21.2.2 公式法-【七彩课堂】2025-2026学年九年级数学上册同步教学课件（人教版）

21.2 解一元二次方程 21.2.2 公式法 人教版 数学 九年级 上册 解： 移项，得 . 配方 . 由此可得 . 利用配方法解一元二次方程 导入新知 21.2 解一元二次方程/ 化：把原方程化成 x2＋px＋q = 0 的形式. 移项：把常数项移到方程的右边，如x2＋px =－q. 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方. 开方：根据平方根的意义，方程两边开平方. 求解：解一元一次方程. 定解：写出原方程的解. 用配方法解一元二次方程的步骤 方程右边是非负数 x2＋px＋ ( )2 = －q＋ ( )2 ( x+ )2 =－q＋ ( )2 【思考】如何用配方法解方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)呢？ 导入新知 21.2 解一元二次方程/ 3.会熟练应用公式法解一元二次方程. 1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念. 2.灵活应用∆ =b²－4ac 的值识别一元二次方程根的情况. 素养目标 21.2 解一元二次方程/ ax2＋bx＋c = 0(a≠0) 探究新知 公式法的概念 知识点 1 一元二次方程的一般形式是什么？ 【思考】如果使用配方法解出一元二次方程一般形式的根，那么这个根是不是可以普遍适用呢？ 21.2 解一元二次方程/ 用配方法解一般形式的一元二次方程 方程两边都除以a，得 , 解: 移项，得 ， 配方，得 , 即 . 探究新知 21.2 解一元二次方程/ 一元二次方程的求根公式 当 探究新知 ， . 21.2 解一元二次方程/ 由上可知，一元二次方程 的根由方程的系数a，b，c确定．因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式 ，当 时，将a，b，c 代入式子 ，就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根. 当 b-4ac ＜0 时，方程有实数根吗？ 探究新知 公式法的概念 21.2 解一元二次方程/ 解：∵a=1，b=-4，c=-7, ∴b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44＞0. 例 用公式法解方程： 公式法解方程 素养考点 （1）x2-4x-7=0； 探究新知 ∴ 21.2 解一元二次方程/ 解： 则方程有两个相等的实数根： （2）2x2-2 x+1=0； 【思考】这里的a、b、c的值分别是什么？ 探究新知 21.2 解一元二次方程/ 10 10 解：原方程可化为 . 则方程有两个不相等的实数根 （3）5x2-3x=x+1; 探究新知 . . 21.2 解一元二次方程/ 解：原方程可化为 . 方程无实数根. （4）x2+17=8x. 探究新知 . 21.2 解一元二次方程/ 方法点拨 探究新知 （1）当 时，一元二次方程有两个不 相等的实数根; （2）当 时，一元二次方程有两个相 等的实数根; （3）当 时，一元二次方程没有实 数根. 21.2 解一元二次方程/ 用公式法解一元二次方程的一般步骤 1. 将方程化成一般形式，并写出a，b，c 的值. 2. 求出 ∆ 的值. 3. (1)当 ∆ >0 时，代入求根公式 : 写出一元二次方程的根. (2)当∆=0时，代入求根公式： 写出一元二次方程的根. （3）当∆<0时，方程无实数根. 探究新知 21.2 解一元二次方程/ 14 用公式法解方程： 解：a=3, b=-6, c=-2, ∆=b2-4ac=(-6)2-4×3×(-2)=60. 巩固练习 21.2 解一元二次方程/ 用公式法解下列方程： （1） x2＋x－1 = 0 （2）x2－2 （3） 2x2－2x＋1 = 0 x＋3 = 0 观察上面解一元二次方程的过程，一元二次方程的根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情况呢？ 一元二次方程的根的情况 知识点 2 探究新知 21.2 解一元二次方程/ 【思考】 不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？ ⑴ x2＋2x－8 = 0 ⑵ x2 = 4x－4 ⑶ x2－3x = －3 （3）没有实数根. 答案：（1）有两个不相等的实数根； （2）有两个相等的实数根； 【发现】b2－4ac的符号决定着方程的解. 探究新知 21.2 解一元二次方程/ （2）当b2-4ac=0时，有两个相等的实数根： （1）当b2-4ac＞0 时，有两个不等的实数根： （3）当b2-4ac<0时，没有实数根. 一般的，式子 b2-4ac 叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“∆”来表示，即∆＝b2-4ac. 一元二次方程的根的情况 探究新知 21.2 解一元二次方程/ 18 若已知一个一元二次方程的根的情况，是否能得到判别式的值的符号呢？ 当一元二次方程有两个不相等的实数根时， b2-4ac ＞0; 当一元二次方程有两个相等的实数根时， b2-4ac = 0; 当一元二次方程没有实数根时， b2-4ac ＜ 0. 【注意】 一元二次方程的根的情况 探究新知 21.2 解一元二次方程/ 例1 不解方程，判断下列方程根的情况： 解：a＝﹣1，b＝ ，c＝﹣6, △= b2-4ac =24－4×（﹣1）×（-6）=0. 该方程有两个相等的实数根. 解： 移项，得 x2+4x-2=0, a＝1，b＝4 ，c＝﹣2, △= b2-4ac =16-4×1×（-2）=24＞0. 该方程有两个不相等的实数根. 利用判别式识别一元二次方程的根的情况 素养考点 1 （2）x2+4x=2; 探究新知 （1） ; 21.2 解一元二次方程/ 20 （3）4x2+1=-3x; 解：移项，得4x2+3x+1=0， a＝4，b＝3 ，c＝1, ∵ △= b2-4ac =9-4×4×1=-7＜0. ∴该方程没有实数根. 解：a＝1，b＝-2m ，c＝4（m-1）, ∵ △= b2-4ac =（-2m）²-4×1×4（m-1） =4m2-16（m-1） =4m2-16m+16 =（2m-4）2≥0. ∴该方程有两个实数根. （4）x²-2mx+4（m-1）=0. 探究新知 21.2 解一元二次方程/ （2）方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根，那么总成立的式 子是（ ） A. b²-4ac＞0 B. b² -4ac＜0 C. b²-4ac≤0 D. b² -4ac≥0 （1）下列方程中，没有实数根的方程是（ ） A.x²=9 B.4x² =3(4x-1) C.x(x+1)=1 D.2y² +6y+7=0 D D 巩固练习 选一选. 21.2 解一元二次方程/ 例2 m为何值时，关于x的一元二次方程 2x2-（4m+1）x+2m2-1=0： （1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？ （3）没有实数根？ 解：a=2，b=-（4m+1），c=2m2-1, b2-4ac=〔-（4m+1）〕2-4×2（2m2-1）=8m+9. （1）若方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac ＞0，即8m+9＞0 ∴m＞ （2）若方程有两个相等的实数根，则b2-4ac=0即8m+9=0 ∴m= （3）若方程没有实数根，则b2-4ac＜0即8m+9＜0, ∴m＜ ∴当m＞ 时，方程有两个不相等的实数根；当m= 时， 方程有两个相等的实数根；当m＜ 时，方程没有实数根. 利用判别式求字母的值或取值范围 素养考点 2 探究新知 21.2 解一元二次方程/ m为任意实数，试说明关于x的方程x2-（m-1）x-3（m+3）=0恒有两个不相等的实数根. 解： ∵不论m取任何实数，总有（m+5）2≥0, ∴b2-4ac=（m+5）2+12≥12＞0, ∴不论m取任何实数，上述方程总有两个不相等的实数根. 巩固练习 21.2 解一元二次方程/ 24 1.若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（ ） A．m≥1 B．m≤1 C．m＞1 D．m＜1 D 链接中考 21.2 解一元二次方程/ 2. 解方程x2﹣2x﹣1=0． 解：a=1，b=﹣2，c=﹣1， △=b2﹣4ac=4+4=8＞0， 所以方程有两个不相等的实数根， 1， 则 链接中考 21.2 解一元二次方程/ 1.方程x2－4x＋4＝0的根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.有一个实数 D.没有实数根 基础巩固题 课堂检测 B 21.2 解一元二次方程/ 2. 关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不等 的实根，则k的取值范围是 （ ） A. k>-1 B. k>-1 且k≠ 0 C. k<1 D. k<1 且k≠0 B 课堂检测 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 21.2 解一元二次方程/ 3. 已知x2＋2x＝m－1没有实数根，求证：x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根. 证明：∵ 没有实数根， ∴ 4-4(1-m)<0, ∴m<0. 对于方程 x2＋mx＝1-2m ，即 . ，∵ ，∴ △>0. ∴x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根. 课堂检测 21.2 解一元二次方程/ 公式法 定义 把各系数直接带入求根公式的解一元二次方程的方法. 步骤 一化成一般形式， 并写出a，b，c的值； 二求出b2-4ac的值； 三; 四写出方程的解：x1, x2. 应用 用判别式△= b2-4ac判定一元二次方程根的情况. 课堂小结 21.2 解一元二次方程/ 课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习 21.2 解一元二次方程/ $