21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系-【七彩课堂】2025-2026学年九年级数学上册同步教学课件（人教版）

21.2 解一元二次方程 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 人教版 数学 九年级 上册 21.2 解一元二次方程/ 1. 一元二次方程的求根公式是什么？ 【想一想】方程的两根x1和x2与系数a、b、c还有其他关系吗？ 2. 如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？ 对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0). b2 - 4ac > 0 时,方程有两个不相等的实数根. b2 - 4ac = 0 时,方程有两个相等的实数根. b2 - 4ac < 0 时,方程无实数根. 导入新知 21.2 解一元二次方程/ 素养目标 1.探索一元二次方程的根与系数的关系. 2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题. 3.让学生体会从特殊到一般的科学探究过程. 21.2 解一元二次方程/ 3 填表，观察、猜想 方程 x1, x2 x1+ x2 x1. x2 x2-2x+1=0 x2+3x-10=0 x2+5x +4=0 【思考】你发现什么规律？ ①用语言叙述你发现的规律； ② x2+px+q=0的两根x1,, x2用式子表示你发现的规律. 探究新知 根与系数的关系 知识点 1 1,1 2 1 2,-5 -3 -10 -1,-4 -5 4 21.2 解一元二次方程/ （1）若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0,且x-x2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数）的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1,x2与p,q之间的关系吗？ (x-x1)(x-x2)=0. x2-(x1+x2)x+x1·x2=0， x2+px+q=0， x1+x2= -p , x1 ·x2=q. 探究新知 【猜一猜】 21.2 解一元二次方程/ 如果关于x的方程 的两根是x1 , x2 ,则: 如果方程二次项系数不为1呢? x1+x2=-p，x1·x2=q 探究新知 21.2 解一元二次方程/ 方 程 x1, x2 x1+ x2 x1 .x2 2x2-3x-2=0 3x2-4x+1=0 问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律. ①用语言叙述发现的规律； ② ax2+bx+c=0的两根x1,, x2用式子表示你发现的规律. 探究新知 ，1 ，2 -1 21.2 解一元二次方程/ 一元二次方程的根与系数的关系： 如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1 , x2 , 那么x1+x2= , x1x2= （韦达定理） 【注意】能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0. 常数项 探究新知 一次项系数 二次项系数 注意系数符号. 学生活动：请同学用求根公式证明. 21.2 解一元二次方程/ 例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. （1）x2 + 7x + 6 = 0; 解：这里 a = 1 , b = 7 , c = 6. Δ = b2 - 4ac = 72 – 4 × 1 × 6 = 25 > 0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6. 一元二次方程的根与系数的关系的应用 素养考点 1 探究新知 21.2 解一元二次方程/ （2）2x2 - 3x - 2 = 0. 解：这里 a = 2 , b = -3 , c = -2. Δ= b2 - 4ac = （- 3）2 – 4 × 2 × (-2) = 25 > 0, ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = , x1 x2 = -1 . 探究新知 21.2 解一元二次方程/ 不解方程，求方程两根的和与两根的积： ①x2+3x-1=0 ② 2x2-4x+1=0 解：① ② 原方程可化为： 二次项不是1，可以先把它化为1 巩固练习 21.2 解一元二次方程/ 例2 已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值. 解：设方程的两个根分别是x1,x2，其中x1=2 . 所以：x1 · x2=2x2= 即：x2= 由于x1+x2=2+ = 得：k=－7. 答：方程的另一个根是 ，k=－7. 利用根与系数的关系求字母的值或取值范围 素养考点 2 探究新知 想一想，还有没有别的做法？ 21.2 解一元二次方程/ 已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,求它的另一个根及k的值. 解： 设方程的另一个根为x1. 把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0. 解这方程，得 k= - 2. 由根与系数关系，得x1● 2＝3k, 即 2 x1 ＝－6. ∴ x1 ＝－3. 答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2. 巩固练习 21.2 解一元二次方程/ 例3 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和. 解：根据根与系数的关系可知： 利用根与系数的关系求两根的平方和、倒数和 素养考点 3 探究新知 ∴ 21.2 解一元二次方程/ （1）x1+x2= , (2) x1·x2= , (3) , (4) . 4 1 12 14 巩固练习 设x1, x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则: 21.2 解一元二次方程/ 例4 设x1，x2是方程 x2 -2(k - 1)x + k2 =0 的两个实数根，且 x12 +x22 =4，求k的值. 解：由方程有两个实数根，得Δ= 4（k - 1）2 - 4k2 ≥ 0 即 -8k + 4 ≥ 0. ∴ 由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2(k -1) , x1 x2 =k 2. ∴ x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(k -1)2 -2k2 = 2k2 -8k + 4. 由 x12 + x22 = 4，得 2k2 - 8k + 4 = 4, 解得 k1= 0 , k2 = 4 . 经检验， k2 = 4 不合题意，舍去. 根与系数关系的综合题目 素养考点 4 探究新知 21.2 解一元二次方程/ 归纳总结 探究新知 求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入. 21.2 解一元二次方程/ 解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1. ∵ (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2 由根与系数的关系得x1+x2= , x1x2 = 解得k1=9,k2= -3. 当k=9或-3时，由于Δ ＞0，∴k的值为9或-3. ∴（ ）2-4× =1. 巩固练习 当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1. 21.2 解一元二次方程/ 一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（ 　） A．﹣2 B．1 C．2 D．0 D 链接中考 21.2 解一元二次方程/ 1. 如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是___，m =____. 2. 已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2 和 1 ，则：p = , q= . 1 -2 -3 课堂检测 基础巩固题 21.2 解一元二次方程/ 3.已知方程 3x2 -19x + m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值. 解：将x = 1代入方程中： 3 -19 + m = 0. 解得 m = 16, 设另一个根为x1,则： 1 × x1 = ∴x1 = 课堂检测 21.2 解一元二次方程/ 4.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且（x1+1)(x2+1)=4； （1）求k的值； （2）求(x1-x2)2的值. 解：(1)根据根与系数的关系 得(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1= 解得：k=-7； （2）因为k=-7,所以 则： 课堂检测 21.2 解一元二次方程/ 设x1,x2是方程3x2 + 4x – 3 = 0的两个根.利用根系数之间的关系,求下列各式的值. (1) (x1 + 1)(x2 + 1); (2) 解: 根据根与系数的关系得： （1）(x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1= （2） 课堂检测 能力提升题 21.2 解一元二次方程/ 1. 当k为何值时，方程2x2-kx+1=0的两根差为1. 解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1, ∵ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1, 由根与系数的关系，得 课堂检测 拓广探索题 ∵△＞0, ∴ ∴ ∴ 21.2 解一元二次方程/ 2. 已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+ m -2=0 （1）若方程有实数根,求实数m的取值范围. （2）若方程两根x1,x2满足∣x1-x2∣= 1 求m的值. 解：(1)方程有实数根 ∴m的取值范围为m＞0. (2)∵方程有实数根x1,x2 ∵ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1 解得m=8. 经检验m=8是原方程的解． 课堂检测 ∴ ∴ ＝（-2m）2-4m（m-2） ＝8m≠0 21.2 解一元二次方程/ 根与系数的关系 （韦达定理） 内 容 如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么 应 用 课堂小结 21.2 解一元二次方程/ 课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习 21.2 解一元二次方程/ $