22.2 二次函数与一元二次方程-【七彩课堂】2025-2026学年九年级数学上册同步教学课件（人教版）

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的关系，涵盖交点与根的联系、判别式应用及图象法求近似解。通过小球飞行高度问题导入，从具体情境抽象出方程求解，搭建从实际问题到数学模型的学习支架。 其亮点是以真实情境（小球、铅球运动）培养数学眼光，结合抛物线图形解释方程根的意义，发展几何直观与推理意识。表格化小结清晰对比判别式、函数图象与方程根的关系，结构化呈现知识。学生能联系生活理解数学本质，教师可借助丰富例题与分层练习提升教学效率。

22.2 二次函数与一元二次方程 人教版 数学 九年级 上册 22.2 二次函数与一元二次方程/ 1 七彩城就梦想 以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．小球的飞行高度 h （单位：m ）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系 h = 20t - 5t 2． （1）小球的飞行高度能否达到 15 m？ 如果能，需要多少飞行时间？ （2）小球的飞行高度能否达到 20 m？ 如果能，需要多少飞行时间？ （3）小球的飞行高度能否达到 20.5 m？ 为什么？ （4）小球从飞出到落地要用多少时间？ 导入新知 22.2 二次函数与一元二次方程/ 3.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 1.探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系. 2.掌握二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根. 素养目标 22.2 二次函数与一元二次方程/ 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线. 球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系： h=20t-5t2， 考虑以下问题： 探究新知 二次函数与一元二次方程的关系 知识点 1 22.2 二次函数与一元二次方程/ （1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？ O h t 15 1 3 ∴当球飞行1s或3s时，它的高度为15m. 解：15=20t-5t2, t2-4t+3=0, 解得t1=1,t2=3. 你能结合上图，指出为什么在两个时间求的高度为15m吗？ 探究新知 22.2 二次函数与一元二次方程/ （2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？ 你能结合图形指出为什么只在一个时间球的高度为20m？ O h t 20 2 20=20t-5t2, t2-4t+4=0, 解得t1=t2=2. 故当球飞行2秒时，它的高度为20米. h=20t-5t2 探究新知 解： 22.2 二次函数与一元二次方程/ （3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？ O h t 你能结合图形指出为什么球不能达到20.5m的高度? 20.5 解：20.5=20t-5t2, t2-4t+4.1=0, 因为(-4)2-4 ×4.1<0, 所以方程无解. 即球的飞行高度达不到20.5米. h=20t-5t2 探究新知 22.2 二次函数与一元二次方程/ 7 七彩城就梦想 （4）球从飞出到落地要用多少时间？ O h t 0=20t-5t2, t2-4t=0, 解得t1=0,t2=4. 当球飞行0秒和4秒时，它的高度为0米. 即0秒时球地面飞出，4秒时球落回地面. h=20t-5t2 解：小球飞出时和落地时的高度均为0m， 探究新知 22.2 二次函数与一元二次方程/ 从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程? 一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为一元二次方程. 如：y=5时，则5=ax2+bx+c就是一个一元二次方程. 为一个常数 （定值） 探究新知 22.2 二次函数与一元二次方程/ 9 七彩城就梦想 二次函数与一元二次方程关系密切． 例如，已知二次函数y = －x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）． 反过来，解方程x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值． 探究新知 22.2 二次函数与一元二次方程/ 已知二次函数中因变量的值，求自变量的值 解一元二次方程 探究新知 二次函数与一元二次方程的关系（1） 22.2 二次函数与一元二次方程/ 例 已知二次函数 y=2x2-3x-4的函数值为1，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程 2x2-3x-4=1 . 反之，解一元二次方程 2x2-3x-5=0,又可以看作已知二次函数y=2x2-3x-5的函数值为0时自变量x的值. 解之得：x1=-1，x2=2.5 二次函数与一元二次方程的关系 素养考点 探究新知 22.2 二次函数与一元二次方程/ 12 七彩城就梦想 二次函数y=x2-3x+2 ，当 x=1 时，y= ;当y=0时，x= . 抛物线y=4x2-1与y轴的交点坐标为 ;与x轴的交点坐标为 . 巩固练习 0 1或2 (0,-1) (0.5,0)和（-0.5,0） 22.2 二次函数与一元二次方程/ 【思考】观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？ （1）y=x2+x-2； （2）y=x2-6x+9； （3）y=x2-x+1. 探究新知 利用二次函数与x轴的交点讨论一元二次方程的根的情况 知识点 2 22.2 二次函数与一元二次方程/ 14 七彩城就梦想 二次函数图象与x轴的公共点的横坐标是多少？ 无公共点 先画出函数图象： 公共点的函数值为 . 0 对应一元二次方程的根是多少？ x1 =-2， x2 =1. x1 =x2 =3. 方程无解 有两个不等的实根 有两个相等的实根 没有实数根 探究新知 22.2 二次函数与一元二次方程/ 15 七彩城就梦想 由上述问题，你可以得到什么结论呢？ 方程ax2+bx+c=0的解就是抛物线y=ax2+bx+c与x轴公共点的横坐标.当抛物线与x轴没有公共点时，对应的方程无实数根. 反过来，由一元二 次方程的根的情况， 也可以确定相应的 二次函数的图象与 x 轴的位置关系. 探究新知 22.2 二次函数与一元二次方程/ 有两个不等实根 有两个相等实根 没有根 有两个交点 只有一个交点 没有交点 Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 一元二次方程ax2+bx+c = 0 的根 抛物线 y=ax2+bx+c与x轴 若抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有交点，则 b2 – 4ac ≥ 0. Δ= b2 – 4ac 探究新知 二次函数与一元二次方程的关系（2） 22.2 二次函数与一元二次方程/ Δ ＞0 Δ =0 Δ ＜0 o x y △ = b2 – 4ac y=ax2+bx+c 那么a<0时呢？ a＞0 探究新知 22.2 二次函数与一元二次方程/ 1 O y = x2－6x＋9 y = x2－x＋1 y = x2＋x－2 观察图象，完成下表： 抛物线与x轴公共点个数 公共点 横坐标 相应的一元二次 方程的根 y = x2－x＋1 y = x2－6x＋9 y = x2＋x－2 0个 1个 2个 x2-x+1=0无解 3 x2-6x+9=0，x1=x2=3 -2, 1 x2+x-2=0，x1=-2,x2=1 探究新知 y x 22.2 二次函数与一元二次方程/ 19 七彩城就梦想 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2-4ac 有两个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac > 0 有两个重合的交点 有两个相等的实数根 b2-4ac = 0 没有交点 没有实数根 b2-4ac < 0 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系 探究新知 22.2 二次函数与一元二次方程/ 20 七彩城就梦想 例1 已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)． (1)求证：此抛物线与x轴总有交点； (2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值． 解：(1)证明：∵m≠0， ∴Δ＝[-(m＋2)]2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2. ∵(m－2)2≥0， ∴Δ≥0，因此抛物线与x轴总有两个交点； （2）令y=0，则（x-1）（mx-2）=0，即x-1=0或mx-2=0，解得x1=1,x2= .当m为正整数1或2时，x2的值为整数，因为当m为2时， Δ =0，抛物线与x轴只有一个交点，所以正整数m的值为1. 利用二次函数与一元二次方程的根的关系确定字母的值（范围） 素养考点 1 探究新知 22.2 二次函数与一元二次方程/ 已知抛物线y=kx2+2x-1与x轴有两个交点，则k的取值范围是 ． 巩固练习 k>-1且k0 22.2 二次函数与一元二次方程/ 例2 如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线 运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度. （1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？ （2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？ （3）铅球离地面的高度能否达 到3m？为什么？ 二次函数与一元二次方程关系在实际生活中的应用 素养考点 2 探究新知 22.2 二次函数与一元二次方程/ 解： 由抛物线的表达式得 即 解得 即当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是1m或5m. （1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？ 探究新知 22.2 二次函数与一元二次方程/ （2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？ 解：由抛物线的表达式得 即 解得 即当铅球离地面的高度为2.5m时，它离初始位置的水平距离是3m. 探究新知 22.2 二次函数与一元二次方程/ 解：由抛物线的表达式得 即 因为 所以方程无实根. 所以铅球离地面的高度不能达到3m. （3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？ 探究新知 22.2 二次函数与一元二次方程/ 一元二次方程与二次函数紧密地联系起来了. 探究新知 22.2 二次函数与一元二次方程/ 如图设水管AB的高出地面2.5m，在B处有一自动旋转的喷水头，喷出的水呈抛物线状，可用二次函数y=-0.5x2+2x+2.5描述，在所示的直角坐标系中，求水流的落地点D到A的距离是多少？ 解：根据题意得 -0.5x2+2x+2.5 = 0， 解得x1=5，x2=-1(不合题意舍去). 答：水流的落地点D到A的距离是5m. 分析：根据图象可知，水流的落地点D的纵坐标为0，横坐标即为落地点D到A的距离. 即y=0 . 巩固练习 A B O D 22.2 二次函数与一元二次方程/ 28 28 七彩城就梦想 求一元二次方程 的根的近似值（精确到0.1）. 分析：一元二次方程 x²-2x-1=0 的根就是抛物线 y=x²-2x-1 与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫做图象法. 利用二次函数求一元二次方程的近似解 探究新知 知识点 3 22.2 二次函数与一元二次方程/ 解：画出函数 y=x²-2x-1 的图象（如下图），由图象可知，方程有两个实数根，一个在-1与0之间,另一个在2与3之间. 探究新知 求一元二次方程 的根的近似值（精确到0.1）. 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 22.2 二次函数与一元二次方程/ 先求位于-1到0之间的根，由图象可估计这个根是-0.4或-0.5，利用计算器进行探索，见下表： x … -0.4 -0.5 … y … -0.04 0.25 … 观察上表可以发现，当x分别取-0.4和-0.5时，对应的y由负变正，可见在-0.5与-0.4之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2-2x-1的一个根，题目只要求精确到0.1，这时取x=-0.4或x=-0.5都符合要求.但当x=-0.4时更为接近0.故x1≈-0.4.同理可得另一近似值为x2≈2.4. 探究新知 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 22.2 二次函数与一元二次方程/ 利用二次函数的图象求一元二次方程2x2+x-15=0的近似根. (1)用描点法作二次函数 y=2x2+x-15的图象； (2)观察估计二次函数 y=2x2+x-15的图象与x轴的交点的横坐标, 由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个是-3,另一个在2与3之间,分别约为-3和2.5(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值); (3)确定方程2x2+x-15=0的解; 由此可知,方程2x2+x-15=0的近似根为:x1≈-3,x2≈2.5. 探究新知 一元二次方程的图象解法 22.2 二次函数与一元二次方程/ 根据下列表格的对应值: 判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（ ） A. 3< x < 3.23 B. 3.23 < x < 3.24 C. 3.24 <x< 3.25 D. 3.25 <x< 3.26 x 3.23 3.24 3.25 3.26 y=ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09 C 巩固练习 22.2 二次函数与一元二次方程/ 33 33 七彩城就梦想 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确是（　　） A．abc＞0 B．2a+b＜0 C．3a+c＜0 D．ax2+bx+c﹣3=0有两个不相等的实数根 C 链接中考 22.2 二次函数与一元二次方程/ 1.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为(　　) A．x1≈－2.1，x2≈0.1 B．x1≈－2.5，x2≈0.5 C．x1≈－2.9，x2≈0.9 D．x1≈－3，x2≈1 B 课堂检测 基础巩固题 22.2 二次函数与一元二次方程/ 2.若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示，且关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3，则另一个解x2= ； -1 3. 一元二次方程 3x2+x－10=0的两个根是x1=－2 ，x2= ，那么二次函数 y= 3x2+x－10与x轴的交点坐标是 . (-2，0) ( ，0) 课堂检测 22.2 二次函数与一元二次方程/ 36 七彩城就梦想 4. 若一元二次方程 无实根，则抛物线 图象位于（ ） A.x轴上方 B.第一、二、三象限 C.x轴下方 D.第二、三、四象限 A 课堂检测 5. 二次函数y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(　　) A．k<3 B．k<3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠0 D 22.2 二次函数与一元二次方程/ 37 七彩城就梦想 已知函数y＝(k－3)x²＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围． 解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数． ∵一次函数y＝2x＋1与x轴只有一个交点， ∴k＝3； 当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数． ∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点， ∴Δ＝b2－4ac≥0. ∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16， ∴－4k＋16≥0.∴k≤4且k≠3. 综上所述，k的取值范围是k≤4. 课堂检测 能力提升题 22.2 二次函数与一元二次方程/ 某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时距地面 米，与篮框中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮框距地面3米． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？ 课堂检测 拓广探索题 (2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？ 22.2 二次函数与一元二次方程/ 解：(1)由条件可得到出手点、最高点和篮框的坐标分别为A(0， )，B(4，4)，C(7，3)，其中B是抛物线的顶点． 设二次函数关系式为y＝a(x﹣h)2＋k，将点A、B的坐标代入，可得y＝﹣ (x ﹣ 4)2+4. 将点C的坐标代入上式，得左边＝3，右边＝ ﹣ (7 ﹣ 4)2+4＝3，左边＝右边，即点C在抛物线上．所以此球一定能投中. 课堂检测 (1) 建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？ 22.2 二次函数与一元二次方程/ 40 七彩城就梦想 (2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？ 解：将x＝1代入函数关系式，得y＝3. 因为3.1＞3，所以盖帽能获得成功． 课堂检测 22.2 二次函数与一元二次方程/ 判别式Δ=b2-4ac 二次函数y=ax2+bx+c （a>0） 的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）的根 不等式ax2+bx+c>0（a>0）的解集 不等式ax2+bx+c<0（a>0）的解集 x2 x1 x y O O x1= x2 x y x O y Δ>0 Δ＝0 Δ＜0 x1 ; x2 x1 =x2＝－ 没有实数根 x<x1或x>x2 x ≠ x1的任意实数 任意实数 x1<x<x2 无解 无解 课堂小结 22.2 二次函数与一元二次方程/ 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习 课后作业 22.2 二次函数与一元二次方程/ $