22.1.1 二次函数-【七彩课堂】2025-2026学年九年级数学上册同步教学课件（人教版）

该初中数学课件聚焦二次函数概念、识别及解析式确定，通过喷头水珠轨迹等生活实例导入，结合正方体表面积、多边形对角线等问题引导学生列关系式，对比共同点后抽象出定义，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以核心素养为导向，用生活实例培养数学眼光，小组讨论分析关系式发展数学思维，例题练习中列解析式强化数学语言。分层设计（巩固、中考、提升）和结构化小结帮助学生系统掌握，教师可直接使用多样化资源提升教学效率。

22.1 二次函数的图象和性质 22.1.1 二次函数 人教版 数学 九年级 上册 22.1 二次函数的图像和性质/ 如图，从喷头喷出的水珠，在空中走过一条曲线后落到池中央，在这条曲线的各个位置上，水珠的竖直高度h与它距离喷头的水平距离x之间有什么关系？ 上面问题中变量之间的关系可以用哪一种函数来表示？这种函数与以前学习的函数、方程有哪些联系？ 导入新知 22.1 二次函数的图像和性质/ 1.掌握二次函数的定义，并能判断所给函数是否是二次函数. 2. 能根据实际问题中的数量关系列出二次函数解析式，并能指出二次函数的项及各项系数. 素养目标 22.1 二次函数的图像和性质/ 正方体的六个面是全等的正方形（如下图）,设正方形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值, y都有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表示为 y=6x2①. 探究新知 二次函数的概念 知识点 1 问题1 22.1 二次函数的图像和性质/ 4 4 七彩城就梦想 多边形的对角线总条数d与边数n有什么关系？ 如果多边形有n条边,那么它有 个顶点,从一个顶点出发,可以作 条对角线. n (n-3) 多边形的对角线总数 d= n(n-3). M N 即d= n2- n②. ②式表示了多边形的对角线总条数d与边数n之间的关系,对于n的每一个值,d都有一个对应值,即d是n的函数. 探究新知 问题2 22.1 二次函数的图像和性质/ 5 5 七彩城就梦想 某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定,y与x之间的关系应怎样表示？ 这种产品的原产量是20件, 一年后的产量是 件,再经过一年后的产量是 件,即两年后的产量为 y=20（1+x）2. 20(1+x) 20(1+x)2 即y=20x2+40x+20③. ③式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系,对于x的每一个值, y都有一个对应值,即y是x的函数. 探究新知 问题3 22.1 二次函数的图像和性质/ 6 6 七彩城就梦想 函数①②③有什么共同点? y=6x2① d= n2- n② y=20x2+40x+20③ 探究新知 【思考】 学生以小组形式讨论，并由每组代表总结. 22.1 二次函数的图像和性质/ 7 7 七彩城就梦想 y=6x2 自变量 函数 函数解析式 y y d x x n 【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，分别说出哪些是常数、自变量和函数． 这些函数有什么共同点？ 这些函数自变量的最高次项都是二次的！ 探究新知 22.1 二次函数的图像和性质/ 一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数，叫做二次函数. （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的 （3）等式的右边最高次数为 ，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. 注意 （2）a,b,c为常数，且 （4）x的取值范围是 . 整式. a≠0. 2 任意实数 探究新知 二次函数的定义 22.1 二次函数的图像和性质/ 9 9 七彩城就梦想 一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数，叫做二次函数. 二次项系数 自变量 一次项系数 常数项 探究新知 二次函数的定义 22.1 二次函数的图像和性质/ 二次函数的一般形式: y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0) 探究新知 二次函数的形式 当b＝0时， y＝ax2＋c.（只含有二次项和常数项） 当c＝0时， y＝ax2＋bx.（只含有二次项和一次项） 当b＝0，c＝0时， y＝ax2.（只含有二次项） 二次函数的特殊形式: 22.1 二次函数的图像和性质/ 11 11 七彩城就梦想 例1 下列函数中是二次函数的有 . 二次函数：y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0） √ a=0 × 最高次数是4 × × √ =x2 √ ①⑤⑥ 二次函数的识别 素养考点 1 探究新知 22.1 二次函数的图像和性质/ 方法点拨 运用定义法判断一个函数是否为二次函数的步骤： （1）将函数解析式右边整理为含自变量的代数式，左边是函数（因变量）的形式； （2）判断右边含自变量的代数式是否是整式； （3）判断自变量的最高次数是否是2； （4）判断二次项系数是否不等于0. 探究新知 22.1 二次函数的图像和性质/ 13 七彩城就梦想 下列函数中,哪些是二次函数？ (1) y=3(x-1)²+1 (3) s=3-2t² (5) y=(x+3)²-x² (6) v =10πr² （是） （否） （是） （否） （否） （是） (7) y=x²+x³+25 (8) y =2²+2x （否） （否） (2) (4) 右边不是整式 右边不是整式 自变量的最高次数是1 整理后，自变量的最高次数是1 自变量的最高次数是3 巩固练习 22.1 二次函数的图像和性质/ 14 七彩城就梦想 例2 关于x的函数 是二次函数, 求m的值. 解: 由二次函数的定义得m2-m=2,m+1≠0. 注意 二次函数的二次项系数不能为零. 解得 m=2. 因此当m=2时，函数为二次函数. 利用二次函数的定义求字母的值 素养考点 2 探究新知 22.1 二次函数的图像和性质/ 解：根据二次函数的定义，得 解得a=-1. 巩固练习 是二次函数，求常数a的值. 22.1 二次函数的图像和性质/ 根据实际问题建立二次函数模型的一般步骤： ①审题：仔细审题，分析数量之间的关系，将文字语言转化为符号语言； ②列式：根据实际问题中的等量关系，列二次函数关系式，并化成一般形式； ③取值：联系实际，确定自变量的取值范围. 根据实际问题确定二次函数解析式 知识点 2 探究新知 22.1 二次函数的图像和性质/ 例 一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园，和墙垂直的一边长为xm，菜园的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围.当x=12m时，计算菜园的面积. xm y m2 xm （40-2x ）m 解： 由题意得： y=x(40-2x). 即 y=-2x2+40x. (0<x<20) 当x＝12m时，菜园的面积为 y =-2x2+40x=-2×122+40×12=192（m2）. 素养考点2 建立二次函数的模型 素养考点 探究新知 方法点拨:确定实际问题中的二次函数关系式时，常常用到生活中的经验及数学公式（例长方形和圆的面积、周长公式）等. 22.1 二次函数的图像和性质/ 18 18 七彩城就梦想 ①已知圆的面积y(cm2)与圆的半径x(cm)，写出y与x之间的函数关系式； ②王先生存入银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的存款年利率为x，两年后王先生共得本息和y万元,写出y与x之间的函数关系式； ③一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与半径r之间的关系式. y=πx2 y=2(1+x)2 S=4πr2 做一做: (x>0) (x>0) (r>0) 说一说以上二次函数解析式的各项系数. 巩固练习 22.1 二次函数的图像和性质/ 1.下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ） A.y=3x-1 B.y=ax2+bx+c C.s=2t2-2t+1 D.y=x2+ C 链接中考 22.1 二次函数的图像和性质/ 2.已知函数 y=（m²﹣m）x²+（m﹣1）x+m+1． （1）若这个函数是一次函数，求m的值； （2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？ 解：（1）根据一次函数的定义，得m2﹣m=0， 解得m=0或m=1，又∵m﹣1≠0即m≠1, ∴当m=0时，这个函数是一次函数； （2）根据二次函数的定义， 得：m2﹣m≠0，解得m1≠0，m2≠1, ∴当m1≠0，m2≠1时，这个函数是二次函数. 链接中考 22.1 二次函数的图像和性质/ 1 .下列函数中，（x是自变量），是二次函数的为( ) A. y=ax2+bx+c B. y2=x2-4x+1 C. y=x2 D. y=22+ x+1 2. 函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( ) A. m,n是常数,且m≠0 B. m,n是常数,且n≠0 C. m,n是常数,且m≠n D. m,n为任何实数 C C 课堂检测 基础巩固题 22.1 二次函数的图像和性质/ 22 22 七彩城就梦想 3. 一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积 s 与半径 r 之间的关系式. 4. n支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛,写出比赛的场次数 m与球队数 n 之间的关系式. S=4πr2. m= n(n-1), 即m= n2- n. 课堂检测 22.1 二次函数的图像和性质/ 23 23 七彩城就梦想 解：由二次函数的定义得 当m为何值时，函数y=(m-4)xm²-5m+6+mx是关于x的二次函数. 课堂检测 能力提升题 ∴当m=1时，函数y=(m-4)xm²-5m+6+mx是关于x的二次函数. 解得m=1. 22.1 二次函数的图像和性质/ 问题导入，列关系式 探索二次关系式共同点 总结二次函数概念 二次函数y=ax²+bx+c （a，b，c为常数，a≠0） 二次函数的判别: ①含未知数的代数式为整式； ②未知数最高次数为2； ③二次项系数不为0. 确定二次函数解析式及自变量的取值范围 课堂小结 22.1 二次函数的图像和性质/ 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习 课后作业 22.1 二次函数的图像和性质/ $