22.3 实际问题与二次函数（第2课时）-【七彩课堂】2025-2026学年九年级数学上册同步教学课件（人教版）

该初中数学课件聚焦二次函数解决商品销售最大利润问题，以“购物选店与商场定价”情境导入，衔接二次函数性质，通过梳理销售额、利润等数量关系搭建学习支架，引导学生从实际问题抽象函数模型。 其亮点在于以问题链驱动探究，通过例1涨价降价分析、例3分段函数等实例，培养抽象能力、模型意识与推理能力。采用表格梳理数量关系、结构化小结步骤，助力学生掌握建模方法，提升用数学思维解决实际问题的能力，也为教师提供分层教学案例。

22.3 实际问题与二次函数 （第2课时） 人教版 数学 九年级 上册 22.3 实际问题与二次函数/ 1 七彩城就梦想 在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.如繁华的商业城中很多人在买卖东西。 【思考】如果你去买商品，你会选哪一家店呢？如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？ 导入新知 22.3 实际问题与二次函数/ 素养目标 2. 弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围. 1. 能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题. 22.3 实际问题与二次函数/ 3 七彩城就梦想 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是 元，销售利润 元. 18000 6000 （1）销售额= 售价×销售量; （2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量; （3）单件利润=售价-进价. 探究新知 利润问题中的数量关系 知识点 【数量关系】 22.3 实际问题与二次函数/ 4 七彩城就梦想 例1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 涨价销售 ①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空： 单件利润（元） 销售量（件） 每星期利润（元） 正常销售 涨价销售 20 300 20+x 300-10x y=(20+x)(300-10x) 建立函数关系式：y=(20+x)(300-10x), 即：y=-10x2+100x+6000. 6000 如何定价利润最大 素养考点 1 探究新知 22.3 实际问题与二次函数/ 5 七彩城就梦想 ②自变量x的取值范围如何确定？ 营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300-10x ≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤30. ③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？ y=-10x2+100x+6000， 当 时,y=-10×52+100×5+6000=6250. 即定价65元时，最大利润是6250元. 探究新知 22.3 实际问题与二次函数/ 6 七彩城就梦想 降价销售 ①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空： 单件利润（元） 销售量（件） 每星期利润（元） 正常销售 降价销售 20 300 20-x 300+18x y=(20-x)(300+18x) 建立函数关系式：y=(20-x)(300+18x)， 即y=-18x2+60x+6000. 例2 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 6000 探究新知 22.3 实际问题与二次函数/ 综合可知，应定价65元时，才能使利润最大. ②自变量x的取值范围如何确定？ 营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故20-x ≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤20. ③涨价多少元时，利润最大，是多少？ 当 时, 即：y=-18x2+60x+6000， 由(1)(2)的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗? 探究新知 22.3 实际问题与二次函数/ 例2 某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元出售，那么一个月内售出180件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量将相应减少10件，当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？ ①每件商品的销售单价上涨x元，一个月内获取的商品总利润为y元，填空： 单件利润（元） 销售量（件） 每月利润（元） 正常销售 涨价销售 10 180 10+x 180-10x y=(10+x)(180-10x) 1800 建立函数关系式：y=(10+x)(180-10x), 即：y=-10x2+80x+1800. 探究新知 22.3 实际问题与二次函数/ 营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故180-10x ≥0，因此自变量的取值范围是x ≤18. ③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？ y=-10x2+80x+1800 =-10(x-4)2+1960. 当x=4时，即销售单价为34元时，y取最大值1960元. 答：当销售单价为34元时，该店在一个月内能获得最 大利润1960元. ②自变量x的取值范围如何确定？ 探究新知 22.3 实际问题与二次函数/ 方法点拨 求解最大利润问题的一般步骤 （1）建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量” （2）结合实际意义，确定自变量的取值范围； （3）在自变量的取值范围内确定最大利润： 可以利用配方法或公式法求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出. 探究新知 22.3 实际问题与二次函数/ 某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.售价提高多少元时,才能在半个月内获得最大利润? 解：设售价提高x元时，半月内获得的利润为y元.则 y=(x+30-20)(400-20x) =-20x2+200x+4000 =-20(x-5)2+4500. ∴当x=5时，y最大 =4500 . 答：当售价提高5元时，半月内可获最大利润4500元. 巩固练习 22.3 实际问题与二次函数/ 例3 某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为Q元. （1）当售价在40～50元时，每月销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元？ 解：由题意得：当40≤x≤50时， Q = 60(x－30)= 60x－1800. ∵ y = 60 > 0，Q随x的增大而增大， ∴当x最大= 50时，Q最大= 1200. 答：此时每月的总利润最多是1200元. 限定取值范围中如何确定最大利润 素养考点 2 探究新知 22.3 实际问题与二次函数/ （2）当售价在50～70元时，每月销售量与售价的关系如图所示，则此时当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？ 解：当50≤x≤70时， 设y与x函数关系式为y=kx+b, ∵线段过(50，60)和(70，20). 50k+b=60, 70k+b=20, ∴ ∴ y =－2x +160（50≤x≤70）. 解得 k =－2, b = 160. 探究新知 22.3 实际问题与二次函数/ ∴Q=(x－30)y =(x－30)(－2x + 160) =－2x2 + 220x－ 4800 =－2(x－55)2 +1250 (50≤x≤70). ∵a = －2＜0，图象开口向下， ∴当x = 55时，Q最大= 1250. ∴当售价在50～70元时，售价x是55元时，获利最大， 最大利润是1250元. 探究新知 22.3 实际问题与二次函数/ 解：∵当40≤x≤50时， Q最大= 1200＜1218. 当50≤x≤70时， Q最大= 1250＞1218. ∴售价x应在50~70元之间. 因此令－2(x－55)2 +1250=1218, 解得：x1=51，x2=59. 当x1=51时，y1=－2x+160=－2×51+160= 58(件), 当x2=59时，y2=－2x+160= －2×59+160= 42(件). ∴若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价为 51 元或59元，当月的销售量分别为58件或42件. （3）若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价与当月的销售量各是多少？ 探究新知 22.3 实际问题与二次函数/ 变式：(1)若该商品售价在40～70元之间变化，根据例题的分析、解答，直接写出每月总利润Q与售价x的函数关系式；并说明，当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？ 解：Q与x的函数关系式为： 60x－1800 , （40≤x≤50 ） －2(x－55)2 + 1250. （50≤x≤70） Q = 由例3可知： 若40≤x≤50， 则当x=50时，Q最大= 1200, 若50≤x≤70， 则当x=55时，Q最大= 1250. ∵1200＜1250 ∴售价x是55元时，获利最大，最大利润是1250元. 探究新知 22.3 实际问题与二次函数/ （2）若该商店销售该商品所获利润不低于1218元，试确定该商品的售价x的取值范围； 解：①当40≤x≤50时，∵Q最大= 1200＜1218， ∴此情况不存在. 60x－1800 , （40≤x≤50 ） －2(x－55)2 + 1250. （50≤x≤70） Q = 探究新知 ②当50≤x≤70时， Q最大= 1250>1218， 令Q = 1218，得－2(x－55)2 +1250=1218. 解得x1=51，x2=59. 由Q = －2(x－55)2 +1250的图象和性质可知: 当51≤x≤59时，Q≥1218. 因此若该商品所获利润不低于1218元， 则售价x的取值范围为51≤x≤59. x Q 0 55 1218 59 51 1250 22.3 实际问题与二次函数/ 18 七彩城就梦想 （3）在（2）的条件下，已知该商店采购这种新商品的进货款不低于1620元，则售价x为多少元时，利润最大，最大利润是多少元？ 解：由题意得 51≤x≤59, 30 (－2 x +160)≥1620. 解得：51≤x≤53. ∵Q=－2(x－55)2 +1250的顶点 不在51≤x≤53范围内， 又∵a =－2＜0， ∴当51≤x≤53时 ，Q随x的增大而增大. ∴当x最大 = 53时，Q最大= 1242. ∴此时售价x应定为53元，利润最大，最大利润是1242元. x Q o 55 1242 53 51 探究新知 22.3 实际问题与二次函数/ 某商店购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元售出，那么每月可售出500个，据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个. (1)假设销售单价提高x元，那么销售每个篮球所获得的利润是_______元，这种篮球每月的销售量是 个(用x的代数式表示) . (2)8000元是否为每月销售篮球的最大利润? 如果是，说明理由，如果不是，请求出最大月利润,此时篮球的售价应定为多少元? x+10 50010x 8000元不是每月最大利润，最大月利润为9000元，此时篮球的售价为70元. 巩固练习 22.3 实际问题与二次函数/ 20 20 七彩城就梦想 某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件． （1）当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为______件； （2）当每件的销售价x为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y最大？并求出最大利润． 解：（1）由题意得：200﹣10×（52﹣50）=200﹣20=180（件）， （2）由题意得： y=（x﹣40）[200﹣10（x﹣50）] =﹣10x2+1100x﹣28000 =﹣10（x﹣55）2+2250. ∴每件销售价为55元时，获得最大利润；最大利润为2250元． 180 链接中考 22.3 实际问题与二次函数/ 1. 某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20 ≤x ≤30)出售，可卖出（300－20x）件，使利润最大，则每件售价应定为 元. 25 课堂检测 基础巩固题 22.3 实际问题与二次函数/ 22 七彩城就梦想 2. 进价为80元的某件定价100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y(件）与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为 .每月利润w(元)与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为 .(以上关系式只列式不化简）. y=2000-5(x-100) w=[2000-5(x-100)](x-80) 课堂检测 22.3 实际问题与二次函数/ 一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次.第1档次（最低档次）的产品一天能生产80件，每件可获利润12元.产品每提高一个档次，每件产品的利润增加2元，但一天产量减少4件.如果只从生产利润这一角度考虑，他生产哪个档次的产品，可获得最大利润？ 课堂检测 能力提升题 22.3 实际问题与二次函数/ w=[12+2(x－1)][80－4(x－1)] =(10+2x)(84－4x) =－8x2+128x+840 =－8(x－8)2+1352. 解：设生产x档次的产品时，每天所获得的利润为w元， 则 当x=8时，w有最大值，且w最大=1352. 答：该工艺师生产第8档次产品，可使利润最大，最大利润为1352元. 课堂检测 22.3 实际问题与二次函数/ x y 5 16 O 7 某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x(元）之间满足关系：y=ax²+bx-75.其图象如图. （1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 解：由图可以看出：二次函数y=ax+bx-75过点（5,0），（7,16）, 将两点坐标代入解析式即可求得： (1)y=-x2+20x-75，即y=-（x-10）2+25. ∵-1<0,对称轴x=10, ∴当x=10时，y值最大，最大值为25. 即销售单价定为10元时，销售利润最大，为25元. 课堂检测 拓广探索题 22.3 实际问题与二次函数/ 26 七彩城就梦想 （2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？ (2)显然，当y=16时，x=7和13. 因为函数y=-x+20x-75图象的对称轴为x=10， 因此，点（7,16）关于对称轴的对称点为（13,16）, 故销售单价在7 ≤x ≤13时，利润不低于16元. 课堂检测 解： 22.3 实际问题与二次函数/ 最大利润问题 建立函数关系式 总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本 确定自变量取值范围 涨价:要保证销售量≥0； 降件:要保证单件利润≥0 确定最大利润 利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出 课堂小结 22.3 实际问题与二次函数/ 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习 课后作业 22.3 实际问题与二次函数/ $