第5章 三角函数（复习课件）数学湘教版必修第一册

该高中数学课件系统梳理三角函数单元核心知识，涵盖任意角、弧度制、三角函数定义、诱导公式、图像性质及y=Asin(ωx+φ)变换等，通过单元知识图串联知识点，考点串讲分层剖析内在逻辑，帮助学生构建完整知识网络。 其亮点在于采用“题型剖析-针对训练-变式拓展”复习模式，如通过终边相同角判定、三角函数线比较大小等题型，结合图像变换实例培养逻辑推理与几何直观能力，分层练习满足不同学情，助力教师高效备课，提升学生知识应用与创新意识。

单元复习课件 第5章三角函数 湘教版2019必修第一册·高一 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.理解角的概念的推广、任意角三角函数的定义、三角函数图像和性质及的图象，掌握弧度制、同角三角函数的基本关系、诱导公式. 3.弧度制概念的理解与建立，诱导公式的推导与灵活运用，函数 的图象变换与解析式之间的相互转化 2. 任意角三角函数的定义，同角三角函数的基本关系式，诱导公式的理解与应用，正弦、余弦函数的图象与性质. 单元学习目标 任意角 弧度制 单位圆 任意角的三角函数 三角函数线 三角函数的图像和性质 同角三角函数的关系 诱导公式 三角函数的应用 单元知识图谱 考点一、任意角 1.角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．我们规定：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角. 如图， （1）始边：射线的起始位置； （2）终边：射线的终止位置； （3）顶点：射线的端点； （4）记法：图中的角可记为“角”或“”或“”或“”． 考点串讲 2.象限角 角的顶点与原点重合,角的始边与轴的非负半轴重合,那么角的终边在第几象限,就认为这个角是第几象限角．具体表示如下： 象限角 角的表示 第一象限的角 {α|k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z} 第二象限的角 {α|k·360°+90°<α<k·360°+180°,k∈Z} 第三象限的角 {α|k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z} 第四象限的角 {α|k·360°–90°<α<k·360°,k∈Z} 考点一、任意角 考点串讲 3.轴线角 若角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限．具体表示如下： 轴线角 角的表示 终边在x轴非负半轴上的角 终边在x轴非正半轴上的角 终边在y轴非负半轴上的角 终边在y轴非正半轴上的角 终边在x轴上的角 终边在y轴上的角 终边在坐标轴上的角 考点一、任意角 考点串讲 4.终边相同的角 所有与角α终边相同的角连同角α在内,可构成一个集合． 考点一、任意角 5.几何法确定角<m>m所在象限 （1）画出区域：将坐标系每个象限<m></m>等分，得到<m></m>个区域. （2）标号：自 轴正方向起，按逆时针方向把 每个区域依次标上Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ（如图所示）. （3）确定区域：找出与角 所在象限标号一 致的区域，即为所求. 考点串讲 角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的 弧度制 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制 (1)角度制和弧度制 考点二、弧度制 考点串讲 角度化弧度 弧度化角度 (2)角度制与弧度制的转化 考点二、弧度制 考点串讲 度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 π 2π (3)特殊角度与弧度的对应关系 (4)扇形的弧长和面积公式 α为度数 α为弧度数 扇形的弧长 扇形的面积 考点二、弧度制 考点串讲 1.定义 设是一个任意角，，它的终边与单位圆交于， （1）把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作，即； （2）把点的横坐标叫做的余弦函数，记作，即； （3）把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即. 正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数：，； 余弦函数：，； 正切函数：， 考点三、三角函数 2.三角函数值在各象限内的符号 符号规律可简记为：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 考点串讲 图示 正弦线 角的终边与单位圆交于点，过点作垂直于x轴，有向线段即为正弦线 余弦线 有向线段即为余弦线 正切线 过点作单位圆的切线，这条切线必然平行于轴，设它与的终边或其反向延长线相交于点，有向线段即为正切线 3.三角函数线 考点三、三角函数 考点串讲 1.三角函数诱导公式： 考点四、三角函数诱导公式 2.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：. (2)商数关系： 考点串讲 考点五、三角函数图像和性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R {x|x≠kπ＋，k∈Z} 值域 [－1，1] [－1，1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调递增区间 [－＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z [－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z (－＋kπ，＋kπ)，k∈Z 单调递减区间 [＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z [2kπ，π＋2kπ]，k∈Z 无 对称性 对称中心 (kπ，0)，k∈Z ，k∈Z ，k∈Z 对称轴 x＝kπ＋，k∈Z x＝kπ，k∈Z 无对称轴 零点 kπ，k∈Z kπ＋，k∈Z kπ，k∈Z 考点串讲 考点六、的图象 1．的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ 2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图 x ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 考点串讲 3. 三角函数图象变换的两种方法(ω＞0) 考点四、的图象 考点串讲 题型一、象限角的判定 例1.已知 是第二象限角，则 是( ) A A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 【解析】由 是第二象限角可得， . 所以 ， 即 ， 所以 为第一象限角. 题型剖析 变式.（1）已知角 的终边与角的终边关于轴对称，则 是( ) BD 【解析】 角 的终边与 角的终边关于轴对称， 角的终边与 角 的终边相同， ，， ,， 是第二或第四象限角. （2）若角与角的终边相同，角与角的终边相同， 那么与 之间的关系是( ) A. B. C. D. 【解析】由题意可知，， ， 所以 ，记 ， 故 . D 题型一、象限角的判定 针对训练 题型二、求三角函数的值 例2.已知角 的终边经过点，则 _ ______，______， ____． 【解析】因为，，所以点到原点的距离 .于是 ,, . 题型剖析 变式2.已知的终边上一点，且,求, ， 的值. 【解析】由题意知 ， 由三角函数的定义得 . 又,,结合,解得 . 当时， , 此时, . 当时，,此时, . 题型二、求三角函数的值 针对训练 题型三、比较三角函数的大小 例3 若，试比较 , , 与 的大小. 【解析】如图所示，设角 的终边与单位圆交于点 ，单 位圆与轴正半轴的交点为，过点作于点，过点 作垂直于轴，交射线于点 ， 则有向线段,,分别为 的正切线、正弦线、余弦线，设 角对应的弧的长度为,则 .由图可知 ， . 题型剖析 变式2.,, 的大小关系为( ) C A. B. C. D. 题型三、比较三角函数的大小 【解析】，借助三角函数线知, . 针对训练 题型四、同角三角函数基本关系求值 例4.若，则 的值为_______. 6或 【解析】因为，所以 是第一或第二象限角. 当是第一象限角时， ， 所以 ； 当是第二象限角时， ， 所以 . 题型剖析 变式4.已知，，则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】因为，，所以 . 又，所以 ， 整理得，解得 . 又，所以，故 . 题型四、同角三角函数基本关系求值 针对训练 题型五、三角函数化简 （1） ; 【解析】因为 , 所以原式 . 例5 化简： （2） . 【解析】因为 ，所以 . 原式 . 题型剖析 变式5.求证： . 【答案】 左边 右边. 所以原等式成立. 题型五、三角函数化简 针对训练 题型六、诱导公式求值、化简、证明 例6 （1）已知 是第四象限角，且，则 _____. 【解析】 是第四象限角，且 ， 为第一象限角， . ， , , . 题型剖析 （2）化简： ； 【解析】原式 . ； 【解析】原式 . . 题型六、诱导公式求值、化简、证明 题型剖析 变式6.（1）当时，若，则 的值为( ) B A. B. C. D. 【解析】，， ， ， ， . 题型六、诱导公式求值、化简、证明 针对训练 （2）设,求证： . 【解析】 左边 右边， 所以原等式成立. 题型六、诱导公式求值、化简、证明 针对训练 题型七、诱导公式的应用 例7 在中，，试判断 的形状. 【解析】 , ， . , ， , . 又，为的内角， ， 故 为等腰三角形. 题型剖析 变式7.已知,,为 的三个内角，下列各式不成立的是( ) D A. B. C. D. 【解析】由题意知，在中， . 对于A， ，故A成立； 对于B， ，故B成立； 对于C， ，故C成立； 对于D， ，故D不成立． 题型七、诱导公式在三角形中的应用 针对训练 题型八、诱导公式的应用 例8.若为偶函数，则 ___. 2 【解析】因为 为偶函数，所以 ， 即，得 . 题型剖析 变式8.若,，则 _____. 【解析】，，又. ， 解得 题型八、诱导公式的应用 针对训练 题型八、诱导公式的应用 例9.已知. （1）化简； （2）若＝，且＜α＜ ，求的值 （3）若，求的值． 解：（1）. （2）由可知，. 又∵＜α＜，∴，即， ∴. （3）∵， ∴ 题型剖析 变式9.已知. （1）若，且＜α＜，求的值； （2）用表示 （1）因为，所以，且， 所以， 又， 所以. （2） 题型八、诱导公式的应用 题型剖析 题型九、三角函数图像的识别 例10.函数在 上的图象大致为( ) B A. B. C. D. 【解析】 为偶函数, 为奇函数 ， 故函数 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除C，D. 又 ，故排除A．选B． 题型剖析 变式10.函数 的大致图象为( ) D A. B. C. D. 【解析】函数的定义域为， ， 故函数为偶函数，其图象关于轴对称，排除B，C.但 从正方向趋近于0时， ，，则 ，排除A．选D． 题型九、三角函数图像的识别 针对训练 题型十、三角函数值域和最值问题 例11 求函数， 的最大值. 【解析】 . ①若，则当 时， 取得最大值， ; ②若，则当时，取得最大值， ； ③若，则当时，取得最大值， . 综上，, ; , ; , . 题型剖析 例11 已知函数的值域为，则 的最大值为___. 【解析】作出正弦函数 的图象，如图所示， 函数的定义域为，值域为 ， 又，故结合图象可知 的最大值 为 ． 题型十、三角函数值域和最值问题 针对训练 题型十一、三角函数图像的变换问题 例12 为了得到函数 的图象，可以将函数 的图象( ) B A.向右平移个单位长度 B.向右平移 个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向左平移 个单位长度 【解析】因为 ,而， 所以将的图象向右平移 个单位长度可得到 的图象. 题型剖析 变式12 将函数的图象向左平移 个单位长度后，得到一个 偶函数的图象，则 ______________. 【解析】将的图象向左平移 个单位长度后，得到函数 的图象. 若为偶函数（余弦函数是偶函数,所以 , ）），则 , ， 所以 . 题型十一、三角函数图像的变换问题 针对训练 题型十二、由图像确定函数解析式 例13.函数， 的部分图象如图所 示，则函数 的解析式为( ) D A. B. C. D. 【解析】根据函数 的部分图象及函数的周期性 可得，解得 ． 根据图象可知 ． 若，由五点对应法可得， ，不满足条件， 故，由五点对应法可得， ， .故选D． 题型剖析 变式13.如图是函数的部分图象， 则 ( ) BC A. B. C. D. 【解析】由图可知，函数的最小正周期 , , . 不妨设，则,将代入得, , ,,即,，故 . 由于 ,故选项B正确； ,选项C正确； 对于选项A，当时,,错误；对于选项D，当 时, ,错误. 题型十二、由图像确定函数解析式 针对训练 题型十三、三角函数的实际应用 例14.智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的 噪声采集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降 噪芯片生成相等的反向波抵消噪音（如图5.5-2）.已 知噪音的声波曲线（其中 , ,）的振幅为1，周期为 ，初相 D A. B. C. D. 【解析】已知噪音的声波曲线（其中,, ）的 振幅为1，周期为 ，初相为，可得,， ,所以噪音的声 波曲线为 ，所以通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲 线为 ，故选D. 为 ，则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线为( ) 题型剖析 变式14.某挂钟秒针的端点到中心点的距离为，秒针均匀地绕点 旋转，当时间 时，点与钟面上标12的点重合，与两点距离地面的高度差（单位： ） 与（单位：）存在函数关系式，则解析式 ________________，其中 ，一圈内与两点距离地面的高度差不低于 的时长为____. 20 【解析】经过，秒针转过的圆心角为 ， 得 , 由，得，又 ， 故 ，得，解得 ， 故一圈内与两点距离地面的高度差不低于的时长为 ． 题型十三、三角函数的实际应用 针对训练 1．牢记两个基本关系式及＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．在应用中，要注意掌握解题的技巧．比如：已知的值，可求.注意应用. 2．诱导公式可概括为的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限． 课堂总结 3.三角函数的图象和性质是三角函数的重要内容.如果给出的三角函数的表达式较复杂，须先通过三角恒等变换，将其变形化简，然后讨论其图象和性质. 1求三角函数的值域、单调区间、图象变换、周期性、对称性等问题，一般先要通过三角恒等变换将函数表达式变形为或等形式，让角和三角函数名称尽量少，然后再根据正、余弦函数基本性质和相关原理进行求解. 2要注意三角恒等变换中由于消项、约分、合并等原因，函数定义域往往会发生一些变化，所以一定要在变换前确定好原三角函数的定义域，并在这个定义域内分析问题. 课堂总结 4．函数的图象变换到图象的两种方法 课堂总结 5.三角函数的实际应用多与最值有关，解决这类问题的一般步骤如下： 1审读题意，合理地选取“角”为自变量，建立三角函数关系式. 2利用和、差、倍、半角公式进行化简整理，通常要整理为的形式. 3在符合实际问题意义的情形下求目标式的最值. 课堂总结 感谢聆听! $