22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质（第1课时）-【七彩课堂】2025-2026学年九年级数学上册同步教学课件（人教版）

该初中数学课件聚焦二次函数一般式y=ax²+bx+c的图象和性质，通过回顾顶点式y=a(x-h)²+k的性质，以“能否用旧知讨论一般式”设问导入，搭建从已知到未知的学习支架，衔接自然。 其亮点在于以素养目标为导向，通过配方法和公式法转化一般式，培养运算能力（数学思维），结合列表描点、平移法画图象发展几何直观（数学眼光），例题中用数学语言精准描述顶点坐标等关系。如用配方法求y=2x²-8x+7的对称轴和顶点，巩固练习填表强化符号意识。学生能提升转化与分析能力，教师可借助系统流程和分层练习提高教学效率。

22.1 二次函数的图象和性质 22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 （第1课时） 人教版 数学 九年级 上册 22.1 二次函数的图象和性质/ 1 七彩城就梦想 y=a(x-h)2 +k(a≠0) a>0 a<0 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 极值 向上 向下 (h ,k) (h ,k) x=h x=h 当x<h时， y随着x的增大而减小. 当x>h时， y随着x的增大而增大. 当x<h时, y随着x的增大而增大. 当x>h时，y随着x的增大而减小. x=h时,y最小值=k x=h时,y最大值=k 抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上下和左右平移得到. 回顾旧知 二次函数y=a(x-h)2+k的性质 22.1 二次函数的图象和性质/ 我们已经知道二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论二次函数y=ax2+bx+c 图象和性质? 导入新知 22.1 二次函数的图象和性质/ 素养目标 3. 能根据所给的自变量的取值范围画二次函数的图象. 1. 会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k. 2. 能熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴. 22.1 二次函数的图象和性质/ 4 七彩城就梦想 我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论 的图象和性质？ 【思考1】怎样将 化成 y=a(x-h)2+k的形式？ 探究新知 画出二次函数y=ax2+bx+c的图象 知识点 1 22.1 二次函数的图象和性质/ 5 七彩城就梦想 配方可得 想一想：配方的方法及步骤是什么？ 探究新知 怎样将 化成 y=a(x-h)2+k的形式？ 22.1 二次函数的图象和性质/ 配方 (1)“提”：提出二次项系数； (2)“配”：括号内配成完全平方； (3)“化”：化成顶点式. 【提示】配方后的表达式通常称为配方式或顶点式. 探究新知 22.1 二次函数的图象和性质/ 【思考2】你能说出 的对称轴及顶点坐标吗？ 答：对称轴是直线x=6,顶点坐标是（6，3）. 【思考3】二次函数 可以看作是由 怎样平移得到的？ 答：平移方法1：先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的； 平移方法2：先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的. 探究新知 22.1 二次函数的图象和性质/ 8 七彩城就梦想 【思考4】 如何画二次函数 的图象？ … … … … 9 8 7 6 5 4 3 x 1. 利用图象的对称性列表 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 5 10 x y 5 10 2.然后描点画图，得到 图象如右图. O 方法一：描点法 探究新知 22.1 二次函数的图象和性质/ 方法二：平移法 2 6 8 y 4 O -2 2 x 4 -4 6 8 探究新知 22.1 二次函数的图象和性质/ 【思考5】 结合二次函数 的图象，说出其性质. 5 10 x y 5 10 x=6 当x<6时，y随x的增大而减小； 当x>6时，y随x的增大而增大. O 探究新知 开口方向： 对称轴： 顶点： 向上. x=6. (6,3). 22.1 二次函数的图象和性质/ 例 画出函数 的图象，并说明这个函数具有哪些性质. x ··· -2 -1 0 1 2 3 4 ··· y ··· ··· -6.5 -4 -2.5 -2 -2.5 -4 -6.5 解: 函数 通过配方可得 ， 先列表： 画二次函数y=ax2+bx+c的图象并且说出它的性质 素养考点 探究新知 22.1 二次函数的图象和性质/ 2 x y -2 0 4 -2 -4 -4 -6 -8 然后描点、连线，得到图象如下图： 由图象可知，这个函数具有如下性质： 开口方向：向下. 顶点坐标：（1，-2）. 对称轴：x=1. 最值：x=1时，y最大值=-2. 当x＜1时，函数值y随x的增大而增大； 当x＞1时，函数值y随x的增大而减小； 当x=1时，函数取得最大值，最大值y=-2. 探究新知 22.1 二次函数的图象和性质/ 求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标. 因此，二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是直线x=2，顶点坐标为(2,-1). 解： 巩固练习 22.1 二次函数的图象和性质/ 根据下列关系你能发现二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质吗？ y=ax2+bx+c 探究新知 二次函数y=ax2+bx+c 的图象与性质 知识点 2 22.1 二次函数的图象和性质/ y=ax2+bx+c 二次函数的顶点式 对称轴为 . 二次函数的一般表达式 因此，抛物线的对称轴是 ，顶点是 . 探究新知 显然，二次函数 的顶点坐标为 . 22.1 二次函数的图象和性质/ y O x （a>0） y O x （a<0） 二次函数y=ax2+bx+c的图象： 增减性？ 最小值 最大值 探究新知 22.1 二次函数的图象和性质/ 探究新知 22.1 二次函数的图象和性质/ 例 二次函数y=x2+2x﹣3的开口方向、顶点坐标分别是（　　） A．开口向上，顶点坐标为（﹣1，﹣4） B．开口向下，顶点坐标为（1，4） C．开口向上，顶点坐标为（1，4） D．开口向下，顶点坐标为（﹣1，﹣4） 解析 ∵二次函数y=x2+2x﹣3的二次项系数为a=1＞0， ∴函数图象开口向上， ∵y=x²+2x﹣3=（x+1）2﹣4， ∴顶点坐标为（﹣1，﹣4）． 方法点拨：把函数的一般式化为顶点式，再由顶点式确定开口方向、对称轴、顶点及其他性质. 指出二次函数y=ax2+bx+c的有关性质 素养考点 A 探究新知 22.1 二次函数的图象和性质/ 顶点坐标 对称轴 最值 y=-x2+2x y=-2x2-1 y=9x2+6x-5 (1,1) x=1 最大值1 (0,-1) y轴 最大值-1 最小值-6 ( ,-6) 直线x= 填一填. 巩固练习 22.1 二次函数的图象和性质/ 一次函数y=kx+b的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空： x y O y=k1x+b1 x y O y=k2x+b2 y=k3x+b3 k1 ___ 0 b1 ___ 0 k2 ___ 0 b2 ___ 0 ＞ ＞ ＜ k3 ___ 0 b3 ___ 0 ＜ ＞ 探究新知 二次函数字母系数与图象的关系 知识点 3 ＞ 22.1 二次函数的图象和性质/ x y O 二次函数 的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空： a1 ___ 0 b1___ 0 c1___ 0 a2___ 0 b2___ 0 c2___ 0 ＞ ＞ ＞ ＞ ＜ ＝ 开口向上，a＞0 对称轴在y轴左侧，x＜0 对称轴在y轴右侧，x＞0 x=0时，y=c. 探究新知 22.1 二次函数的图象和性质/ x y O a3___ 0 b3___ 0 c3___ 0 a4___ 0 b4___ 0 c4___ 0 ＜ ＝ ＞ ＜ ＞ ＜ 开口向下，a＜0 对称轴是y轴，x=0 对称轴在y轴右侧，x＞0 x=0时，y=c. 探究新知 22.1 二次函数的图象和性质/ 字母符号 图象的特征 a＞0 开口_____________ a＜0 开口_____________ b=0 对称轴为_____轴 a、b同号 对称轴在y轴的____侧 a、b异号 对称轴在y轴的____侧 c=0 经过原点 c＞0 与y轴交于_____半轴 c＜0 与y轴交于_____半轴 向上 向下 y 左 右 正 负 探究新知 二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系 22.1 二次函数的图象和性质/ 例 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是 (　　) A．1　　　B．2　　　　C．3　　　D．4 D 由图象上横坐标为 x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0， 故③正确； 由图可知x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝－1的点在第二象限得出 a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确． 【解析】由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得 c＞0，则abc＞0，故①正确； 由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确； 利用二次函数y=ax2+bx+c的图象确定字母的值 素养考点 探究新知 22.1 二次函数的图象和性质/ 二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，下列选项中正确的是（ ） A．a＞0 B．b＞0 C．c＜0 D． ac>0 巩固练习 解析 根据开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，确定a、b、c的符号，根据对称轴和图象确定y＞0或y＜0时，x的范围，确定代数式的符号． ①∵开口向下，∴a＜0，A错误；②对称轴在y轴的右侧和a＜0，可知b＞0，B正确；③抛物线与y轴交于正半轴，c＞0，C错误；④因为a<0，c>0，所以ac<0，D错误． B 22.1 二次函数的图象和性质/ 如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（　　） A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤ A 链接中考 22.1 二次函数的图象和性质/ 1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x，y的部分对应值如下表： x -1 0 1 2 3 y 5 1 -1 -1 1 A. y轴 B.直线x= C. 直线x=2 D.直线x= 则该二次函数图象的对称轴为( ) D 课堂检测 基础巩固题 22.1 二次函数的图象和性质/ 28 七彩城就梦想 O y x –1 –2 3 2. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论： （1）a，b同号；（2）当x = –1和x=3时，函数值相等； （3） 4a+b=0； （4）当y = –2时，x的值只能取0； 其中正确的是 . （2） 课堂检测 22.1 二次函数的图象和性质/ 29 七彩城就梦想 3. 如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，x=-1是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；③a-b+c= -9a；④若（-3，y1）,（ ，y2）是抛物线上两点，则y1>y2.其中正确的是（ ） A．①②③　　 B．①③④ C．①②④　 D．②③④ x y O 2 x =-1 B 课堂检测 22.1 二次函数的图象和性质/ 30 七彩城就梦想 根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： 直线x=3 直线x=8 直线x=1.25 直线x= 0.5 课堂检测 能力提升题 22.1 二次函数的图象和性质/ 31 七彩城就梦想 1.已知函数y=-2x2+x-4,当x= 时，y有最大值 . 2.已知二次函数y=x2-2x+1，那么它的图象大致为（ ） B 课堂检测 拓广探索题 A． B． C． D． 22.1 二次函数的图象和性质/ 顶点： 对称轴： y=ax2+bx+c（a ≠0) (一般式) 配方法 公式法 (顶点式) 课堂小结 22.1 二次函数的图象和性质/ 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习 课后作业 22.1 二次函数的图象和性质/ $