第1章 有理数习题课件 2025-2026学年湘教版（2024）数学七年级上册

该初中数学课件聚焦有理数基础，包含正数负数和0的概念、相反意义的量表示及有理数分类。通过收入支出、水位变化等生活实例导入，帮助学生从小学数系过渡到有理数，搭建具体到抽象的学习支架。 其特色是夯实四基与提升四能结合，融入生物模型质量、跳水高度等跨学科情境，培养学生用数学眼光观察的抽象能力和用数学语言表达的应用意识。通过易错题辨析和规律探究题发展推理能力，学生能联系生活深化理解，教师可借助系统练习与情境素材提升教学效率。

第1章 有理数 1.5 有理数的乘法和除法 1.5.2 有理数的除法 1 知识点1 有理数的除法法则 1.计算 的结果等于( ) A A.3 B. C.2 D. 1 夯实四基 2 2.下列计算错误的是( ) B A. B. C. D. 1 夯实四基 3 3.如果 的商是负数，那么( ) A A.，异号 B.，同为正数 C.，同为负数 D.， 同号 1 夯实四基 4 4.两个非零有理数的商是 ，则它们的和为___. 0 1 夯实四基 5 5.（16分）计算： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . （3） ； 解：原式 . 1 夯实四基 6 （4） . 解：原式 . 1 夯实四基 知识点2 倒数 6.［2024宿迁中考］6的倒数是( ) D A.6 B. C. D. 1 夯实四基 8 7.［2024包头中考改编］若,互为倒数，且满足，则 的 值为( ) C A. B. C.2 D.4 1 夯实四基 9 8.一个数的倒数等于这个数本身，这个数是_______. 1或 1 夯实四基 10 9.（20分）求下列各数的倒数： （1） ； 解： . （2） ； 解： . 1 夯实四基 11 （3）0.125； 解：8 （4） ； 解： . （5） . 解： . 1 夯实四基 12 知识点3 利用倒数将除法运算转化为乘法运算 10.计算 时，除法变为乘法正确的是( ) D A. B. C. D. 1 夯实四基 13 11.（16分）计算： （1） ； [答案] 原式 . （2） ； [答案] 原式 . （3） ； [答案] 原式 . 1 夯实四基 14 （4） . [答案] 原式 . 1 夯实四基 15 12.［2025石家庄期中］某同学在计算时，误将“ ”看成“ ”， 得到的结果是，则 的正确结果是( ) B A.2 B. C. D. 2 提升四能 16 13.如图，在数轴上点，对应的有理数分别为， ，则下列结论： ；；； .其中正确的有( ) B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2 提升四能 17 14.下面是小胡同学做过的一道题目，请先阅读解题过程，然后回答所 提出的问题. 计算： . 解：原式 .② （1）上述解题过程中，从第____步开始出错（填序号），错因是 ___________________________； （2）正确的结果是___. ① 没有按从左到右的顺序计算 2 提升四能 18 15. 如图，现有5张写着不同数字的卡片，请你从中取出2张卡片， 则这2张卡片上数字的商最小是____. 2 提升四能 19 16.已知，，则 的值为_______. 6或 2 提升四能 20 17.（8分）计算： （1） ； 解： . （2） . 解： . 2 提升四能 21 18.（4分） 若规定： ，例如： ，试求 的值. 解： . . 所以的值为 . 2 提升四能 22 19.（4分） 比较两个同号的有理数和 的大小，可以 按照如下方法进行： 若，，且，则 ； 若，，且，则 . 以上这种比较大小的方法叫作作商比较法. 试用作商比较法比较与 的大小. 3 发展素养 23 解：，即 ，因 为， ， 所以 . 3 发展素养 24 $第1章 有理数 1.4 有理数的加法和减法 1.4.1 有理数的加法 第1课时 有理数的加法法则 1 知识点1 有理数的加法法则 1.［教材P20“练习”第1题变式］填表： 加数 加数 和的组成 和 正负号 绝对值的差（和） 9 __ ______ ____ ___ ______ ___ __ ______ ____ ______ ___ 0 __ ______ ____ - 1 - 0 - 1 夯实四基 2 2.［2025益阳期中］根据有理数加法法则，计算 过程正确的 是( ) D A. B. C. D. 1 夯实四基 3 3.如图，比数轴上点 表示的数大3的数是( ) D A. B.0 C.1 D.2 1 夯实四基 4 4. 写出一个算式，满足两加数的和是 ，且这两加数 异号：_____________________________. （答案不唯一） 1 夯实四基 5 5.（24分）计算： （1） ； 解： . （2） ； 解： . （3） ； 解： . 1 夯实四基 6 （4） ； 解： . （5） ； 解： . （6） . 解： . 1 夯实四基 7 知识点2 有理数加法法则的应用 6. 长沙市1月份某一天早晨的气温是 ，中午上升了 ，则中午的气温是( ) B A. B. C. D. 1 夯实四基 8 7. 中国人最先使用负 数，魏晋时期的数学家刘徽在其著 作《九章算术注》中，用不同颜色 的算筹（小棍形状的计数工具）分 别表示正数和负数（红色为正，黑 B A. B. C. D. 色为负）.如图①表示的是 ，根据这种表示法，可推算出图 ②所表示的算式是( ) 1 夯实四基 9 8. 电梯停在第五层，然后上升了三层，又下降了四层， 那么现在电梯停在第____层. 四 1 夯实四基 10 9.［2025湘潭月考］一只蚂蚁沿数轴（向右为正方向）从点 向左爬行 10个单位长度到达点，点表示的数为，则点 表示的数是( ) B A. B.8 C. D.12 2 提升四能 11 10.最大的负整数与绝对值最小的数之和为( ) B A. B. C.0 D.1 2 提升四能 12 11.小颖同学做这样一道题：计算，其中“ ”是被墨水污染 看不清的一个数，她翻开后面的答案，得知该题的计算结果是3，那么“ ”表示的数是 ______. 1或7 2 提升四能 13 12.（16分）计算: （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . （3） ; 解：原式 . 2 提升四能 14 （4） . 解：原式 . 2 提升四能 13.（4分） 某学校为培养学生团结协作的精神，举办主 题为“一根绳一条心”的拔河比赛活动.在七（1）班和七（2）班两个班 级的比赛过程中，标志红绳开始先向七（2）班方向移动了 ，接着 向七（1）班方向移动了 ，相持一会儿后，又向七（2）班方向移 动了，随后又向七（1）班方向移动了 ，僵持一段时间后， 标志红绳又向七（1）班方向移动了 .若规定标志红绳从开始位置 向某班级方向移动 后该班级即可获胜，根据上述数据变化你判断 哪个班级获胜了？请通过计算说明你的判断. 2 提升四能 16 解：七（1）班获胜. 理由：设向七（1）班方向移动为正， 由题意得 ， 因为 ，所以七（1）班获胜. 2 提升四能 17 14. 探究思考题： （1）用“ ”“”或“ ”填空： ①___ ； ②___ ； ③___ ； ④___ . （2）猜想：当，同号时，___；当， 异号时， ___.（用“ ”“”或“ ”填空） 3 发展素养 18 （3）猜想：对于两个有理数，，有___.（填“ ”或“ ”）. 3 发展素养 19 $第1章 有理数 1.2 数轴、相反数与绝对值 1.2.2 相反数 1 知识点1 相反数 1. 如图，表示1的点是点___，表示 的点是点___，它们到原 点的距离______（填“相等”或“不相等”），所以1与 互为________. 相等 相反数 1 夯实四基 2 2.［2025郴州期末］ 的相反数是( ) A A.3 B. C. D. 1 夯实四基 3 3.下列各组数中，互为相反数的一组是( ) C A.7与 B.2与 C.与1 D.5与 1 夯实四基 4 4.［2025衡阳期末］一个数的相反数比它本身大，则这个数是( ) B A.正数 B.负数 C.0 D.负数和0 1 夯实四基 5 5.下列说法:①互为相反数的两个数（0除外）在数轴上对应的点到原点 的距离相等； 的相反数是2； ③一个数和它的相反数不可能相等； ④正数和负数互为相反数. 正确的是______.（填序号） ①② 1 夯实四基 6 6.已知的相反数是0，则 ___. 0 1 夯实四基 7 知识点2 在数轴上表示相反数 7.［2025岳阳期末］如图，数轴上的，，， 四个点中，表示的数 互为相反数的两个点是( ) B A.点和点 B.点和点 C.点和点 D.点和点 1 夯实四基 8 8. 如图，数轴上，两点之间的距离为6个单位长度，且点 与 点表示的数互为相反数，则点 表示的数是____. 1 夯实四基 9 9.（4分）写出下列各数的相反数，并将表示各数及其相反数的点在如 图的数轴上标出来： ， ，3. 解：的相反数是4，的相反数是，3的相反数是 .在数轴上 表示如图. 1 夯实四基 10 知识点3 利用相反数化简 10.下列化简正确的是( ) B A. B. C. D. 1 夯实四基 11 11.下列各组数：与，与，与， 与，与 .其中互为相反数的有( ) D A.0组 B.1组 C.2组 D.3组 1 夯实四基 12 12.［2024湖南中考］计算： _______. 2 024 1 夯实四基 13 13.［教材P9“练习”第2题变式］填空： （1） ____； （2） ____； （3） __; （4） _____. 2.5 1 夯实四基 14 14.若 表示一个数的相反数，则这个数是( ) C A. B. C.3 D. 2 提升四能 15 15. 在，，， 中，负数的个数是 ( ) B A.1 B.2 C.3 D.4 2 提升四能 16 16.化简：- __. 2 提升四能 17 17.（8分）如图所示的数轴每格的长度为1.请回答下列问题： （1）如果点，表示的数互为相反数，那么点 表示的数是多少？ 解：点表示的数是 . （2）如果点，表示的数互为相反数，那么点， 表示的数是多少？ 解：点表示的数是，点表示的数是 . 2 提升四能 18 18.（4分）在数轴上，点表示数8，点， 表示互为相反数的两个数， 且点和点之间的距离为3，求点， 表示的数. 解：因为点表示数8，点和点 之间的距离为3， 所以点 表示的数是5或11， 因为点， 表示互为相反数的两个数， 所以点表示的数是或 . 2 提升四能 19 19.（8分） 化简下列各式，并回答问题： （1） ； 解： ； （2） ； 解： ； （3） ; 解： ； 3 发展素养 20 （4） ； 解： ； （5） ； 解： ； （6） . 解： . 3 发展素养 21 问： ①当 前面有2 025个负号时，化简的结果是多少？ 解：当前面有2 025个负号时，化简的结果是 . ②当 前面有2 026个负号时，化简的结果是多少？你能总结出什么规律？ 解：当前面有2 026个负号时，化简的结果是 . 规律：一个数的前面有奇数个负号，化简的结果等于它的相反数；有偶 数个负号，化简的结果等于它本身. 3 发展素养 22 $第1章 有理数 1.5 有理数的乘法和除法 1.5.3 有理数的乘除 1 知识点有理数的乘除混合运算 1.将 化为乘法运算正确的是( ) B A. B. C. D. 1 夯实四基 2 2.计算 的结果是( ) C A. B. C.0 D. 1 夯实四基 3 3.下列运算中，结果为负值的是( ) C A. B. C. D. 1 夯实四基 4 4.与 运算结果相同的是( ) B A. B. C. D. 1 夯实四基 5 5.计算 的结果是( ) B A. B. C. D. 1 夯实四基 6 6.［2025郴州期末］计算： __. 1 夯实四基 7 7.如图是一个运算程序，若输入的的值为，则输出的 _ ____. 1 夯实四基 8 8.（8分）计算： （1） ； 解： . （2） . 解： . 1 夯实四基 9 9.［教材P42“习题1.5”第11题变式］在数，1，， ，4中，任取 三个数先相除再相乘，结果最大是( ) D A. B. C.20 D.40 2 提升四能 10 10. 我们约定：把记为2 ，（-1）÷（-1） 记为（-1），则（-9）×（-3） 的计算结果为( ) B A. B. C. D. 2 提升四能 11 11.某同学把错抄为，抄错后算得答案为 ，若正确答 案为，则 ____. 36 2 提升四能 12 12.（8分）计算： （1） ； 解： . （2） . 解： . 2 提升四能 13 13.（4分）［教材P42“习题1.5”第13题变式］已知 ，求 . 解：因为，所以,, , 所以 . 2 提升四能 14 14.（4分）［教材P41“习题1.5”第3题变式］一天，小红与小莉利用温差 测量山峰的高度，小红在山顶测得温度是 ，小莉此时在山脚测得 温度是.已知该地区高度每增加，气温大约降低 ，这个 山峰的高度大约是多少米？ 解： ， . 答：这个山峰的高度大约是 . 2 提升四能 15 15.（8分） 数学老师布置了一道题：计算 .小明仔细思考了一番，用下面的方法解决了这个问题. 小明的解法：原式的倒数为 （1）请你判断小明的解法是否正确，并说明理由； 解：正确.理由：一个数的倒数的倒数等于原数. ， 所以 . 3 发展素养 16 （2）请你运用小明的解法解答下面的问题. 计算： . 解：原式的倒数为 ，所以 . 3 发展素养 17 $第1章 有理数 1.2 数轴、相反数与绝对值 1.2.1 数 轴 1 知识点1 数轴的概念 1.下列关于数轴的说法正确的是( ) B A.规定了原点与单位长度的一条直线 B.规定了原点、正方向和单位长度的直线 C.规定了原点、方向和单位长度的直线 D.规定了原点和正方向的一条射线 1 夯实四基 2 2.［2025常德期末］下列数轴的画法规范的是( ) D A. B. C. D. 1 夯实四基 3 知识点2 在数轴上表示有理数 3.［2025永州月考］如图，在数轴上有，，，四个点，其中 对 应的是( ) A A.点 B.点 C.点 D.点 1 夯实四基 4 4.［2025长沙月考］如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为( ) C A. B. C. D. 1 夯实四基 5 5.［教材P8“练习”第3题变式］如图，点，点 在数轴上. （1）点表示的数是____，点 表示的数是___； 3 （2）请在数轴上分别画出表示7，的点，点 . 解：如图所示. 1 夯实四基 6 知识点3 数轴上的点与有理数之间的关系 6.［教材P8“练习”第2题（1）变式］如图，在数轴上位于原点左侧且到 原点的距离为3个单位长度的点为( ) A A.点 B.点 C.点 D.点 1 夯实四基 7 7.在数轴上表示数，， 的点的位置如图所示，下列说法正确的是 ( ) B A.，，都是正数 B.，是正数， 是负数 C.，，都是负数 D.，是负数， 是正数 1 夯实四基 8 8.将下列各数在数轴上表示，其中对应的点与原点距离最近的是( ) B A. B. C.1 D.2 1 夯实四基 9 9.（4分）如图，数轴上从左到右依次有点，，，，其中点 为原 点，点，所表示的数分别为，1，， 两点间的距离是3.在图中 标出点，的位置，并写出点 表示的数. 解：如图. 点表示的数是 . 1 夯实四基 10 10. 一只蚂蚁位于数轴的原点，现在沿数轴爬了4个单位长度到达 点，则点 所表示的数是( ) C A.4 B. C.4或 D.8或 2 提升四能 11 11.在数轴上点表示，如果把原点 向负方向移动1.5个单位长度，点 位置不变，那么在新数轴上点 表示的数是( ) B A. B. C.2.5 D.5.5 2 提升四能 12 12.如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆周上的四等分点处分别标上 0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示 的点重合，再 将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示2 025的点与圆周上表示哪个数 字的点重合？( ) C A.0 B.1 C.2 D.3 2 提升四能 13 13.［2025衡阳期末］如图，点，位于数轴上原点两侧，且点到点 的距离为9个单位长度.若点表示的数是6，则点 表示的数是____. 2 提升四能 14 14.［2025长沙期中］如图，在单位长度为1的数轴上，点表示的数是 . （1）点 表示的数是___； （2）在数轴上找一点，使它与点的距离为2个单位长度，那么点 表 示的数为______. 5 3或7 2 提升四能 15 15.（8分） 七（4）班在一次联欢活动中，将全班同学分 成5个队做游戏.游戏结束后，5个队的得分如下： A队：分；B队：150分；C队： 分； D队：0分； 队：100分. （1）把每个队的得分标在单位长度为50分的数轴上，并标上代表该队 的字母; 解：如图. 2 提升四能 16 （2）从数轴上看，A队与B队相差多少分？C队与 队呢？ 解：A队与B队相差200分，C队与 队相差400分. 2 提升四能 17 16. 定义：已知，， 为数轴上三 点，若点到点的距离是点到点 的距离的2倍，我 或11 们就称点是的美好点.例如：如图①，点表示的数为，点 表 示的数为2，表示1的点到点的距离是2，到点的距离是1，那么点 是的美好点；又如：表示0的点到点的距离是1，到点 的距离 是2，那么点就不是的美好点，但点是 的美好点.如图②， ，为数轴上两点，点表示的数为，点表示的数为2，则 的美好点 表示的数是________. 3 发展素养 18 $第1章 有理数 1.6 有理数的乘方 1.6.1 认识乘方 1 知识点1 有理数的乘方的意义 1.数学上一般把 记为( ) A A. B. C. D. 1 夯实四基 2 2.下列关于 的说法中，错误的是( ) A A.表示3个相加 B.底数是 C.表示3个 相乘 D.指数是3 1 夯实四基 3 3.将 写成幂的形式是_ ______，读作______ _______________. 负三分之二的四次方 1 夯实四基 4 4.填空. 乘方 底数 ___ ______ _ ___ ___ 指数 ___ ___ ___ ___ 4 6 5 4 3 2 1 夯实四基 5 知识点2 有理数乘方的运算 5.计算 的结果为( ) C A.1 B.2 C.4 D.8 1 夯实四基 6 6.［2025岳阳期中］下列各式结果相等的是( ) A A.与 B.与 C.与 D.与 1 夯实四基 7 7.在，，， 这四个数中，是负数的是( ) D A. B. C. D. 1 夯实四基 8 8.计算： ____. 1 夯实四基 9 9.若，互为倒数，则 ____. 1 夯实四基 10 10.（20分）计算： （1） ； 解：36. （2） ； 解：3.375. （3） ； 解： . （4）为正整数 ； 解：1. 1 夯实四基 11 （5）为正整数 . 解： . 1 夯实四基 12 11.（8分）［教材P47“练习”第4题变式］直接判断下列各式计算结果的 符号： （1） ; 解：的结果为负. （2） . 解：的结果为正. 1 夯实四基 13 12. 设是正整数，则 的值是( ) C A.0或1 B.1或2 C.0或2 D.0，1或2 [解析] 点拨：当是奇数时，.当 是偶数时， .综上所述， 的值是0或2. 2 提升四能 14 13.对于与为正整数 的关系，下列说法正确的是( ) C A.它们的值互为相反数 B.它们的值相等 C.当为奇数时，它们的值相等 D.当 为偶数时，它们的值相等 2 提升四能 15 14.观察下列算式：，，，， ， ，，， .根据上述算式的规律，则 的末 位数字是( ) C A.2 B.4 C.6 D.8 2 提升四能 16 15.［2025张家界期中］规定一种新的运算“☆”：☆ ，例如3☆ ，则☆ _____. 2 提升四能 17 16.（8分）计算: （1） ； 解： . （2） . 解： . 2 提升四能 18 17.（4分）如果与互为相反数，那么与是否互为相反数？ 与 是否互为相反数？ 解：由题意知 . ①当，时，与互为相反数，与 互为相反数； ②当，时，与不互为相反数，与 互为相反数. 2 提升四能 19 18.（18分） （1）比较下列各组数的大小（填“ ”“ ”或“ ”）： ___，___，___ ， ___，___， . （2）根据上面的结果进行归纳猜想，和为非零自然数 的大小关系是： ①当 ，2时，________________； ②当 时，________________. 3 发展素养 20 （3）根据上面归纳猜想得到的一般结论，试比较 和 的大小. 解： . 3 发展素养 21 $第1章 有理数 1.5 有理数的乘法和除法 1.5.1 有理数的乘法 第1课时 有理数的乘法法则 1 知识点1 有理数的乘法法则 1. 填表： 算式 积的组成 积 积的符号 积的绝对值 [答案] -; 20; ; -; 20; ; ; 20; 20 [解析] 从左到右，从上到下依次填：-；20；；-；20；； ； 20；20 1 夯实四基 2 2. 的值是( ) A A. B.7 C.1 D.12 1 夯实四基 3 3.下列算式的运算结果为正数的是( ) C A. B. C. D. 1 夯实四基 4 4.［2025长沙期中］下列各式运算错误的是( ) B A. B. C. D. 1 夯实四基 5 5.下列结论不正确的是( ) C A.异号两数相乘，积为负数 B.同号两数相乘，积为正数 C.两个非负数相乘，积为正数 D.两个非正数相乘，积为非负数 1 夯实四基 6 6.（24分）计算： （1） ； 解： . （2） ； 解： （3） ； 解： . （4） ； 解： . 1 夯实四基 7 （5） ； 解： . （6） . 解： 1 夯实四基 8 知识点2 有理数乘法的应用 7.小明在数轴上标出， 两点，已知这两点在原点两侧，且到原点的距 离相等，则这两点所表示的两数的( ) D A.和为正数 B.和为负数 C.积为正数 D.积为负数 1 夯实四基 9 8.某小商店每天亏损20元，记为 元，一周（7天）亏损记为_______元. 1 夯实四基 10 9.（4分）已知一个数的相反数是，另一个数的绝对值是 ，求这两 个数的积. 解：因为一个数的相反数是，所以这个数为 .因为另一个数的绝 对值是，所以另一个数为.当两个数分别为， 时，这两个 数的积为；当两个数分别为， 时， 这两个数的积为 . 综上，这两个数的积为 或6. 1 夯实四基 11 10. 一个非负有理数的相反数和它的绝对值的积是( ) C A.正有理数 B.负有理数 C.0或负有理数 D.0或正有理数 2 提升四能 12 11.［2025株洲期末］已知有理数,, 在数轴上的位置如图所示，则下 列结论错误的是( ) B A. B. C. D. 2 提升四能 13 12.（8分）计算： （1） ; 解： . （2） . 解： . 2 提升四能 14 13.（12分） 如图，每一个标有数的方 块均是可以翻动的木牌，请任选其中的两个木牌上的 数做乘法，结果记作 . （1）要使 的值最大，选择的两个数为____，__________________; （两空可互换） （2）计算 的最大值; 解：，所以 的最大值为24. （3）计算的最大值比 的最小值大多少. 解：易知的最小值为，所以的最大值比 的最小值大 . 2 提升四能 15 14.（8分） 规定一种新运算“”：对于有理数， ，有 .例如： . 根据上面的规定解答下列问题： 解：因为， ， 所以， . （1）求 的值； [答案] 若，则， . 当，时， ； 当，时，，故的值为40或 . 2 提升四能 16 （2）与 的值相等吗？ [答案] 若，则，或，.当 ， 时，；当， 时， ，故的值为 . 2 提升四能 17 15.（8分）已知， . （1）若，求 的值； 解：.因为 ，所以输出的 数是 . （2）若，求 的值. 解：.因为 ，所以再次进行运算，得 .因为 ， 所以输出的数是 . 3 发展素养 18 $第1章 有理数 1.1 认识负数 1 知识点1 正数、负数和0 1.下列数中，属于负数的是( ) B A.2 026 B. C. D.0 1 夯实四基 2 2.非负数是( ) C A.正数 B.0 C.正数和0 D.自然数 1 夯实四基 3 3.在，，，0，，，，， 中，_____________ ________是正数，_____________________是负数，_________________ _____是非负数. ，，， ，，， ，，0，， 1 夯实四基 4 4. 下列说法正确的是______.（填序号） 既不是正数也不是负数；只表示“什么也没有”； 可以表示特 定的意义，如 . ①③ 1 夯实四基 5 知识点2 用正、负数表示具有相反意义的量 5.［2025岳阳期末］下列不是具有相反意义的量的是( ) A A.身高增加和体重减少 B.节约水和浪费 水 C.超过和不足 D.前进和后退 1 夯实四基 6 6.［2024湖南中考］在日常生活中，若收入300元记作 元，则支出 180元应记作( ) C A.元 B.元 C.元 D. 元 1 夯实四基 7 7. 某蓄水池的标准水位记为 ，如果用正数表示水面高 于标准水位的高度，那么 表示( ) B A.水面低于标准水位 B.水面低于标准水位 C.水深为 D.以上答案均不正确 1 夯实四基 8 8.某水库警戒水位为 ，取警戒水位作为0点.如果水库水位为 记作，那么水库水位为记作_____ . 1 夯实四基 9 知识点3 有理数的分类 9.［2025邵阳期末］在数0，5，， 中，属于负分数的是 ( ) D A.0 B.5 C. D. 1 夯实四基 10 10. 分别写出一个符合要求的有理数. （1）既是负数又是整数：__________________； （2）是分数但不是负数：_ _. （答案不唯一） 1 夯实四基 11 11.（8分）［2025湘西期末］把下列各数的序号填入相应的大括号内： ，，，，，，， . 正有理数：{ …}； 负有理数：{ …}； 整数：{ …}； 负分数：{ …}. 1 夯实四基 12 解：正有理数：{②④⑥⑦， ; 负有理数：{①③⑤⑧， ; 整数：{①②⑦⑧， ; 负分数：{③⑤， . 1 夯实四基 13 12.在，， ，0这四个数中，与其余三个数不同的是( ) D A. B. C. D.0 2 提升四能 14 13.下列说法正确的是( ) C A.正数都带“”号 B.不带“ ”号的数都是负数 C.负数一定带“-”号 D.带“-”号的数都是负数 2 提升四能 15 14. 某校七年级社团课开课啦，生物社团的同学们在社 团课上制作了精美的植物细胞模型，质量要求是“ ”，则下 列模型质量合格的是( ) D A. B. C. D. 2 提升四能 16 15.（4分）［教材P5“习题1.1”第1题变式］某粮库把运进的粮食质量用 正数表示，把运出的粮食质量用负数表示.若6月7日粮库运进粮食 ， 6月8日粮库运出粮食 ，请补全如下的粮库进出粮食记录表. 日期 6月6日 6月7日 6月8日 6月9日 6月10日 粮食质量/ ____ _____ 30 25 2 提升四能 17 16.（8分） 某次数学小测验的试卷共有五道题，在甲 同学的试卷上，老师在三道题的旁边打了“√”，在一道题的旁边写了“ ”，在另一道题的旁边写了“ ”. （1）老师写的“”和“ ”分别表示什么？ 解：“”表示扣3分，“ ”表示扣1分. （2）这次小测验的满分是20分，老师要求每名同学自己计算自己的成 绩，那么甲同学这次小测验得了多少分？ 解： （分），即甲同学这次小测验得了16分. 2 提升四能 18 17.（8分） 如图，一名跳水运动员参 加跳台的跳水比赛 跳台是指跳台离水面的 高度为，这名运动员举高手臂时身长为 ， 跳水池池深为 （规定向上为正）. （1）若以水面为基准，则这名运动员指尖的高度及 池底的深度分别如何表示？ 解：以水面为基准，这名运动员指尖的高度为 ，池底的深度为 . 2 提升四能 19 （2）若以跳台为基准，则池底的深度与水面的高度分别如何表示？ 解：以跳台为基准，池底的深度为，水面的高度为 . 2 提升四能 20 18.（12分） 如图，将一串数按下列规律排列. （1）在 位置的数是正数还是负数？ 解：在 位置的数是正数. （2）负数排在，，， 中的什么位置？ 解：负数排在和 的位置. 3 发展素养 21 （3）第100个数是正数还是负数？排在，，， 中的哪个位置上？ 解：观察题图可知奇数为负，偶数为正，故第100个数是正数.由题图可知 数的位置每4个数为一个循环，，故第100个数排在 的位置. 3 发展素养 22 $第1章 有理数 1.2 数轴、相反数与绝对值 1.2.3 绝对值 1 知识点1 绝对值的概念 1. 的绝对值是( ) A A.2 025 B. C. D. 1 夯实四基 2 2.若的绝对值是 ，则下列结论正确的是( ) C A. B. C. D. 1 夯实四基 3 3.4的绝对值是___； 的绝对值是__；绝对值是1的数是_______；绝对 值最小的数是___. 4 1或 0 1 夯实四基 4 4.（16分）求下列各数的绝对值： （1） ； 解： . （2） ； 解：7.2. （3）0； 解：0. 1 夯实四基 5 （4） . 解： . 1 夯实四基 5.（12分）化简： （1） ； 解： . （2） ； 解： . （3） . 解：7. 1 夯实四基 7 知识点2 绝对值的性质 6.已知有理数满足，则 不可能是( ) A A. B.0 C.4 D.3 1 夯实四基 8 7.若，则 是( ) D A.非负数 B.负数 C.正数 D.非正数 1 夯实四基 9 知识点3 绝对值与数轴的关系 8.［2025岳阳期末］如图，数轴上有，，，四个点，其中表示 的绝对值的是( ) D A.点 B.点 C.点 D.点 1 夯实四基 10 9.如图，数轴上有，，， 四个点，其中表示绝对值相等的两个数 的点是( ) C A.点与点 B.点与点 C.点与点 D.点与点 1 夯实四基 11 10.［2024苏州中考］用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最 近的是( ) B A. B.1 C.2 D.3 1 夯实四基 12 11.（4分）［教材P12“习题1.2”第2题变式］画一条数轴，并分别标出表 示绝对值等于0，4， 的数的点. 解：如图所示. 1 夯实四基 13 知识点4 已知一个数的绝对值求这个数 12.若，则 _______. 8或 1 夯实四基 14 13. 一个数具有以下两个特点：①它的绝对值等于2.5；②它是 非负数.这个数是____. 2.5 1 夯实四基 15 14.下列各式不成立的是( ) D A. B. C. D. 2 提升四能 16 15. 如图，数轴上点表示数，若点为该数轴的原点，则 是( ) A A.3 B.2 C.1 D.0 2 提升四能 17 16.［教材P13“习题1.2”第13题变式］在一条不完整的数轴上从左到右有 ，，三点，其中，两点间的距离是2个单位长度，， 两点间 的距离是1个单位长度，如图所示.若以点为原点，则点 所对应的数的 绝对值是( ) A A.3 B.2 C.1 D.0 2 提升四能 18 17.（12分）计算： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . （3） . 解：原式 . 2 提升四能 19 18.（4分）若有理数、、满足 ，求 的值. 解：因为 ， 所以，， ， 所以，， ， 所以 . 2 提升四能 20 19.（12分） 阅读材料: 任何有理数的绝对值都是非负数，即，所以当时， 取 最小值0. 根据上面的材料解决下列问题： （1）当___时，式子 有最小值，其最小值是___； 2 0 （2）当为何值时，式子 有最小值？最小值是多少？ 解：当，即时，式子 有最小值，最小值是6. 3 发展素养 21 （3）当为何值时，式子 有最大值？最大值是多少？ 解：当，即 时， 式子 有最大值，最大值是8. 3 发展素养 22 $第1章 有理数 1.5 有理数的乘法和除法 1.5.1 有理数的乘法 第2课时 有理数乘法的运算律 1 知识点1 有理数乘法的运算律 1. 利用运算律有时能进行简便计算，例如： ，则该式应用了 ( ) C A.乘法交换律 B.乘法结合律 C.乘法交换律和乘法结合律 D.乘法对加法的分配律 1 夯实四基 2 2.计算： ( ) D A. B. C. D. 1 夯实四基 3 3.在横线上写出所运用的运算律. （1） ____________； 乘法结合律 （2） ____________________. 乘法对加法的分配律 1 夯实四基 4 4.小阳在做一道计算题：- 时，不小心将一滴墨水滴在了本子 上，盖住了其中一个数，导致他无法计算，在求助老师时，老师告诉他： “被盖住的数是4，7，10，11其中的一个，并且这道题直接用乘法结合 律来计算会非常简便”，则被盖住的数是___. 7 1 夯实四基 5 5.（16分）计算： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . （3） ； 解：原式 1 夯实四基 6 （4） . 解：原式 . 1 夯实四基 知识点2 多个有理数相乘 6.下列各式中，积为负数的是( ) D A. B. C. D. 1 夯实四基 8 7.［教材P35“练习”第3题变式］写出下列各题结果的符号： （1） 的积的符号为____； （2） 的积的符号为____. 正 负 1 夯实四基 9 8.计算： ___. 0 1 夯实四基 10 9.（4分）计算： . 解： . 1 夯实四基 11 10. 观察下图，它的计算过程可以解释的运算规律是 ( ) D A.加法交换律 B.乘法结合律 C.乘法交换律 D.乘法对加法的分配律 2 提升四能 12 11.若，则 可以表示为( ) B A. B. C. D. 2 提升四能 13 12.如图，小明有5张写着以下数的卡片，从中取出3张卡片，把这3张卡 片上的数相乘，最大的积是_____. 125 2 提升四能 14 13.（12分）用简便方法计算： （1） ； 解： . （2） ； 解： . 2 提升四能 15 （3） . 解： . 2 提升四能 16 14.（6分） 小华是一个爱思考的七年级学生：在一次 计算时他发现，， ，通过归 纳推理，他得到了一个很有用的公式，这类运算变得简单了.请你通过 归纳推理完成下面的问题. （1）用你发现的规律表示： __________； 3 发展素养 17 （2）计算： . 解： . 3 发展素养 18 $第1章 有理数 1.4 有理数的加法和减法 1.4.2 有理数的减法 1 知识点1 有理数的减法法则 1. 填空： 0 12 1 夯实四基 2 2.计算 的结果为____. 1 夯实四基 3 3.比0小4的数是____，比3小4的数是____，比小 的数是____. 1 夯实四基 4 4.［2025湘潭月考］已知两个加数的和是，其中一个加数是 ，则 另一个加数是( ) D A. B. C. D. 1 夯实四基 5 5.（16分）计算： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . （3） ； 解：原式 . （4） . 解：原式 . 1 夯实四基 6 知识点2 运用有理数减法解决实际问题 6. ［2024长沙中考］“玉兔号”是我国首辆月球车，它和 着陆器共同组成“嫦娥三号”探测器.“玉兔号”月球车能够耐受月球表面 的最低温度是、最高温度是 ，则它能够耐受的温差是 ( ) D A. B. C. D. 1 夯实四基 7 7.若A，B两地的海拔高度分别为与 ，那么A地比B地高 _____ . 280 1 夯实四基 8 8. 仔细观察如图所示的资料卡中的信息，可以发现水银 的凝固点比酒精的凝固点高______ . 78.43 1 夯实四基 9 9.（4分） 如图为某一矿井的示意图. 以地面为基准，点的高度是，， 两点的 高度分别是与，点比点 高多少 米？点比点 低多少米？ 解： ， .所以点比点 高 ，点比点低 . 1 夯实四基 10 10.［2025益阳月考］下列各式的值等于5的是( ) B A. B. C. D. 2 提升四能 11 11. 若三个数中任意两个相邻数之差的绝对值不超过1， 则称这三个数为一组“平稳数”.下列各组数中是“平稳数”的是( ) D A.1，， B.，， C.1，3，2 D. ，0，1 2 提升四能 12 12.下列结论不正确的是( ) C A.若，，则 B.若，，则 C.若，，则 D.若，，且，则 2 提升四能 13 13. 点，，在同一条数轴上，其中点， 表示的数分别为3， .若点与点相距3个单位长度，则点与点 相距______个单位长度. 2或8 2 提升四能 14 14.在如图所示的各个圆圈内填上适当的数，使每个圆圈里的数都等于 与它相邻的两个数的和，则 的值为___. 3 2 提升四能 15 15.小明用如图所示的方法直观解释 ，请你用类似的方法直 观解释 . [答案] 2 提升四能 16 16.（8分）在计算两个数相减时，由于不小心打翻了墨水瓶， 的减数被墨水污染了. （1）嘉淇误将后面的“-”看成了“”，从而算得结果为 ，请求出 被墨水污染的减数； 解：由题意得，被墨水污染的减数为 . （2）请你正确计算出此题的结果. 解： . 2 提升四能 17 17.（8分） 如图，在一条水平的数轴上放置一枚黑棋 和一枚白棋，黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别是 和5，甲、 乙两人做沿数轴移动棋子的游戏（甲移动黑棋、乙移动白棋）. 两人先同时出示“石头、剪刀、布”三种手势中的一种，再根据获胜或平 局的结果进行移动（剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀，手势相同为平 局），移动规则如下： 3 发展素养 18 ①若甲赢，则甲将黑棋向右移动2个单位长度，同时乙将白棋向右移动1 个单位长度； ②若乙赢，则甲将黑棋向左移动1个单位长度，同时乙将白棋向左移动2 个单位长度； ③若平局，则甲将黑棋向右移动1个单位长度，同时乙将白棋向左移动1 个单位长度. 3 发展素养 19 前四局如下表： 第一局 第二局 第三局 第四局 甲的手势 石头 剪刀 布 布 乙的手势 石头 布 石头 （1）从起始位置开始，求第一局后黑棋和白棋在数轴上的位置所对应 的数. 解：因为起始时黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别是 ，5， 第一局是平局，所以， ，所以第一局后黑棋和白 棋在数轴上的位置所对应的数分别为 和4. 3 发展素养 20 （2）若第四局结束后，白棋在数轴上的位置所对应的数是4，则乙第四 局的手势是什么？此时黑棋和白棋在数轴上的位置相距多少个单位长度？ 3 发展素养 21 解：因为第一局后黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别是 ，4， 第二局是甲赢，第三局是甲赢，所以， ， ， ， 所以第三局结束时黑棋在数轴上的位置所对应的数是0，白棋在数轴上 的位置所对应的数为6.因为第四局结束后，白棋在数轴上的位置所对应 的数是4，所以第四局白棋向左移动2个单位长度，即第四局是乙赢，则 乙第四局的手势是剪刀.所以第四局结束后黑棋在数轴上的位置所对应 的数是 ，所以此时黑棋和白棋在数轴上的位 置相距5个单位长度. 3 发展素养 22 $第1章 有理数 1.4 有理数的加法和减法 1.4.3 有理数的加减混合运算 1 知识点1 加减混合运算统一为加法运算 1.用式子表示“引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算”，正 确的是( ) D A. B. C. D. 1 夯实四基 2 2.将 统一为加法运算，正确的是( ) B A. B. C. D. 1 夯实四基 3 知识点2 省略括号与加号的形式 3.不改变原式的值，把 写成省略加号的和的形 式为( ) A A. B. C. D. 1 夯实四基 4 4.下列式子可读作“负5，负4，正3，负2的和”的是( ) C A. B. C. D. 1 夯实四基 5 知识点3 运用运算律进行加减混合运算 5.为计算简便，把 写成省 略括号与加号的和的形式，并按要求交换加数的位置，下列结果正确的 是( ) A A. B. C. D. 1 夯实四基 6 6.计算 的结果为___. 6 1 夯实四基 7 7.（8分）计算： （1） ； 解：原式 . （2） . 解：原式 . 1 夯实四基 8 知识点4 有理数加减混合运算的应用 8. ［2025长沙月考］某地一天中午12时的气温是 ，14 时的气温升高了，到晚上22时气温又降低了 ，则22时的气温为 ( ) C A. B. C. D. 1 夯实四基 9 9. 下表为张先生家的一张存折的一部分，从表中可知， 截至2025年3月12日，此张存折还结余________元. 存取日期 摘要 存入 、取出（-）/元 余额/元 操作柜员 20241002 现存 58 000 20241225 现取 20250106 现存 20250312 现取 30 000 1 夯实四基 10 10.下列各式的结果与式子 的结果不相等的是( ) D A. B. C. D. 2 提升四能 11 11. 大家都知道，7点50分可以说成差10分钟8点，有时这 样表达更清楚，这也启发人们设计了一种新的加减计数法，例如：8写 成，，189写成， 写成 ，按这种方法计算 的结果为 ( ) A A.2 408 B.1 990 C.2 010 D.3 024 [解析] 点拨：原式 . 2 提升四能 12 12.（8分）计算： （1） ； 解：原式 . （2） . 解：原式 . 2 提升四能 13 13.（12分） 某架飞机在进行特技表演时起飞后的高度变 化如下表： 高度变化 上升 下降 上升 下降 下降 记作 （1）最终这架飞机比起飞点高了多少千米？ 解： . 答：最终这架飞机比起飞点高了 . 2 提升四能 14 （2）若飞机平均每上升需消耗燃油，平均每下降需消耗 燃油，那么这架飞机在这5个特技动作表演过程中，一共消耗多少升燃油？ 解： . 答：一共消耗 燃油. 2 提升四能 15 （3）若某架飞机从地面起飞后先上升 ，然后再做两个表演动作， 这两个动作产生的高度变化的绝对值分别是和 ，请你求 出这两个表演动作结束后，飞机离地面的高度. 解： ； ； ； . 答：飞机离地面的高度为或或或 . 2 提升四能 16 14. 一只小虫在数轴上从 点出发，第1次向正方向爬行 1个单位长度后，第2次向负方向爬行2个单位长度，第3次又向正方向爬 行3个单位长度……按上述规律，它第2 025次刚好爬到数轴上的原点处， 则小虫爬行过程中经过数轴上表示 的点的次数是( ) C A.99 B.100 C.101 D.102 3 发展素养 17 [解析] 点拨：易知第2 024次爬行后的点所表示的数为 ，第 2 023次爬行后的点所表示的数为 ，第2 022次爬行后的点所表示的 数为， 第1次爬行后的点所表示的数为，所以点 所表示的数为.因为，所以表示 的点 在点的右边，且与 点相距963个单位长度. 易知第1次爬行后的点在点 的右边1个单位长度处，第3次爬行后的点在 点的右边2个单位长度处，第5次爬行后的点在点 的右边3个单位长度处， …… 3 发展素养 18 因为 ，所以小虫爬行第1 925次时，对应点所表示 的数为 ，所以从第1 925次开始（包括第1 925次），后面的每次爬 行都经过表示的点.因为 ，所以小虫爬行 过程中经过数轴上表示 的点的次数是101. 3 发展素养 $第1章 有理数 1.3 有理数大小的比较 1 知识点1 利用法则比较有理数的大小 1.下列各数中，小于 的是( ) C A.2 B.1.5 C. D.0 1 夯实四基 2 2. 亚洲、欧洲、非洲和南美洲的最低海拔如下表： 大洲 亚洲 欧洲 非洲 南美洲 最低海拔/ 其中最低海拔最小的大洲是( ) A A.亚洲 B.欧洲 C.非洲 D.南美洲 1 夯实四基 3 3.下列结论错误的是( ) D A.0大于任何负数 B.0小于任何正数 C.负数小于任何正数 D.非负数都大于0 1 夯实四基 4 4.下列各数中，最小的是( ) B A.2 B.1 C. D. 1 夯实四基 5 5.［2025衡阳期中］下列有理数的大小比较正确的是( ) A A. B. C. D. 1 夯实四基 6 6. ［2024湖北中考］写出一个大于 的数是_________ _______________. 1 （答案不唯一） 1 夯实四基 7 7.（16分）［教材P15“例”变式］比较下列各组数的大小： （1） 与8； 解： . （2） 与0； 解： . （3）与 ； 解：因为，，，所以 . 1 夯实四基 8 （4）与 . 解：因为，，，所以 . 1 夯实四基 知识点2 利用数轴比较有理数的大小 8.［教材P16“练习”第2题变式1］表示有理数0，，， 的点在数轴上 的位置如图所示，下列结论正确的是( ) B A. B. C. D. 1 夯实四基 10 9.［教材P16“练习”第2题变式2］如图，数轴上点，，， 分别对应 有理数，，， ，则下列各式中值最小的是( ) C A. B. C. D. 1 夯实四基 11 10.（4分）［教材P16“练习”第2题变式3］在数轴上标出表示下列各数 的点：1，，0，，，并按从小到大的顺序用“ ”把这些数连 接起来. 解：如图所示. . 1 夯实四基 12 11.［2024河北中考］如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示 这5天日最低气温变化情况的是( ) A A. B. C. D. 2 提升四能 13 12.已知有理数， 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列式子成 立的是( ) D A. B. C. D. 2 提升四能 14 13.（4分） 小琼和小凤都十分喜欢唱歌，她们两个一起 参加了社区的文艺汇演，在汇演前，主持人让她们自己确定一个出场顺 序，可她们俩争着先出场，最后，主持人想了一个主意，如图所示. 2 提升四能 15 解：，，的相反数是，的绝对值是 ，0 的相反数是0.将表示化简后的数的点在数轴上表示如图. . 2 提升四能 16 14.（4分）有一名同学在比较两个数的大小时，不慎把右边的一个有理 数小数点后面的一位数字弄上了墨水： ，请你帮这名同学 想一想，“ ”中这个数字可能是多少？ 解：在向右为正方向的数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的 数大，因此，被墨水弄脏的有理数对应的点一定在表示 的点左边 （数轴上的位置），所以只能是或或或，所以“ ” 中这个数字可能是6或7或8或9. 2 提升四能 17 15.（12分） 如图，数轴上有3个点，它们所表示的数 分别是，， . （1）在数轴上标出表示，，的相反数，， 的点； 解：表示，， 的点如图所示. （2）把，，和它们的相反数用“ ”连接起来； 解：由数轴得 . 3 发展素养 18 （3）如果将表示数 的点向左移动3个单位长度，设此时该点表示的数为 ，同时将表示数 的点向右移动6个单位长度，设此时该点表示的数为 ，表示数的点保持在原来的位置，则，， 三个数的大小关系如何？ 解：根据题意标出表示数，的点，如图所示，根据数轴得 . 3 发展素养 19 $第1章 有理数 1.4 有理数的加法和减法 1.4.1 有理数的加法 第2课时 有理数加法的运算律 1 知识点1 加法的运算律 1.下列运算不符合加法交换律的是( ) D A. B. C. D. 1 夯实四基 2 2.［2025长沙月考］小磊解题时，先将式子 变成了 ，再计算结果，则小磊运用了( ) B A.加法交换律 B.加法交换律和加法结合律 C.加法结合律 D.无法判断 1 夯实四基 3 3.计算 的结果为( ) A A. B. C.0 D.1 1 夯实四基 4 4.若,互为相反数，则 _______. 2 026 1 夯实四基 5 5.给下面的计算过程标明理由. ① ② ③ .④ ①____________;②____________; ③________________;④________________. 加法交换律 加法结合律 有理数加法法则 有理数加法法则 1 夯实四基 6 6.（8分）运用运算律进行计算： （1） ； 解：原式 . （2） . 解：原式 . 1 夯实四基 7 知识点2 加法的运算律的应用 7. 某商店去年四个季度盈亏情况如下（盈余为正） 万元，万元， 万元，32万元，这个商店去年的总盈 亏情况是( ) C A.盈余81万元 B.亏本40万元 C.盈余40万元 D.亏本81万元 1 夯实四基 8 8. 岳阳水利部门记录铁山水库某周的水位情况如下表 （水位相对于前一天上升记为“ ”，相对于前一天下降记为“-”），则本 周末与上周末相比，水位的变化情况为( ) 星期 水位变化/ 一 二 三 四 1 夯实四基 9 星期 水位变化/ 五 六 日 A.上升 B.下降 C.上升 D.下降 续表 √ 1 夯实四基 10 9. 某公交车原有乘客26人，途经四个站点的上、下车人 数如下（上车为正），， ，则车上还有乘 客____人. 25 1 夯实四基 11 10. 在计算时， 中可以填入的能使该题 用简便方法进行计算的数值可以为_ ________________. （答案不唯一） 2 提升四能 12 11.计算 的值是_____ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________. 点拨：. 2 提升四能 13 12.（4分）计算： . 解：原式 . 2 提升四能 14 13.（4分） 仓库存有10袋大米，按照标准以每袋 为 参照：超过的质量记作正数，不足 的质量记作负数.称得质 量单位：记录如下：，，，， ，0， ，，， . 10袋大米共超重或不足多少千克？总质量是多少千克？ 2 提升四能 15 解： ， . 答：10袋大米共超重，总质量是 . 2 提升四能 16 14.（4分） 阅读材料，回答问题. 计算： . 解： . 上面这种计算方法叫作拆项法. 3 发展素养 17 根据上述方法，计算： 解：原式 . 3 发展素养 $第1章 有理数 1.6 有理数的乘方 1.6.2 科学记数法 1 知识点1 用科学记数法表示较大的数 1. ［2024青岛中考］“海葵一号”是完全由我国自主设计 建造的深水油气田“大国重器”，集原油生产、存储、外输等功能于一体， 储油量达 .将60 000用科学记数法表示为( ) D A. B. C. D. 1 夯实四基 2 2. 2024年11月15日，搭载天舟八号货运飞船的长征七号 运载火箭顺利将飞船送入预定轨道，火箭全长 ，起飞质量 .将数据597 000用科学记数法表示为，则 的值 是( ) B A.4 B.5 C.6 D.7 1 夯实四基 3 3.用科学记数法表示下列各数. （1） ________； （2） ____________； （3） ____________； （4） _____________. 1 夯实四基 4 知识点2 求科学记数法中的原数 4.用科学记数法表示的数 的原数为( ) C A.80 700 000 000 B.8 070 000 000 C.807 000 000 D.80 700 000 1 夯实四基 5 5.下列是用科学记数法表示的数，请把原数填在横线上. （1） _______； （2） ________； （3） _________； （4） _________. 216000 1 夯实四基 6 6.一个数用科学记数法表示为 ，则这个数有___个整数位数. 8 1 夯实四基 7 7.某地积极推进农村厕所改造，已经累计投资 元.数据 可表示为( ) B A.10.12亿 B.1.012亿 C.101.2亿 D.1 012亿 2 提升四能 8 8.若一个整数用科学记数法表示为 ，则原数中“0” 的个数为( ) C A.10 B.9 C.8 D.7 2 提升四能 9 9.把8 130 000写成,为正整数的形式，则 为 ( ) C A.1 B.6 C.8.13 D.81.3 2 提升四能 10 10. 卫星绕地球运动的速度（即第一宇宙速度）是 ，则卫星绕地球运行 走过的路程用科学记数法表 示是____________ . 2 提升四能 11 11.（8分） 为节约水资源，某初中环保宣传小组做了 一个调查，得到如下一组数据：某城市大约有160万人，每人每天早晨 起来漱口，如果大家都有一个坏习惯，漱口时都不关水龙头，那么每个 人漱口时要浪费 的水. 3 发展素养 12 （1）按这样计算，全市一天早晨要浪费约多少升水？（用科学记数法 表示） 解：160万 ， ， . 所以按这样计算，全市一天早晨要浪费约 水. （2）如果我们用 的纯净水瓶来装全市一天早晨浪费的水，约可 以装多少瓶？（用科学记数法表示） 解： （瓶）. 所以约可以装 瓶. 3 发展素养 13 $第1章 有理数 1.7 有理数的混合运算 1 知识点1 有理数的混合运算 1.计算 时，应( ) B A.先算乘法，再算除法 B.先算乘方，再算除法 C.先算乘方，再算乘法 D.先算除法，再算减法 1 夯实四基 2 2.［2025长沙期末］下列计算正确的是( ) D A. B. C. D. 1 夯实四基 3 3.下列四个式子计算结果最大的是( ) A A. B. C. D. 1 夯实四基 4 4.下面是小刚同学做的一道题： .解：原式 .四名同学看了小刚的解答，给出了四个看法：①运算顺 序错了；②计算时符号错了，应为；③计算结果是 ；④原式 应该等于 .其中正确的是________（填序号）. ①②④ 1 夯实四基 5 5.（8分）计算： （1） ； 解： . （2） . 解： . 1 夯实四基 6 知识点2 简便运算 6.下列运算中，错误的是( ) A A. B. C. D. 1 夯实四基 7 7.（12分）计算： （1） ； 解：原式 . （2） ; 解：原式 . 1 夯实四基 8 （3） . 解：原式 . 1 夯实四基 9 8.在计算 时，有四名同学给出了以 下四种计算步骤，其中正确的是( ) C A.原式 B.原式 C.原式 D.原式 2 提升四能 10 9. ［2025邵阳期末］定义新运算： , .例如：,.若 ， 则称有理数，为“隔一数对”.例如： , , ，所以2，3就是一对“隔一数对”.下列各 组数是“隔一数对”的是____（请填序号）. ,；， . ① 2 提升四能 11 10.（10分） 老师设计 了接力游戏，用合作的方式完成有理 数运算，规则是：每人只能看到前一 人给的式子，并进行一步计算，再将 结果传递给下一人，最后完成计算.过 程如图所示. （1）接力中，计算错误的学生是____________； 小明和小强 2 提升四能 12 （2）请正确计算老师给出的算式； 解：原式 . （3）计算： . 解：原式 . 2 提升四能 13 11.（4分）［2025长沙期末］请你认真阅读材料： 计算： . 解：原式的倒数是 ， 2 提升四能 14 故原式 . 根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算： . 2 提升四能 解：原式的倒数是，故原式 . 2 提升四能 16 12.（8分） 有一种“24点”游戏，其游戏规则是：将4个 之间的有理数进行加减乘除四则运算（每个数只能用一次），使 其结果为24，例如1，2，3，4可进行运算： . （1）现在有4个有理数：3，4，6，10，运用上述规则，写出两个不同 的算式，使其结果为24； 解：， .（答案不唯一） （2）对于4个有理数：1，2，4，8，再多给你一种乘方运算，请你写出 一个含乘方的算式，使其结果为24. 解： .（答案不唯一） 3 发展素养 17 $