23.1 图形的旋转 基础巩固+能力提升 2025-2026学年人教版（2012）数学九年级上册

2 九年级1 图形的旋转 【题型一、判断一个图形旋转而成的图案】 1．将两边长分别是和的矩形以其一边所在的直线为轴旋转一周，所得的几何体的侧面积是 . 2．如图，将直角三角形绕着边长为4的直角边旋转一周，得到的立体图形的体积为 ． 3．将一个半圆形绕着直径所在直线旋转一周，得到的立体图形是 ． 4．下列平面图形绕轴旋转一周，得到的立体图形分别是 ， ． 【题型二、找旋转中心和旋转角】 5．如图所示，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一直线上时，则旋转角的度数是（　　） A． B． C． D． 6．如图，在正方形网格中，线段是线段绕某点逆时针旋转得到的，点与点A对应，则旋转角为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则其旋转中心可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 8．如图，可由旋转而成，点的对应点是，点的对应点是，在平面直角坐标系中，三点坐标为，，，则旋转中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．如图，中，，，，点是线段的中点，把按逆时针方向旋转一定角度后恰好与重合． (1)直接写出旋转中心和旋转的度数； (2)求出的度数和的长． 10．如图，已知点，，，，连接，，将线段绕着某一点旋转一定角度，使其与线段重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为（　　） A． B． C． D． 11．如图，是由绕点旋转得到的，，，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 【题型三、旋转的性质】 12．如图，在正方形中，为上的一点，连接．若，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 13．如图，将绕B点顺时针方向旋转一个角α到，点A的对应点D恰好落在上，且．若，则α的度数为（   ） A．30° B．40° C．45° D．36° 14．如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，、交于点．若，则的度数是（    ）（用含的代数式表示）    A． B． C． D． 15．如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，．若，则一定等于（ ）    A． B． C． D． 16．如图，将绕点逆时针旋转得到，的延长线与相交于点，连接、，且． (1)求证：； (2)求证：． 17．如图，，，可以看做是由绕点顺时针旋转度得到的，且点是点的对应点，点在上． (1)________； (2)线段的长一定等于哪条线段？为什么？ (3)求旋转角的大小（给出推理过程）． 18．如图，在中，，将绕点A旋转一定的角度得到，且点E恰好落在边BC上． (1)求证：AE平分； (2)连接BD，求证：． 19．正方形的边长为3，E、F分别是边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到． (1)求证：； (2)当时，求的长． 20．已知△ABC是等边三角形，E、F分别是边上的点，与相交于点G，且． (1)如图（1），求证：，并直接写出的度数； (2)如图（2），若，垂足为D，且，，求的长度； (3)如图（3），以为边在左侧作等边，连接，求证：．（提示：延长GE至点H，使GH=BG） 21．如图，中，，，是由绕点按逆时针方向旋转得到的，连接、相交于点，与相交于点． (1)求证：； (2)求的度数． 22．如图，将边长为的正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，则图中阴影部分的面积为 ． 23．把一副三角板如图①放置，其中，，，斜边，，把三角板绕点顺时针旋转得到（如图②），此时与交于点，则线段的长度为（    ） A．4 B． C． D． 24．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）． （1）将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2． 【题型四、旋转后点的坐标计算】 25．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，把线段绕点逆时针旋转90°后得到线段，则点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 26．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD．若点B的坐标为（2， 0），则点C的坐标为（ ） A．（﹣1，） B．（﹣2，） C．（，1） D．（，2） 27．如图，在矩形中，点P在边上，连接，将绕点P顺时针旋转90°得到，连接．若，，，则 ．    28．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为，将绕着点B顺时针旋转，得到，则点C的坐标是（    ） A． B． C． D． 29．如图，中，，，点B的坐标为，将绕点A逆时针旋转得到，当点O对应点C在上时，点D的坐标为（    ）    A． B． C． D． 30．如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，点B到x轴的距离为4，若将绕点O逆时针旋转，得到，则点的坐标为 ． 31．如图，Rt△OAB的顶点A（-2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（   ） A．(,) B．(2,2) C．(,2) D．(2,) 参考答案 1． 【分析】根据长方形绕一边旋转一周，可得圆柱．分类讨论：将矩形以6cm的一边所在直线为轴旋转一周，那么圆柱的底面半径为4cm，高为6cm，那么圆柱的侧面积为底面圆周长乘以圆柱的高；若将矩形以4cm的一边所在直线为轴旋转一周，那么圆柱的底面半径为6cm，高为4cm，用同样方法即可求出圆柱体的侧面积． 【详解】解：这个长方形绕一边所在直线旋转一周后是圆柱． 当把矩形6cm的一边所在直线为轴旋转一周，那么圆柱的底面半径为4cm，高为6cm， ∴圆柱的侧面积为4×2π×6=48π（cm2）； 当把矩形4cm的一边所在直线为轴旋转一周，那么圆柱的底面半径为6cm，高为4cm， ∴圆柱的侧面积为6×2π×4=48π（cm2）. 故答案为48π. 【点睛】本题考查点、线、面、体，利用了圆的周长公式，圆柱的侧面积公式，分类讨论是解题关键． 2． 【分析】本题主要考查了圆锥的特征和体积公式的综合应用，关键是明确旋转后得到的圆锥的底面半径和高的值．以4的直角边为轴旋转一周，可以得到一个圆锥，且底面半径为3，高为4，然后根据圆锥体积公式求解即可． 【详解】解：根据题意，将直角三角形绕着边长为4的直角边旋转一周，得到的立体图形为圆锥， 且底面半径为3，高为4， ∴该圆锥的体积为． 故答案为：． 3．球 【分析】本题考查了平面图形旋转后所得的立体图形，旨在考查学生的空间想象能力. 【详解】解：将一个半圆形绕着直径所在直线旋转一周，得到的立体图形是球， 故答案为：球 ． 4． 圆锥 圆柱 【分析】根据面动成体可知直角三角形绕其一条直角边、矩形绕其一条边旋转一周所得的立体图形． 【详解】解：直角三角形绕其一条直角边旋转一周所得图形是一个圆锥， 矩形绕其一条边旋转一周所得图形是一个圆柱 故答案为：圆锥，圆柱． 【点睛】本题考查了点、线、面、体，熟悉常见图形的旋转得到立体图形是解题的关键． 5．A 【分析】本题考查了旋转角的求解，由旋转可知：，求出即可求解； 【详解】解：由旋转可知：， ∴， ∴， ∴， 故选：A 6．C 【分析】本题主要考查图形的旋转，牢记图形旋转的性质（对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角）是解题的关键．旋转中心为线段和线段的垂直平分线的交点，等于旋转角． 【详解】解：∵点的对应点为点，点的对应点为点，且对应点到旋转中心的距离相等， ∴旋转中心为线段和线段的垂直平分线的交点． 如图，作线段和线段的垂直平分线，其交点为旋转中心．    连接，． 根据旋转的性质，得 ． 故选：C． 7．B 【分析】本题考查了旋转图形的性质，根据旋转图形的性质，可知旋转中心再对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出，的垂直平分线，垂直平分线的交点即为所求，熟练掌握旋转图形的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，，分别作出，的垂直平分线， ，，的垂直平分线的交点为， 旋转中心是点， 故选：B． 8．A 【分析】本题考查旋转的性质，线段垂直平分线的性质．连接，分别作和的线段垂直平分线，且它们的交点即为旋转中心，由图写出其坐标即可．理解两线段垂直平分线的交点即为旋转中心是解答本题的关键． 【详解】如图，连接，分别作和的线段垂直平分线，且交于点P．则P点即为旋转中心． 由图可知P点坐标为，即旋转中心的坐标为． 故选：A． 9．(1)点A，旋转角度是 (2)， 【分析】（1）根据旋转的性质可知对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等，所以可求出，从而确定旋转角度； （2）利用周角的定义可求出，全等的性质可知． 【详解】（1）∵按逆时针方向旋转一定角度后恰好与重合， ∴可判断出旋转中心为：点A， ∵中，，， ∴根据旋转的性质可知：旋转角， ∴旋转角度是； （2）由旋转可知：， ∴，，， ∴． ∵为的中点，， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点旋转中心；②旋转方向；③旋转角度． 10．D 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，画出平面直角坐标系，作出新的，的垂直平分线的交点P，点P即为旋转中心． 【详解】解：平面直角坐标系如图所示，旋转中心是P点，， 故选：D． 11．A 【分析】本题主要考查了求旋转角，三角形内角和定理，先根据三角形内角和定理求出，再结合图形可知，旋转角即为的度数，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是由绕点旋转得到的， ∴旋转角的度数是， 故选：A． 12．B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理等等，先由正方形的性质和三角形内角和定理得到，，再由旋转的性质得到，则，据此根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 由旋转的性质得到， ∴， ∴， 故选：B． 13．B 【分析】此题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质与平行线的性质，三角形内角和定理．首先利用旋转的性质和等腰三角形的性质得到，，然后利用已知条件可以求出，然后利用三角形内角和定理列式计算即可求解． 【详解】解：∵将绕点B顺时针旋转到，， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， 故选：B． 14．C 【分析】本题主要考查旋转的性质，三角形内角和等相关内容，由旋转的性质得出和的角度是解题关键．由旋转的性质可知，，，，，因为，所以，，由三角形内角和求出的度数，进而得到的度数．再由三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：由旋转的性质可知，，，，， ， ，， ， ． ． ． 故选：C． 15．A 【分析】利用三角形逆时针旋转后，再证明三角形全等，最后根据性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】将绕点逆时针旋转至，    ∵四边形是正方形， ∴，， 由旋转性质可知：，，， ∴， ∴点三点共线， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：．   【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是能正确作出旋转，再证明三角形全等，熟练利用性质求出角度． 16．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，熟知等边三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由旋转的性质可得，则可证明是等边三角形，进而可得，据此可证明结论； （2）由等边三角形的性质得到，，再证明垂直平分，则，进而可证明． 【详解】（1）证明；由旋转的性质可得， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴． 17．(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理： （1）根据旋转的性质求解即可； （2）先求出，再由旋转的性质得到，则是等边三角形，进而可得； （3）根据等边三角形的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：∵可以看做是由绕点顺时针旋转度得到的，， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵在，， ∴， 由旋转的性质可得， ∴是等边三角形， ∴； （3）解：∵是等边三角形， ∴． 18．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据旋转性质得到对应边相等，对应角相等，进而根据等边对等角性质可将角度进行等量转化，最后可证得结论； （2）根据旋转性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理对角度进行等量转化可证得结论． 【详解】（1）证明：由旋转性质可知：，， 平分． （2）证明：如图所示： 由旋转性质可知：，， ，， 即， ，， ， ∵在中，， ， ， 即． 【点睛】本题考查了三角形的旋转变化，熟练掌握旋转前后图形的对应边相等，对应角相等以及合理利用三角形内角和定理是解决本题的关键． 19．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，三角形全等的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键． （1）由旋转可得，，可得，再由，得出，得出； （2）设，由，正方形的边长为3，得，，得到，利用勾股定理列出关于x的方程，求出x的值，即得的长． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵由旋转知，，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴F、C、M三点在同一条直线上． ∵， ∴． ∴． （2）解：设． ∵， ∴． 在中， 由勾股定理得， 即． 解得，， ∴． 20．(1)证明见解析， (2) (3)见解析 【分析】（1）证明，推出，可得结论； （2）解直角三角形求出，可得结论； （3）如图（3）中，延长至点，使，证明，推出，即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）证明：延长至点H，使，连接，如图， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中 ∴ ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 21．(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明即可； （2）设，则可求得，从而得，，由三角形内角和即可求得结果． 【详解】（1）证明：由旋转的性质得： ，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：设，则； ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和，旋转的性质等知识，证明两个三角形全等是关键． 22． 【分析】本题考查旋转的性质，正方形的性质，三角形全等的判定，勾股定理，由旋转角，可知；连接，构造全等三角形，用，计算面积即可． 【详解】解：如图，连接， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， ， ∴． 故答案为：． 23．D 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题关键．先求出，再根据旋转角可得，可判定是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出，从而得到，最后由勾股定理即可得到． 【详解】解：， 绕点顺时针旋转得到 又 是等腰直角三角形 又，， 在中， 故选：D． 24．（1）见解析；（2）见解析. 【分析】（1）将三个顶点分别向下平移5个单位得到其对应点，再首尾顺次连接即可得； （2）将三个顶点分别绕原点O逆时针旋转90°后得到其对应点，再首尾顺次连接即可得． 【详解】解：（1）△A1B1C1如图所示； （2）△A2B2C2如图所示． 【点睛】本题主要考查作图-旋转变换与平移变换，解题的关键是掌握旋转变换和平移变换的定义与性质，并据此得到其变换后对应点． 25．D 【分析】如图，过点C作CD⊥y轴于D，根据旋转的性质可得∠ABC=90°，BC=AB，根据角的和差关系可得∠C=∠ABO，利用AAS可证明△BCD≌△ABO，可得CD=OB，BD=OA，根据A、B坐标可得OB、OA的长，即可求出OD、CD的长，可得答案． 【详解】如图，过点C作CD⊥y轴于D， ∴∠CDB=∠AOB=90°，∠CBD+∠C=90°， ∵把线段AB绕点B逆时针旋转90°后得到线段BC， ∴∠ABC=90°，BC=AB， ∴∠CBD+∠ABO=90°， ∴∠C=∠ABO， 在△BCD和△ABO中，， ∴△BCD≌△ABO， ∴CD=OB，BD=OA， ∵A（8，0），B（0，6）， ∴OA=8，OB=6， ∴CD=6，OD=OB+BD=6+8=14， ∴点C坐标为（6，14），    故选：D． 【点睛】本题考查旋转的性质及全等三角形的判定与性质，图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变． 26．A 【分析】作CH⊥x轴于H，如图，先根据一次函数图象上点的坐标特征确定A（2，2），再利用旋转的性质得BC=BA=2，∠ABC=60°，则∠CBH=30°，然后在Rt△CBH中，利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出CH=BC=，BH=CH=3，所以OH=BH-OB=3-2=1，于是可写出C点坐标． 【详解】作CH⊥x轴于H，如图， ∵点B的坐标为（2，0），AB⊥x轴于点B， ∴A点横坐标为2， 当x=2时，y=x=2， ∴A（2，2）， ∵△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD， ∴BC=BA=2，∠ABC=60°， ∴∠CBH=30°， 在Rt△CBH中，CH=BC=， BH=CH=3， OH=BH-OB=3-2=1， ∴C（-1，）． 故选A． 27．2 【分析】过点作于点F，则，可证，于是．设，，，解得，于是． 【详解】解：过点作于点F，则， ∵， ∴． 又， ∴. ∴． 设，矩形中，， ， ，，解得， ∴． 故答案为：2    【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理；根据勾股定理构建方程求解是解题的关键． 28．C 【分析】本题考查了坐标与图形变化−旋转，勾股定理，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半，求出的长度是解题的关键．作轴于M，再利用旋转的性质求出，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，利用勾股定理列式求出，然后求出点C的横坐标，再写出点C的坐标即可． 【详解】作轴于M， ∵点B的坐标为， ， ， ， 故选：C． 29．A 【分析】如图，过点D作轴于点E，证明是等边三角形，即得出，，从而可求出，再结合含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】如图，过点D作轴于点E，    ∵， ∴． 由旋转的性质可知，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故选A． 【点睛】本题主要考查旋转变换，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，坐标与图形等知识，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形． 30． 【分析】过B作于，过作轴于，构建，即可得出答案． 【详解】过B作于，过作轴于， ∴， ∴， 由旋转可知，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质以及如何构造全等三角形求得线段的长度，准确构造全等三角形求得线段长度是解题的关键． 31．C 【分析】先根据待定系数法求得抛物线的解析式，然后根据题意求得D（0，2），且DC∥x轴，从而求得P的纵坐标为2，代入求得的解析式即可求得P的坐标． 【详解】∵Rt△OAB的顶点A（−2，4）在抛物线y=ax2上， ∴4＝4a，解得a＝1， ∴抛物线为y=x2， ∵点A（−2，4）， ∴B（−2，0）， ∴OB＝2， ∵将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD， ∴D点在y轴上，且OD＝OB＝2， ∴D（0，2）， ∵DC⊥OD， ∴DC∥x轴， ∴P点的纵坐标为2， 令y=2，得2=x2， 解得：x=± ∵点P在第一象限， ∴点P的坐标为：（，2） 故答案为：C． 【点睛】考查二次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化－旋转，掌握旋转的性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $2 1 图形的旋转 【题型一、判断一个图形旋转而成的图案】 1．将两边长分别是和的矩形以其一边所在的直线为轴旋转一周，所得的几何体的侧面积是 . 2．如图，将直角三角形绕着边长为4的直角边旋转一周，得到的立体图形的体积为 ． 3．将一个半圆形绕着直径所在直线旋转一周，得到的立体图形是 ． 4．下列平面图形绕轴旋转一周，得到的立体图形分别是 ， ． 【题型二、找旋转中心和旋转角】 5．如图所示，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一直线上时，则旋转角的度数是（　　） A． B． C． D． 6．如图，在正方形网格中，线段是线段绕某点逆时针旋转得到的，点与点A对应，则旋转角为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则其旋转中心可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 8．如图，可由旋转而成，点的对应点是，点的对应点是，在平面直角坐标系中，三点坐标为，，，则旋转中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．如图，中，，，，点是线段的中点，把按逆时针方向旋转一定角度后恰好与重合． (1)直接写出旋转中心和旋转的度数； (2)求出的度数和的长． 10．如图，已知点，，，，连接，，将线段绕着某一点旋转一定角度，使其与线段重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为（　　） A． B． C． D． 11．如图，是由绕点旋转得到的，，，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 【题型三、旋转的性质】 12．如图，在正方形中，为上的一点，连接．若，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 13．如图，将绕B点顺时针方向旋转一个角α到，点A的对应点D恰好落在上，且．若，则α的度数为（   ） A．30° B．40° C．45° D．36° 14．如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，、交于点．若，则的度数是（    ）（用含的代数式表示）    A． B． C． D． 15．如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，．若，则一定等于（ ）    A． B． C． D． 16．如图，将绕点逆时针旋转得到，的延长线与相交于点，连接、，且． (1)求证：； (2)求证：． 17．如图，，，可以看做是由绕点顺时针旋转度得到的，且点是点的对应点，点在上． (1)________； (2)线段的长一定等于哪条线段？为什么？ (3)求旋转角的大小（给出推理过程）． 18．如图，在中，，将绕点A旋转一定的角度得到，且点E恰好落在边BC上． (1)求证：AE平分； (2)连接BD，求证：． 19．正方形的边长为3，E、F分别是边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到． (1)求证：； (2)当时，求的长． 20．已知△ABC是等边三角形，E、F分别是边上的点，与相交于点G，且． (1)如图（1），求证：，并直接写出的度数； (2)如图（2），若，垂足为D，且，，求的长度； (3)如图（3），以为边在左侧作等边，连接，求证：．（提示：延长GE至点H，使GH=BG） 21．如图，中，，，是由绕点按逆时针方向旋转得到的，连接、相交于点，与相交于点． (1)求证：； (2)求的度数． 22．如图，将边长为的正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，则图中阴影部分的面积为 ． 23．把一副三角板如图①放置，其中，，，斜边，，把三角板绕点顺时针旋转得到（如图②），此时与交于点，则线段的长度为（    ） A．4 B． C． D． 24．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）． （1）将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2． 【题型四、旋转后点的坐标计算】 25．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，把线段绕点逆时针旋转90°后得到线段，则点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 26．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD．若点B的坐标为（2， 0），则点C的坐标为（ ） A．（﹣1，） B．（﹣2，） C．（，1） D．（，2） 27．如图，在矩形中，点P在边上，连接，将绕点P顺时针旋转90°得到，连接．若，，，则 ．    28．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为，将绕着点B顺时针旋转，得到，则点C的坐标是（    ） A． B． C． D． 29．如图，中，，，点B的坐标为，将绕点A逆时针旋转得到，当点O对应点C在上时，点D的坐标为（    ）    A． B． C． D． 30．如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，点B到x轴的距离为4，若将绕点O逆时针旋转，得到，则点的坐标为 ． 31．如图，Rt△OAB的顶点A（-2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（   ） A．(,) B．(2,2) C．(,2) D．(2,) 学科网（北京）股份有限公司 $