24.4.1 几何问题-【七彩课堂】2025-2026学年九年级数学上册同步教学课件（冀教版）

第二十四章 一元二次方程 24.4 一元二次方程的应用 24.4.1 几何问题 1.经历用一元二次方程解决实际问题的过程，进一步认识方程模型的重要性. 2.能根据实际问题中的数量关系列出方程并求解，并能根据问题的实际意义检验结果的合理性. 3.提高分析问题、解决问题的能力，进一步增强应用数学的意识. 学习目标 学习重点：列一元二次方程解决与面积有关的应用题. 学习难点：在实际问题中找到等量关系,根据实际意义检验 结果是否符合题意. 学习重难点 问题1：三角形、正方形、长方形、平行四边形的面积公式是什么? 问题2：解一元二次方程的方法有哪些? 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 导入新课 问题3：列方程解应用题的一般步骤是什么? 审题---设未知数--- 找等量关系--- 列方程---解方程--- 检验---答 导入新课 例1：如图，某学校要在校园内墙边的空地上修建一个长方形的存车处，存车处的一面靠墙（墙长22 m），另外三面用90 m长的铁栅栏围起来.如果这个存车处的面积为700m2，求这个长方形存车处的长和宽． 分析：设长方形靠墙一边的长为x m，则长方形另一边的长为________，根据长方形的面积建立方程． 典例精讲 当x=20时， =35. 答：这个长方形存车处的长和宽分别为35 m和20 m. 审清题意 找出已知量、未知量 列一元二次方程解决实际问题的一般步骤： 设未知数 设长方形靠墙一边长为x m，则另一边的长为 m. 列方程 依据题意得： . 解方程 解得：x1=70，x2=20. 验根 由于墙长22 m,x1=70不合题意，应舍去. 作 答 问题：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？ 解:设长方形的长为x m，则它的宽为（90-2x）m. 依题意，得 x（90-2x）=700 解方程，得 x1=35，x2=10. 当x=35时，90-2x=20；当x=10时，90-2x=70， 由于墙长22 m,所以x=10不合题意，应舍去. 答：这个长方形存车处的长和宽分别是35m和20m. 典例精讲 知识运用 本章第一节“做一做”：一个长为10 m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端A处到地面的距离为8m.如果梯子的顶端沿墙面下滑1m,那么梯子的底端B在地面上滑动的距离也是1m吗? 请解这个方程x2+12x-15=0， 并给出问题的答案. 探究新知 例2 已知一本数学书的长为26 cm，宽为18.5 cm，厚为1cm．一张长方形包书纸如图所示，它的面积为1260 cm2，虚线表示的是折痕.由长方形相邻两边与折痕围成的四角均为大小相同的正方形.求正方形的边长. 典例精讲 解：设正方形的边长为x cm， 根据题意，得 （26+2x）（18.5×2+2x+1）=1260. 解得x1=2，x2=-34（不合题意，舍去）. 答：正方形的边长是2cm. 典例精讲 几何图形的面积问题： 这类问题的__________是等量关系. 如果图形不规则应____或____成规则图形,找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程. 面积公式 割 补 归纳总结 如图，在一块长为32cm，宽为20cm的长方形土地上修建两条互相垂直且宽度相等的道路（与长方形边平行），余下部分作为耕地，要使耕地面积是540㎡.求小路的宽度. 方法： (32-x)(20-x)=540 变式： 五条 (32-3x)(20-2x)=540 拓展应用 几何图形与一元二次方程问题 常见分析策略 常见类型 列方程依据 课本封面问题 彩条/小路宽度问题 一边靠墙围成的区域面积 常见几何图形面积是等量关系. 常采用图形平移能化零为整， 方便列方程. 课堂小结 有一块长为80cm，宽为60cm的长方形硬纸片，在四角各剪去一个同样大小的小正方形，用剩余部分做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，求剪去的小正方形的边长. 80 60 解：设小正方形的边长为xcm， (60-2x) (80-2x) =1500 x2-70x+825=0 (x-15) (x-55)=0 x1=15，x2=55(舍去) 答：剪去的小正方形的边长为15cm 当堂训练 课本第48页习题A组第1题， B组第1、2题. 课后作业 $