1一元线性回归（6大题型）（题型专练）高二数学北师大版选择性必修第一册

1一元线性回归 题型一：相关关系 1．下列语句所表示的事件中的因素不具有相关关系的是（ ） A．瑞雪兆丰年 B．名师出高徒 C．吸烟有害健康 D．喜鹊叫喜 2．医疗研究者会创建散点图来显示少女的体重指数（BMI）和身体脂肪百分比之间的相关关系，如图，下列说法正确的是（ ） A．BMI越大，脂肪百分比越大 B．BMI越大，脂肪百分比越小 C．BMI与脂肪百分比正相关 D．BMI与脂肪百分比负相关 3．在下列各图中，两个变量具有相关关系的是（ ）． A．①② B．①③ C．② D．②③ 4．根据物理中的胡克定律，弹簧伸长的长度与所受的外力成正比．测得一根弹簧伸长长度x和相应所受外力F的一组数据如下： 编号 1 2 3 4 5 6 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 3.08 3.76 4.31 5.02 5.51 6.25 据此给出以下结论： ①这两变量不相关；②这两个变量负相关；③这两个变量正相关． 其中所有正确结论的个数是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 题型二：散点图 1．下图是根据的观测数据得到的散点图，则变量能用一元线性回归模型来刻画，且的是（ ） A． B． C． D． 2．某校地理小组在某座山测得海拔高度、气压和沸点的六组数据绘制成散点图如图，则下列说法不正确的是（ ） A．气压与海拔高度呈正相关 B．沸点与气压呈正相关 C．沸点与海拔高度呈负相关 D．沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强 3．某种木材体积与树木的树龄之间有如下的对应关系： 树龄 2 3 4 5 6 7 8 体积 30 34 40 60 55 62 70 若该种木材每单位体积的价值是元，作出木材的价值与树龄之间关系的散点图. 4．某市104路公交车上午7：05—8：55时段在起点站每9分钟发一班次．公交公司为了了解早高峰时段各班次上客情况，某日上午7：14—8：35记录了在起点站各班次车辆上客的人数： 发车时刻 7：14 7：23 7：32 7：41 7：50 7：59 8：08 8：17 8：26 8：35 上车乘客数/人 10 13 13 18 17 15 12 9 3 3 请绘制这组成对数据的散点图，并通过观察散点图大致判断客车发车时刻与上车乘客人数之间的相关性． 题型三:最小二乘法的意义 1．用最小二乘法求回归方程是为了使（ ） A． B． C．最小 D．最小 2．回归直线方程的系数a，b的最小二乘法估计使函数最小，Q函数指（ ） A． B． C． D． 3．对成对数据、、…、用最小二乘法求回归方程是为了使（ ） A． B． C．最小 D．最小 题型四:经验回归方程过平均数点 1．由样本点得到关于的线性回归方程为，若，则（ ） A．-5 B．-3 C． D．2 2．电视剧《狂飙》于2023年1月在央视八套黄金档首播，承载着深厚的历史底蕴的《狂飙》取景拍摄地之一的江门三十三墟街即成网红打卡地，吸引了大量游客前来打卡，寻觅剧中的足迹.某文创商店为了了解游客人流量x（单位：百人次）与文创产品销售额y（单位：百元）的关系，对文创商店近期的销售情况作了统计，如下表： 2 3 4 5 6 3.8 6.1 7.8 9.9 12.4 由表中的数据得到了y关于x的线性回归方程，其中已知，由此当预测游客人流量为700人次时，文创产品的销售额大约为（ ） A．1430元 B．1420元 C．1455元 D．1416元 3．已知变量和满足经验回归方程，且变量和之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（ ） 5 6 9 12 8 7 2.4 A． B．当时， C．变量和呈负相关 D．该经验回归直线必过点 题型一:经验回归方程 1．春节将至，某商家统计了去年某商品的日营销费用x（单位：百元）与日销售量y（单位：百件），为今年的营销方案制定提供相关的数据参考，得到的数据如下表： 日营销费用x/百元 2 3 4 5 6 日销售量y/百件 1 1.1 1.5 1.8 2.1 已知y与x线性相关. (1)根据上表数据，求y关于x的经验回归方程； (2)请利用（1）中的经验回归方程，试估计当今的日销售费用为1000元时，日销售量为多少百件. 参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（）.其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 2．据市场调查，某厂生长的某种产品的广告费用支出（万元）与销售额（万元）之间有如下的对应数据，由散点图知，销售额（万元）与广告费用支出（万元）呈线性相关. 2 4 5 6 8 10 20 40 30 50 (1)求销售额（万元）与广告费用支出（万元）的线性回归方程； (2)据（1）的结果，如果厂家准备投入广告费用为10万元时，预测销售额是多少万元？ (3)据（1）的结果，如果该厂的广告费用每增加投入2万元，销售额估计能平均增加多少万元？ 附：参考公式：， 参考数据：， 3．国产动画电影《哪吒之魔童闹海》现已登顶全球动画电影票房榜榜首，并刷新多项世界票房纪录.下表截取了该电影上映后10日的单日累计票房： 日期 1月29日 1月30日 1月31日 2月1日 2月2日 2月3日 2月4日 日期代码 1 2 3 4 5 6 7 累计票房（亿元） 4.88 9.68 15.87 23.19 31.32 39.76 48.43 日期 2月5日 2月6日 2月7日 日期代码 8 9 10 累计票房（亿元） 54.92 60.78 66.20 (1)请根据这10日数据： （i）计算，的平均值，； （ii）求关于的经验回归方程； (2)用上面求出的经验回归方程预测该电影上映半年后的票房，得到的结果合理吗？为什么？ 附： 参考公式：经验回归方程斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，； 参考数据：，. 题型一：残差 1．某厂进行技术改造后，生产产品过程中记录的时间x（单位：天）与相应的生产能耗y（单位：吨）的几组数据，如下表所示.若y与x线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ） 时间x 1 2 3 4 5 生产能耗y/吨 5 4.5 4 3.5 2.5 A．由题中数据可知，变量y与x负相关 B．线性回归方程中 C．当时，残差为- D．可以预测当时能耗约为2.2吨 2．某学校一同学研究温差与本校当天新增感冒人数y（人）的关系，该同学记录了5天的数据： x 5 6 8 9 12 y 17 a 25 28 35 已知数据的样本中心点为，经过拟合，发现基本符合回归直线方程，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D．时， 3．已知由样本数据组成的一个样本，得到回归直线方程为，且，去除两个样本点和后，得到新的回归直线的斜率为3．则在新的经验回归方程下，样本的残差为（ ） A． B． C．0.1 D．0.2 4．已知某企业对新品按事先拟定的价格进行试销，得到以下数据 单价/元 40 50 60 70 80 90 /件 45 39 38 35 30 23 由表中数据，求得经验回归方程为，下列说法错误的是（　　） A．产品的销售量和单价呈负相关 B．该经验回归直线过点 C．样本点的残差为 D．当单价定为100元时，销量估计为21件 5．（多选）为研究某种树树高和胸径的关系，某人随机测量了10棵该品种树的胸径（单位：cm）和树高（单位：m）的数据，已知其中一组数据为，且，求得回归方程为，并绘制了如下残差图，则下列结论正确的是（ ） A．由残差图可判定树高与胸径的关系大致符合上述回归模型 B．数据对应的残差为0.9 C．该种树的平均树高约为22.29m D．删除一组数据后，重新求得的回归直线的斜率变小 6 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 1一元线性回归 题型一：相关关系 1．下列语句所表示的事件中的因素不具有相关关系的是（ ） A．瑞雪兆丰年 B．名师出高徒 C．吸烟有害健康 D．喜鹊叫喜 【答案】D 【分析】根据相关关系的概念分别判断. 【详解】瑞雪对农作物有好处，可能使得农作物丰收，所以瑞雪兆丰年具有相关关系， 名师出高徒也具有相关关系，吸烟有害健康也具有相关关系， 而喜鹊叫喜，没有必然的关系，所以ABC正确，D错误. 故选：D. 2．医疗研究者会创建散点图来显示少女的体重指数（BMI）和身体脂肪百分比之间的相关关系，如图，下列说法正确的是（ ） A．BMI越大，脂肪百分比越大 B．BMI越大，脂肪百分比越小 C．BMI与脂肪百分比正相关 D．BMI与脂肪百分比负相关 【答案】C 【分析】根据散点图的特征可得正确的选项. 【详解】由散点图可得BMI增大时，脂肪百分比或变大或变小，故AB错误； 根据散点图的分布可得：BMI于脂肪百分正相关，故C正确，D错误； 故选：C． 3．在下列各图中，两个变量具有相关关系的是（ ）． A．①② B．①③ C．② D．②③ 【答案】D 【分析】根据函数关系和相关关系的概念，结合图象作出判断. 【详解】对于①，所有的点都在曲线上，具有函数关系； 对于②，所有的散点分布在一条直线附近，具有相关关系： 对于③，所有的散点分布在一条曲线附近，具有相关关系； 对于④，所有的散点杂乱无章，不具有相关关系， 故选：D． 4．根据物理中的胡克定律，弹簧伸长的长度与所受的外力成正比．测得一根弹簧伸长长度x和相应所受外力F的一组数据如下： 编号 1 2 3 4 5 6 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 3.08 3.76 4.31 5.02 5.51 6.25 据此给出以下结论： ①这两变量不相关；②这两个变量负相关；③这两个变量正相关． 其中所有正确结论的个数是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】根据散点图判断. 【详解】画出弹簧伸长长度x和相应所受外力F的散点图， 可以判断这两变量相关，且为正相关，故①②错误，③正确. 故选：C 题型二：散点图 1．下图是根据的观测数据得到的散点图，则变量能用一元线性回归模型来刻画，且的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由一元线性回归模型的散点图特征判断. 【详解】根据变量具有线性相关关系，则散点在某条直线附近，又，所以散点从左上至右下． 故选：A. 2．某校地理小组在某座山测得海拔高度、气压和沸点的六组数据绘制成散点图如图，则下列说法不正确的是（ ） A．气压与海拔高度呈正相关 B．沸点与气压呈正相关 C．沸点与海拔高度呈负相关 D．沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强 【答案】A 【分析】利用散点图的规律分析气压与高度、沸点与气压、沸点与海拔高度的相关性即可判定． 【详解】由图1知气压随海拔高度的增加而减小，由图2知沸点随气压的升高而升高， 所以气压与海拔高度呈负相关，沸点与气压呈正相关，沸点与海拔高度呈负相关． 由于两个散点图中的点都呈线性分布， 所以沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强，故B，C，D正确，A错误． 故选：A． 3．某种木材体积与树木的树龄之间有如下的对应关系： 树龄 2 3 4 5 6 7 8 体积 30 34 40 60 55 62 70 若该种木材每单位体积的价值是元，作出木材的价值与树龄之间关系的散点图. 【答案】图象见解析 【分析】根据题设得到木材的价值与树龄之间的关系，利用这个关系作出图象即可求解. 【详解】木材的价值与树龄之间的关系如表所示： 树龄 2 3 4 5 6 7 8 体积 30 34 40 60 55 62 70 价值 2400 2720 3200 4800 4400 4960 5600 以轴表示树木的树龄，轴表示树木的价值，可得相应的散点图如图所示： 4．某市104路公交车上午7：05—8：55时段在起点站每9分钟发一班次．公交公司为了了解早高峰时段各班次上客情况，某日上午7：14—8：35记录了在起点站各班次车辆上客的人数： 发车时刻 7：14 7：23 7：32 7：41 7：50 7：59 8：08 8：17 8：26 8：35 上车乘客数/人 10 13 13 18 17 15 12 9 3 3 请绘制这组成对数据的散点图，并通过观察散点图大致判断客车发车时刻与上车乘客人数之间的相关性． 【答案】图表见解析 【分析】 根据题意，直接绘制散点图即可，结合散点图即可判断. 【详解】 绘制散点图如图所示，观察散点图可知，之前客车发车时刻与上车乘客人数之间正相关，之后客车发车时刻与上车乘客人数之间负相关. 题型三:最小二乘法的意义 1．用最小二乘法求回归方程是为了使（ ） A． B． C．最小 D．最小 【答案】D 【分析】根据最小二乘法的概念和求解过程，即可求解. 【详解】根据最小二乘法的概念和求解，可得回归方程是为了使得每个数据与估计值之间的差的平方和最小． 故选：D． 2．回归直线方程的系数a，b的最小二乘法估计使函数最小，Q函数指（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由表示随机误差的平方和得出答案. 【详解】是指所求回归直线方程在各点的值与真实值的误差的平方和， 即. 故选：A 3．对成对数据、、…、用最小二乘法求回归方程是为了使（ ） A． B． C．最小 D．最小 【答案】D 【分析】由最小二乘法的求解即可知. 【详解】根据最小二乘法的求解可知：回归方程是为了使得每个数据与估计值之间的差的平方和最小， 故选：D 题型四:经验回归方程过平均数点 1．由样本点得到关于的线性回归方程为，若，则（ ） A．-5 B．-3 C． D．2 【答案】B 【分析】将代入线性回归方程，求出. 【详解】由题意得在上，即. 故选：B 2．电视剧《狂飙》于2023年1月在央视八套黄金档首播，承载着深厚的历史底蕴的《狂飙》取景拍摄地之一的江门三十三墟街即成网红打卡地，吸引了大量游客前来打卡，寻觅剧中的足迹.某文创商店为了了解游客人流量x（单位：百人次）与文创产品销售额y（单位：百元）的关系，对文创商店近期的销售情况作了统计，如下表： 2 3 4 5 6 3.8 6.1 7.8 9.9 12.4 由表中的数据得到了y关于x的线性回归方程，其中已知，由此当预测游客人流量为700人次时，文创产品的销售额大约为（ ） A．1430元 B．1420元 C．1455元 D．1416元 【答案】A 【分析】由题意可得，，代入回归方程可得，从而得，即可求解. 【详解】由题意可得，， 则，解得，所以方程， 所以当时，，即元，故A正确. 故选：A. 3．已知变量和满足经验回归方程，且变量和之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（ ） 5 6 9 12 8 7 2.4 A． B．当时， C．变量和呈负相关 D．该经验回归直线必过点 【答案】D 【分析】对A、D：借助线性回归方程必过样本中心点计算即可得；对B：将代入方程计算即可得；对C：借助回归方程的斜率即可得. 【详解】对于A，由表可得，， 因为经验回归直线必过样本中心点， 所以，解得，故A正确； 对于B，当时，，故B正确； 对于C，因为经验回归方程中，斜率，所以变量和呈负相关，故C正确； 对于D，该经验回归直线必过点为样本中心点，故D错误. 故选：D. 题型一:经验回归方程 1．春节将至，某商家统计了去年某商品的日营销费用x（单位：百元）与日销售量y（单位：百件），为今年的营销方案制定提供相关的数据参考，得到的数据如下表： 日营销费用x/百元 2 3 4 5 6 日销售量y/百件 1 1.1 1.5 1.8 2.1 已知y与x线性相关. (1)根据上表数据，求y关于x的经验回归方程； (2)请利用（1）中的经验回归方程，试估计当今的日销售费用为1000元时，日销售量为多少百件. 参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（）.其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 【答案】(1) (2)3.24百件 【分析】（1）求出的平均值，利用给定公式计算可求出y关于x的经验回归方程； （2）将代入回归方程即可估算出结果. 【详解】（1）， ， 则， 所以 故关于的经验回归方程为. （2）将代入，得， 故当今年的日营销费用为1000元时，日销售量约为3.24百件. 2．据市场调查，某厂生长的某种产品的广告费用支出（万元）与销售额（万元）之间有如下的对应数据，由散点图知，销售额（万元）与广告费用支出（万元）呈线性相关. 2 4 5 6 8 10 20 40 30 50 (1)求销售额（万元）与广告费用支出（万元）的线性回归方程； (2)据（1）的结果，如果厂家准备投入广告费用为10万元时，预测销售额是多少万元？ (3)据（1）的结果，如果该厂的广告费用每增加投入2万元，销售额估计能平均增加多少万元？ 附：参考公式：， 参考数据：， 【答案】(1) (2)万元 (3)万元 【分析】（1）利用表中数据求出，的值，再利用公式即可求出结果； （2）利用（1）中所求回归方程即可求出结果. （3）利用的意义求解即可. 【详解】（1）因为， ，， 所以，， 故回归方程为 （2）由（1）知，所以当时，代入得到， 即估计销售收入的值为万元. （3）由回归方程为可知，斜率，表示该厂的广告费用每增加投入1万元，销售额估计能平均增加万元，所以该厂的广告费用每增加投入2万元，销售额估计能平均增加万元. 3．国产动画电影《哪吒之魔童闹海》现已登顶全球动画电影票房榜榜首，并刷新多项世界票房纪录.下表截取了该电影上映后10日的单日累计票房： 日期 1月29日 1月30日 1月31日 2月1日 2月2日 2月3日 2月4日 日期代码 1 2 3 4 5 6 7 累计票房（亿元） 4.88 9.68 15.87 23.19 31.32 39.76 48.43 日期 2月5日 2月6日 2月7日 日期代码 8 9 10 累计票房（亿元） 54.92 60.78 66.20 (1)请根据这10日数据： （i）计算，的平均值，； （ii）求关于的经验回归方程； (2)用上面求出的经验回归方程预测该电影上映半年后的票房，得到的结果合理吗？为什么？ 附： 参考公式：经验回归方程斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，； 参考数据：，. 【答案】(1)（i），；（ii） (2)上映半年后的票房为亿元，预测结果不合理，理由见解析 【分析】（1）（i）根据平均数的定义及参考数据计算即可； （ii）根据参考公式计算即可； （2）根据，代值计算即可得到预测结果，再结合变量的变化趋势判断是否合理. 【详解】（1）由题意，， ， ， 则， ， 所以关于的经验回归方程为. （2）由（1）知，， 当时，， 则预测该电影上映半年后的票房为亿元， 这样的预测结果显然不合理，电影的票房一般在刚上映的一段时间内增长较快， 随着时间的推移，增长速度会逐渐放缓， 而所求的经验回归方程是假设变量之间具有线性关系， 不能准确反映电影票房在较长时间内的变化趋势， 所以用这个方程预测半年后的票房是不合理的. 题型一：残差 1．某厂进行技术改造后，生产产品过程中记录的时间x（单位：天）与相应的生产能耗y（单位：吨）的几组数据，如下表所示.若y与x线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ） 时间x 1 2 3 4 5 生产能耗y/吨 5 4.5 4 3.5 2.5 A．由题中数据可知，变量y与x负相关 B．线性回归方程中 C．当时，残差为- D．可以预测当时能耗约为2.2吨 【答案】D 【分析】对于A，由回归方程可判断变量y与x的负相关；对于B，利用回归方程过可判断选项正误；对于C，由回归方程及残差定义可判断选项正误；对于D，由回归方程可得预测值. 【详解】对于A，因回归方程斜率为负值，则变量y与x负相关，故A正确； 对于B，，， 因回归方程过，则，故B正确； 对于C，当时，由B分析，，则残差为： 故C正确； 对于D，当，由B分析，，故D错误. 故选：D 2．某学校一同学研究温差与本校当天新增感冒人数y（人）的关系，该同学记录了5天的数据： x 5 6 8 9 12 y 17 a 25 28 35 已知数据的样本中心点为，经过拟合，发现基本符合回归直线方程，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D．时， 【答案】C 【分析】根据回归直线过样本中心点即可依次求出、回归方程和估计值. 【详解】由题， 所以，所以回归直线方程， 所以当时，. 故ABD正确，C错误. 故选：C 3．已知由样本数据组成的一个样本，得到回归直线方程为，且，去除两个样本点和后，得到新的回归直线的斜率为3．则在新的经验回归方程下，样本的残差为（ ） A． B． C．0.1 D．0.2 【答案】B 【分析】利用线性回归方程必过样本中心点这个性质来求解，结合残差为实际值减去预测值，即可作出判断. 【详解】由回归直线方程为必过点，所以， 由于去掉两个样本点和后， 得到新的样本数据的平均数为： 因为新的回归直线的斜率为3，根据必过点， 可得回归直线方程为：，即， 当时，， 在新的经验回归方程下，样本的残差为， 故选：B. 4．已知某企业对新品按事先拟定的价格进行试销，得到以下数据 单价/元 40 50 60 70 80 90 /件 45 39 38 35 30 23 由表中数据，求得经验回归方程为，下列说法错误的是（　　） A．产品的销售量和单价呈负相关 B．该经验回归直线过点 C．样本点的残差为 D．当单价定为100元时，销量估计为21件 【答案】C 【分析】由线性回归方程中的回归系数，即可判断选项A；由表中数据求得，，所以该经验回归直线必过样本中心点，即可判断选项B；由，解得，所以.当时，结合残差定义即可判断选项C；令时求出对应的即可判断选项D. 【详解】由线性回归方程中的回归系数，可知产品的销售量和单价呈负相关，故选项A正确； 由表中数据得，，所以该经验回归直线过点，故选项B正确； 由得，解得，所以. 当时，所以样本点的残差为，故选项C错误； 当时，所以当单价定为100元时，销量估计为21件，故选项D正确. 故选：C. 5．（多选）为研究某种树树高和胸径的关系，某人随机测量了10棵该品种树的胸径（单位：cm）和树高（单位：m）的数据，已知其中一组数据为，且，求得回归方程为，并绘制了如下残差图，则下列结论正确的是（ ） A．由残差图可判定树高与胸径的关系大致符合上述回归模型 B．数据对应的残差为0.9 C．该种树的平均树高约为22.29m D．删除一组数据后，重新求得的回归直线的斜率变小 【答案】AC 【分析】对于A：分析残差图判断模型拟合程度，且集中在0附近，所以由残差图可判定树高与胸径的关系符合上述回归模型，判定的即可；对于C：根据回归方程经过样本中心，代入计算即可；对于B：运用残差概念，计算残差即可；对于D：分析删除一组数据对回归直线斜率的影响即可. 【详解】对于A：分析残差图判断模型拟合程度，由残差图可知，残差分布比较均匀，且集中在0附近， 所以由残差图可判定树高与胸径的关系大致符合上述回归模型，选项A正确； 对于B：计算数据对应的残差，当时，，残差为，选项B错误； 对于C：已知，则样本中心点的横坐标， 将代入回归方程， 可得，所以该种树的平均树高约为，选项C正确； 对于D：分析删除一组数据对回归直线斜率的影响，删除数据后， 因为大于样本中心点的横坐标，且小于通过回归方程计算出的对应的预测值， 所以删除该点后，剩下的数据整体上可能使得树高与胸径的正相关关系更明显，即重新求得的回归直线的斜率变大，选项D错误. 故选：AC. 6 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $