3.2.2双曲线的简单几何性质讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第20讲 双曲线的简单几何性质 知识再现 一 双曲线的几何性质 1、几何性质 标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 性质 焦点 焦距 范围 ,或 或 对称性 关于坐标轴、原点对称 顶点 轴长 实轴长2a,虚轴长2b 离心率 渐近线 2、双曲线渐近线求法 根据双曲线的标准方程求它的渐近线的方法中，最简单实用的就是把双曲线的标准方程中等号右边的“1”改成“0”，就得到了双曲线的渐近线方程． 3、对双曲线离心率的理解 在椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度．在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图象的一个重要特征．因为，所以当的值越大，渐进线的斜率越大，双曲线的“张口”越大，也就越大，故反映了双曲线的“张口”大小，即双曲线的离心率越大，它的“张口”越大． 二 等轴双曲线与共轭双曲线 1、等轴双曲线的性质 在双曲线中，若，则双曲线的长轴和短轴相等，即等轴双曲线，等轴双曲线的性质有： （1）离心率：等轴双曲线的离心率为：； （2）渐近线：等轴双曲线的渐近线为：；等轴双曲线的渐近线互相垂直，且斜率分别为45°和135°． 2、共轭双曲线 以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线时一对共轭双曲线．例如，双曲线与是一对共轭双曲线，其性质如下： （1）已对共轭双曲线有相同的渐进线； （2）已对共轭双曲线有相同的焦距； （3）共轭双曲线的渐近线与直线及的四个交点，以及双曲线的四个交点，八点共圆，圆心为坐标原点，半径为（半焦距）； （4）由于，，则，可知共轭双曲线的离心率虽然不同，但离心率的倒数的平方和等于常数1． 三 直线与双曲线的位置关系 1、直线与双曲线的位置关系 将双曲线方程与直线方程联立消去得到关于的一元二次方程， （1）当，即，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点； （2）当，即，设该一元二次方程的判别式为， 若，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若，直线与双曲线相离，没有公共点； 【注意】直线与双曲线有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点． 2、弦长公式：若直线与双曲线（，）交于，两点，则或（）． 3、中点弦问题 与椭圆的解题策略一样，既可以联立直线与双曲线的方程，利用一元二次方程根与系数的关系求解，也可以用点差法建立斜率与中点坐标的等式关系求解 题型一：双曲线的几何性质 例1.双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则m的值为（    ） A．9 B．－9 C． D． 【答案】C 解析：由双曲线，可得，且， 因为双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，可得，即，解得. 故选：C. 例2.若双曲线的虚轴长与实轴长相等，则的值为（    ） A．4 B． C． D．1 【答案】C【解析】依题意，双曲线的标准方程为，即， 由于虚轴长与实轴长相等，所以，即，即，解得.故选：C 例3.已知双曲线与，下列说法正确的是（    ） A．两个双曲线有公共顶点 B．两个双曲线有公共焦点 C．两个双曲线有公共渐近线 D．两个双曲线的离心率相等 【答案】C 【解析】双曲线的焦点和顶点都在x轴上， 而双曲线的焦点和顶点都在y轴上，故A、B错误； 双曲线的渐近线方程为， 双曲线的渐近线方程为，故C正确； 双曲线的离心率， 而双曲线的离心率，故D错误.故选：C. 变式训练 1.若双曲线的实轴长为，则正数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由双曲线实轴长为，有，又，.故选：A. 2.曲线（）与曲线（）的（    ） A．焦距相等 B．离心率相等 C．焦点相同 D．顶点相同 【答案】A 【解析】因为，则， 可知表示焦点在 x轴上的椭圆，其焦距为， 又因为，则， 可知曲线 表示焦点在y轴上的双曲线，其焦距为， 所以其焦距相等，离心率、焦点和顶点均不相同.故选：A. 3.已知双曲线：的左顶点为，右焦点为，焦距为6，点在双曲线上，且，，则双曲线的实轴长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】运用代入法，结合已知等式进行求解即可. 【详解】把代入中，得，即， 因为，，所以， 又，所以，解得，舍去，则.故选：A 题型二：由几何性质求双曲线的方程 例4.若双曲线C：其中一条渐近线的斜率为2，且点在C上，则C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 解析：由题意可得，所以， 把点的坐标代入方程，得， 所以， 则C的标准方程为， 故选：A. 例5.已知双曲线经过点，且与双曲线具有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 解析：由题意设双曲线的标准方程为，代入点， 得，得，所以双曲线的标准方程为.故选：A. 例6.一双曲线的虚轴长为4，离心率与椭圆的离心率互为倒数，且焦点所在轴相同，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 解析：因为椭圆的焦点在轴上，离心率， 所以所求双曲线的焦点也在轴上，离心率， 即，所以， 又因为双曲线的虚轴长为， 即，所以， 即，所以， 所以所求双曲线的方程为：.故选：C. 例7.已知双曲线的离心率为，以坐标原点为圆心，双曲线的虚半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，若四边形的面积为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 解析：因为双曲线的离心率为，所以，得， 所以双曲线的渐近线方程为， 设直线的倾斜角为，则， 由对称性不妨令点A，B分别在第一、四象限，坐标原点为O，则， 于是得， 而双曲线的虚半轴长为b，即， 显然四边形为矩形，其面积，得，所以， 所以双曲线的方程为． 故选：B． 变式训练 1.已知双曲线的一条渐近线斜率为，实轴长为4，则C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 解析：由题意双曲线的焦点在轴上，则，， 又，则，故C的标准方程为.故选：C 2．若双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 解析：设双曲线的标准方程为， 由已知得，解得，所以双曲线的标准方程为 故选：A. 3．已知双曲线的焦点到渐近线的距离为4，实轴长为6，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 解析：右焦点到渐近线的距离，因为实轴长为， 所以，即的方程为.故选：D 4．求双曲线以椭圆的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点，则双曲线的方程是   （    ） A． B． C． D． 【答案】A 解析：在椭圆中，，椭圆的焦点坐标为，，左右顶点坐标分别为，， 则双曲线的顶点坐标为，，焦点坐标为，，且双曲线的焦点在轴上， 所以，，所以双曲线的方程为：．故选：A. 题型三：求双曲线离心率的值或取值范围 例8.已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则此双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C．2或 D．或2 【答案】A【解析】由题意，双曲线的焦点在轴上，且一条渐近线的倾斜角为， 所以，所以，又，所以， 又，所以.故选：A 例9.若双曲线的右焦点为，且点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为双曲线的右焦点为，则，即， 双曲线的渐近线方程为，不妨取， 又点到双曲线的一条渐近线的距离为，可得， 所以，所以双曲线的离心率．故选：C． 例10.已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，M为双曲线右支上的一点，若M在以为直径的圆上，且，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于M在以为直径的圆上，故， 设，则，，根据双曲线的定义， 所以，所以，， 所以， 故在单调递增， 当时，，当时，， 所以，所以， 故选：D． 例11.双曲线：的左、右焦点为,，若点在双曲线右支上,且，则双曲线离心率的值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由点在双曲线右支上，且， 根据双曲线的定义，可得，可得， 结合双曲线的几何性质，可得，可得，所以， 又因为，所以离心率的取值范围为，结合选项，可得D项，不符合题意.故选：D. 例12.设双曲线的离心率为，双曲线渐近线的斜率的绝对值小于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】依题意，有，即， 由，得，所以，即的取值范围是.故选：B 变式训练 1.如图，已知双曲线的右焦点为，过原点的直线与交于两点，在第一象限，延长交于多一点，若且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设的左焦点为，连接， 则， 因为，由双曲线的对称性知四边形为矩形. 在中，由，得，化简得. 在中，由，得， 化简得，即离心率.故选：A. 2.双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线左支上一点，，直线交双曲线的另一支于点，，则双曲线的离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则，， 由双曲线定义得，故， 由勾股定理得，即①， 连接，则，故， 由勾股定理得，即②， 由②得，代入①得，故.故选：C 3.设是双曲线的左､右焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 解析：由双曲线，可得，渐近线方程为， 如图所示，则焦点到渐近线的距离为， 在直角中，可得， 在中，由余弦定理得， 即，所以， 又由，所以，可得， 所以双曲线的离心率为. 故选：A.    4.若，双曲线：与双曲线：的离心率分别为，，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】B 解析：由题意可得，，则， 由基本不等式，，即， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为. 故选：B. 5.已知双曲线为双曲线的右焦点，过点作渐近线的垂线，垂足为，交另一条渐近线于，若，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C解析：依题意可知在第一象限，在第二象限， 到渐近线的距离为， 即，设，则，， 由得，故，，.故选:C 6.已知点，分别是双曲线的左右焦点，为坐标原点，点在双曲线右支上，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，∴，记，， 则，又①， ∴，∴，②， 由①②得，又， ∴，解得，即．故选：D 题型四：与双曲线渐近线相关的问题 例13.双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得，所以，即双曲线的渐近线方程为.故选：A 例14.已知双曲线与双曲线有共同的渐近线，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【解析】双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为， 所以，所以.故选：C 例15.已知为双曲线的左、右焦点，过的直线l与双曲线的渐近线交于A、B两点，满足A，B均在y轴右侧，且为正三角形，则双曲线E的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，，根据对称性可知，从而， 不妨设A在第一象限，其中一条渐近线方程为，令得， 则，故，故， 可得渐近线方程为．故选：B 例16.过原点的直线l与双曲线E：交于A，B两点（点A在第一象限），交x轴于C点，直线BC交双曲线于点D，且，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 解析：因为直线过原点，所以关于原点对称，设， 因为与轴垂直，所以，设， 则， 而 所以，，所以，所以渐近线方程为. 故选：D    变式训练 1.若双曲线C与双曲线有相同的渐近线，且经过点，则双曲线C的标准方程是 ． 【答案】 【分析】设双曲线C的方程为，根据双曲线经过的点求得，从而求得双曲线的标准方程. 【详解】由双曲线C与双曲线有相同的渐近线， 可设双曲线C的方程为，又C过点， 所以，， 整理得双曲线C的标准方程是． 故答案为： 2．与双曲线渐近线相同，且一个焦点坐标是的双曲线的标准方程是 ． 【答案】 解析：双曲线的渐近线方程为， 由焦点坐标是，可设所求双曲线的方程为，得， 双曲线渐近线的方程为，由题意有， 解得，， 所以双曲线的方程为.故答案为：. 3.已知双曲线的左，右焦点分别为，右支上一点到双曲线的两条渐近线的距离分别为，若，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 解析：设，则，即， 渐近线方程为，即， 则点到双曲线的两条渐近线的距离分别为：， 因为，则， 可得，即，又由，可得，所以， 所以双曲线的渐近线方程为，故选：D． 题型五：直线与双曲线的位置关系 例17.直线与双曲线的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】方法一：联立直线与双曲线的方程， ，得，方程组无解，说明直线与双曲线没有交点. 方法二：由，得，所以双曲线的渐近线方程为， 因为直线是双曲线的一条渐近线，因此交点个数为0.故选：A 例18.双曲线与直线的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2 【答案】C 【解析】因为双曲线的渐近线方程为， 所以，当时，直线与渐近线重合，此时直线与双曲线无交点； 当时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线有一个交点.故选：C 变式训练 1.过点的直线与双曲线的公共点只有1个，则满足条件的直线有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】C 【解析】当直线的斜率不存在时，显然与双曲线没有公共点. 当直线的斜率存在时，设方程为， 与双曲线方程联立可得， 当时，即时，此时直线和双曲线的公共点只有1个， 时，；时，. 当时，， 整理可得，因为，所以有两个不等的实数根， 又因为不是的根，所以此时直线和双曲线的公共点只有1个. 综上可知直线和双曲线的公共点只有1个时，直线有4条.故选：C. 2.如果直线经过双曲线的中心，且与该双曲线不相交，则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意知，直线的斜率存在，设为，双曲线的中心为， 因为直线经过双曲线的中心，所以设直线方程为， 由，消去得，， 因为直线与该双曲线不相交，所以方程没有实数根， 所以，即，解得或， 所以直线l的斜率的取值范围是：.故选：B. 题型六：直线与双曲线的交点及弦长 例19.过双曲线的右焦点F作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A，B两点，则弦长 ． 【答案】8 【解析】由双曲线，得，，焦点为，倾斜角， 法一：直线斜率，直线方程为， 联立消得，，由韦达定理知， 代入弦长公式，得. 法二：.故答案为：8. 例20. 已知双曲线，直线被所截得的弦长为，则 ． 【答案】 【解析】设双曲线与直线交于两点， 由消去整理得， 则，解得，且， 所以． 由，解得，所以．故答案为： 变式训练 1.已知双曲线C：的右焦点为F，过F的直线l与双曲线C交于A，B两点，若，则这样的直线l有（    ） A．0条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C【解析】由题意，， 当直线的斜率为时，直线的方程为， 在方程中，令，则，此时，符合题意， 当直线的斜率不等于时，设方程为， 联立，消得， 则，解得， 设，则， 故， 解得，综上所述，符合题意得直线有条.故选：C. 2.在平面直角坐标系中，已知点，动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若直线交于两点，且，求直线的方程． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）根据题意由可知， 动点的轨迹为以为焦点，实轴长为的双曲线， 即，所以， 所以可得的方程为； （2）如下图所示： 依题意设， 联立与的方程， 消去整理可得，则； 且，解得； 所以， 解得，满足，符合题意；所以直线的方程为. 题型七：双曲线的中点弦问题 例21. 直线与双曲线交于两点，线段的中点为，则直线的斜率为(    ) A．3 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【解析】设， 则有， 化简得，即.故选：B 例22.设A，B为双曲线上的两点，若线段AB的中点为，则直线AB的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设， 则有，两式相减，得， 因为线段AB的中点为，所以， 因此由， 即直线AB的斜率为，方程为， 代入双曲线方程中，得， 因为，所以线段AB存在，故选：C 变式训练 1.已知双曲线，过点的直线l与双曲线C交于M､N两点，若P为线段MN的中点，则弦长|MN|等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题设，直线l的斜率必存在，设过的直线MN为， 联立双曲线： 设，则，所以，解得， 则，. 弦长|MN|.故选：D. 2.直线被双曲线所截得的弦的中点坐标是 . 【答案】 【解析】设直线与双曲线的交点为， 联立方程组，整理得， 则，且， 设弦的中点为，则， 代入直线方程可得， 所以截得弦的中点坐标为. 故答案为：. 题型八：双曲线的综合问题 例23.已知双曲线的一条渐近线为，且双曲线的虚轴长为． (1)求双曲线的方程； (2)记为坐标原点，过点的直线与双曲线相交于不同的两点、，若的面积为，求直线的方程． 【答案】(1)；(2)或 【解析】（1）由题意可得，可得， 因此，双曲线的方程为. （2）若直线与轴重合，则直线与双曲线没有交点，不合乎题意， 所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、， 联立可得， 由题意可得，解得， 由韦达定理可得，， 则， ，解得，合乎题意， 所以，直线的方程为或. 例24. 已知双曲线过点且与双曲线有共同的渐近线，，分别是的左、右焦点． (1)求的标准方程； (2)设点是上第一象限内的点，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意可设的方程为， 将代入可得，，解得， 的标准方程为． （2）设，则， 点在第一象限，，且，， ， 的取值范围是． 变式训练 1.已知两定点，满足条件的点的轨迹是曲线，直线与曲线交于两个不同的点． (1)求曲线的方程； (2)求实数的取值范围； 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支， 且，则， 故曲线的方程为． （2）设，，，，由题意建立方程组， 消去，得， 又已知直线与双曲线左支交于两点，， 有，解得． 所以的取值范围是． 2.已知双曲线经过点，离心率为，直线过点且与双曲线交于两点（异于点）. (1)求双曲线的方程； (2)求证：直线与直线的斜率之积为定值，并求出该定值. 【答案】(1)；(2)证明见解析， 【解析】（1）令双曲线半焦距为，依题意，， 由，解得， 则双曲线的方程为， （2）法一：显然直线不垂直于轴，设直线的方程为， 由消去得， 设，则， 直线的斜率分别为， 法二：①当直线垂直于轴时，的方程为，易得 ②当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，、 由,消去得：， 设，则： 直线的斜率分别为， 第 1 页 共 26 页 学科网（北京）股份有限公司 $第20讲双曲线的简单几何性质 知识再现 一双曲线的几何性质 1、几何性质 标准方程 x2 -6=1(a>0,b>0 y2 x2 a-6京=1(a>0,b>0) 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 y+ Y 41 图形 F2 B.0 B 焦点 F(-c,0),F(c,0) F(0,-c),F(0,c) 焦距 FF2=2c FF=2c 范围 x≤-a,或x2a y≤-a或y≥a 对称性 关于坐标轴、原点对称 性质 项点 A(-a,0),A(a,0) A(0,-a),A(0,a) 轴长 实轴长2a,虚轴长2b 离心率 e=c>1 a 渐近线 b y=士一x y=±9x a b 2、双曲线渐近线求法 根据双曲线的标准方程求它的渐近线的方法中，最简单实用的就是把双曲线的标准方程中等 号右边的“1”改成“0”，就得到了双曲线的渐近线方程 3、对双曲线离心率的理解 在荷圆中，脑国的离心率可以刻画精回的扇平程度，在双曲线 y2 a2 b2 =1(a>0,b>0)中， c va2+b2 双曲线的“张口”大小是图象的一个重要特征.因为e=二= 1+2 ,所以当 a a b b 的值越大，渐进线y=二x的斜率越大，双曲线的“张口”越大，e也就越大，故e反映 0 了双曲线的“张口”大小，即双曲线的离心率越大，它的“张口”越大， 二等轴双曲线与共轭双曲线 1、等轴双曲线的性质 第1页共21页 在双曲线中，若α=b,则双曲线的长轴和短轴相等，即等轴双曲线，等轴双曲线的性质有： (1)离心率：等轴双曲线的离心率为：e=√2； (2)渐近线：等轴双曲线的渐近线为：y=士x；等轴双曲线的渐近线互相垂直，且斜率分 别为45°和135°. 2、共軛双曲线 以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线时一对共轭双曲线.例如， 双曲线r少2 a尔=1a>0,6>0)与 b2 a2 =1(a>0,b>0)是一对共轭双曲线，其性质如 下： (1)已对共轭双曲线有相同的渐进线； (2)已对共轭双曲线有相同的焦距； (3)共轭双曲线的渐近线与直线x=士a及y=士b的四个交，点，以及双曲线的四个交点， 八点共圆，圆心为坐标原点，半径为C(半焦距)； C ,1,1a2,b2 (4)由于e=-,e2= a 6,则十。+。1，可知共轭双向线的商心率说然不同， 但离心率的倒数的平方和等于常数1. 三直线与双曲线的位置关系 1、直线与双曲线的位置关系 双曲线方往名-与直线方程二+联立消去y得到关于X的一元二次方型 b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0, (①)当b2-=0,即k=士，直线1与双曲线的渐近线平行，直线1与双曲线只有一个 交点； (②）当6-0，即±名，泛该一元二次方程的判到式为△， 若△>0，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若△=0，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若△<0，直线与双曲线相离，没有公共点； 【注意】直线与双曲线有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，当直线与双曲线的渐近 线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点 ?孩长公式：若直线：y=c+m与双曲线。-(0>0，b>0)交于A西， 第2页共21页 B两点，则AB=+-或B=+出-为(k≠0) 3、中点弦问题 与椭圆的解题策略一样，既可以联立直线与双曲线的方程，利用一元二次方程根与系数的关 系求解，也可以用点差法建立斜率与中点坐标的等式关系求解 题型一：双曲线的几何性质 例1双曲线少_-1的实轴长是虚轴长的3倍，则m的值为（） m 1 A.9 B.-9 C. D. 1 9 例2.若双曲线mx2+y2=1的虚轴长与实轴长相等，则m的值为（） A.4 B.-4 C.-1 D.1 =1与y2 例3已知双曲线Xy2 =1,下列说法正确的是() 916 169 A,两个双曲线有公共顶，点 B.两个双曲线有公共焦点 C.两个双曲线有公共渐近线 D.两个双曲线的离心率相等 变式训练 线m+1少=1的实轴长为4，则正教m=() 1,若双曲线 C.4 9 7 A.5 B.2 2 第3页共21页 2曲线r+广=1(m<6)与曲线+上-1(5<n<9)的（) 10-m6-m 5-n9-n A.焦距相等 B.离心率相等 C.焦点相同 D.项，点相同 3已知双曲我C:苦是=川口>0b>0)的大预点为A,右袋点高F,依E药6，点M在双 曲线C上，且MF⊥AF,MF=2AF,则双曲线C的实轴长为() A.2 B.4 C.6 D.8 题型二：由几何性质求双曲线的方程 例4若双向线C:等-登=1(a>0,b>0)其中一条渐近线的车为2，且点(5,2)在 C上，则C的标准方程为() A.号-若=1B.号-号=1Cx2-号=1D.譬-y2=1 第4页共21页 例5.已知双曲线C经过点(4,2)，且与双曲线号-y2=1具有相同的渐近线，则双曲线C的 标准方程为(） A.普-若=1B.普-号=1C.婴-罗=1D.器-5=1 例6.一双曲线的虚轴长为4，高心率与精回号+号=1的高心率互为倒数，且焦点所在轴相 同，则该双曲线的方程为（) A.器-若=1 B.器-器=1 c.y-￥=1 D.y-号=1 例7.已知双向线r罩-吕=1〔a>0,b>0的离心率为，以垒标原点为圆心，双商数 的虚半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四，点，若四边形ABCD的 面积为12√2，则双曲线的方程为() A.号-罗=1 B.器-号=1 c.器-罗=1 D. 器-器=1 第5页共21页 变式训练 1已知双曲线C:片若=1的一条清近线纤率为-2，实静长为4，则C的标准方拉为() A.y广-￡=1B.兰1c.兰-=1 D.上-=1 4 416 4 164 2.若双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的√2倍，且一个顶点的坐标为2,0)，则双 曲线的标准方程为() A于号1R芳号1 C.x2 -=1 D.-=1 44 4 4 3.已知双曲线C:号后=a>0,6>0的焦点到渐近线的距高为4，实转长为6，则C的方程 为() A.-上=1 B.x -=1 49 94 916 第6页共21页 4.求双曲线以精圆二+上=1的焦点为顶点，且以精圆的顶点为焦点，则双曲线的方程是 85 () 35=1B.y A.y 531 C.y2x2 351 D.yx =1 53 题型三：求双曲线离心率的值或取值范围 例8已知双曲线Xa>0,6>0)的一条清近线的倾斜角为3，则此双曲线的两心率©一 为() A.2 B.25 3 C.2或25 D.√5或2 3 例9若双曲线C: F=1a>0,6>0)的右焦点为F(2,0),且点F2,0)到双曲线C的- x2 y2 条渐近线的距离为1，则双曲线C的离心率为() A.√2 B.5 C.25 D.25 3 第7页共21页 10已知双曲线二-(0>0，b>0)的左、右焦点分别为F,B,M为双曲线 上的一点，若M在以E为直径的圆上，且∠MF,},则该双曲线高心率的 值范围为() A.(1,2) B.(2,+∞ C.(1,5+ D.(V2,3+ 圆U,双线C:怎Q>0b>0的左、右焦点为，，若点P在双询线右支上血 PF=7PF,,则双曲线C离心率的值不可能是() 6 A.5 B.5 4 C.3 D. 4 图2设双曲线。口>h>0的高心养为C,双由线尚近线的斜韦的范对值小于夕 2 则e的取值范围是() a(99）c(可 第8页共21页 变式训练 1如同，已知双商线5：号后-a>0>0的右我立为F,过原点的克我1与E文于么B两 ,点，A在第一象限，延长AF交E于多一点C,若BF⊥AC且AC=4AF,则E的离心率 为() 10 A B.V10 C. 7 D. 7 2 2 3 2双曲线少 。方=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,F,点M是双曲线左支上一点， ∠EMF,=90°，直线M交双曲线的另一支于点N,MN=2WF,,则双曲线的离心率() A.3 B.9 c.5 D.2 B设，乃是双迪线C。,a>0,b>0)的左，右焦点，过点作双曲线的一条渐近线的鱼 第9页共21页 线，垂足为M.若ME=V3b,则双曲线C的离心奉为() A.√5 B.V3 C.3 D.5 3 4若m>0,双曲线G:工-号=1与双尚线C,:-上=1的离心养分别为9,6，则() 8 m A.%的最小值为 4 B.9%的最小值为 C.96的最大值为？ D.9%的最大值为 5已如双肉线C:号芳=0>0>0，F为双曲线的右我点，过点F作南花钱的有线 MN(kMw<O)，垂足为M,交另一条渐近线于N,若WM=元MF(2≥2)，则双曲线C的离 心率的取值范围是（) A.[V5,+∞】 B.,]C.(2,5] 第10页共21页