21.2.1 配方法（第2课时）-【七彩课堂】2025-2026学年九年级数学上册同步教学课件（人教版）

该初中数学课件聚焦“配方法解一元二次方程”，通过矩形场地面积问题导入，从实际情境抽象出方程，以“能否用直接开平方法”衔接旧知，引导学生结合完全平方公式探究配方规律，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于融入核心素养，通过实际问题抽象培养数学眼光，借助配方规律推导发展数学思维，以规范解题步骤强化数学语言。例题覆盖不同系数及根的情况，结合中考题型与几何应用，小结系统梳理步骤，助力学生提升运算能力与推理意识，教师可直接利用结构化内容提高教学效率。

21.2 解一元二次方程 21.2.1 配方法 （第2课时） 人教版 数学 九年级 上册 化为一般式，得 x2+6x-16=0 要使一块矩形场地的长比宽多6米，并且面积为16平方米，求场地的长和宽应各是多少？ x(x+6)=16 导入新知 解：设场地宽为xm，则长为（ x＋ 6）m，根据长方形面积为16m2，列方程得 怎样解这个方程？能不能用直接开平方法？ 21.2 解一元二次方程/ 2.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系. 素养目标 1.了解配方的概念，掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题. 21.2 解一元二次方程/ (1) 9x2=1 ； (2) (x-2)2=2. 2.下列方程能用直接开平方法来解吗? 1.用直接开平方法解下列方程: (1) x2+6x+9 =5； (2)x2+6x+4=0. 把两题转化成 (x+n)2=p(p≥0)的形式，再利用开平方来解. 探究新知 配方法的定义 知识点 21.2 解一元二次方程/ 你还记得吗？填一填下列完全平方公式. (1) a2+2ab+b2=( )2； (2) a2-2ab+b2=( )2. a+b a-b 探究新知 21.2 解一元二次方程/ 填一填（根据 ） 配方时, 等式两边同时加上的是一次项系数一半的平方. 5 6 你发现了什么规律？ 二次项系数都为1. 探究新知 21.2 解一元二次方程/ 6 6 【思考】 怎样解方程: x2+6x+4=0（1） （1）方程(1)怎样变成（x+n)2=p的形式呢？ 解： x2+6x+4=0 x2+6x=-4 移项 x2+6x+9=-4+9 两边都加上9 二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方. 探究新知 21.2 解一元二次方程/ （2）为什么在方程x2+6x=-4的两边加上9？加其他数行吗？ 提示：不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能变成完成平方x2+2bx+b2的形式. 探究新知 21.2 解一元二次方程/ 像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法叫做配方法. 配方是为了降次 ，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解. 配方法的定义 探究新知 21.2 解一元二次方程/ 例1 解方程： 解：（1）移项，得 x2－8x=－1, 配方，得 x2－8x+42=－1+42 , ( x－4)2=15 由此可得 素养考点 1 探究新知 解二次项系数是1的一元二次方程 21.2 解一元二次方程/ 解方程x2+8x-4=0 解：移项，得 x2+8x＝4 配方，得 x2+8x+4²=4+4²， 整理，得 (x+4)2=20， 由此可得 x+4= ， x1＝ ， x2＝ . 巩固练习 21.2 解一元二次方程/ 配方，得 由此可得 二次项系数化为1，得 解：移项，得 2x2－3x=－1, 例2 解方程 解二次项系数不是1的一元二次方程 素养考点 2 探究新知 （1） 移项和二次项系数化为1这两个步骤能不能交换一下呢? 21.2 解一元二次方程/ 配方，得 因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，上式都不成立，所以原方程无实数根． 解：移项，得 二次项系数化为1，得 为什么方程两边都加12？ 即 探究新知 （2） 21.2 解一元二次方程/ 13 思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要注意些什么？ 思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤. 移项时需注意改变符号. ①移项，二次项系数化为1； ②左边配成完全平方式； ③左边写成完全平方形式； ④降次； ⑤解一次方程. 探究新知 21.2 解一元二次方程/ 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x+n)2=p. ①当p>0时,则 ,方程的两个根为 ②当p=0时,则(x+n)2=0,x+n=0,开平方得方程的两个根为 x1=x2=-n. ③当p<0时,则方程(x+n)2=p无实数根. 方法点拨 探究新知 21.2 解一元二次方程/ 15 解下列方程： 巩固练习 解: 移项，得 配方，得 由此可得 二次项系数化为1，得 整理，得 3x2+6x=4 x2+2x= x2+2x+12= +12 (x+1)2= 即 x+1=± . x1= ， x2= . （1） 21.2 解一元二次方程/ 巩固练习 解: 移项，得 配方，得 由此可得 二次项系数化为1，得 整理，得 x1= ， x2= 4x2-6x=3 x2- x= （2） 21.2 解一元二次方程/ 巩固练习 解：移项，得 ∴ x取任何实数，上式都不成立， 即原方程无实数根． ∵ 对任何实数x都有 ( x+1 )2 ≥ 0, 配方，得 x2+2x+1=-2+1. 整理，得 x2+2x=-2. (x+1)2=-1. （3） 21.2 解一元二次方程/ 18 巩固练习 解：去括号，得 x2+4x=8x+12 移项，得 配方，得 由此可得 x-2=±4 整理，得 x2-4x=12 (x-2)2=16 x1=6 , x2=-2 x2-4x+2²=12+2² 因此 （4） 21.2 解一元二次方程/ 例3 试用配方法说明：不论k取何实数，多项式 k2－4k＋5 的值必定大于零. 解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1 =（k－2）2＋1 因为（k－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1. 所以k2－4k＋5的值必定大于零. 利用配方法确定多项式或字母的值（或取值范围） 素养考点 3 探究新知 方法点拨：证明代数式的值恒为正数,需要利用配方法将代数式化成几个非负数的和,利用非负数的性质说明代数式的值恒为正数. 21.2 解一元二次方程/ 例4 若a,b,c为△ABC的三边长，且 试判断△ABC的形状. 解：对原式配方，得 根据非负数的性质得 根据勾股定理的逆定理可知，△ABC为直角三角形. 探究新知 由此可得 即 21.2 解一元二次方程/ 巩固练习 方程2x2 - 3m - x +m2 +2=0有一个根为x = 0，则m的值为（ ） A. 1 B.1 C.1或2 D.1或-2 应用配方法求最大值或最小值. (1)求 2x2 - 4x+5的最小值 (2) -3x2 + 12x -16的最大值. C 解：原式 = 2(x - 1)2 +3 因为 2(x - 1)2 ≥0， 所以 2(x - 1)2 +3 ≥3 因此当x =1时，原式有最小值3. 解：原式= -3(x - 2)2 - 4 因为 (x - 2)2 ≥0，即-3(x - 2)2 ≤0， 所以 -3(x - 2)2 -4≤-4 因此当x =2时，原式有最大值-4. 21.2 解一元二次方程/ 类 别 解 题 策 略 1.求最值或证明代数式的值恒为正（或负） 对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2＋n的形式后，由于x无论取任何实数都有(x+m)2≥0，n为常数，当 a＞0时，可知其有最小值；当a＜0时，可知其有最大值. 2.完全平方式中的配方 如：已知x2－2mx＋16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=±4. 3.利用配方构成非负数和的形式 对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是通过配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0,则a2＋(b－2)2=0,即a=0，b=2. 配方法的应用 探究新知 21.2 解一元二次方程/ 23 1. 一元二次方程y2﹣y﹣ =0配方后可化为（　　） A. (y+ )2=1 B. (y- )2=1 C. (y+ )2= D. (y- )2= B 链接中考 21.2 解一元二次方程/ 24 课堂检测 1. 解方程： 4x2-8x-4=0. 解：移项，得4x2-8x=4， 基础巩固题 二次项系数化为1，得 x2-2x=1， 配方，得 x2-2x+1=1+1, 整理，得 （x-1）2=2, 21.2 解一元二次方程/ 课堂检测 2.利用配方法证明：不论x取何值，代数式－x2－x－1的值总是负数，并求出它的最大值. ： 原式= = = 21.2 解一元二次方程/ 课堂检测 3.若 ，求(xy)z 的值. 解：对原式配方，得 由非负数的性质可知 21.2 解一元二次方程/ 4.如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850m2，道路的宽应为多少？  解：设道路的宽为xm, 根据题意得 （35-x)(26-x)=850， 整理得 x2-61x+60=0. 解得 x1=60（不合题意，舍去）, x2=1. 答：道路的宽为1m. 课堂检测 21.2 解一元二次方程/ 28 已知a,b,c为△ABC的三边长，且 试判断△ABC的形状. 解：对原式配方，得 由代数式的性质可知 所以，△ABC为等边三角形. 课堂检测 能力提升题 21.2 解一元二次方程/ 配方法 定义 通过配成完全平方形式解一元二次方程的方法. 步骤 一移常数项； 二配方[配上 ]； 三写成（x+n)2=p (p ≥0); 四直接开平方法解方程. 特别提醒： 在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式. 应用 求代数式的最值或证明. 课堂小结 21.2 解一元二次方程/ 课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习 21.2 解一元二次方程/ $