22.1.2 二次函数y=ax2图象和性质-【七彩课堂】2025-2026学年九年级数学上册同步教学课件（人教版）

22.1 二次函数的图象和性质 22.1.2 二次函数y=ax2的 图象和性质 人教版 数学 九年级 上册 22.1 二次函数的图像和性质/ （1） 你们喜欢打篮球吗？ 导入新知 （2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？ 22.1 二次函数的图像和性质/ 素养目标 3.能根据图象说出抛物线y=ax²的开口方向、对称轴、顶点坐标，能根据a的符号说出顶点是抛物线的最高点还是最低点. 1.正确理解抛物线的有关概念. 2.会用描点法画出二次函数y=ax²的图象，概括出图象的特点，知道抛物线y=ax²的开口方向与a的符号有关. 22.1 二次函数的图像和性质/ 3 七彩城就梦想 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　 画出二次函数y=x2的图象. 9 4 1 0 1 9 4 1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值： 探究新知 二次函数y=ax2的图象的画法 知识点 1 22.1 二次函数的图像和性质/ 2 4 -2 -4 o 3 6 9 x y 2.描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y） 3.连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y = x2 的图象． 探究新知 22.1 二次函数的图像和性质/ -3 3 o 3 6 9 当取更多个点时，函数y=x2的图象如下： x y 二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线. 这条抛物线关于y轴对称, y轴就是它的对称轴. 对称轴与抛物线的交 点叫做抛物线的顶点. 探究新知 22.1 二次函数的图像和性质/ 画出函数y=-x2的图象. y 2 4 -2 -4 0 -3 -6 -9 x x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x2 … -9　 -4　 -1　 0　 -1　 -4　 -9　 …　 探究新知 22.1 二次函数的图像和性质/ 根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流. 1.y＝x2的图象是一条抛物线; 2.图象开口向上; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点． 探究新知 二次函数y=ax2的图象性质 知识点 2 22.1 二次函数的图像和性质/ 说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质，并与同伴交流. 1.y＝-x2的图象是一条抛物线; 2.图象开口向下; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最高点． 探究新知 22.1 二次函数的图像和性质/ 1. 顶点都在原点（0,0）; 3. 当a>0时，开口向上； 当a<0时，开口向下． 2. 图像关于y轴对称; 探究新知 二次函数y=ax2的图象性质 22.1 二次函数的图像和性质/ 观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a＞0)的关系是什么？ 二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称. x y O y=ax2 y=-ax2 探究新知 22.1 二次函数的图像和性质/ 1.观察图形，y随x的变化如何变化？ (-2,4) (-1,1) (2,4) (1,1) 探究新知 二次函数y=ax2的性质 知识点 3 22.1 二次函数的图像和性质/ 对于抛物线 y = ax 2 （a＞0） 当x＞0时，y随x取值的增大而增大； 当x<0时，y随x取值的增大而减小. 探究新知 二次函数y=ax2的性质 22.1 二次函数的图像和性质/ (-2,-4) (-1,-1) (2,-4) (1,-1) 2.观察图形，y随x的变化如何变化？ 探究新知 22.1 二次函数的图像和性质/ 对于抛物线 y = ax 2 （a＜0） 当x＞0时，y随x取值的增大而减小； 当x<0时，y随x取值的增大而增大. 探究新知 二次函数y=ax2的性质 22.1 二次函数的图像和性质/ 解：分别填表，再画出它们的图象，如图： x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ··· ··· ··· x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· ··· ··· 8 4.5 2 0.5 0 8 4.5 2 0.5 8 4.5 2 0.5 0 8 4.5 2 0.5 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象． 探究新知 22.1 二次函数的图像和性质/ x y O -2 2 2 4 6 4 -4 8 【思考】二次函数 的图象开口大小与a的大小有什么关系？ 当a>0时，a越大，开口越小. 探究新知 22.1 二次函数的图像和性质/ 【练一练】在同一直角坐标系中，画出函数 的图象． x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ··· ··· ··· x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· ··· ··· -8 -4.5 -2 -0.5 0 -8 -4.5 -2 -0.5 -8 -4.5 －2 －0.5 0 －8 －4.5 －2 －0.5 探究新知 22.1 二次函数的图像和性质/ O －2 2 －2 －4 －6 4 －4 －8 当a<0时，a越小（即a的绝对值越大），开口越小. 【思考】二次函数 的图象开口大小与a的大小有什么关系？ 对于抛物线 y = ax 2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越小． 探究新知 x y 22.1 二次函数的图像和性质/ y＝ax2 a>0 a<0 图象 位置开 口方向 对称性 顶点最值 增减性 开口向上,在x轴上方 开口向下,在x轴下方 a的绝对值越大，开口越小 关于y轴对称，对称轴是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0） 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减 y O x y O x 探究新知 22.1 二次函数的图像和性质/ （3）函数y= x2的图象的开口 ,对称轴是 , 顶点是 ;顶点是抛物线的最 点; （2）函数y=－3x2的图象的开口 ,对称轴是 ,顶点 是 顶点是抛物线的最 点; （1）函数y=4x2的图象的开口 ,对称轴是 ,顶点是 ; 向上 向下 y轴 y轴 (0,0) (0,0) （4）函数y= －0.2x2的图象的开口 ,对称轴是 ,顶点是 . 向上 y轴 (0,0) 向下 y轴 (0,0) 高 低 填一填 探究新知 22.1 二次函数的图像和性质/ 21 21 七彩城就梦想 例 已知 y =(m+1)x 是二次函数,且其图象开口向上,求m的值和函数解析式 m2+m 解: 依题意有: m+1>0 , ① m2+m=2 , ② 解②,得m1=－2, m2=1. 由①,得m>－1. 因此 m=1. 此时,二次函数为 y=2x2. 利用函数y=ax2的图像性质确定字母的值 素养考点 探究新知 22.1 二次函数的图像和性质/ 已知 是二次函数，且当x＞0时，y随x增大而增大，则k= . 解： 是二次函数，即二次项的系数不为0，x的指数等于2.又因当x＞0时，y随x增大而增大,即说明二次项的系数大于0. 因此， ，解得k=2 . 2 巩固练习 22.1 二次函数的图像和性质/ 23 七彩城就梦想 二次函数y=ax2是刻画客观世界许多现象的一种重要模型. 物体自由下落的高度h与下落时间t之间的关系（g代表重力加速度，为定值） 质量为m的物体运动时的能量E与其运动速度v之间的关系（m为定值） 物体做匀加速运动时，行驶路程与时间的关系（a代表加速度，为定值） 探究新知 二次函数y = ax2的实际应用 知识点 4 22.1 二次函数的图像和性质/ 例 已知正方形的周长为C cm，面积为S cm2， （1）求S与C之间的二次函数关系式； 即：S= （c＞0） （2）画出它的图象； （3）根据图象，求出当S=1cm2时，正方形的周长； （4）根据图象，求出C取何值时，S ≥4cm2. 注意自变量的范围 二次函数y=ax2与不等式的综合运用 素养考点 探究新知 22.1 二次函数的图像和性质/ 解：（1）∵正方形的周长为Ccm， ∴正方形的边长为 cm， ∴S与C之间的关系式为S = ； （2）作图如右： （3）当S = 1cm2时，C2 =16，即C =4cm （4）若S ≥ 4cm2，即 ≥4，解得C ≥ 8 . ，或c≤-8(舍去）. 因此C ≥ 8cm. 探究新知 22.1 二次函数的图像和性质/ (1)若点(－2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上， 则 y1_____ y2；(填“>”“＝”或“<”)； (2)如图，此二次函数的图象经过点(0，0)，长方形ABCD的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和． < 巩固练习 已知二次函数y＝2x2. 22.1 二次函数的图像和性质/ 27 七彩城就梦想 (2)解：∵二次函数y＝2x2的图象经过点C， ∴当x＝2时，y＝2×22＝8. ∵抛物线和长方形都是轴对称图形，且y轴为它们的对称轴， ∴OA＝OB, ∴在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右边空白部分面积， ∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16. 巩固练习 22.1 二次函数的图像和性质/ 方法点拨 二次函数y＝ax2的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中，我们根据图象中点具有的对称性转变到同一变化区域中(全部为升或全部为降)，根据图象中函数值高低去比较；对于求不规则的图形面积，采用等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以方便求解． 探究新知 22.1 二次函数的图像和性质/ 已知抛物线y=ax2(a＞0)过点A（-2，y1）,B（1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（ ） A.y1＞0＞y2 B.y2＞0＞y1 C.y1＞y2＞0 D.y2＞y1＞0 C 链接中考 22.1 二次函数的图像和性质/ 30 七彩城就梦想 1.函数y=2x2的图象的开口 , 对称轴 ,顶点是 ; 在对称轴的左侧，y随x的增大而 , 在对称轴的右侧, y随x的增大而 . 2.函数y=-3x2的图象的开口 ,对称轴 ,顶点是 ; 在对称轴的左侧, y随x的增大而 , 在对称轴的右侧, y随x的增大而 . 向上 向下 y轴 y轴 (0,0) (0,0) 减小 减小 增大 增大 x x y y O O 课堂检测 基础巩固题 22.1 二次函数的图像和性质/ 31 七彩城就梦想 3.如右图，观察函数y=（ k-1）x2的图象,则k的取值范围是 . x y k>1 4.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： 开口方向 对称轴 顶点 向上 向下 向下 向上 y轴 y轴 y轴 y轴 （0,0） （0,0） （0,0） （0,0） O 课堂检测 22.1 二次函数的图像和性质/ 已知二次函数y=x2，若x≥m时，y最小值为0，求实数m的取值范围． 解：在二次函数y=x2中，a=1＞0 因此当x=0时，y有最小值. ∵当x≥m时，y最小值=0， ∴m≤0． 课堂检测 能力提升题 22.1 二次函数的图像和性质/ 已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积． 解：由题意得 因此两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)． ∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4.两交点与原点所围成的三角形面积S△ABO＝S△ACO＋S△BOC.在△BOC中，OC边上的高就是B点的横坐标值的绝对值1；在△ACO中，OC边上的高就是A点的横坐标值的绝对值4. 因此S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝ ×4×1+ ×4×4＝10. 课堂检测 拓广探索题 解得 22.1 二次函数的图像和性质/ 二次函数y=ax2的图象及性质 画法 描点法 以对称轴为中心对称取点 图象 抛物线 轴对称图形 性质 重点关注4个方面 开口方向及大小 对称轴 顶点坐标 增减性 课堂小结 22.1 二次函数的图像和性质/ 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习 课后作业 22.1 二次函数的图像和性质/ $