22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质（第2课时）-【七彩课堂】2025-2026学年九年级数学上册同步教学课件（人教版）

22.1 二次函数的图象和性质 22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 （第2课时） 人教版 数学 九年级 上册 22.1 二次函数的图象和性质/ 1 七彩城就梦想 用待定系数法求函数的解析式 已知一次函数经过点（1，3）和（-2，-12），求这个一次函数的解析式. 解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b,因为一次函数经过点（1，3）和（-2，-12）， 所以 解得 k=3，b=-6. 一次函数的解析式为y=3x-6. 【思考】如何用待定系数法求二次函数的解析式呢？ 导入新知 22.1 二次函数的图象和性质/ 2 2 七彩城就梦想 素养目标 2.灵活应用三点式、顶点式、交点式求二次函数的解析式. 1.会用待定系数法求二次函数的解析式. 22.1 二次函数的图象和性质/ 3 七彩城就梦想 【思考】回忆一下用待定系数法求一次函数的解析式的一般步骤．求二次函数y=ax2+bx+c的解析式的关键是什么？ 探究新知 用三点式求二次函数的解析式 知识点 1 22.1 二次函数的图象和性质/ 4 七彩城就梦想 我们知道，由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的解析式.对于二次函数，由几个点的坐标可以确定二次函数？ 已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4)，求这个函数的解析式. 解： 设所求的二次函数为y=ax2+bx+c. 由已知得： a-b+c=10 a+b+c=4 三个未知数，两个等量关系，这个方程组能解吗？ 第一步:设出解析式的形式； 第二步:代入已知点的坐标； 第三步：解方程组. 探究新知 22.1 二次函数的图象和性质/ 已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4) 、(2,7)，求这个函数的解析式. 第一步:设出解析式的形式； 第二步:代入已知点的坐标； 第三步：解方程组. 解： 设所求的二次函数为y=ax2+bx+c. 由已知得： a-b+c=10, a+b+c=4, 4a+2b+c=7. 三个未知数，三个等量关系，这个方程组能解吗？ 探究新知 22.1 二次函数的图象和性质/ a-b+c=10, a+b+c=4, 4a+2b+c=7. ① ② ③ ? 由②-①可得： 2b=-6 b=-3. 由③-①可得： 3a+3b=-3 a+b=-1 a=2. 将a=2，b=-3代入①可得： 2+3+c=10 c=5. ∴解方程组得： a=2, b=-3, c=5. 探究新知 22.1 二次函数的图象和性质/ 例 已知一个二次函数的图象过点A(-1,0), B(4,5), C(0,-3). 三点，求这个函数的解析式. 解：设所求抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c. ∵抛物线经过点A(-1，0), B(4，5), C(0，-3). ∴ 解得a＝1，b＝-2，c＝-3. ∴抛物线的解析式为y＝x2-2x-3. 利用三点式求二次函数的解析式 素养考点 探究新知 22.1 二次函数的图象和性质/ 求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待定系数a，b，c的值. 若已知条件是二次函数图像上三个点的坐标，可设解析式为y=ax2+bx+c,列出关于a，b，c的方程组，并求出a，b，c，就可以写出二次函数的解析式. 归纳 任意两点的连线不与y轴平行 三点式求二次函数的解析式 探究新知 22.1 二次函数的图象和性质/ 已知一个二次函数的图象过点A(0,0), B(-1,-1), C(1,9)三点，求这个函数的解析式. 第一步:设出解析式的形式； 第二步:代入已知点的坐标； 第三步:解方程组. 解：设所求抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c. ∵抛物线经过点A(0,0), B(-1,-1), C(1,9). ∴ 解得a＝4，b＝5，c＝0. ∴抛物线的解析式为y＝4x2+5x. 0=c, -1=a-b+c, 9=a+b+c. 巩固练习 22.1 二次函数的图象和性质/ 一个二次函数，当自变量x＝0时，函数值y＝-1，当x＝-2与 时，y＝0，求这个二次函数的解析式. 探究新知 用交点式y=a(x-x1) (x-x2) 求二次函数解析式 知识点 2 两种方法的结果一样吗？两种方法哪一个更简捷？ 22.1 二次函数的图象和性质/ 交点式求二次函数的解析式：若已知抛物线与x轴的两交点坐标，可设解析式为y=a（x-x1）（x-x2），把另一点的坐标代入，解关于a的一元一次方程. 例 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点(两点的纵坐标都为0)，与y轴交于点C(0,3)，求这个二次函数的解析式. 解: ∵图象与x轴交于A(1,0)，B(3,0)， ∴设函数解析式为y＝a(x-1)(x-3). ∵图象过点C(0,3), ∴3=a(0-1)(0-3)，解得a=1. ∴二次函数解析式为y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3. 利用交点式求二次函数的解析式 素养考点 探究新知 22.1 二次函数的图象和性质/ 已知抛物线与x轴交于A（－1，0），B（1,0）并经过点M（0,1），求抛物线的解析式. 故所求的抛物线解析式为 y=－x2+1. 解: ∵图象与x轴交于A(-1,0)，B(1,0)， ∴设函数解析式为y＝a(x+1)(x-1). ∵图象过点M(0,1), ∴1=a(0+1)(0-1)，解得a=-1. ∴二次函数解析式为y=-1(x+1)(x-1), 巩固练习 22.1 二次函数的图象和性质/ 13 13 七彩城就梦想 【思考】图象顶点为(h, k)的二次函数的解析式是y=a(x-h)2+k，如果顶点坐标已知，那么求解析式的关键是什么？ 探究新知 用二次函数顶点式y=a(x-h)2+k求函数解析式 知识点 3 22.1 二次函数的图象和性质/ 例 已知抛物线顶点为(1,-4)，且又过点(2,-3)，求其解析式. 解：∵抛物线顶点为(1,-4), ∴设其解析式为y=a(x-1)2-4， 又抛物线过点(2,-3)， 则-3=a(2-1)2-4，则a=1. ∴其解析式为y=(x-1)2-4＝x2-2x-3. 探究新知 利用顶点式求二次函数的解析式 素养考点 22.1 二次函数的图象和性质/ 若已知顶点坐标和一点，可设解析式为y=a(x-h)2+k，将另一点坐标代入解关于a的一元一次方程. 归纳 顶点式求二次函数的解析式 探究新知 22.1 二次函数的图象和性质/ 已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为（﹣1，2），且图象过点（1，﹣3），求这个二次函数的关系式. 解：∵抛物线顶点为(-1,2)， ∴设其解析式为y=a(x+1)2+2， 又抛物线过点(1,-3)， 则3=a(1+1)2+2，则a= . 故这个二次函数的关系式是y= (x+1)2+2. 巩固练习 22.1 二次函数的图象和性质/ 17 七彩城就梦想 已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5），求该函数的关系式. 解：设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4， 将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1. ∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4 y=﹣x2﹣2x+3. 链接中考 22.1 二次函数的图象和性质/ 1. 如图所示,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A(-2,-2),且过点B(0,2),则y与x的函数关系式为( ) A. y=x2+2 B. y=(x-2)2+2 C. y=(x-2)2-2 D. y=(x+2)2-2 2. 已知二次函数的图象经过点(4,-3),并且当x=3时有最大值4,则其解析式为 . D y=-7(x-3)2+4. 课堂检测 基础巩固题 22.1 二次函数的图象和性质/ 如图所示,已知抛物线的对称轴是直线x=3,它与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,点A、C的坐标分别是(8,0)、(0,4),求这个抛物线的解析式. 解：由抛物线过A(8,0)及对称轴为x=3, 知抛物线一定过点(-2,0). 设这个抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-8), ∵抛物线过点(0,4), ∴4=a(0+2)(0-8), 课堂检测 能力提升题 ∴这个抛物线的解析式为 22.1 二次函数的图象和性质/ 已知抛物线顶点(1,16)，且抛物线与x轴的两交点间的距离为8，求其解析式. 解:由题意可知抛物线与x轴交点坐标为(5,0)，(-3,0), 设解析式为y=a(x-5)(x+3), ∵抛物线过点(1,16)， ∴16=a(1-5)(1+3),解得a=-1. ∴抛物线的解析式为y=-(x-5)(x+3)=-x2+2x+15. 课堂检测 拓广探索题 22.1 二次函数的图象和性质/ 待定系数法求二次函数的解析式 三点式 交点式 顶点式 已知抛物线上三个点的坐标，设解析式为 y=ax2+bx+c 已知抛物线与x轴两交点的坐标，设解析式为 y=（x-x1）（x-x2） 已知抛物线顶点坐标和另一个点的坐标，设解析式为 y=a（x-h）2+k 课堂小结 22.1 二次函数的图象和性质/ 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习 课后作业 22.1 二次函数的图象和性质/ $