精品解析：山西省太原市常青藤中学校、朔州市平鲁区李林中学2025-2026学年高二上学期10月联考数学试题

太原市常青藤中学 平鲁区李林中学2025-2026年度上学期联考 高 二 数 学 试 题 卷面分数：150分 答题时间：120分钟 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若某直线过(3,2),(4,2+)两点,则此直线的倾斜角为(　　). A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 在空间直角坐标系中，记点关于轴的对称点为，关于平面的对称点为，则线段中点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A. B. C. D. 4. 直线经过点，在两坐标轴上的截距互为相反数，则的所有可能取值之和为（    ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 5. 如图，在二面角的棱上有两点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，若，则线段CD的长为（ ） A. B. 16 C. 8 D. 6. 已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，O不在该平面上，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 9 7. 在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆上，则它爬行的最短路程是（ ） A. B. 4 C. 8 D. 8. 在三棱锥中，，，两两垂直，且.若为该三棱锥外接球上的一点，则的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知表示圆，则下列结论正确的是（ ） A. 圆心坐标为 B. 当时，半径 C. 圆心到直线的距离为 D. 当时，圆面积为 10. 以下四个命题为真命题的是（ ） A. 若、、三点共线，则m的值为2 B. 直线的倾斜角的范围是 C. 已知点，，过点的直线与线段相交，则直线的斜率k的取值范围是 D. 直线与直线平行，则 11. 如图，平行六面体的所有棱长均为2，，点，分别在棱，上，且，，则（    ） A. ，，，四点共面 B. 在方向上的投影向量为 C. D. 直线与所成角的余弦值为 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点在圆外，则实数的取值范围是__________. 13. 若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线在x轴上的截距为______． 14. 已知入射光线经过点，被直线：反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程为________． 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线过点且与直线垂直，圆的圆心在直线上，且过，两点． （1）求直线的方程； （2）求圆的标准方程． 16. 如图甲，在梯形中，，，，是的中点，将沿折起，使点到达点的位置，如图乙，且. （1）求证：平面平面； （2）求点到平面的距离. 17. 如图，在直三棱柱中，已知，，，，是线段的中点. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求平面夹角的余弦值. 18. 设直线l的方程为 （1）若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. （2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围. （3）若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程. 19. 如图，在四面体中，平面，M，P分别是线段，的中点，点Q在线段上，且. （1）求证：平面； （2）当，时，求平面与平面夹角的余弦值； （3）在（2）的条件下，若为内的动点，平面，且与平面所成的角最大，试确定点G的位置. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太原市常青藤中学 平鲁区李林中学2025-2026年度上学期联考 高 二 数 学 试 题 卷面分数：150分 答题时间：120分钟 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若某直线过(3,2),(4,2+)两点,则此直线的倾斜角为(　　). A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】B 【解析】 【分析】通过斜率公式得到，进而得到倾斜角. 【详解】直线过(3,2),(4,2+)两点,则直线的斜率为 倾斜角为：60°. 故答案为B. 【点睛】这个题目考查了直线倾斜角和斜率间的关系，较为简单. 2. 在空间直角坐标系中，记点关于轴的对称点为，关于平面的对称点为，则线段中点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件求出点N，点P坐标，再借助中点坐标公式即可得解. 【详解】依题意，点关于轴的对称点的坐标为，关于平面的对称点为， 所以线段中点坐标为. 故选：D 3. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量加、减运算法则，以为基底表示出向量即可. 【详解】 . 故选：D 4. 直线经过点，在两坐标轴上的截距互为相反数，则的所有可能取值之和为（    ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】由直线经过点得，然后计算直线在两坐标轴上的截距，然后根据截距相反列式计算即可. 【详解】由题意，因为直线经过点，所以，则直线. 当时，直线在轴上不存在截距，不满足题意； 所以，令，则，令，则. 由题意，化简得，解得或， 故的所有可能取值之和为. 故选：C. 5. 如图，在二面角的棱上有两点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，若，则线段CD的长为（ ） A. B. 16 C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别过点、点作、的平行线相交于点，连接，则由题意可知为等边三角形，为直角三角形，求解即可. 【详解】分别过点、点作、的平行线相交于点，连接， 则四边形为平行四边形. 线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB. ，则为二面角的平面角，即 ，如图所示. 为等边三角形， ，，，平面，平面 平面 又平面 在中 故选：D 【点睛】本题考查空间的距离问题，属于中档题. 6. 已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，O不在该平面上，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量四点共面定理和基本不等式“1”的妙用求解即可. 【详解】因为四点共面， 所以由共面定理可得，，即， 所以， 因为， 当且仅当，即，即时，等号成立， 所以， 故选：C. 7. 在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆上，则它爬行的最短路程是（ ） A. B. 4 C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据将军饮马模型，求得对称点，利用两点距离公式，可得答案. 【详解】由圆，得圆心，半径， 易得点关于轴的对称点为， 如图，所求的最短路程即为到圆上的点的最短距离． 故选：A. 8. 在三棱锥中，，，两两垂直，且.若为该三棱锥外接球上的一点，则的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先将三棱锥放置在正方体中，并建立空间直角坐标系，利用转化向量的方法求数量积，再代入坐标运算，即可求解. 【详解】如图，将三棱锥放置在正方体中，三棱锥的外接球就是正方体的外接球，球心为正方体对角线的交点， ，，，，，， 设三棱锥外接球的半径为，，则， ， ， ，，， ，， ， 所以， 当时，取得最大值. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是三棱锥与外接球组合体的几何关系，以正方体为桥梁，建立空间直角坐标系，转化为数量积问题. 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知表示圆，则下列结论正确的是（ ） A. 圆心坐标为 B. 当时，半径 C. 圆心到直线的距离为 D. 当时，圆面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】写出圆的标准方程确定圆心和半径，再结合各项的描述判断正误. 【详解】将方程配方化为， 所以圆心为，半径为，故A错误； 当时，半径为，B正确； 圆心到直线的距离为，C正确； 当时，半径为3，圆面积为，D错误． 故选：BC 10. 以下四个命题为真命题的是（ ） A. 若、、三点共线，则m的值为2 B. 直线的倾斜角的范围是 C. 已知点，，过点的直线与线段相交，则直线的斜率k的取值范围是 D. 直线与直线平行，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由点的坐标写出向量，根据题意可得向量共线，建立方程，可得答案；对于B，由直线方程可得直线斜率，根据余弦函数的值域，利用正切函数的性质，可得答案；对于C，由题意作图，利用两点斜率公式求得边界直线斜率，可得答案；对于D，由直线平行建立方程，验根，可得答案. 【详解】对于A，取，，由题意可得，解得，故A错误； 对于B，由直线方程，则斜率， 由，则，设直线的倾斜角为，则， 由，解得，故B正确； 对于C，设，由题意可作图如下： 直线的斜率，直线的斜率， 由图可知直线绕点按逆时针旋转到直线，则，解得，故C正确； 对于D，由题意可得，则，，解得或， 当时，，不合题意；当时，，符合题意，故D正确. 故选：BCD. 11. 如图，平行六面体的所有棱长均为2，，点，分别在棱，上，且，，则（    ） A. ，，，四点共面 B. 在方向上的投影向量为 C. D. 直线与所成角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】在上取点，使得，可得四边形、四边形为平行四边形，求出，可判断A；对两边平方求出，再由投影向量的定义可判断B；由的线性运算后再平方可判断C；由向量的夹角公式计算可判断D. 【详解】对于A，在上取点，使得，连接， 因为，所以四边形为平行四边形， 可得， 因为，所以四边形为平行四边形， 可得，所以，可得，，，四点共面，故A正确； 对于B，因为平行六面体棱长均为2，， 因为， 则， 则， ，故B正确； 对于C，， ， 则，故C不正确； 对于D，故 ， 故直线与所成角的余弦值为，故D正确. 故选：ABD. 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点在圆外，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题可知方程表示圆的方程，且点在圆外列不等式，即可得实数的取值范围. 【详解】由得：，故 因为点在圆外，所以，所以. 所以实数的取值范围是：. 所以答案为：. 13. 若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线在x轴上的截距为______． 【答案】或13 【解析】 【分析】由两直线平行可得n，再利用平行直线间的距离公式计算可得m，即可得到答案． 【详解】由题意，，因为，所以，解得，所以：，即， 由两平行直线间的距离公式得，解得或． 在中，令，得，故直线在x轴上的截距为或13. 故答案为：或13. 14. 已知入射光线经过点，被直线：反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程为________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：关于直线：的对称点为，所以反射光线所在直线的方程是直线的方程: 考点：反射直线 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线过点且与直线垂直，圆的圆心在直线上，且过，两点． （1）求直线的方程； （2）求圆的标准方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题设，代入得出直线的方程； （2）设圆心，根据得出圆的标准方程. 【小问1详解】 由题设， 代入得，于是的方程为. 【小问2详解】 设圆心，则， 即， 解得：， ，又圆心， 圆的标准方程为. 16. 如图甲，在梯形中，，，，是的中点，将沿折起，使点到达点的位置，如图乙，且. （1）求证：平面平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1） 取的中点，连结，，因为，所以. 在中，，所以，在中，， 在中， ，，，所以， 所以，又因为，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，证明平面即得证； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，用点到平面距离的向量求法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，，，，又为中点， 所以，且，由（1）可知平面， 又因为平面， 所以，，所以两两垂直， 如图，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，     取，得，则， 所以点到平面的距离. 17. 如图，在直三棱柱中，已知，，，，是线段的中点. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求平面夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据线面角向量法求解即可； （2）根据面面角向量法求解即可. 【小问1详解】 因为在直三棱柱中，，所以分别以、、所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则， 因为是的中点，所以， 因为， 设平面的法向量， 则，即，取， 所以平面的一个法向量为，而， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为； 【小问2详解】 ，， 设平面的法向量， 则，即， 取，平面的一个法向量为， 所以， 所以平面夹角的余弦值为． 18. 设直线l的方程为 （1）若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. （2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围. （3）若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程. 【答案】（1）或. （2） （3）面积的最小值是6，此时直线l的方程为 【解析】 【分析】（1）根据直线过原点、直线与不过原点两种情况进行分类讨论，由此求得直线的方程. （2）将直线方程化为斜截式，再结合不经过第二象限列不等式组，解不等式组求得实数的取值范围. （3）根据两点的位置确定的坐标以及的取值范围，求得面积的表达式，结合的取值范围，结合基本不等式，求得面积的最小值与此时直线l的方程. 【小问1详解】 当直线过原点时满足条件，此时,解得,化为. 当直线不过原点时，则直线斜率为-1，故,解得,可得直线的方程为:. 综上所述，直线的方程为或. 【小问2详解】 , ∵不经过第二象限,∴,解得. ∴实数的取值范围是. 【小问3详解】 令,解得,解得; 令,解得,解得或. 综上有. ∴ , 当且仅当时取等号. ∴(为坐标原点)面积的最小值是6，此时直线方程，即 19. 如图，在四面体中，平面，M，P分别是线段，的中点，点Q在线段上，且. （1）求证：平面； （2）当，时，求平面与平面夹角的余弦值； （3）在（2）的条件下，若为内的动点，平面，且与平面所成的角最大，试确定点G的位置. 【答案】（1） 取BD中点，连接PO， 是BM的中点，，且， 在线段CD上取点，使，连接OF，QF， ，，且， ，四边形POFQ为平行四边形，， 又平面平面，平面. （2） （3）点位于中位线靠近的八等分点的第3个点处 【解析】 【分析】（1）利用中位线定与与平行线的传递性，结合线面平行的判定定理即可得证； （2）利用勾股定理与线面垂直的性质定理建立空间直角坐标系，再分别求得平面与平面的法向量，利用空间向量法求面面角的方法即可得解； （3）先利用线面平行的性质定理分析得在上，假设，再利用线面角的空间向量法分析得与平面所成的角时的值，从而得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，则，， 取BD中点，则，又平面，平面BCD， 以为原点，OB，OC，OP所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，故， 则，，， ，所以， 故， 易知平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则，， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 由（2）知为BD中点，为AD中点，连接OM， ， 点为内动点且平面QGM， 又平面ABD，平面平面， ，故点在OM上， 设，又，，， 则， ， 易知平面的一个法向量为， 设QG与平面所成角为，则最大时，最大， ， 所以当时，最大，此时最大， 即当点位于中位线靠近的八等分点的第3个点处时，QG与平面所成角最大. 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法： （1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $