，， 方程在内有实数根包括以下两类情况： ①方程在内有且仅有一个根时，若端点值不为0，由可得； 若端点值为0时，则或，当时，（不合题意，舍去）， 当时，（符合题意），故得； ② 方程在内有两个根时，如图需使， 解得：， 综上，可得的取值范围为. 9. 已知函数，． (1)直接写出时，的最小值． (2)若，求证：在上存在唯一零点． (3)若，有且仅有两个零点，求a的取值范围． 【答案】(1)2 (2)证明见解析 (3) 【难度】0.4 【知识点】零点存在性定理的应用、对数型复合函数的单调性、基本不等式求和的最小值、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）根据基本不等式可求得的最小值； （2）先判断的单调性，再证，根据零点存在性定理即可得证； （3）由题意，求出的值，令，将存在两个个零点转化为在上存在一个零点或两个零点为和2，再结合二次函数分情况讨论即可. 【详解】（1）根据题意，因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以时，的最小值为2 （2）当时，， 令， 所以函数在上单调递增， 又因为在上单调递增， 所以在区间上单调递减 又， 而，， 且 所以 又，， 则，所以． 又在区间上单调递减，所以在上存在唯一零点 （3）由，解得，则， 令，则 ∴有且仅有两个零点等价于在上有且仅有一个零点或两个零点为和2 令，则在上有且仅有一个零点或两个零点为和2. （ⅰ）若零点为和2，则无解； （ⅱ）若，则，令可得，故满足题意； （ⅲ）若，图象的对称轴为， 由在上有且仅有一个零点，则有 ①或 整理得或 解得， ②，解得. 综上，的取值范围为 10. 已知函数，． (1)当时，求的解集； (2)若函数在上是增函数，求实数的取值范围； (3)若存在实数，使得关于的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】函数与方程的综合应用、解不含参数的一元二次不等式、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】（1）将参数代入，分类讨论去掉绝对值后解不等式即可； （2）将函数改写为分段函数形式，并根据二次函数单调性解不等式可得实数的取值范围； （3）利用函数与方程的思想，将问题转化为方程有三个不相等的实数根，利用二次函数单调性可得不等式，再由对勾函数性质求出，可得实数的取值范围． 【详解】（1）当时，可得， 不等式可得； 当时，不等式为，解得； 当时，不等式为，可得； 综上可知，的解集为； （2）依题意可知； 当时，图象的对称轴为， 当时，图象的对称轴为， 若函数在上是增函数，可得，解得； 因此实数的取值范围为. （3）依题意可知方程有三个不相等的实数根， 又因为，由（2）中结论可得当时，函数在上是增函数， 此时方程不可能有三个不相等的实数根，不合题意； 当时，可知； 所以可得在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，关于方程可能有三个不相等的实数根， 即可得， 因为，所以， 设， 因为存在实数，使得关于的方程有三个不相等的实数根，； 又在上单调递增，所以； 因此可知时，满足题意， 所以实数的取值范围为. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 指数函数与对数函数 目录 题型1：判断函数零点个数 2  应用函数性质判断 2  数形结合判断 3  应用零点存在定理判断 3 题型2：一元二次方程根的分布 3  根的k分布（两根与k的大小比较） 3  根的区间分布 5 题型3：利用函数零点求参数 6  已知函数零点求参 6  已知零点所在区间求参 7  已知零点个数求参 7 题型4：嵌套函数的零点问题 8  判断嵌套函数的零点个数 8  由嵌套函数的零点情况求参数 8 【强化训练】 9 题型1：判断函数零点个数 方法提炼 函数零点个数的求解与判断： (1) 直接求零点：令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点. (2) 零点存在定理：不仅要求函数图像在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点. (3) 利用图像交点的个数 ①画出函数图像，图像与轴交点的个数就是函数的零点个数. ②将函数拆成，则函数的零点个数即为和的图像的交点个数. (4) 利用函数性质：利用函数的单调性确定函数图像的起伏，则其零点个数不难得到；若函数是周期函数，则只需求出函数在一个周期内的零点个数. (5) 构造函数模型:根据题目的不同,可直接作差构造函数、分离参数后构造函数、先换元再构造函数等. · 应用函数性质判断 【例1.1.】 已知函数，，则函数的零点个数为 . 【例1.2.】 已知函数是奇函数，则函数的零点个数为 ． 【例1.3.】 函数所有零点之和为 ． · 数形结合判断 【例1.4.】 已知函数是周期为2的周期函数，且当时，，则函数的零点个数是（   ） A．9 B．10 C．11 D．18 【例1.5.】 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则在内所有的零点之和为（    ） A．16 B．12 C．8 D．4 【例1.6.】 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则方程的所有实根之和为（    ） A． B． C． D． · 应用零点存在定理判断 【例1.7.】 函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例1.8.】 函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型2：一元二次方程根的分布 · 根的k分布（两根与k的大小比较） 方法提炼 分布情况 大致图像 综合结论 【例2.1.】 已知函数在上有两个零点，，则当 时，取得最小值. 【例2.2.】 关于x的方程至少有一个负实根，则a的取值范围是 . 【例2.3.】 设 是关于x的方程： 的两个实数根、 (1)若， 求 ； (2)若 是两个不相等的正数，求实数m的取值范围. 【例2.4.】 已知关于的方程有4个互不相同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2.5.】 已知关于的方程有4个互不相同的实数根，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． · 根的区间分布 方法提炼 分布情况 两根 两根有且仅有一根 一根在，另一根在， 大致图像 结论 大致图像 结论 【例2.6.】 若二次函数在区间上有且仅有一个零点，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【例2.7.】 已知方程的两根，，且，，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【例2.8.】 已知函数在区间内只有一个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2.9.】 函数在上有零点，则实数的最大值是（   ） A． B． C． D． 题型3：利用函数零点求参数 方法提炼 根据函数的零点求参数值或取值范围常用的方法和思路： (1) 直接法：利用零点存在定理构造关于参数的不等式，通过解不等式确定参数取值范围. (2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决. 1　 方程有个根的图象与直线有个交点． 2　 方程有根． (3) 数形结合法：有个零点方程有个实数根函数与的图像有个交点 · 已知函数零点求参 【例3.1.】 已知函数，若存在两个零点，且，则实数 . 【例3.2.】 已知函数若，且，则的取值范围是 ． 【例3.3.】 已知，若互不相等，且，则的范围是 ． · 已知零点所在区间求参 【例3.4.】 若函数的零点，则整数的取值为 ． 【例3.5.】 若函数在区间上有零点，则实数的取值范围是 ． 【例3.6.】 已知函数（为常数，）． (1)当取何值时，函数为奇函数； (2)当时，若方程在上有实根，求实数的取值范围． · 已知零点个数求参 【例3.7.】 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，若在区间上，函数有三个零点，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【例3.8.】 已知函数有唯一零点，则实数（   ） A． B． C．1 D．2 【例3.9.】 已知函数有3个零点，则实数的取值范围为 . 【例3.10.】 已知函数若关于的方程恰有两个不同的根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3.11.】 设，若函数有4个不同的零点，，，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型4：嵌套函数的零点问题 · 判断嵌套函数的零点个数 方法提炼 嵌套函数的零点个数问题求解思路及步骤： (1) 确定内层函数和外层函数； (2) 确定外层函数的零点； (3) 确定直线与内层函数图象的交点个数分别为，则函数的零点个数为. 【例4.1.】 函数，则函数的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例4.2.】 已知函数，则函数的零点个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 · 由嵌套函数的零点情况求参数 方法提炼 已知复合函数实数根的个数，求参数问题处理思路： (1) 先根据解析式画出内（外）层函数图象； (2) 令内函数，结合函数图象及零点个数，分析函数根的个数； (3) 内外层函数相结合确定函数交点个数情况，从而得到关于参数的不等式，解出参数范围即可. 【例4.3.】 已知函数在区间上有两个零点，实数的取值范围为 . 【例4.4.】 已知函数，若关于的方程有3个不同的实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例4.5.】 已知函数，若关于x的方程有六个相异的实数根，则实数a的取值范围是 ． 【强化训练】 1. 已知函数是周期为2的周期函数，且当时，，则函数的零点个数是（    ） A．9 B．10 C．11 D．18 2. 若不等式有且只有两个整数解，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 3. 已知函数，若关于的方程有四个不同的实数解、、、，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4. （多选）设，则（   ） A．当时， B．当时，有3个零点 C．有实数解 D．当时，有个零点 5. 设函数 若关于的方程有5个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ． 6. 若函数有两个零点，则实数的取值范围是 ． 7. 设是实数，且若关于的方程有且仅有一解，则的取值范围为 . 8. 已知方程，求m为何值时： (1)方程有一个正根一个负根； (2)方程两根均大于1； (3)方程在内有实数根． 9. 已知函数，． (1)直接写出时，的最小值． (2)若，求证：在上存在唯一零点． (3)若，有且仅有两个零点，求a的取值范围． 10. 已知函数，． (1)当时，求的解集； (2)若函数在上是增函数，求实数的取值范围； (3)若存在实数，使得关于的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $