16.3.1平方差公式 同步练习题 2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册

2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册《16.3.1平方差公式》同步练习题（附答案） 一、单选题 1．下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则的值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．若，则（　　） A．4 B．5 C． D． 4．如图（1），在边长为的大正方形上剪去一个边长为的小正方形，可以拼出图（2）所示图形，上述过程可以验证等式（    ） A． B． C． D． 5．将正方形的南北方向增加，东西方向缩短，则改造后的长方形面积与原来相比（    ） A．减少 B．增加 C．保持不变 D．无法确定 6．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 7．如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“理想数”，如：因为，所以称为“理想数”，下面个数中为“理想数”的是（    ） A．1000 B．1001 C．1002 D．1003 二、填空题 8．若，则 ． 9．如果，则 ． 10．关于x，y的方程组，则 ． 11．若，则= ． 12．已知，则代数式的值为 ． 13． ． 14．如图，大正方形与小正方形的面积之差是64，则阴影部分的面积是 ． 三、解答题 15．计算： (1)； (2)； (3)． 16．利用平方差公式简便运算： (1)； (2)． (3)． 17．利用乘法公式计算下列各题： (1)． (2) 18．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”． 如；．因此4，12，44都是“神秘数”． (1)28和2024这两个数是“神秘数”吗，为什么？ (2)设两个连续偶数为和（其中k为非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗，是8的倍数吗，为什么？ (3)（n为正整数）是神秘数吗，为什么？ 19．观察下列各式： ; ； ； … (1)根据以上规律，则 ； (2)你能否由此归纳出一般性规律：= ． (3)根据（2）求出：的结果． 20．【探究】（1）如图①，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用含的等式表示）； 【应用】（2）请应用上述乘法公式解答下列各题： ①已知，，则的值为 ； ②计算：． 【拓展】（3）计算：． 参考答案 1．C 【分析】本题考查了平方差公式，根据平方差公式逐项计算判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．B 【分析】本题考查了代数式求值的方法，同时还利用了整体思想．把变形为，代入后，再变形为即可求得最后结果． 【详解】解：， ， 故选：B． 3．A 【分析】本题考查已知式子的值求代数式的值，平方差公式，利用平方根解方程，令，将原式变形为，结合，可得答案． 【详解】解：令，则原等式变形为：， 整理得， 解得， ， ，即， 故选A． 4．C 【分析】本题考查了平方差公式的运用，需要根据几何图形的面积得到等式，分别求出从边长为的正方形山剪去一个边长为的小正方形后，剩余部分的面积以及拼成的梯形的面积，根据剩余部分的面积相等即可得出等式，进而选出正确选项． 【详解】解：从边长为的正方形上剪去一个边长为的小正方形，剩余部分的面积是：， 拼成的梯形的面积是：， 根据剩余部分的面积相等得：， 故选：C． 5．A 【分析】本题考查平方差公式的应用，正方形的面积，长方形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题． 由题意根据正方形和长方形的面积公式求出原来正方形面积和改造后的长方形面积，进行比较计算即得结论． 【详解】解：设正方形的原边长为a，则面积为：， 将正方形的南北方向增加，东西方向缩短， ∴改造后的长方形面积为：， ∴改造后的长方形面积与原来相比减少了． 故选：A． 6．D 【分析】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果． 【详解】解： ， 故答案为：D． 7．A 【分析】本题主要考查了平方差公式，设这两个连续奇数为n，，应用平方差公式进行计算可得，代入计算n的值，即可得出答案． 【详解】解：设这两个连续奇数为n，， 则， A．，解得，n是奇数，故符合题意； B．，解得，n不是奇数，故不符合题意； C．，解得，n不是奇数，故不符合题意； D．，解得，n不是奇数，故不符合题意； 故选：A． 8．12 【分析】根据平方差公式，进行乘法运算，找到m、n的值便可求解． 【详解】解：， ， ∴． 故答案为：12． 【点睛】本题考查平方差公式，熟练运用平方差公式是解题的关键． 9． 【分析】先你用积的乘方法则把变形，再把代入计算即可． 【详解】． 故答案为：100． 【点睛】本题考查了积的乘方，平方差公式，逆用积的乘方法则是解答本题的关键． 10． 【分析】先用加减法求出和，然后代入求解即可． 【详解】解：∵ ∴得，，解得 ∴得，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解法，代数式求值，熟练掌握用加减法解二元一次方程组是解题的关键． 11． 【分析】根据题意得，，整体代入解题． 【详解】解：∵， ∴且， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质和用平方差公式分解因式，如果几个非负数的和为零，那么这几个非负数都等于零，一个数或式子的偶数次方是非负数；一个数或式子的绝对值是非负数，注意整体代入的思想的运用. 12． 【分析】先根据整式的混合运算法则化简，再由，可得，然后代入化简后的结果，即可求解． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 13．2 【分析】利用平方差公式化简，据此即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：2. 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，掌握平方差公式的结构特征是解题的关键． 14． 【分析】直接利用正方形的性质结合三角形面积求法，利用平方差公式即可得出答案． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为， 故阴影部分的面积是： ． 故答案为：． 15．解：（1） ； （2） ； （3） ． 16．（1）解：原式； （2）解：原式． （3）解： ． 17．（1）解：原式 ． (2)解：原式 ． 18．（1）解：∵，∴28是“神秘数”； ∵不能表示为两个连续偶数的平方差，∴2024不是“神秘数”； （2）∵k取非负整数， ∴>2k， ∵ ∴由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数，不是8的倍数； （3） ∴由（2）中结论可得是8的倍数，不是“神秘数”． 19．（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解： ． 20．（1）；（2）①4；②；（3） 【分析】本题考查平方差公式的应用． （1）将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可； （2）①利用平方差公式得出，代入求值即可； ②可将写成，再利用平方差公式求值； （3）利用平方差公式将写成，以此类推，然后化简求值． 【详解】解：（1）图1中阴影部分面积，图2中阴影部分面积， 所以，得到乘法公式， 故答案为：； （2）①由得，， ∵，， ∴； 故答案为：4； ② ； （3） ． 学科网（北京）股份有限公司 $