21.1 一元二次方程-【七彩课堂】2025-2026学年九年级数学上册同步教学课件（人教版）

21.1 一元二次方程 人教版 数学 九年级 上册 21.1 一元二次方程/ 要设计一座2m高的人体雕像（如左下图所示），要求雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，雕像的下部应设计为多高？ 【思考】上述所列的方程与我们以前学习的方程一样吗？这种方程与以前学习的方程有哪些联系？ A B C 2m 设雕像下部高x m，依题意得方程 x2=2(2-x) 整理，得 x2+2x-4=0 导入新知 21.1 一元二次方程/ 3.理解一元二次方程解（根）的概念，并能解决相关问题. 1.理解一元二次方程的概念，根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数. 2.灵活应用一元二次方程概念解决有关问题. 素养目标 21.1 一元二次方程/ 有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600平 方厘米,那么铁皮各角应切去多大的 正方形? 一元二次方程的概念 知识点 1 探究新知 100cm 50cm 3600cm2 21.1 一元二次方程/ 4 七彩城就梦想 【分析】 设切去的正方形的边长为x cm,则盒底的长为(100-2x)cm ,宽为 (50-2x)cm. 根据方盒的底面积为3600cm2,得 整理，得 （100-2x）（50-2x）=3600 x2-75x+350=0 x 100cm 50cm 3600cm2 探究新知 21.1 一元二次方程/ 5 七彩城就梦想 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 【分析】设应邀请x个队参赛，每个队要与其他(x-1)个队各比赛一场，因为甲对乙与乙对甲是同一场比赛，所以全部比赛 x（x-1）场.可列方程 整理，得 x2-x=56. 探究新知 21.1 一元二次方程/ 七彩城就梦想 【思考】x2-75x+350=0和x2-x-56=0这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ 区别 特点 （1）这两个方程的两边都是整式； （2）都只含一个未知数x； （3）它们的未知数的最高次数都是 2 次的. 未知数最高次数为2 探究新知 21.1 一元二次方程/ 像上述两个方程式这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程（必须满足三个特征）. 一元二次方程的概念 探究新知 21.1 一元二次方程/ 【想一想】 是一元二次方程吗？ 答：不是.等号左边含有分式；化简整理后，未知数的最高次数为3次. 探究新知 21.1 一元二次方程/ 例1 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（ ） C 不是整式方程 含两个未知数 整理x2-3x+2=0 a≠0 A. B. 3x2-5xy+y2=0 C.（x-1）（x-2）=0 D. ax2+bx+c=0 素养考点 1 一元二次方程的识别 探究新知 方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，必须将方程化简后再进行判断．三个条件：①方程两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2. 必须同时满足，缺一不可． 21.1 一元二次方程/ 判断下列方程是否为一元二次方程？ (2) x3+ x2=36 (3) x+3y=36 (5) x+1=0 (1) x2+ x=36 (4) (6) (7) (8) 巩固练习 21.1 一元二次方程/ 11 七彩城就梦想 例2 a为何值时，下列方程为一元二次方程？ (1)ax2-x=2x2 (2) (a－1)x |a|+1 －2x－7=0. 解：(1)将方程转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0,当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程； (2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方程是一元二次方程. 利用一元二次方程的定义求字母的值 素养考点 2 探究新知 方法总结：根据未知数最高次数为2，构造方程，解出字母取值，并利用二次项系数不为0排除使二次项系数为0的字母取值，从而确定字母取值． 21.1 一元二次方程/ 方程(2a-4)x2－2bx+a=0. （1）在什么条件下此方程为一元二次方程？ （2）在什么条件下此方程为一元一次方程？ 解：（1）当 2a-4≠0，即a ≠2 时是一元二次方程. （2）当a=2 且 b ≠0 时是一元一次方程. 巩固练习 21.1 一元二次方程/ 一般地,任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都可以化为 ax2+bx+c=0 的形式,我们把ax2+bx+c=0 (a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式. 其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项. 探究新知 一元二次方程的一般形式 知识点 2 21.1 一元二次方程/ 一元二次方程的一般形式 a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0) 二次项系数 一次项系数 常数项 二次项 一次项 探究新知 21.1 一元二次方程/ 【思考】为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？ 【结论】只要满足a≠0，a,b,c可以为任意实数. 探究新知 当a=0时，ax2+bx+c=0 当a≠0，b=0时，ax2+bx+c=0 当a≠0，c=0时，ax2+bx+c=0 当a≠0，b=0,c=0时，ax2+bx+c=0 一元二次方程 bx+c=0（一元一次方程） ax2+c=0 ax2+bx=0 ax2=0 21.1 一元二次方程/ 一元一次方程 一元二次方程 一般式 相同点 不同点 【思考】一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？ Ax+b=0 (a≠0) ax2+bx+c=0 (a≠0) 整式方程，只含有一个未知数 未知数最高次数是1 未知数最高次数是2 探究新知 21.1 一元二次方程/ 例 将方程 3x（x-1）=5（x+2）化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项. 解： 去括号，得 3x2-3x=5x+10 整理，得 3x2-8x-10=0 其中二次项系数是3，一次项系数是-8，常数项是-10. 二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的. 一元二次方程一般形式的有关概念 素养考点 探究新知 21.1 一元二次方程/ 方法点拨 （1）一元二次方程的一般形式不是唯一的，但习惯上都把二次项的系数化为正整数. （2）一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项等都是针对一般形式而言的. （3）指出一元二次方程各项系数时，不要漏掉前面的符号. 探究新知 21.1 一元二次方程/ 将下列方程化成一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数、常数项： （1）5x2-1=4x; (2)4 x2=81 解：(1)把5x2-1=4x化为一般形式5x2-4x-1=0 ，二次项系数为5，一次项系数为-4，常数项为-1. (2)把4 x2 =81化为一般形式4x2-81=0 ，二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为-81． 巩固练习 21.1 一元二次方程/ （3）4x(x+2)=25 (4)(3x-2)(x+1)=8x-3 解：(3)把4x(x+2)=25 化为一般形式4x2+8x-25=0 ，二次项系数为4，一次项系数为8，常数项为-25． (4)把(3x-2)(x+1)=8x-3化为一般形式3x2-7x+1=0 ，二次项系数为3，一次项系数为-7，常数项为1． 巩固练习 21.1 一元二次方程/ 一元二次方程解的概念 知识点 3 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 探究新知 21.1 一元二次方程/ 例 已知关于x的一元二次方程 (m-1)x2＋3x-5m＋4=0有一个根为2，求m. 分析: 一个根为2，即x=2,只需把x=2代入原方程. 解：依题意把x＝2代入原方程，得 4（m-1）+6-5m+4=0, 整理，得 -m+6=0, 解得 m=6. 素养考点 利用一元二次方程的解确定字母的值 探究新知 方法总结：方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，在涉及方程根的题目中，我们一般是把这个根代入方程左右两边转化为求待定系数的方程来解决问题. 21.1 一元二次方程/ 已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值. 解：依题意把x=3代入原方程，得 32+3a+a=0 9+4a=0， 巩固练习 整理， 即 . 21.1 一元二次方程/ 1.已知一元二次方程x2+k-3=0有一个根为1，则k的值为（ ） A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4 B 链接中考 21.1 一元二次方程/ 2.宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x元．则有（　　） 解析：设房价定为x元.依题意，得 A.（180+x-20）（50- ）=10890 B.（x-20）（50- ）=10890 C. x（50- ）-50×20=10890 D.（x+180）（50- ）-50×20=10890 （x-20）（50- ）=10890 B 链接中考 21.1 一元二次方程/ 1. 下列哪些是一元二次方程？ 3x+2=5x-2 x2=0 (x+3)(2x-4)=x2 3y2=(3y+1)(y-2) x2=x3+x2-1 3x2=5x-1 课堂检测 基础巩固题 21.1 一元二次方程/ 2.填空： 课堂检测 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 -2 1 3 1 3 -5 4 0 -5 3 -2 21.1 一元二次方程/ 28 七彩城就梦想 3.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0,当k 　　　时，是一元一次方程．当k 　　　时，是一元二次方程． ≠±1 ＝－1 课堂检测 4.已知方程5x²+mx-6=0的一个根为4，则m的值为_______． 21.1 一元二次方程/ 1.如图，已知一矩形的长为200cm,宽150cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三.求挖去的圆的半径x cm应满足的方程（其中π取3）. 150cm 200cm 解：设由于圆的半径为x cm，则它的面积为 3x2 cm2. 整理，得 x2-2500=0. 课堂检测 根据题意，得 200×150-3x2=200×150× . 能力提升题 21.1 一元二次方程/ 2.如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程. 解：该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为x. 整理，得 25x2+50x-11=0. 根据题意有 75（1+x）2 =108. 课堂检测 21.1 一元二次方程/ （1）已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根为1, 求a+b+c的值. 解：依题意把x=1代入原方程，得 a×12+b×1+c=0, 即 a+b+c=0. 拓广探索题 课堂检测 21.1 一元二次方程/ （2）若 a+b+c=0,你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗? 解：a+b+c=0可转化为 a×12+b×1+c=0 因此，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是1. 课堂检测 21.1 一元二次方程/ (3)若 a-b +c=0,4a+2b +c=0 ，你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗? 课堂检测 解：a-b+c=0可转化为 a×（-1）2+b×（-1）+c=0 因此，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是-1. 4a+2b +c=0可转化为 a×22+b×2+c=0 因此，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是2. 21.1 一元二次方程/ 课堂小结 一元二次方程 概念 是整式方程； 含一个未知数；（一元） 最高次数是2.（二次） 一般形式 ax2+bx+c=0 (a ≠0) 其中(a≠0)是一元二次方程的必要 条件； 解（根） 使方程左右两边相等的未知数的值. 定义 判断 等号两边都是整式，只含一个未知数且未知数的最高次数是2的方程 21.1 一元二次方程/ 课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习 21.1 一元二次方程/ $