22.1.2 二次函数y＝y=ax2的图象和性质 习题课件2025-2026学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²的图象和性质，通过描点法绘制y=2x²、y=-2x²等具体函数图象，引导学生观察对比不同a值下的抛物线特征，联系一次函数学习经验，搭建从具体图象到抽象性质的认知支架，帮助学生理解顶点坐标、对称轴、开口方向等核心知识。 其亮点在于以几何直观和模型意识为核心，用表格系统对比a>0与a<0时的函数性质，培养数学眼光。结合正方形周长与面积关系的综合应用题，将实际问题转化为二次函数模型，体现数学语言的应用意识。课堂小结用结构化表格梳理知识，提升学生推理能力和应用能力，也为教师提供清晰教学脉络，提高教学效率。

22.1.2　二次函数y=ax2的图象和性质 学习目标 （1）用描点法画二次函数y=ax2的图象，知道抛物线y=ax2是轴对称图形，知道抛物线y=ax2的开口方向与a的符号有关. （2）能根据图象说出抛物线y=ax2的开口方向、对称轴、顶点坐标，能根据a的符号说出顶点是抛物线的最高点还是最低点. A 向上 y轴 (0，0) 向下 y轴 (0，0) 向上 y轴 (0，0) 向下 y轴 (0，0) 发现：在抛物线y＝ax2中，对称轴都为_______，顶点坐标都为_______．当a____0时，图象开口________，顶点是它的最______点；当a____0时，图象开口________，顶点是它的最____点． y轴 (0，0) > 向上 低 < 向下 高 x x 小 大 y＝3x2 y轴 ＜0 ＞0 a>1 D y1＞y3＞y2 y＝－x2(答案不唯一) A D 8 已知正方形的周长为C cm，面积为S cm2， （1）求S与C之间的二次函数关系式； （2）画出它的图象； （3）根据图象，求出当S=1cm2时，正方形的周长； （4）根据图象，求出C取何值时，S ≥4cm2. 出题角度 二次函数y=ax2与不等式的综合运用 注意自变量的范围 解：（1）∵正方形的周长为Ccm， ∴正方形的边长为 cm， ∴S与C之间的关系式为S = ； （2）作图如右： （3）当S = 1cm2时，C2 =16，即C =4cm （4）若S ≥ 4cm2，即 ≥4，解得C ≥ 8cm 1.对于函数y＝4x2，下列说法正确的是( ) A．当x＞0时，y随x的增大而减小 B．当x＜0时，y随x的增大而减小 C．y随x的增大而减小 D．y随x的增大而增大 B 基础巩固 2.已知点(a－1，y1)，(a，y2)，(a＋1，y3)都在函数y＝x2的图象上，且a＜－1，则(　　) A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3 C 3.已知y＝(m＋1)xm2＋m是关于x的二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而减小． (1)求m的值； (2)画出该函数的图象． 综合应用 解：(1)∵y＝(m＋1)xm2＋m是关于x的二次函数，∴m2＋m＝2且m＋1≠0.则m＝－2或m＝1.又∵x＞0时，y随x的增大而减小，∴m＋1＜0，m＜－1，故m＝－2　 (2)画图略 二次函数y = ax2 的性质 根据图形填表： 抛物线 y = ax2（a>0） y = ax2（a＜0） 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值 （0，0） （0，0） y轴 y轴 在x轴的上方（除顶点外） 在x轴的下方（除顶点外） 向上 向下 当x = 0时，最小值为0. 当x = 0时，最大值为0. 当x<0时，y随着x的增大而减小. 当x>0时，y随着x的增大而增大. 当x<0时，y随着x的增大而增大. 当x>0时，y随着x的增大而减小. 课堂小结 知识点1 二次函数y＝ax2的图象 1．二次函数y＝3x2的图象大致是( ) 填写抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 y＝4x2 _______ _______ _______ y＝－4x2 _______ _______ _______ y＝ eq \f(1,4) x2 _______ _______ _______ y＝－ eq \f(1,4) x2 _______ _______ _______ 3．新教改　思考(1)在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝2x2，y＝ eq \f(1,2) x2，y＝－2x2，y＝－ eq \f(1,2) x2的图象； (2)观察(1)中所画图象，回答下列问题： ①抛物线y＝2x2与抛物线y＝－2x2的形状相同，且两图象关于______轴对称；同理，抛物线y＝ eq \f(1,2) x2与抛物线y＝－ eq \f(1,2) x2的形状相同，也关于______轴对称； ②当|a|相同时，抛物线开口大小相同；当|a|变大时，抛物线的开口变______；当|a|变小时，抛物线的开口变______．(填“大”或“小”) 【变式】抛物线y＝3x2与y＝2x2中，开口较小的抛物线是____________． 4．分别求出符合下列条件的抛物线y＝ax2的解析式： (1)经过点(－3，2)； (2)与抛物线y＝ eq \f(1,3) x2的开口大小相同，方向相反． 解：(1)解析式为y＝ eq \f(2,9) x2； (2)解析式为y＝－ eq \f(1,3) x2. 知识点2 二次函数y＝ax2的性质 5．二次函数y＝4x2的图象的对称轴是________，当x________时，y随x的增大而减小；当x________时，y随x的增大而增大． 【变式】已知二次函数y＝(a－1)x2，当x>0时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是________． 6．已知点(－1，y1)，(－3，y2)都在函数y＝3x2的图象上，则( ) A．y1＜y2＜0 B．y2＜y1＜0 C．0＜y2＜y1 D．0＜y1＜y2 【变式】已知点(－2，y1)，(0，y2)，(1，y3)都在函数y＝x2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为________________． 7．新考向　结论开放已知一个二次函数，当x<0时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增大而减小，请写出一个符合条件的二次函数解析式__________________________． 8．新考向　多模块综合如图，在同一直角坐标系中，k≠0，函数y＝kx2和y＝－kx－k的图象可能是( ) 9．下列选项正确的是( ) A．二次函数y＝ax2，当x<0时，y随x的增大而增大 B．函数y＝2x2开口向下，函数y＝－2x2开口向上 C.y＝3x2和y＝－3x2图象的顶点、对称轴和开口方向完全相同 D．抛物线y＝ax2和y＝－ax2都关于x轴对称 10．思想方法　转化思想如图，正方形的边长为4 ，以正方形对角线交点为原点建立平面直角坐标系，作出函数y＝ eq \f(1,2) x2与y＝－ eq \f(1,2) x2的图象，则阴影部分的面积是____． 11．根据下列条件求m的取值范围． (1)函数y＝(m＋3)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大； (2)函数y＝(2m－1)x2图象开口向上； (3)抛物线y＝(m＋2)x2与抛物线y＝－ eq \f(1,2) x2的形状相同． 解：(1)由题意，得m＋3＜0，解得m＜－3； (2)由题意，得2m－1＞0，解得m＞ eq \f(1,2) ； (3)由题意，得m＋2＝± eq \f(1,2) ，解得m＝－ eq \f(5,2) 或－ eq \f(3,2) . 12．思想方法　数形结合如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c的两个交点分别为A(－2，4)，B(1，1). (1)求a，b，c的值； (2)连接AO，BO，求△ABO的面积． 解：(1)把点B(1，1)代入y＝ax2，得a＝1. 把点A(－2，4)，B(1，1)代入y＝bx＋c，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(－2b＋c＝4，,b＋c＝1，))) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(b＝－1，,c＝2；))) (2)设直线AB与y轴交于点C. 由(1)得直线y＝bx＋c的解析式为y＝－x＋2. 当x＝0时，y＝2， ∴点C(0，2)，即OC＝2， ∴S△ABO＝ eq \f(1,2) (xB－xA)·OC＝ eq \f(1,2) ×(1＋2)×2＝3. $$