3.2.1双曲线及其标准方程讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第19讲双曲线及其标准方程 知识再现 一双曲线的定义 1、定义：在平面内与两个定点F、F,的距离之差的绝对值等于非 零常数（小于EF)的点的轨迹叫做双曲线.两个定点、F,称 为焦点；两焦点的距离叫做双曲线的焦距，表示为FF引. 2、双曲线的集合表示：P={MM-ME=2a,0<2a<EE, 3、定义辨析 (1)若去掉定义中的“绝对值”，常数a满足约束条件： |PF-PF引=2a<FF引(a>0),则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点F2的一支； 若PF-PF=2a<EF引(a>0),则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点F的一支； (2)若常数a满足约束条件：PF-PF2=2a=FF, 则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端，点）； (3)若常数a满足约来条件：PF-PF2=2a>EF,,则动，点轨迹不存在； (4)若常数a=0,则动，点轨迹为线段FF2的垂直平分线。 二双曲线的标准方程 1、双曲线的两种标准方程 焦点位置 焦点在x轴 焦点在y轴 图形 标准方程 x2 y2 a26=1(a>0,b>0) y2 x2 =1a>0,b>0 焦点坐标 F(-c,0)、F(c,0 F(0,-c、F(0,cl a,b,c的关系 c2=a2+b2 2、待定系数法求双曲线标准方程 第1页共22页 定位置 根据条件确定双曲线的焦，点在哪条坐标 轴上，还是两种都有可能 设方程 根据焦点位置设方程为塔养1域么 2 (a>0,b>0),焦点不定时，亦可设为 mx2+ny2=1(mn<0) 寻关系根据已知条件列出关于a,b,c(m,n)的方程组 <得方程 解方程组，将a,b,c(m,n)代入所设方程 即得所求 3、由双曲线标准方程求参数范围 (①)对于方程上+卫-山，当m<0时表示双曲线； m n 当m>0,n<0时表示焦点在x轴上的双曲线； 当m<0,n>0时表示焦点在y轴上的双曲线. (2)对于方程上_上=1，当mn>0时表示双画线； m n 当m>0,n>0时表示焦，点在x轴上的双曲线； 当m<0,n<0时表示焦，点在y轴上的双曲线. (3)已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准 方程的形式，再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围。 三双曲线的焦点三角形 求双曲线中的焦点三角形△P℉面积的方法 (1)①根据双曲线的定义求出PE-PF=2a; ②利用余弦定理表示出PE、PF、EF,之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出PFPF,的值； ④利用公式S=，PF-PF引sin∠FPF,求得面积. (2)利月公式S=2x刘FF,求得两积； (3)若双曲线中焦点三角形的项角∠FPF=日，则面积S= b2 ,结论适用于选择或填 tan 2 空题。 题型一：双曲线的定义及辨析 第2页共22页 例1.已知P为双曲线 =1右支上一点，F,F为双曲线的左右焦点，PE-PF等于 916 () A.8 B.6 C.4 D.3 例2.化简方程x+5+少2-Vx-5列+y2=8的结果是() 916 25161 例3.设F、E是两定点，F,F=6,动点P满足PF-PF=4,则动，点P的轨迹是() A.双曲线 B.双曲线的一支C.一条射线 D.轨迹不存在 变式训练 1.(多选)在平面直角坐标系xOy中，已知，点A(-2,0,B2,0),P是一个动点，则下列说法正 确的是() A.若PA+PB=4,则，点P的轨迹为椭圆 B.若PA-PB=2,则点P的轨迹为双曲线 C.若|PA2-PBP=4,则点P的轨迹为一条直线 D.若|PA+PB=PA-PB|,则，点P的轨迹为圆 2.已知F-5,0)、F,5,0两点，根据下列条件，写出动点M的轨迹方程. 第3页共22页 (①)MF-MF=10,(2)MF-|MF=8;3)MF-MF=6. 题型二：由定义求双曲线的标准方程 例4.已知，点F-4,0),F24,0),曲线上的动点P到F,F的距离之差为6，则曲线方程为（) A.父-上=1x>0 B.上=1 97 97 c.上-=1y>0) D. 97 971 例5.已知，点M-2,0,N(2,0),动，点P满足PM-PN=2W2,则动，点P的轨迹方程为() A.父-=x22列 B.￡=1 22 22 c.-上=1x≥2 D-上=1 42 42 变式训练 1.设中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的焦距为16，且双曲线上的任意一，点到两个焦点的 第4页共22页 距离的差的绝对值等于6，双曲线的方程为() A.-=1 B.上=1 955 97 x2 y2 C.10064 1 D. x2 y =1 79 2.已知F,(0,-2),F,0,2),动点P满足P-PF=2,则动点P的轨迹方程为（) A.x上=1 =1 3 B.2-x2 3 c.2-=1x>0) 3 D.y -=1y>0 3 3.如图，在△ABC中，已知AB=4V2,且三内角A,B,C满足2sinA+sinC=2sinB,建 立适当的平面直角坐标系，则顶，点C的轨迹方程为一 4.动点P与点F(0,5)与点F0,-5满足PFPF=6,则，点P的轨迹方程为 第5页共22页 题型三根据a,b,C求双曲线标准方程 例6.已知双曲线过点-2,0)，且与椭圆4x2+9y2=36有公共焦点，则双曲线的标准方程是 () 4. 42s1 B. 42=1 C.=1 D.y-=1 4 4 例7.如果双曲线关于原点对称，它的焦点在坐标轴上，实轴为8，焦距为10，那么双曲线 的标准方程是 例8.已知双曲线对称轴为坐标轴，中心在原点，两焦，点为F,F,直线x+y=6过双曲线的 一个焦点，P为双曲线上一点，且PF=10,PF=4,则双曲线的方程为 例9.以精圆上 =1的焦点为顶，点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的标准方 34 程是 第6页共22页 例10.求适合下列条件的双曲线的标准方程. (①)焦点在x轴上，a=2V5,经过，点A-5,2； ②)经过A-7,-62)、B2V7,3两，点. )过点P-巨，2，且与横园二+二-1有相同焦点双曲线方程 94 变式训练 1.求适合下列条件的双曲线的标准方程： 第7页共22页 (①)两个焦点的坐标分别是-5,0)，5,0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8； (②)焦点在x轴上，经过点P(4,-2)和，点Q2V6,2V2). (3)经过，点P(-3,2√7)和Q(-6V2,-7). ④已知与精圆+广=1共焦点的双曲线过点P 4924 2.已知等轴双曲线C的一个焦点为F(0,-6).求等轴双曲线C的标准方程； 3.回答下列各题. )求与精回号+少=1有相同的焦点，且经过点()的满国的标准方程 2 第8页共22页 ②求焦点在x轴上，虚轴长为12，离心率为的双曲线的标准方程 4 题型四：双曲线方程的参数问题 例1.已知方程广+=1表示焦，点在x销上的双曲线，则实数m的取值范固是（) 十 m-32-m A.（-0,2 2 C.(3,+o） D. 例12.若方程(1+m)x2-my2=1表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围 为」 例13若方程+少2 =1表示双曲线，则实数m的取值范围是 m-7m-1 第9页共22页 变式训练 1.已知m∈R,则方程2-m)x2+(m+1)y2=1所表示的曲线为C,则以下命题中正确的是() A.当曲线C表示双曲线时，m的取值范围是2，+0) B.当m=2时，曲线C表示一条直线 C。当m行时，南载C表示焦点在上的然圆 D.存在m∈R,使得曲线C为等轴双曲线 包.（多选）已知方程+，引表示的曲线为G,则下列四个结论中正确的是(》 A.当1<1<4时，曲线C是椭圆 B.当t>4或1<1时，曲线C是双曲线 C.若商线C是狐点在x龄上的脂国，则1<1<号D.若曲线C是很点在y轴上的双由 线，则t>4 第10页共22页 第19讲 双曲线及其标准方程 知识再现 一 双曲线的定义 1、定义：在平面内与两个定点、的距离之差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线．两个定点、称为焦点；两焦点的距离叫做双曲线的焦距，表示为． 2、双曲线的集合表示：． 3、定义辨析 （1）若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件： （），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； （2）若常数满足约束条件：， 则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； （3）若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； （4）若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。 二 双曲线的标准方程 1、双曲线的两种标准方程 焦点位置 焦点在轴 焦点在轴 图形 标准方程 焦点坐标 、 、 的关系 2、待定系数法求双曲线标准方程 3、由双曲线标准方程求参数范围 （1）对于方程，当时表示双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线. （2）对于方程，当时表示双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线. （3）已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围。 三 双曲线的焦点三角形 求双曲线中的焦点三角形面积的方法 （1）①根据双曲线的定义求出； ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出的值； ④利用公式求得面积。 （2）利用公式求得面积； （3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积，结论适用于选择或填空题。 题型一：双曲线的定义及辨析 例1.已知P为双曲线右支上一点，为双曲线的左右焦点，等于（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】B 【解析】因为P为双曲线右支上一点，所以.故选：B. 例2.化简方程的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，，则由已知得， 即动点P到两个定点A､B的距离之差的绝对值等于常数，又，且， 所以根据双曲线的定义知，动点P的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线. 设双曲线方程为：，则，所以， 所以，所以双曲线方程为， 即化简方程的结果是.故选：D. 例3.设、是两定点，，动点P满足，则动点P的轨迹是（    ） A．双曲线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．轨迹不存在 【答案】B 【解析】依题意，、是两个定点，P是一个动点， 且满足，所以动点P的轨迹是双曲线的一支.故选：B 变式训练 1.（多选）在平面直角坐标系中，已知点是一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为双曲线 C．若，则点的轨迹为一条直线 D．若，则点的轨迹为圆 【答案】BCD 【解析】对于选项A：，则点的轨迹为线段，故A错误； 对于选项B：，则点的轨迹是双曲线，故B正确； 对于选项：设，由，可得， 化简得，表示一条直线，故C正确； 对于选项D：由，可得， 则点的轨迹是以为直径的圆，故D正确.故选：BCD. 2.已知、两点，根据下列条件，写出动点的轨迹方程． (1)； (2)；(3)． 【答案】(1)（）(2)（）(3) 解析：（1）因为、，则，又， 所以点的轨迹是轴上以为端点向右的一条射线，则轨迹方程为（）. （2）因为， 所以点的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支，且、， 所以，所以轨迹方程为（）. （3）因为， 所以点的轨迹是以、为焦点的双曲线，且、， 所以，所以轨迹方程为. 题型二：由定义求双曲线的标准方程 例4.已知点，曲线上的动点到的距离之差为6，则曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 解析：由题意可得, 由双曲线定义可知，所求曲线方程为双曲线一支，且,即， 所以. 又因为焦点在轴上，所以曲线方程为.故选:A. 例5.已知点，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 解析：，，又动点满足， 动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支， 设双曲线方程为，则有， 动点的轨迹方程为．故选：A． 变式训练 1.设中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的焦距为16，且双曲线上的任意一点到两个焦点的距离的差的绝对值等于6，双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 解析：∵双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为，且， 由题意可得，解得，∴双曲线的方程为.故选：A. 2．已知，，动点P满足，则动点P的轨迹方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 解析：根据题意，，，则， 动点满足，其中， 则的轨迹是以、为焦点的双曲线的上半支， 其中，，即，则， 所以双曲线的方程为：，故选：D． 3．如图，在中，已知，且三内角A，B，C满足，建立适当的平面直角坐标系，则顶点C的轨迹方程为 .    【答案】 解析：以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则，. 由正弦定理，得，，（R为的外接圆半径）.    ∵，∴，即. 由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支（除去与x轴的交点）. 由题意，设所求轨迹方程为， ∵，，∴.故所求轨迹方程为. 故答案为： 4．动点与点与点满足，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 解：由知，点的轨迹是以、为焦点的双曲线下支， 得，，，， 故动点的轨迹方程是．故答案为：． 题型三 根据求双曲线标准方程 例6．已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 解析：由椭圆，可化为标准方程，可得， 因为双曲线与椭圆有公共的焦点，所以， 又因为双曲线过点，可得，则， 所以双曲线的标准方程为.故选：B. 例7．如果双曲线关于原点对称，它的焦点在坐标轴上，实轴为8，焦距为10，那么双曲线的标准方程是 ． 【答案】或 解析：当双曲线的焦点在轴上时，设其标准方程为， 由题意可得，解得，则，则双曲线方程为； 当双曲线的焦点在轴上时，设其标准方程为， 由题意可得，解得，则 则双曲线方程为；故答案为：或 例8．已知双曲线对称轴为坐标轴，中心在原点，两焦点为，直线过双曲线的一个焦点，P为双曲线上一点，且，则双曲线的方程为 ． 【答案】或 解析：由题意，点为双曲线上一点，且， 可得，即，解得，又由直线过双曲线的一个焦点， 当时，可得；当时，可得； 当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的一个焦点坐标为，即， 则，此时双曲线的方程为； 当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的一个焦点坐标为，即， 则，此时双曲线的方程为， 所以双曲线的方程为或. 故答案为：或 例9．以椭圆的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的标准方程是 . 【答案】 解析：由椭圆，可得，则， 所以椭圆的焦点坐标为，长轴的端点坐标为， 则求双曲线的焦点坐标为，实轴的端点坐标为， 即所求双曲线中，可得，则， 所以所求双曲线的方程为. 故答案为：. 例10．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在轴上，，经过点； (2)经过、两点． (3)过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程. 【答案】(1)，(2)，(3) 解析：（1）解：因为，且双曲线的焦点在轴上， 可设双曲线的标准方程为， 将点的坐标代入双曲线的方程得，解得， 因此，双曲线的标准方程为. （2）解：设双曲线的方程为， 将点的坐标代入双曲线方程可得，解得， 因此，双曲线的标准方程为. （3）解：由题意知，椭圆的焦点坐标为， 所以可设双曲线标准方程为，其中， 代入点可得，联立解得； 所以双曲线标准方程为. 变式训练 1．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于； (2)焦点在轴上，经过点和点． (3)经过点和． (4)已知与椭圆共焦点的双曲线过点 【答案】(1)，(2)，(3)，(4) 解析：（1）由已知得，，即，∵，∴， ∵焦点在轴上，∴所求的双曲线的标准方程是； （2）设双曲线的方程为，则，所以， ∴双曲线方程为； （3）设双曲线方程为，将两点代入可得， 解得，所以双曲线的标准方程为； （4）设椭圆的半焦距为，则，∴， 所以椭圆的焦点坐标为，， 所以双曲线的焦点坐标为，， 设所求双曲线的标准方程为，则， 故所求双曲线方程可写为，∵点在所求双曲线上， ∴代入有，化简得，解得或； 当时， ，不合题意，舍去； ∴， ∴所求双曲线的标准方程为. 2．已知等轴双曲线的一个焦点为.求等轴双曲线的标准方程； 【答案】 解析：由题意设双曲线的标准方程为，则，所以， 则双曲线的标准方程为． 3．回答下列各题. (1)求与椭圆有相同的焦点，且经过点的椭圆的标准方程. (2)求焦点在轴上，虚轴长为，离心率为的双曲线的标准方程. 【答案】(1) (2) 解析：（1）解：椭圆的焦点坐标为， 因为所求椭圆过点，且该椭圆的焦点在轴上， 设所求椭圆的标准方程为，则， 所以，，，因此，所求椭圆的标准方程为. （2）解：因所求双曲线的焦点在轴上，设所求双曲线的方程为. 由题意得，解得，，，所以，所求双曲线的方程为. 题型四：双曲线方程的参数问题 例11.已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得， 因为方程表示焦点在轴上的双曲线， 所以，解得.故选：A. 例12.若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】由变形得到， 因为方程表示焦点在轴上的双曲线， 所以，解得，故答案为：. 例13.若方程表示双曲线，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由方程表示双曲线，则满足，解得， 所以实数的取值范围是.故答案为：. 变式训练 1.已知，则方程所表示的曲线为，则以下命题中正确的是（    ） A．当曲线表示双曲线时，的取值范围是 B．当时，曲线表示一条直线 C．当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆 D．存在，使得曲线为等轴双曲线 【答案】C 解析：对于选项A：曲线表示双曲线时，则，解得或， 所以的取值范围是，故A错误； 对于选项B：当时，则，解得， 所以曲线表示两条直线，故B错误； 对于选项C：当时，则， 即，可得， 曲线：表示焦点在轴上的椭圆，故C正确； 对于选项D：若曲线为等轴双曲线，且方程可整理为， 可得，则，无解， 所以不存在，使得曲线为等轴双曲线，故D错误； 故选：C. 2．（多选）已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（    ） A．当时，曲线C是椭圆 B．当或时，曲线C是双曲线 C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则 【答案】BCD 解析：对于A，当时，，则曲线是圆，A错误； 对于B，当或时，，曲线是双曲线，B正确； 对于C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，C正确； 对于D，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，D正确． 故选：BCD 3．若方程表示双曲线，则实数m的取值范围是 ；若表示椭圆，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据已知方程，由双曲线、椭圆方程的性质列不等式求参数范围即可. 【详解】若方程表示双曲线，则，即，故； 若方程表示椭圆，则，解得且 ，故． 故答案为：， 4．已知方程 ​表示双曲线，则​的取值范围是 【答案】​ 解析：根据题意，方程表示双曲线，必有， 解可得或，即m的范围为； 故答案为：． 题型五：利用定义解决焦三角问题 例14.已知，分别是双曲线的上、下焦点，过的直线交于A，B两点，若的长等于虚轴长的3倍，则的周长为 ． 【答案】36 【解析】由题意得，则， 所以的周长为． 故答案为：36. 例15.设是双曲线的两个焦点，是该双曲线上一点，且，则的面积等于 ． 【答案】 【解析】由双曲线，可得，则， 因为是该双曲线上一点，且，可得， 即， 在中，可得， 可得， 所以的面积为. 故答案为：. 例16.若是双曲线的两个焦点，P是双曲线左支上的点，且的面积是16，则 【答案】32 【解析】由，得，即， 所以，即 ， 根据已知条件做出图形如图所示 设， 则由双曲线的定义知，①，②， 由余弦定理得③， 联立①②③，得 ，即， 又，所以，，所以，即. 所以为直角三角形， 所以，解得. 故答案为：. 例17.已知双曲线的左焦点为，过原点的直线与的右支交于点，若为等腰三角形，则点到轴的距离为（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】A 解析：设双曲线的右焦点为，由题意可得，连接， 则有，， 若为等腰三角形，则（线段与显然不相等）， 所以，又为的中点，所以， 则有． 由双曲线的定义得， 所以， 设点到轴的距离为，则．故选：A． 例18.双曲线的右焦点为，点A的坐标为，点为双曲线左支上的动点，且周长的最小值为，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 解析：如下图所示：    设该双曲线的左焦点为点，由双曲线的定义可得， ，又，当且仅当A，P，F三点共线时等号成立.所以，的周长为， 当且仅当A，P，F三点共线时，的周长取得最小值，即，解得． 故选：D． 变式训练 1．已知椭圆与双曲线共焦点（记为，），点是该椭圆与双曲线的一个公共点，则的面积为 . 【答案】 解析：因为椭圆与双曲线共焦点， 所以有， 因为该椭圆与双曲线是中心对称图形和轴对称图形， 所以不妨设点是在第一象限，左、右焦点分别为，， 设，由椭圆和双曲线的定义可知：， 由余弦定理可知：， 所以有， 因此的面积为，故答案为： 2．已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，为双曲线右支上一点，且满足，则的周长为 . 【答案】/ 解析：由题意可得，，，，， 为双曲线右支上一点，， 又 ，， 则的周长为．故答案为：．    3．已知双曲线，过双曲线的上焦点作圆的一条切线，切点为M，交双曲线的下支于点为的中点，则三角形的外接圆的周长为 【答案】/ 解析：依题意，双曲线，，则， ，，所以，所以， 设是双曲线的下焦点，设，， 根据抛物线的定义可知， ，在三角形中，由余弦定理得： ，解得， 由于是的中点，是的中点，所以， 由于三角形是直角三角形，， 所以是三角形外接圆的直径，所以外接圆的周长为. 故答案为：    4．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支相交于A，B两点，，且的周长为10，则双曲线C的焦距为 ． 【答案】/ 解析：  设，，， 根据双曲线的定义可知：，可得，有，解得，在和中，由余弦定理有 ，解得，可得双曲线的焦距为．故答案为：. 题型六：利用定义解决最值问题 例19.已知，双曲线C：的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若C为双曲线右焦点C(3,0)，则，|AC|=5, 而，仅当共线且在之间时等号成立， 所以，当共线且在之间时等号成立.故选：D 例20.已知，双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上一点，则的最小值为（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】C 【解析】由双曲线，则，即，且， 由题意，，， 当且仅当共线时，等号成立.故选：C. 例21.已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最大值是（    ） A．不存在 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【解析】依题意，下焦点，设上焦点， 双曲线的渐近线方程为，直线的斜率为， 所以延长时，与双曲线没有交点，， 设延长，交双曲线上支于， 依题意，是双曲线上支上的动点， 根据双曲线的定义可知， ，当在点时等号成立，则， 所以，所以， 所以，所以的最大值不存在.故选：A 例22.已知圆上有一动点，双曲线的左焦点为，且双曲线的右支上有一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在双曲线中，，， ，， 设双曲线的右焦点为，则，在双曲线的右支上， ，即， 由题知，圆心，半径，在圆上，， 则， 当，，三点共线且Q位于另两点之间时，取得最小值为， 此时，的最小值为.故选：D. 变式训练 1.已知等轴双曲线的焦距为8，左、右焦点在轴上，中心在坐标原点，点的坐标为，为双曲线右支上一动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 解析：因为等轴双曲线的左、右焦点在轴上，中心在坐标原点， 所以可设双曲线的方程为， 又因为双曲线的焦距为8，所以， 而，所以，故双曲线的标准方程为. 由双曲线的定义可知，， 由题意可知，，，， 所以,故的最大值为， 当且仅当三点共线且点位于第一象限时取得最大值.故选：B    2．已知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 . 【答案】/ 解析：由题意知，.设双曲线的右焦点为， 由是双曲线右支上的点，则，则， 当且仅当三点共线时，等号成立. 又，则.所以，的最小值为. 故答案为：.      3．P为双曲线右支上一点，M，N分别是圆和上的点，则的最大值为 . 【答案】5 解析：双曲线的两个焦点，分别为两圆的圆心，    两圆的半径分别为，，易知，， 故的最大值为.故答案为：5 4．过双曲线的左焦点F作圆的一条切线（切点为T），交双曲线右支点于P，点M为线段FP的中点，连接MO，则的最大值为 ． 【答案】 解析：如图所示，连接,设双曲线的右焦点为，连接，则， 由， 因为，所以， 设，则，． 可得函数在上单调递减，所以，即， 故的最大值为．故答案为：． 题型七：与双曲线有关的轨迹问题 例23.与两圆及都外切的圆的圆心的轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．圆 【答案】B 解析：圆的圆心为，半径为； 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 设所求动圆圆心为，圆的半径为，    由于动圆与圆、圆均外切，则， 所以，，因此动圆的圆心的轨迹为双曲线的一支. 故选：B. 例24.动圆P过定点M(0，2)，且与圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 解析：圆N：的圆心为，半径为，且 设动圆的半径为，则，即. 即点在以为焦点，焦距长为，实轴长为， 虚轴长为的双曲线上，且点在靠近于点这一支上， 故动圆圆心P的轨迹方程是故选：A 例25．已知圆与圆，动圆同时与圆及相外切，则动圆圆心的轨迹为（    ） A．椭圆 B．椭圆和一条直线 C．双曲线和一条射线 D．双曲线的一支 【答案】D 解析：圆，，圆心，， 圆，，圆心，， 设，因为圆同时与圆及相外切，所以， 即的轨迹是以为焦点，的双曲线的左支.故选：D 例26．如图所示，已知定圆：，定圆：，动圆M与定圆，都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为 .      【答案】 解析：圆：，圆心，半径， 圆：，圆心，半径. 设动圆M的半径为R，则有，，∴， ∴点M的轨迹是以，为焦点的双曲线的左支，且，，于是. 故动圆圆心M的轨迹方程为.故答案为：. 变式训练 1．求下列动圆的圆心的轨迹方程： (1)与圆和圆都内切； (2)与圆内切，且与圆外切； (3)在中，，，直线，的斜率之积为，求顶点的轨迹方程. 【答案】(1)(2)(3) 解析：（1）圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 因为，则圆与圆外离， 设圆的半径为，由题意可得，所以， 所以圆心的轨迹是以点、分别为上、下焦点的双曲线的下支， 设圆心的轨迹方程为， 由题意可得，则，， 因此圆心的轨迹方程为.    （2）圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 因为，则圆与圆外离， 设圆的半径为，由题意可得，所以， 所以圆心的轨迹是以点、分别为左、右焦点的双曲线的左支， 设圆心的轨迹方程为， 由题意可得，则，， 因此圆心的轨迹方程为.    （3）设，则，， 根据题意有， 化简得 ∴顶点的轨迹方程为.    2．已知动点M与两定点，构成，且直线，的斜率之积为4，求动点M的轨迹方程. 【答案】 解析：设点，而点，，在中，，又直线，的斜率存在，即， 于是，即，整理得， 所以动点M的轨迹方程. 3．已知圆M：上动点Q，若，线段QN的中垂线与直线QM交点为P．求交点P的轨迹C的方程； 【答案】 解析：由题知，所以 由双曲线定义可知点P的轨迹为双曲线，其中，得曲线C的方程 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $