期中复习5大类型39个考点（举一反三期中专项训练）九年级数学上学期苏科版

期中复习5大类型39个考点（前4章） 【苏科版】 【基础概念易错篇】 2 【考点1 判断是否是一元二次方程】 2 【考点2 一元二次方程的一般形式】 2 【考点3 一元二次方程的解】 2 【考点4 解一元二次方程—直接开平方法】 3 【考点5 解一元二次方程—配方法】 3 【考点6 配方法的应用】 3 【考点7 一元二次方程根的判别式】 3 【考点8 解一元二次方程—公式法】 4 【考点9 解一元二次方程—因式分解法】 4 【考点10 一元二次方程根与系数的关系】 5 【考点11 根据实际问题列一元二次方程】 5 【考点12 圆的相关概念】 6 【考点13 垂径定理】 6 【考点14 圆心角、弧、弦的关系】 8 【考点15 三角形的外接圆与外心】 9 【考点16 圆周角定理】 10 【考点17 圆内接四边形】 11 【考点18 直线与圆的位置关系】 12 【考点19 切线的判定】 13 【考点20 切线的性质】 14 【考点21 切线长定理】 16 【考点22 正多边形与圆】 17 【考点23 弧长】 18 【考点24 扇形的面积】 19 【考点25 圆锥的侧面积】 20 【考点26 数据的集中趋势】 21 【考点27 数据的离散程度】 22 【考点28 等可能条件下的概率】 23 【计算篇】 23 【考点29 一元二次方程的解法】 23 【实际应用篇】 24 【考点30 一元二次方程的应用】 24 【几何计算与证明篇】 25 【考点31 利用圆中的相关性质求角度】 25 【考点32 利用圆中的相关性质求线段长度】 27 【考点33 利用圆中的相关性质进行证明】 28 【考点34 求圆中的弧长或扇形面积】 29 【压轴篇】 31 【考点35 换元法解一元二次方程】 31 【考点36 一元二次方程根的判别式与根与系数关系的综合】 31 【考点37 由点与圆的位置关系求最值】 33 【考点38 动点的运动轨迹长度计算】 34 【考点39 动态图形的扫过的面积的计算】 36 【基础概念易错篇】 【考点1 判断是否是一元二次方程】 1．（25-26九年级上·全国·阶段练习）若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为（　　） A．3 B． C．3或 D．0 2．（25-26九年级上·河南商丘·阶段练习）下列是关于x的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·云南昆明·期末）已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ． 【考点2 一元二次方程的一般形式】 1．将一元二次方程  化为二次项系数为“1”的一般形式，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 2．把方程化成的形式，则a、b、c的一组值是（    ） A． B． C． D．2、1、1 【考点3 一元二次方程的解】 1．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）已知一元二次方程，若，则该方程一定有一个根为（   ） A． B．3 C． D．不能确定 2．下列一元二次方程中，有一个根为的是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·山东青岛·阶段练习）若是一元二次方程的一个根，则 【考点4 解一元二次方程—直接开平方法】 1．方程的解为 ． 2．（25-26九年级上·四川宜宾·阶段练习）已知关于x的一元二次方程的常数项是0，则a的值为（　　） A．1 B． C．1或 D．0 3．（2025·上海徐汇·二模）若一元二次方程中的，则的值为 ． 【考点5 解一元二次方程—配方法】 1．（25-26九年级上·河北唐山·阶段练习）用配方法解关于的一元二次方程时，配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·新疆伊犁·阶段练习）如果一元二次方程经配方后，得，那么 ． 【考点6 配方法的应用】 1．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知多项式，若无论x取何实数，A的值都不是负数，则k的取值范围是 ． 2．（24-25九年级下·山东烟台·期末）已知为实数，满足，那么的最小值为 ． 3．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知满足，则（） A． B． C．2 D．3 4．已知：a、b、c是的三边，且，的形状是 ． 【考点7 一元二次方程根的判别式】 1．（25-26九年级上·山东滨州·阶段练习）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·上海金山·期末）若，关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 3．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 4．已知分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且是关于的一元二次方程的两个根，则的值是 ． 【考点8 解一元二次方程—公式法】 1．（24-25八年级下·浙江丽水·期中）已知关于的方程，若方程的根都是整数，则满足条件的正整数的值为 ． 2．（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知关于x的一元二次方程恰有一个根小于，则k的取值范围为 ． 3．（25-26九年级上·安徽宿州·阶段练习）关于的方程，下列解法完全正确的是（   ） 甲 乙 丙 丁 两边同时除以得 整理得 ，，，， ，， 整理得， 配方得 ，，，， 移项得 ，，或，， A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．（24-25九年级上·天津蓟州·阶段练习）方程的两个根为（   ） A．， B．， C．， D．， 【考点9 解一元二次方程—因式分解法】 1．（25-26九年级上·陕西汉中·阶段练习）若的三边长都是方程的根，则的周长是（   ） A．7 B．8 C．7或8 D．13 2．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（   ） A． B．3 C．或3 D．1或 3．已知关于的方程的一个根是1，则 ． 【考点10 一元二次方程根与系数的关系】 1．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）设，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2036 B．2035 C．2034 D．2033 2．（25-26九年级上·湖南岳阳·阶段练习）已知是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是（    ） A．3 B． C．3或1 D．或1 3．（25-26九年级上·山东枣庄·阶段练习）已知是方程的两个根，则代数式的值是 ． 【考点11 根据实际问题列一元二次方程】 1．（24-25九年级上·四川泸州·期末）学校的劳动实践基地是一块长、宽的矩形土地．为便于学生参与劳动，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道（如图所示），使种植面积达到，若设小道的宽为，则根据题意，那么x满足的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）某同学自主学会了某个几何模型，并把它分享给班里其他同学，第一次教会了若干名同学，第二次会做该模型的每名同学又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这个模型．若设1人每次都能教会x名同学，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·山东枣庄·阶段练习）某公司去年年底已累计投资200万元，今后两年计划继续增加投资，若两年增加的百分比相同，且使今后两年共投资750万元，设今后两年投资的年平均增长率为x，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【考点12 圆的相关概念】 1．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）下列说法：①直径是弦；②弧是半圆；③平面上任意三点能确定一个圆；④圆的内接正六边形的中心角为其中正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（25-26九年级上·陕西·期中）已知的直径为，是中最长的弦，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·广东广州·模拟预测）如图，在中，弦与半径平行，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【考点13 垂径定理】 1．如图，已知的半径为，弦的长为，是的延长线上一点，，则等于（　　） A． B． C． D． 2．（2024·西藏拉萨·一模）如图，点A、C、B、D分别是上四点， ，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 4．（2025·重庆·二模）如图，内接于半径为的，于点，延长交于点，为的中点，连接交于点，若，，，则 ， ． 【考点14 圆心角、弧、弦的关系】 1．（2025·浙江·模拟预测）如图，以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，由三段圆弧得到的封闭图形就是“莱洛三角形”，而封闭图形由，，，组成是由两个“莱洛三角形”交叠而成．若，则封闭图形的周长是 ． 2．（2025·河南洛阳·一模）如图，已知A，B，C，D是同一圆上的点，相交于点，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·天津河西·期末）如图，，是的两条弦，如果，于，于，则下面结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，已知半圆的直径为，点在半径上，为弧的中点，点在弧上，以，为邻边作矩形，边交于点．若，，则的长为 ． 【考点15 三角形的外接圆与外心】 1．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是的内接三角形．若，，则的半径是 ． 2．（25-26九年级上·黑龙江绥化·开学考试）如图点为的外心，点为的内心，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，是的外接圆，弦交于点E，，，过点O作于点F，延长交于点G，若，，则的长为（    ） A． B． C．13 D．14 4．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，线段 ，为线段上的一个动点，以、为边作等边和等边，外接于，则半径的最小值为(   ) A．6 B． C． D．3 【考点16 圆周角定理】 1．（24-25九年级下·广东·期中）如图，是半圆O的直径，点C，D在半圆O上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，内接于，，，为的直径，，那么的值为（   ） A． B．4 C． D．3 3．（2025·重庆永川·模拟预测）如图，是圆O的内接三角形，是直径，与的平分线交于点P，与圆O交于点D，的延长线与圆O交于点F，连接， 则 的长为 ；的长为 ． 4．如图，在中，，点P是外接圆上的一点，且，连接．点M为弧AP上一点（不与A，P重合），过P作于D点．    （1）的形状为 ； （2）若，，则 ． 【考点17 圆内接四边形】 1．如图，，是的两条弦，且，点，分别在弧，弧上，若，则的度数为 ． 2．（2024·河北·模拟预测）如图，以一块含角的直角三角板的斜边为直径画圆，即内接于，，是的直径，D是上的任意一点，且不与A，B，C重合，连接，，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．随着点D的变化一直在变 3．如图，线段为的直径， ．若，与的延长线交于F，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·河南商丘·二模）如图，内接于，为的直径，点为上的点，且，则的值为 ． 【考点18 直线与圆的位置关系】 1．如图，在中，，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（   ） A．点B在内 B．直线与相离 C．点C在上 D．直线与相切 2．（24-25九年级下·甘肃武威·开学考试）如图，直线与半径为的相交，且点到直线的距离为7，则的值可以是（   ） A．3 B．4 C．7 D．10 3．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是 ．    4．如图，在中，，，，、分别是、上的一点，且，若以为直径的圆与斜边相交于、，则的最大值为 ． 【考点19 切线的判定】 1．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，点在上，点在外，以下条件不能判定是切线的是（    ） A． B． C． D．与的交点是中点 2．如图所示，中，点M在上，点P在外，交于点N，以下条件不能判定是的切线的是（   ） A． B． C． D．点N是OP的中点 3．如图，是的弦，是过B点的直线，，当 时，是切线． 4．（24-25九年级上·河北廊坊·期末）已知P是上一点，用直尺和圆规过点P作一条直线，使它与相切于点P．以下是甲、乙二人的作法．下列判断正确的是（    ） 甲：如图1，①连接，以点P为圆心，长为半径画弧交于点A，连接并延长；②在上截取，直线即为所求． 乙：如图2，①作射线；②在直线外任取一点A，以点A为圆心，长为半径作，与射线交于另一点B；③连接并延长与交于点C，直线即为所求． A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．甲正确，乙不正确 D．甲不正确，乙正确 【考点20 切线的性质】 1．（2024·广东·模拟预测）如图所示，是的直径，点是上一点，过点作的切线与的延长线交于点．若，则（　　） A． B． C． D． 2．（2024·湖北·模拟预测）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图1所示的工件槽，其两个底角均为．将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的A，B，E三个接触点，该球的大小就符合要求．图2是过球心及A，B，E 三点的截面示意图，已知的直径就是铁球的直径，是的弦，切于点E，，，若， ，则这种铁球的直径为（     ） A． B． C． D． 3．（2025·山东枣庄·二模）如图，已知点M在y轴正半轴上，与x轴相切于原点O，平行于y轴的直线交于P、Q两点，点P在点Q的下方，且点P的坐标是，则的半径为 ． 4．如图，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝8，AB是⊙O的直径．将矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形，且交⊙O于点E，交⊙O于点F，与⊙O相切于点M．下列说法正确的有 ．（只填写序号）①AE＝4；②；③；④． 【考点21 切线长定理】 1．（2025·青海西宁·中考真题）如图，四边形是的外切四边形，，．则四边形的周长为 ． 2．如图，中，，M是BC的中点，的内切圆与AB，BM分别相切于点D，E，连接DE．若，则的大小为 ． 3．（24-25九年级上·四川凉山·期末）如图，在中，，则的内切圆半径 ．    4．（2025·湖北武汉·三模）如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【考点22 正多边形与圆】 1．（24-25九年级下·福建·期中）如图，将两个全等的正六边形一边重合放置在一起，中心分别为，，公共边为，其中一个正六边形的外接圆与交于点A，若，则四边形的面积是（    ） A．4 B． C． D． 2．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，与正八边形相切于点A，E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏扬州·二模）如图，是内接正十边形的一条边，直线经过点且与相切，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·山西长治·三模）如图是相机快门打开过程中某参数下的镜头光圈示意图，若镜头（）的直径为，通光直径（正六边形最长的对角线长）为，则光圈叶片（图中阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 【考点23 弧长】 1．如图，是的外接圆， ，，则的长是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江衢州·期末）如图，将以点为中心顺时针旋转得到，若点的对应点恰为边的中点，，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河南郑州·二模）中国古代人信奉天圆地方，圆被赋予了吉祥、丰收的意义，圆形门又叫圆月门，如十五满月一样给人柔和愉悦的感觉．小妹测量一个圆月门（如图），她测得门下矩形的边高为米，的长为米，小妹测得圆月门最宽的地方（圆的直径）为米，由于年代久远，上面的砖容易脱落，小妹想做一个等大的木质模具（不包含），固定支撑圆月门．圆月门的其他部分已测量，只有弧的长度未知，根据所测量的数据，计算出优弧的长为 米． 4．（2025·甘肃定西·三模）鸳鸯玉是指产于甘肃武山县鸳鸯镇一带的超基性岩石，又名蛇纹石玉，因其结构细密，质地细腻坚韧，抗压、抗折、抗风化性好，可琢性强，光泽晶莹，而成为玉雕工艺品、高档农具的配套镶嵌和高级饰面之理想材料．如图，是一个半径为的半圆形的鸳鸯玉石，是半圆的直径，是弧上两点，，张师傅在这块玉石上切割了一块扇形玉石（阴影部分）做吊坠，则这块扇形玉石的周长是 ． 【考点24 扇形的面积】 1．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在菱形中,，点O是对角线的中点，以点O为圆心,长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积为 ． 2．（2025·广东深圳·三模）如图，已知半径为的上有三点、、，与交于点，，，则阴影部分的扇形面积是 ． 3．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）当汽车在雨天行驶时，为了看清道路，司机要启动前方挡风玻璃上的雨刷器．如图所示是某汽车的一个雨刷器示意图，雨刷器杆与雨刷在处固定连接（不能转动），若测得，当杆绕点转动时，雨刷扫过的面积是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，分别交于点D，E，连接，若，，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D．π 【考点25 圆锥的侧面积】 1．（2025·四川绵阳·二模）小月同学在手工课上用扇形卡纸制作的简易圆锥形漏斗如图所示，若漏斗的底面圆的直径为6cm，高为4cm，则扇形卡纸的面积至少是（    ） A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2 2．（24-25九年级上·北京·期末）如图，在矩形中，，点在边上，且，连接，以为圆心，长为半径画弧，交边于点，将扇形剪下来做成圆锥，则该圆锥底面半径为（   ） A．1 B． C．2 D． 3．（24-25九年级上·四川德阳·期末）若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形，则此圆锥的高为 ． 4．（2024·宁夏银川·二模）如图，已知点C为圆锥母线的中点，为底面圆的直径，，，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为 ．    【考点26 数据的集中趋势】 1．一组数据2、3、x、4的众数与平均数相等，则x＝ 2．（24-25八年级下·河南南阳·期末）某学校82班的数学兴趣小组有6名成员，身高（单位：）分别是162、165、170、170、168、172，现增加一名身高为的成员后，现在兴趣小组成员的身高与原来相比，平均数 ，中位数 ，众数 （从“变小”、“变大”、“不变”中选择一项填空）． 3．（24-25八年级上·山西太原·期末）山西地处黄河中游，是中国面食文化的发祥地，被称为“世界面食之根”．为弘扬山西面食文化，学校开展“面食制作大比拼”活动．下面是甲、乙、丙、丁四个小组面食作品的评分表（单位：分），若将色、形、味三项得分按的比例确定各组的最终得分，则获得最高分的是（） 小组项目 甲 乙 丙 丁 色 7 7 9 8 形 8 8 8 8 味 8 9 7 7 A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组 4．小亮同学想知道自己的体重在班级中是否属于中等水平，则需了解全班同学体重的（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．极差 【考点27 数据的离散程度】 1．下列各组数据的波动程度最小的是（   ） A．3，3，4，3，6，5 B．1，2，3，3，4 C．2，5，7，5 D．3，4，5，3，1 2．（24-25八年级下·山西晋城·期末）长时间观看手机、电脑等电子产品对视力影响非常大．6月6日是“全国爱眼日”，为了解学生的视力情况，某学校从甲、乙两个班级各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线统计图，则 ．（填“”或“”） 3．如果3，2，，5的平均数是4，那么这组数据的方差为 ． 4．（24-25八年级下·福建厦门·期末）2025年2月，北京市教育委员会发布《关于进一步加强新时代中小学体育工作的若干措施》，明确要求中小学每天综合体育活动时间不低于2小时．某校从初二年级随机抽取甲、乙、丙三名学生参加为期5天的专项训练，每日活动时长记录如下（单位：分钟）： 学生 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 甲 64 58 60 60 59 乙 60 63 60 60 57 丙 62 60 58 59 p 对每一名学生计算5天活动时长的平均数和方差．规定平均数较大的学生排序靠前；若平均数相同，则方差较小的学生排序靠前．若丙在甲、乙、丙三名学生中的排序居中，则这三名学生中排序最靠前的是 ，表中p（p为整数）的值为 ． 【考点28 等可能条件下的概率】 1．从由1，2，3，4，5，6组成的三位渐升数（如123，145）中任取一个数，则这个三位渐升数能被9整除的概率为 ． 2．袋子中装有10个黑球、1个白球，它们除颜色外无其他差别，随机从袋子中摸出一个球，则（ ） A．这个球一定是黑球 B．摸到黑球、白球的可能性的大小一样 C．这个球可能是白球 D．事先能确定摸到什么颜色的球 3．（2025·山东东营·三模）小江玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所示的靶子，点E，F分别是平行四边形的两边，上的点，，点M，N是上任意两点，则投掷一次，飞镖落在阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·上海·二模）六张卡片上写着“菱形，平行四边形，矩形，等腰梯形，正方形，直角梯形”．从六张卡片中任选两张卡片（不重复），上面所写的四边形都既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是（    ） A． B． C． D． 【计算篇】 【考点29 一元二次方程的解法】 1．（25-26九年级上·山东青岛·阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程： (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（配方法）． 2．（25-26九年级上·辽宁锦州·阶段练习）解方程： (1) (2) 3．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）用适当的方法解下列关于x的方程： (1) (2) (3) (4) 4．（25-26九年级上·广东江门·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)当时，求此方程的解． 5．（25-26九年级上·山东枣庄·阶段练习）关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)若方程的两个根为，，且，求k的值． 【实际应用篇】 【考点30 一元二次方程的应用】 1．（25-26九年级上·陕西汉中·阶段练习）乒乓球作为陕西中考体育“体质健康测试类”选考项目，因其对体能要求相对较低且趣味性较高，成为同学们选考热点，乒乓球拍的销量也在持续增长．某体育用品店销售一种乒乓球拍，进价为每副42元，按每副66元销售，平均每月能卖出200副，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时，在不亏本的情况下，尽量减少库存，经调研发现，售价每降低2元，平均每月可多卖出20副． (1)小明说：“如果薄利多销，平均每月的销售量肯定能达到500副．”请你判断小明的说法是否正确？并说明理由； (2)该体育用品店期望销售这种乒乓球拍，平均每月的销售利润为4830元，销售员甲说：“在原售价的基础上降低1元，销售利润即可达到预期目标．”销售员乙说：“在原售价的基础上降低3元更合适”，如果你作为老板，请用方程的思想说明应采纳谁的意见． 2．城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 3．为鼓励广大凤中学子走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，初三年级某班组织同学们周末共跑沙滨路，其中，小凤和小鸣两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小凤的跑步速度是小鸣跑步速度的1.2倍，那么小凤比小鸣早5分钟到达B地． 根据以上信息，解答下列问题： (1)小凤每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小凤以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小凤共消耗2300卡路里的热量，小凤从A地到C地锻炼共用多少分钟？ 4．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）某校新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽30米．阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知喷漆面积为1056平方米． (1)求通道的宽是多少米． (2)据调查分析，停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 【几何计算与证明篇】 【考点31 利用圆中的相关性质求角度】 1．（24-25八年级下·江苏·期末）如图，在中，弦，点在上． (1)如图①，若是的直径，求的度数； (2)如图②，在弧上取一点，若，请用含的式子表示的度数． 2．（24-25九年级上·天津和平·期中）已知是的直径，，E是上一点，延长交于点D． (1)如图①，当点E是弦的中点时，求的大小； (2)如图②，当时，求的大小． 3．（25-26九年级上·全国·期中）如图，是的直径，是弦的延长线上一点，且，的延长线交于点． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 4．（24-25九年级下·安徽淮北·期中）如图1，在中，直径垂直弦于点G，，连接交于点F． (1)若，，求的长； (2)连接，如图2，若，求的度数． 【考点32 利用圆中的相关性质求线段长度】 1．（25-26九年级上·北京海淀·期中）如图，的直径为，弦为，的平分线交于点，求，，的长． 2．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长交于点D，E是上任意一点，连接，，，． (1)若，求的度数： (2)找出图中所有与相等的线段，并证明； (3)若，，求的周长． 3．（2025·青海西宁·中考真题）如图，是的弦，，半径分别与弦垂直，垂足分别为G，H，交于点M，交于点N，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形； (3)若，，则_______． 4．如图，中，，点是上一点，以点为圆心，以为半径作分别交，于点，，与相切于点．连接，相交于点． (1)猜想：与的数量关系，并证明你的猜想； (2)若，，求的半径． 【考点33 利用圆中的相关性质进行证明】 1．（2024·广东·二模）如图，点D在以为直径的上，过D作的切线交延长线于点C，于点E，交于点F，连接，． (1)求证：； (2)求证：． 2．（2025·上海·模拟预测）如图，在中，，圆O的圆心在内部，与的边顺时针分别交于点E、D、F、G、N、M（点E在线段上），射线交边于点P．如果； (1)求证：． (2)连接，求证：． 3．（2024·湖南·模拟预测）如图,是的直径，点C是的中点，过点C作于点E，过点D作的切线交的延长线于点P，连接，F为与的交点． (1)求证：； (2)若，求证：． 4．如图，在中，弦弦于E，弦弦 于F点，与相交于M点． (1)求证：； (2)如果，求的半径． 【考点34 求圆中的弧长或扇形面积】 1．（2024·广东·二模）如图，为的直径，C是上一点，为的切线，过点B作于点D，连接，． (1)求证：是的平分线； (2)若，，求的长． 2．如图，在中，， 的平分线交于点D，点O在上，以点O为圆心，为半径的圆恰好经过点D，分别交、于点E、F． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求阴影部分的面积（结果保留）． 3．如图，是的外接圆，，点是上一点，，连接，过点作交的延长线于点． (1)求证：为的切线； (2)若的半径为，求的长． 4．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，在中，，以为直径的与交于点． (1)尺规作图：作出劣弧的中点，过点作，连接并延长，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，求阴影部分的面积．（结果用含的式子表示） 【压轴篇】 【考点35 换元法解一元二次方程】 1．（25-26九年级上·河南商丘·阶段练习）阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为①，解这个方程得． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，． 请运用上面学到的方法填空： (1)解方程，则______； (2)若，求______． 2．（24-25九年级上·江西吉安·期中）定义：我们把关于的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”________； (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根________，________．根据以上结论，猜想的两根，，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________； (3)已知关于的方程的两根是，，请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根． 【考点36 一元二次方程根的判别式与根与系数关系的综合】 1．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根有如下的关系（韦达定理）：； 材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将m、n看作是此方程的两个不相等的实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数m、n满足、，求的值． (2)已知实数p、q满足、，且，求的值． (3)已知实数a、b、c满足、，且，求c的最大值． 2．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）我们知道一元二次方程的两根为，，若其中一个根是另一个根的倍（为正整数），则称这样的方程为倍“梅石花”方程，例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是二倍“梅石花”方程；若一元二次方程的两根为，，则称这样的方程为“状元来”方程． (1)根据上述定义，请判断：是_________倍“梅石花”方程； (2)若关于的方程是倍“梅石花”方程，直接写出的最小值是_________． (3)若方程为“状元来”方程，求证：． 3．（2025·湖南长沙·二模）我们知道：关于的一元二次方程（，，，均为整数），如果时，这个方程的实数根就可以表示为，其中就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即，通过观察公式，我们可以发现，如果的值是一个完全平方数（若（为整数），则是一个完全平方数）时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 例：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为，，不都为整数；方程的两根，，都为整数，此时，的值是一个完全平方数． 我们定义：两根都为整数的一元二次方程（，，，均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用表示，即．若有另一个“幸运方程”（，，，均为整数）的“幸运数”为，若，则称与互为“开心数”． (1)关于的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是______； ②若该幸运方程的“幸运数”是，则的值为______． (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“幸运方程”，求的值及该方程的“幸运数”； (3)若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，求的值． 【考点37 由点与圆的位置关系求最值】 1．（2025·陕西西安·二模）（1）如图1，线段，的半径为2，点O到的距离等于4，C为上一动点，则面积的最小值为______； （2）如图2，四边形是某区的一处景观示意图，，，，，，M是上一点，且．按设计师要求，需在四边形区域内确定一个点N，修建花坛和草坪，且需．已知花坛的造价是每平米200元，草坪的造价是每平米100元，请帮设计师计算修好花坛和草坪最少需要多少元？（结果保留根号） 2．在中，，，．如图（1），将绕A点旋转得到．连接、． (1)当点D落在延长线时，______． (2)在旋转过程中，当A、C、D三点共线时，求的长． (3)如图（2），点F为的中点，直线与直线相交于点G．在旋转过程中，求写出线段的取值范围． 3．如图，和均为边长为的等边三角形，点在边上，是的中点，作点关于的对称点，连接和． (1)求证：四边形是菱形； (2)求的最小值； (3)若与垂直，求的长． 4．点为平面直角坐标系中一点，点为图形上一点，我们将线段长度的最大值与最小值之间的差定义为点视角下图形的“包容度”．如图，半径为2，与轴，轴分别交于点，，点． (1)在点视角下，的“包容度”为_________，线段的“包容度”为_________； (2)点为轴上一点，若在点视角下，线段的“包容度”为2，写出的取值范围； 【考点38 动点的运动轨迹长度计算】 1．（2025·河南周口·模拟预测）数学活动课上，某小组将一个含的三角尺和一个正方形纸板如图1摆放，若，，将三角形绕点逆时针方向旋转（）角，观察图形的变化，并完成探究活动活动． 【初步探究】 如图2，连接，并延长，延长线相交于点，交于点． （1）问题1：和的数量关系是______，位置关系是______． 【深入探究】 应用问题1的结论解决下面的问题． （2）问题2：如图3，连接，点是的中点，连接，，求证：． 【尝试应用】 （3）问题3：如图4，请直接写出当旋转角从变化到时，点经过路线的长度． 2．（2025·广东广州·一模）如图，边长为的正方形内部有一点，点在边的上方，，，连接、、． (1)求证：； (2)延长交所在直线于点； ①若，时，求的面积； ②若，当从到的变化过程中，求点经过的路径长． 3．（24-25九年级上·广东广州·期末）已知正方形的四个顶点在上 (1)如图1，若点在劣弧上，连接、、，若在上取一点，使得，连接，求证： (2)若点在弧上（不与点、、重合），过点作于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． (3)如图2，若正方形的边长为4，点是线段上的动点，过点作于点，将线段为边，在右侧作等边，求出点的运动轨迹长． 4．（2025·河北唐山·二模）如图1是某种笔记本电脑支架，如图2，其底座放置在水平桌面上，通过调节及的度数来控制托盘的高度，笔记本机身和屏幕分别用线段表示．已知，，，不计材料厚度． (1)若，． ①为使屏幕与桌面保持垂直，________________°； ②在①的条件下，求此时点H到桌面的距离； (2)从（1）的条件开始，保持，并逐渐增大的度数，直到托盘与平行时停止，求出点G移动的路径长．【（1）②、（2）的结果保留根号或】 【考点39 动态图形的扫过的面积的计算】 1．如图1，一扇门，宽度，A到墙角的距离，设，A，在一条直线上，门打开后被与门所在墙面垂直的墙阻挡，边靠在墙的位置． (1)求的度数； (2)打开门后，门角上的点在地面扫过的痕迹为弧，设弧与两墙角线围成区域（如图的面积为，求的值 2．（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)请画出关于轴对称的图形，并写出点的坐标； (2)将绕着原点顺时针旋转得到，请画出，并写出点的坐标；并求线段在旋转过程中扫过的面积（结果保留）． 3．（2025·河南·模拟预测）如图1，直线分别交坐标轴于，两点，的中线交轴于点． (1)求直线的解析式． (2)如图2，将图1中的绕点逆时针旋转到的位置，求线段所扫过的图形的面积． 4．古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．波波决定研究一下圆．如图，、是的两条半径，，C是半径上一动点，连接并延长交于D，过点D作圆的切线交的延长线于E，已知． （1）求证：； （2）若，求长； （3）当从增大到的过程中，求弦在圆内扫过的面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习5大类型39个考点（前4章） 【苏科版】 【基础概念易错篇】 2 【考点1 判断是否是一元二次方程】 2 【考点2 一元二次方程的一般形式】 3 【考点3 一元二次方程的解】 4 【考点4 解一元二次方程—直接开平方法】 5 【考点5 解一元二次方程—配方法】 6 【考点6 配方法的应用】 7 【考点7 一元二次方程根的判别式】 9 【考点8 解一元二次方程—公式法】 12 【考点9 解一元二次方程—因式分解法】 15 【考点10 一元二次方程根与系数的关系】 16 【考点11 根据实际问题列一元二次方程】 18 【考点12 圆的相关概念】 19 【考点13 垂径定理】 21 【考点14 圆心角、弧、弦的关系】 26 【考点15 三角形的外接圆与外心】 30 【考点16 圆周角定理】 34 【考点17 圆内接四边形】 38 【考点18 直线与圆的位置关系】 43 【考点19 切线的判定】 46 【考点20 切线的性质】 50 【考点21 切线长定理】 55 【考点22 正多边形与圆】 59 【考点23 弧长】 63 【考点24 扇形的面积】 67 【考点25 圆锥的侧面积】 71 【考点26 数据的集中趋势】 74 【考点27 数据的离散程度】 76 【考点28 等可能条件下的概率】 79 【计算篇】 82 【考点29 一元二次方程的解法】 82 【实际应用篇】 87 【考点30 一元二次方程的应用】 87 【几何计算与证明篇】 91 【考点31 利用圆中的相关性质求角度】 91 【考点32 利用圆中的相关性质求线段长度】 97 【考点33 利用圆中的相关性质进行证明】 103 【考点34 求圆中的弧长或扇形面积】 110 【压轴篇】 116 【考点35 换元法解一元二次方程】 116 【考点36 一元二次方程根的判别式与根与系数关系的综合】 118 【考点37 由点与圆的位置关系求最值】 124 【考点38 动点的运动轨迹长度计算】 133 【考点39 动态图形的扫过的面积的计算】 144 【基础概念易错篇】 【考点1 判断是否是一元二次方程】 1．（25-26九年级上·全国·阶段练习）若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为（　　） A．3 B． C．3或 D．0 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）． 根据一元二次方程的定义得到且，然后解方程和不等式即可得到满足条件的a值． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 故选：B． 2．（25-26九年级上·河南商丘·阶段练习）下列是关于x的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是 2 ，（2）二次项系数不为 0 ，（3）是整式方程，（4）只含有一个未知数，熟练掌握一元二次方程必须满足的四个条件，是解题的关键． 根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】解：A．不是等式，故不是一元二次方程，不符合题意； B．当时，不是一元二次方程，不符合题意； C．该方程化简后为，是一元二次方程，符合题意； D．该方程不是整式方程，不符合题意；     故选：C． 3．（24-25九年级上·云南昆明·期末）已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，根据根的判别式可得，根据一元二次方程的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程有实数根， ， 解得：且， 的取值范围是且 故答案为：且 【考点2 一元二次方程的一般形式】 1．将一元二次方程  化为二次项系数为“1”的一般形式，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 【答案】 1 【分析】本题主要考查一元二次方程化为一般形式，掌握一元二次方程化为一般形式是解题的关键． 先通过去括号、移项、合并同类项、然后同时除以二次项的系数得到二次项系数是1的一元二次方程，再确定二次项系数、一次项系数、常数项即可． 【详解】解： ， 所以该方程的二次项系数是1，一次项系数是，常数项是． 故答案为：1；；． 2．把方程化成的形式，则a、b、c的一组值是（    ） A． B． C． D．2、1、1 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，先把方程左边去括号，然后把常数项移到方程左边即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【考点3 一元二次方程的解】 1．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）已知一元二次方程，若，则该方程一定有一个根为（   ） A． B．3 C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解的概念是解题的关键．由于当时，，则可判断该方程一定有一个根为． 【详解】解：当时，，所以若，则一元二次方程一定有一个根为． 故选：A． 2．下列一元二次方程中，有一个根为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，把代入选项中每个方程进行检验即可得到答案． 【详解】解：把代入，得， ∴，故A不符合题意； 把代入，得， ∴，故B符合题意； 把代入，得， ∴，故C不符合题意； 把代入，得， ∴，故D不符合题意； 故选：B 3．（25-26九年级上·山东青岛·阶段练习）若是一元二次方程的一个根，则 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解．根据题意将代入方程中，再观察结果和所得方程关系即可得到本题答案． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴，即， ∴． 故答案为：． 【考点4 解一元二次方程—直接开平方法】 1．方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用直接开方法解方程即可． 【详解】解：， ， ， ∴． 故答案为： 2．（25-26九年级上·四川宜宾·阶段练习）已知关于x的一元二次方程的常数项是0，则a的值为（　　） A．1 B． C．1或 D．0 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义和解法，掌握一元二次方程的定义与基本解法是解题关键． 根据一元二次方程的定义和题意列出a满足的条件求解即可． 【详解】解：原方程变形为， 由题意，， 解得：， 故选：B． 3．（2025·上海徐汇·二模）若一元二次方程中的，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，直接开平方法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意得，整理得，运用直接开平方法进行解方程，即可作答． 【详解】∵一元二次方程中的， ∴， ． 或． 故答案为：或 【考点5 解一元二次方程—配方法】 1．（25-26九年级上·河北唐山·阶段练习）用配方法解关于的一元二次方程时，配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．先把常数项移到方程右侧，再把方程两边同时加上4，然后把方程左边写成完全平方形式即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 2．（25-26九年级上·新疆伊犁·阶段练习）如果一元二次方程经配方后，得，那么 ． 【答案】5 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．先移项得到，再把方程两边加上9得到，从而得到，然后解关于k的方程即可． 【详解】解：， ， ， ， 所以， 解得． 故答案为：5． 【考点6 配方法的应用】 1．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知多项式，若无论x取何实数，A的值都不是负数，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查配方法的应用，根据配方法可进行求解． 【详解】解：， ∵无论x取何实数，A的值都不是负数，且， ∴， 解得， 故答案为：． 2．（24-25九年级下·山东烟台·期末）已知为实数，满足，那么的最小值为 ． 【答案】14 【分析】本题考查解三元一次方程组、配方法的应用．解方程组转化为只含的代数式，利用配方法求最值，是解题的关键．用含的式子表示出，将转化为只含的代数式，利用配方法，求出最值即可． 【详解】解：， ，得，则③， ，得，则④， 把③④代入得， ； ∵， ∴的最小值是14， 故答案为：14． 3．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知满足，则（） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了代数式求值，配方法的应用，非负数的性质，将变形，然后根据非负数的性质和式子的结果，可以求出的值，再代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ， ，， ∴当时，， 解得：， ， 故选：B． 4．已知：a、b、c是的三边，且，的形状是 ． 【答案】直角三角形 【分析】等式配方成，利用非负数性求得a、b、c的长，再利用勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴的形状是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 【点睛】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 【考点7 一元二次方程根的判别式】 1．（25-26九年级上·山东滨州·阶段练习）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，熟练掌握判断一元二次方程根的情况是解题的关键，利用一元二次方程根的判别式对各选项逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴方程有两个不相等实数根，此项错误； B、∵， ∴， ∴方程有两个不相等实数根，此项错误； C、∵， ∴， ∴方程有两个相等实数根，此项正确； D、， ∴， ∴方程没有实数根，此项错误； 故选：C． 2．（24-25八年级下·上海金山·期末）若，关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的情况的关系，是解题的关键． 根据一元二次方程根的判别式进行判断．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，有两个相等的实数根；当时，无实数根． 【详解】解：∵方程中，，，． ∴． ∵， ∴， ∴， 即． 故方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 3．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式，掌握相关知识是解决问题的关键．由题意且，进行计算即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得且． 故答案为：且． 4．已知分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且是关于的一元二次方程的两个根，则的值是 ． 【答案】1或2/2或1 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解，等腰三角形的性质等知识点，注意：等腰三角形的两腰相等．已知一元二次方程、、为常数，，①当时，方程有两个不相等的实数根，②当时，方程有两个相等的实数根，③当时，方程没有实数根．分为两种情况：①、是腰，②、其中一个是腰，另一个是底边，分别求出答案即可． 【详解】解：①当、为腰时，， 、是关于的一元二次方程的两个根， 方程有两个相等的实数根， ， 解得：； ∴， 解得， 此时三角形三边长为：、、，符合三角形三边关系， ②当和3（或和是腰时，， 三角形不是等边三角形， 此时方程有两个不相等的实数根， 、是关于的一元二次方程的两个根， 把代入方程得， 解得：； ∴， 解得，， 此时三角形三边长为：、、，符合三角形三边关系， ∴或2． 故答案为：1或2． 【考点8 解一元二次方程—公式法】 1．（24-25八年级下·浙江丽水·期中）已知关于的方程，若方程的根都是整数，则满足条件的正整数的值为 ． 【答案】11或9 【分析】本题考查利用求根公式求方程，熟练掌握求根公式以及平方数的定义是解题的关键．本题由求根公式可得：，结合方程的根都是整数以及为平方数进行分析求解即可． 【详解】解：由可知， ， 由题意知方程有实数根， 所以由求根公式可得：， 化简得：， 方程的根都是整数， 为平方数， 设（为正整数）， ，则， 为正整数，为正整数， 和为24的正整数因数，且， ∵， 当时，（舍去）， 当时，，代入验证方程的根是整数，满足条件， 当时，（舍去）， 当时，，代入验证方程的根是整数，满足条件， 正整数的值为11或9． 故答案为：11或9． 2．（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知关于x的一元二次方程恰有一个根小于，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，解一元一次不等式，解一元二次方程得出，，结合题意得出，解一元一次不等式即可得解． 【详解】解：由题意可得：， ∴此方程总有两个实数根， ∴， ∴，， ∵关于x的一元二次方程恰有一个根小于， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·安徽宿州·阶段练习）关于的方程，下列解法完全正确的是（   ） 甲 乙 丙 丁 两边同时除以得 整理得 ，，，， ，， 整理得， 配方得 ，，，， 移项得 ，，或，， A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，解一元二次方程的方法，根据等式的性质，解一元二次方程的方法逐一判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、两边同时除以时，未考虑的情况，导致漏解，所以甲错误，故选不符合题意； B、整理得：， ，，， ， ， ，，所以乙错误，故选项不符合题意； C、整理得， 配方得：， ， ， ，，所以丙错误，故选项不符合题意； D、移项得：， ， 或， ，，所以丁正确，故选项符合题意； 故选：D． 4．（24-25九年级上·天津蓟州·阶段练习）方程的两个根为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了利用公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握求根公式． 利用一元二次方程的求根公式进行求解即可． 【详解】解：，， ， 根据求根公式得， ， ∴，， 故选：A． 【考点9 解一元二次方程—因式分解法】 1．（25-26九年级上·陕西汉中·阶段练习）若的三边长都是方程的根，则的周长是（   ） A．7 B．8 C．7或8 D．13 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、三角形的三边关系等知识点，正确解出一元二次方程并分类讨论是解题的关键． 先利用因式分解法求的方程两个根分别是2和3，再结合三角形的三边关系进行分类讨论即可解答． 【详解】解：， ， ， ． 当2为腰，3为底时，，能构成等腰三角形，此时的周长为； 当3为腰，2为底时，，能构成等腰三角形，此时的周长为． 综上，周长分别为7或8． 故选：C． 2．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（   ） A． B．3 C．或3 D．1或 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义与因式分解法解一元二次方程．此题难度不大，注意二次项系数不等于零，这是易错点．根据题意可得且，继而求得答案． 【详解】解：由题意，得且， ∴且， ∴． 解得． 故选：B． 3．已知关于的方程的一个根是1，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，解一元二次方程；分和分别讨论，即可求解． 【详解】解：当时，， 可得：，符合题意， 当时，方程是一元二次方程， 把代入得， ∴， ∴ 解得：（舍去）或， 综上所述，或 故答案为：或． 【考点10 一元二次方程根与系数的关系】 1．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）设，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2036 B．2035 C．2034 D．2033 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的定义，代数求值，解题的关键是掌握根与系数的关系． 根据一元二次方程根与系数的关系得出，根据根的定义得出，然后代数求值即可． 【详解】解：根据题意得，， ∵，是方程的两个实数根， ∴ ∴， 故选：B． 2．（25-26九年级上·湖南岳阳·阶段练习）已知是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是（    ） A．3 B． C．3或1 D．或1 【答案】A 【分析】本题考查根与系数的关系以及根的判别式，由根与系数的关系结合，可得出关于m的分式方程，解之即可得出m的值，再根据根的判别式，即可得出m的值，此题得解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴， 解得：或， 经检验，或均为原分式方程的解． ∵是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 3．（25-26九年级上·山东枣庄·阶段练习）已知是方程的两个根，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解、一元二次方程根与系数关系，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，．根据题意得到，，，进而化简求值即可． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴，，， ∴ ． 故答案为：． 【考点11 根据实际问题列一元二次方程】 1．（24-25九年级上·四川泸州·期末）学校的劳动实践基地是一块长、宽的矩形土地．为便于学生参与劳动，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道（如图所示），使种植面积达到，若设小道的宽为，则根据题意，那么x满足的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据矩形场地的长、宽及小路的宽度，可得出除小路的其余部分可合成长为，宽为的矩形，再结合种植面积为，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：学校的劳动实践基地是一块长、宽的矩形土地，且小道的宽为， 除小路的其余部分可合成长为，宽为的矩形． 根据题意得：， 故选：D． 2．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）某同学自主学会了某个几何模型，并把它分享给班里其他同学，第一次教会了若干名同学，第二次会做该模型的每名同学又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这个模型．若设1人每次都能教会x名同学，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设1人每次都能教会x名同学，根据两次教会全班36人，再根据题意列出关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：设1人每次都能教会x名同学， 根据题意得：． 故选：D． 3．（25-26九年级上·山东枣庄·阶段练习）某公司去年年底已累计投资200万元，今后两年计划继续增加投资，若两年增加的百分比相同，且使今后两年共投资750万元，设今后两年投资的年平均增长率为x，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程． 设今后两年投资的年平均增长率为x，则今年投资万元，明年投资万元，再根据“今后两年共投资750万元”建立方程． 【详解】解：设今后两年投资的年平均增长率为x，则可列方程为， 故选：D． 【考点12 圆的相关概念】 1．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）下列说法：①直径是弦；②弧是半圆；③平面上任意三点能确定一个圆；④圆的内接正六边形的中心角为其中正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查的是正多边形与圆，圆的认识，正确记忆相关知识点是解题关键．根据等圆、等弧和半圆的定义以及确定圆的条件，分别进行判断． 【详解】根据弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是弦，故①正确， 弧是圆上任意两点间的部分，半圆是弧的一种特殊情况，但弧不一定是半圆，故②错误， 当平面上的三点在同一条直线上时，不能确定一个圆，只有不在同一直线上的三点才能确定一个圆，故③错误， 根据圆内接正多边形中心角公式：(n为边数)，可知圆的内接正六边形的中心角为，故④正确， 正确的个数为， 故选：． 2．如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据弦的定义求解即可． 【详解】解：根据弦的定义可知，AB、CD和BD都是圆的弦，所以⊙O中的弦的条数为3， 故选：B． 【点睛】本题考查了弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫圆的弦． 3．（25-26九年级上·陕西·期中）已知的直径为，是中最长的弦，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的认识，直径的定义，解题的关键是熟记圆的相关定义并灵活运用．根据直径的定义直接求解即可． 【详解】解： 是中最长的弦， 是中的直径， 的直径为， ． 故选：B ． 4．（2024·广东广州·模拟预测）如图，在中，弦与半径平行，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的基本概念，三角形内角和定理，等边对等角等知识，由平行线的性质得出的度数，由等边对等角得出的度数，由角的和差得出的度数，然后由等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【考点13 垂径定理】 1．如图，已知的半径为，弦的长为，是的延长线上一点，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，注意：垂直于弦的直径平分弦．过点O作于点C，根据垂径定理求出，，在中，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，过点O作于点C，则， ，过圆心O， ， 在中，， ， ， 在中，， 故选：D． 2．（2024·西藏拉萨·一模）如图，点A、C、B、D分别是上四点， ，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题考查了垂径定理，同弧或等弧所对的圆周角相等和圆周角定理，根据垂径定理由得到，然后根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 3．如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】B 【分析】根据图形作线段和的垂直平分线，两线的交点即为圆心，根据图形得出即可． 【详解】解：如图 作线段和的垂直平分线，交于点E，即为弧的圆心， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线性质，坐标与图形性质的应用． 4．（2025·重庆·二模）如图，内接于半径为的，于点，延长交于点，为的中点，连接交于点，若，，，则 ， ． 【答案】 【分析】连接，，过点作于点，利用圆周角定理及推论得出，，利用垂径定理求出 ，，，由，得出，利用，列式求出或，结合，得，得出，再利用，即可求出；连接，，，，延长交于点，利用为的中点，得出垂直平分，可得，，求出，再利用，，求出，在中，求出，利用即可求解． 【详解】解：如图，连接，，过点作于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， 即， 解得：或， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 得（负值舍）； 如图，连接，，，，延长交于点， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 得（负值舍）， 在中，， ∴． 故答案为：；． 【点睛】本题考查圆周角定理及推论，弧、弦、圆心角的关系，垂径定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定，解一元二次方程，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． 【考点14 圆心角、弧、弦的关系】 1．（2025·浙江·模拟预测）如图，以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，由三段圆弧得到的封闭图形就是“莱洛三角形”，而封闭图形由，，，组成是由两个“莱洛三角形”交叠而成．若，则封闭图形的周长是 ． 【答案】/ 【分析】连接，如图，先根据等边三角形的性质得到，则根据圆心角、弧、弦的关系得到，再利用画法得到，所以，所以封闭图形ABCD的周长的长，然后根据弧长公式计算即可． 本题考查了弧长的计算，弧长公式：其中n为圆心角的度数，R为圆的半径也考查了等边三角形的性质． 【详解】解：连接，如图， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， 封闭图形的周长的长 故答案为： 2．（2025·河南洛阳·一模）如图，已知A，B，C，D是同一圆上的点，相交于点，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，圆心角，弧，弦之间的关系，先证明可判断A，B，再证明，可判断D，进一步记圆心为，连接，可判断C. 【详解】解：∵A，B，C，D是同一圆上的点，相交于点，， ∴， ∴，故A，B不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴，故D不符合题意； 如图，记圆心为，连接， ∵不一定相等， ∴不一定相等；故C符合题意； 故选：C 3．（24-25九年级上·天津河西·期末）如图，，是的两条弦，如果，于，于，则下面结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理等知识，根据弦、弧的关系及圆周角定理判断求解即可． 【详解】解：∵于E，于F， ∴，， 故A、B正确，不符合题意； ∴， ∴， ∴， 故C正确，不符合题意； 只有时，， 故D不正确，符合题意； 故选：D． 4．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，已知半圆的直径为，点在半径上，为弧的中点，点在弧上，以，为邻边作矩形，边交于点．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】连接，，过点作于点，过点作于点，作 于点，易得四边形为矩形，有，结合弧、弦、圆心角之间的关系，以及等腰三角形性质得到，，利用勾股定理得到，进而求出，最后结合垂径定理求解，即可解题． 【详解】解：连接，，过点作于点，过点作于点，作于点， 四边形为矩形， ， 四边形为矩形，有， 为弧的中点， . ， ，半圆的直径为，， ，即与圆心重合，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形性质和判定，勾股定理，垂径定理，等腰三角形性质，弧、弦、圆心角之间的关系，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 【考点15 三角形的外接圆与外心】 1．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是的内接三角形．若，，则的半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心．连接、，根据圆周角定理得到，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：连接、，则， ， ， ，即， 解得：（负值已舍去）， 故答案为：． 2．（25-26九年级上·黑龙江绥化·开学考试）如图点为的外心，点为的内心，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了外心和内心的概念，圆周角定理，三角形内角和定理，由点为的外心，，则，故有，然后通过角平分线定义和三角形内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点为的外心，， ∴， ∴， ∵点为的内心， ∴， ∴， 故选：． 3．如图，是的外接圆，弦交于点E，，，过点O作于点F，延长交于点G，若，，则的长为（    ） A． B． C．13 D．14 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、垂径定理、勾股定理等知识点．先证明可得，可得到是等边三角形，再根据根据含30度角的直角三角形性质可得长，结合已知即可得出，再由垂径定理即可求得，作于点M，再根据含30度角的直角三角形性质可得，然后利用勾股定理即可求得AB． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴是等边三角形， ， ∵， ，， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， 作于点M，   ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D 4．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，线段 ，为线段上的一个动点，以、为边作等边和等边，外接于，则半径的最小值为(   ) A．6 B． C． D．3 【答案】B 【分析】分别作与角平分线，交点为．由三线合一可知与为、垂直平分线；再由垂径定理可知圆心在、垂直平分线上，则交点与圆心重合，即圆心是一个定点；连，若半径最短，则，由为底边，底角的等腰三角形，可求得． 【详解】如图，分别作与角平分线，交点为， 和都是等边三角形， 与为、垂直平分线，， 又圆心在、垂直平分线上，则交点与圆心重合，即圆心是一个定点； 连接， 若半径最短，则， 又，， ， ， 在直角中， ， 故选B． 【点睛】本题考查了等边三角形的“三线合一”的性质、三角形的外接圆圆心、点到直线的距离、垂线段最短以及解直角三角形等知识，注重数形结合思想的应用是解题的关键． 【考点16 圆周角定理】 1．（24-25九年级下·广东·期中）如图，是半圆O的直径，点C，D在半圆O上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，熟记圆周角定理及圆内接四边形的性质是解题的关键．根据直径所对的圆周角是直角求得，根据圆内接四边形的性质得出，再根据直角三角形的两个锐角互余即可求解． 【详解】解：∵四边形为圆O的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是半圆O的直径， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，内接于，，，为的直径，，那么的值为（   ） A． B．4 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，等边对等角，含30度的直角三角形等知识，首先根据“等边对等角”的性质求出的度数，再结合圆周角定理得到，根据含30度角的直角三角形的性质，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∵内接于，为的直径， ∴， ∴； 故选B． 3．（2025·重庆永川·模拟预测）如图，是圆O的内接三角形，是直径，与的平分线交于点P，与圆O交于点D，的延长线与圆O交于点F，连接， 则 的长为 ；的长为 ． 【答案】 【分析】先根据直径所对的圆周角是直角得，再根据直角三角形的性质得，作，然后根据直角三角形的性质得，，接下来，并表示，结合列出方程，求出可得答案；连接，结合说明，再根据勾股定理得出答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴. ∵，， ∴． ∵平分， ∴． 过点P作，交于点G， ∴， ∴． 设， 在中，， ∴， 根据勾股定理，得， ∴， 即， 解得， ∴； 连接，可知， ∵， ∴， ∴． 在中，， 根据勾股定理，得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，圆周角定理的推论，勾股定理，角平分线的定义等，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 4．如图，在中，，点P是外接圆上的一点，且，连接．点M为弧AP上一点（不与A，P重合），过P作于D点．    （1）的形状为 ； （2）若，，则 ． 【答案】 等腰直角三角形 【分析】（1）由，可知为直径，则，由，可得，进而可得结论； （2）由题意知，，如图，作的延长线于，则四边形是矩形，证明，则，，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形； （2）解：由题意知，， 如图，作的延长线于，则四边形是矩形，    ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了的圆周角所对的弦为直径，直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，等腰三角形的判定，三角形内角和定理，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握的圆周角所对的弦为直径，直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，等腰三角形的判定，三角形内角和定理，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【考点17 圆内接四边形】 1．如图，，是的两条弦，且，点，分别在弧，弧上，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】先利用圆内接四边形的性质求出的度数，再根据等腰三角形的性质求出的度数，最后依据圆内接四边形的性质求出的度数． 本题主要考查了圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵四边形是圆内接四边形，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， 故答案为：． 2．（2024·河北·模拟预测）如图，以一块含角的直角三角板的斜边为直径画圆，即内接于，，是的直径，D是上的任意一点，且不与A，B，C重合，连接，，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．随着点D的变化一直在变 【答案】C 【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等及圆内接四边形的性质，熟知相关定理，正确画出图形，结合图形分情况讨论是正确解答此题的关键． 根据题意画出图形，分点D在和上两种情况利用同弧所对的圆周角相等及圆内接四边形对角互补即可求解． 【详解】解： 内接于，， ， 分点D在和上两种情况∶ ①点D在上时，如图所示： 四边形是圆内接四边形，； ， ； ②点D在上时，如图所示： ， ， 综上所述，的度数是或， 故选：C． 3．如图，线段为的直径， ．若，与的延长线交于F，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据等弧对等角求出，再利用圆内接四边形对角互补求出，最后利用三角形内角和定理即可得到答案． 本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握这些知识点是解题关键． 【详解】解：如图，连接， ∵ ， ∴， ∵四边形是圆的内接四边形， ∴， 又∵， ∴， 同理， ∴， 故选：A． 4．（2025·河南商丘·二模）如图，内接于，为的直径，点为上的点，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】连接、，证明、是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，得到，由直径所对的圆周角是得，结合圆内接四边形性质得，将绕点逆时针旋转得到，证得是等腰直角三角形，则，根据即可得解． 【详解】解：连接、， ，， 、是等腰直角三角形， ，， 即是等腰直角三角形， ， 为的直径， ， 则圆内接四边形中，， 将绕点逆时针旋转得到， 此时，，，， ，， 又， 点是在上，是等腰直角三角形， 结合勾股定理得， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是等腰直角三角形的判定与性质、直径所对的圆周角是、圆内接四边形的性质、旋转性质、勾股定理，解题关键是熟练掌握旋转性质． 【考点18 直线与圆的位置关系】 1．如图，在中，，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（   ） A．点B在内 B．直线与相离 C．点C在上 D．直线与相切 【答案】D 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，过A点作于H，如图，利用等腰三角形的性质得到，则利用勾股定理可计算出，然后根据点与圆的位置关系的判定方法对A选项和B选项进行判断；根据直线与圆的位置关系对C选项和D选项进行判断．设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若直线l和相交；直线l和相切；直线l和相离． 【详解】解：过A点作于H，如图， ， ， 在中， ， ， ∴B点在外，所以A选项不符合题意； ， ∴C点在外，所以C选项不符合题意； ， ∴直线与相切，所以D选项符合题意，B选项不符合题意． 故选：D． 2．（24-25九年级下·甘肃武威·开学考试）如图，直线与半径为的相交，且点到直线的距离为7，则的值可以是（   ） A．3 B．4 C．7 D．10 【答案】D 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，解题关键在掌握直线与圆的位置关系和圆心到直线的距离与半径的关系之间的联系是解题的关键． 直接根据直线与圆的位置关系得到半径，再逐项判断即可． 【详解】解：∵直线l与半径为r的O相交，且点O到直线l的距离， ∴半径． ∴只有D选项符合题意． 故选D． 3．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是 ．    【答案】/ 【分析】分两种情况讨论：位于轴左侧和位于轴右侧，根据平移的性质和圆的切线的性质分别求解，即可得到答案． 【详解】解：的圆心P的坐标为， ， 的半径为2， ， ，， 当位于轴左侧且与轴相切时，平移的距离为1， 当位于轴右侧且与轴相切时，平移的距离为5， 平移的距离d的取值范围是， 故答案为：．    【点睛】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径． 4．如图，在中，，，，、分别是、上的一点，且，若以为直径的圆与斜边相交于、，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理，轨迹等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．如图，连接，作于，于．由题意，，推出欲求的最大值，只要求出的最小值即可． 【详解】解：如图，连接，作于，于． ， ， ， ，， ， 欲求的最大值，只要求出的最小值即可， ， 点的运动轨迹是以为圆心为半径的圆， 在中，，， ， ， ， 当，，共线，且与重合时，的值最小， 的最小值为， 的最大值， 故答案为． 【考点19 切线的判定】 1．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，点在上，点在外，以下条件不能判定是切线的是（    ） A． B． C． D．与的交点是中点 【答案】D 【分析】本题考查切线的判定，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键．根据切线的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论． 【详解】 解：A、， ， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； B、， ， ， ， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； C、， 是直角三角形，， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； D、与的交点是中点， 不能证出， 因此不能判定是切线； 故选：D． 2．如图所示，中，点M在上，点P在外，交于点N，以下条件不能判定是的切线的是（   ） A． B． C． D．点N是OP的中点 【答案】D 【分析】根据切线的判定定理进行判断即可． 【详解】解：A.∵，且，∴，可知是的切线，故选项A不符合题意； B. ∵，且，∴，可知是的切线，故选项B不符合题意； C.∵，∴是直角三角形，且，可知是的切线，故选项C不符合题意； D. 点N是OP的中点不能得出，即不能判断出是的切线，故选项D符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了切线的判定，勾股定理的逆定理、正确理解切线的判定定理是解答本题的关键． 3．如图，是的弦，是过B点的直线，，当 时，是切线． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、切线的判定定理，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得，再根据切线的判定定理可得当时，，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴当时，， ∴当时，是切线， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·河北廊坊·期末）已知P是上一点，用直尺和圆规过点P作一条直线，使它与相切于点P．以下是甲、乙二人的作法．下列判断正确的是（    ） 甲：如图1，①连接，以点P为圆心，长为半径画弧交于点A，连接并延长；②在上截取，直线即为所求． 乙：如图2，①作射线；②在直线外任取一点A，以点A为圆心，长为半径作，与射线交于另一点B；③连接并延长与交于点C，直线即为所求． A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．甲正确，乙不正确 D．甲不正确，乙正确 【答案】A 【分析】此题考查了切线的判定、等边三角形的判定和性质、圆周角定理等知识，熟练掌握切线的判定是解题的关键．如图1中，连接，证明即可证明甲正确；如图2，证明，即可证明乙正确． 【详解】解：甲正确，理由：如图1中，连接， 根据题意可得 ∴是等边三角形， ∴半径 ∴是的切线； 乙正确，理由：如图2， 为直径， ∴是的切线， 故选：A． 【考点20 切线的性质】 1．（2024·广东·模拟预测）如图所示，是的直径，点是上一点，过点作的切线与的延长线交于点．若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查切线的性质和等腰三角形的性质，解决此题的关键是正确的计算；先根据切线的性质得，根据等腰三角形的性质得，根据三角形的内角和进而得到答案； 【详解】解：如图所示，连接， ∵过点作的切线与的延长线交于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； 故选：B． 2．（2024·湖北·模拟预测）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图1所示的工件槽，其两个底角均为．将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的A，B，E三个接触点，该球的大小就符合要求．图2是过球心及A，B，E 三点的截面示意图，已知的直径就是铁球的直径，是的弦，切于点E，，，若， ，则这种铁球的直径为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质、垂径定理、矩形的判定与性质、勾股定理，连接交于，连接，证明四边形为矩形，得出，，由切线的性质可得，从而得出，即可推出四边形为矩形，从而可得，，设的半径为，则，，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接交于，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵切于点E， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， 设的半径为，则，， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴这种铁球的直径为， 故选：C． 3．（2025·山东枣庄·二模）如图，已知点M在y轴正半轴上，与x轴相切于原点O，平行于y轴的直线交于P、Q两点，点P在点Q的下方，且点P的坐标是，则的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查切线的性质，坐标与图形，勾股定理，过点作轴，连接，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：过点作轴，连接， ∵， ∴，， ∵与x轴相切于原点O，平行于y轴的直线交于P、Q两点， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； 故答案为： 4．如图，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝8，AB是⊙O的直径．将矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形，且交⊙O于点E，交⊙O于点F，与⊙O相切于点M．下列说法正确的有 ．（只填写序号）①AE＝4；②；③；④． 【答案】①②③④ 【分析】连接OE，OM，过点O作ON⊥AD′于点N，可得四边形OMD′N是矩形，证明OM=ND′=4，根据OA=OE，ON⊥AD′，可得AN=EN=2，进而可以判断①正确；证明△OAE是等边三角形，可得∠EOM=60°，∠BOM=60°，进而可以判断②正确；连接BF，根据AB是⊙O的直径，可得∠AFB=90°，利用含30度角的直角三角形即可判断③正确；根据∠DAB=90°，∠D′AO=60°，即可判断④正确． 【详解】解：如图，连接OE，OM，过点O作ON⊥AD′于点N， ∵D′C'与⊙O相切于点M， ∴OM⊥C′D′， ∴四边形OMD′N是矩形， ∴OM=ND′， ∵AB=8，AB是⊙O的直径， ∴OM=ND′=4， 在矩形ABCD中，由旋转可知：AD′=AD=6， ∴AN=AD′-ND′=6-4=2， ∵OA=OE，ON⊥AD′， ∴AN=EN=2， ∴AE=4，故①正确； ∵AE=AO=OE=4， ∴△OAE是等边三角形， ∴∠AOE=∠OEA=60°， ∴∠OED′=120°， ∵∠D′=∠OMD′=90°， ∴∠EOM=60°， ∴∠BOM=60°， ∴，故②正确； 如图，连接BF， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AFB=90°， ∵∠EAO=60°，∠D′AB′=90°， ∴∠BAF=30°， ∴BF=AB=4， ∴AF=，故③正确； ∵∠DAB=90°，∠D′AO=60°， ∠DAD′=30°，故④正确． 综上所述：正确的有①②③④． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，矩形的判定与性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，解决本题的关键是得到△OAE是等边三角形． 【考点21 切线长定理】 1．（2025·青海西宁·中考真题）如图，四边形是的外切四边形，，．则四边形的周长为 ． 【答案】48 【分析】本题考查了切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题的关键． 根据切线长定理得到，得到，根据四边形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：如图，令与边的切点分别为E，F，G，H， ∵四边形是的外切四边形， ∴， ∴ ∴， ∴四边形的周长为 ． 故答案为：48． 2．如图，中，，M是BC的中点，的内切圆与AB，BM分别相切于点D，E，连接DE．若，则的大小为 ． 【答案】30°/30度 【分析】利用直角三角形斜边上的中线的性质证明△ABM是等腰三角形，得到∠B＝∠BAM，的内切圆与AB，BM分别相切于点D，E，利用切线长定理证明△BDE是等腰三角形，得到∠BED＝∠BDE，利用得到∠BED＝∠BMA，∠BDE＝∠BAM，进一步证得△ABM是等边三角形，∠B＝60°，即可求出∠C的大小． 【详解】解：∵， ∴△ABC是直角三角形 ∵M是BC的中点， ∴AM＝BM＝， ∴△ABM是等腰三角形， ∴∠B＝∠BAM， ∵的内切圆与AB，BM分别相切于点D，E， ∴BD＝BE， ∴△BDE是等腰三角形， ∴∠BED＝∠BDE， ∵， ∴∠BED＝∠BMA，∠BDE＝∠BAM， ∴∠BMA＝∠BAM ∴∠B＝∠BMA＝∠BAM， ∴△ABM是等边三角形， ∴∠B＝60°， ∴∠C＝90°－∠B＝30°， 故答案为：30°． 【点睛】此题考查了直角三角形的性质、圆的切线长定理、等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 3．（24-25九年级上·四川凉山·期末）如图，在中，，则的内切圆半径 ．    【答案】1 【分析】本题主要考查了三角形的内切圆、勾股定理等知识点，掌握三角形的内切圆的圆心到三角形的三边距离相等是解题的关键． 由勾股定理可得，如图：连接，再根据三角形面积列方程求解即可． 【详解】解：在中，， ∴， 如图：连接， ∵， ∴，即，解得：．    故答案为：1． 4．（2025·湖北武汉·三模）如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的内切圆和面积，设的内切圆为，与 分别相切于点，由，，得，，连接，由可得，即得，同理得，进而即可求解，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：设的内切圆为，与 分别相切于点， ∵，，， ∴， ， ∵为斜边上的中线， ∴， ∴， 连接，，，，，，则， ∵，且，，， ∴， 解得：， 同理可得，， 解得， ∴， 故选：D． 【考点22 正多边形与圆】 1．（24-25九年级下·福建·期中）如图，将两个全等的正六边形一边重合放置在一起，中心分别为，，公共边为，其中一个正六边形的外接圆与交于点A，若，则四边形的面积是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形与圆、等边三角形的判定与性质、勾股定理和菱形面积的计算，连接，令与交于点，则，，，，有为等边三角形，即可求得，和，结合面积公式即可求得四边形的面积． 【详解】解：如图，连接，令与交于点， 则，，，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 则四边形为菱形， ∴四边形的面积是， 故选：D． 2．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，与正八边形相切于点A，E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接、，由切线的性质及正多边形的性质得，由多边形的内角和即可求解； 【详解】解：如图，连接、， ∵与正八边形相切于点， ，， ∵六边形的内角和为， ， ， ∴的度数为， 故选：D． 【点睛】本题考查了弧的度数，切线的性质，正多边形的性质，多边形的内角和；掌握切线的性质，正多边形的性质，会求弧的度数是解题的关键． 3．（2025·江苏扬州·二模）如图，是内接正十边形的一条边，直线经过点且与相切，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正多边形的性质、圆的切线的性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握圆的切线的性质是解题的关键．连接、，则，根据正多边形的性质可得，再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，由切线的性质可得，然后根据求解即可． 【详解】解：如图∶连接、，则， 是内接正十边形的一条边， ． ∶． 由切线的性质可得， ． 故选∶B． 4．（2025·山西长治·三模）如图是相机快门打开过程中某参数下的镜头光圈示意图，若镜头（）的直径为，通光直径（正六边形最长的对角线长）为，则光圈叶片（图中阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查正多边形与圆的综合，熟练掌握正多边形的性质及圆的性质是解题的关键；连接，过点O作于点H，由题意易得是等边三角形，然后可得，进而根据割补法可进行求解． 【详解】解：如图，连接，过点O作于点H， ∵六边形是正六边形， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的直径为， ∴， ∴； 故选C． 【考点23 弧长】 1．如图，是的外接圆， ，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，勾股定理，解题的关键是熟记弧长公式． 连接，圆周角定理得到，再由勾股定理求出半径，然后由弧长公式求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的长是：， 故选：D． 2．（24-25九年级上·浙江衢州·期末）如图，将以点为中心顺时针旋转得到，若点的对应点恰为边的中点，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形斜边上中线的性质，旋转的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，弧长，综合运用相关知识是解题的关键． 先根据直角三角形斜边上中线的性质得到，由旋转得，从而证得是等边三角形，得到，即旋转角为，再根据勾股定理求出，根据弧长公式即可解答． 【详解】解：∵点D是的斜边的中点， ∴， 由旋转可得， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴由旋转可得， ∵点D是的中点， ∴， ∴在中，， ∴． 故选：C 3．（2025·河南郑州·二模）中国古代人信奉天圆地方，圆被赋予了吉祥、丰收的意义，圆形门又叫圆月门，如十五满月一样给人柔和愉悦的感觉．小妹测量一个圆月门（如图），她测得门下矩形的边高为米，的长为米，小妹测得圆月门最宽的地方（圆的直径）为米，由于年代久远，上面的砖容易脱落，小妹想做一个等大的木质模具（不包含），固定支撑圆月门．圆月门的其他部分已测量，只有弧的长度未知，根据所测量的数据，计算出优弧的长为 米． 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算，等边三角形的判定与性质，熟知相关性质、判定定理以及计算公式是解题的关键．令圆心为，连接、、，根据题干易得， 从而得到是等边三角形， 进而得出，最后利用弧长的计算公式即可求解． 【详解】解：如图所示，令圆心为，连接、、， 的直径为米， 的半径为米，即（米）， 又的长为米， ， 是等边三角形， ， 优弧的长为：（米）． 故答案为： ． 4．（2025·甘肃定西·三模）鸳鸯玉是指产于甘肃武山县鸳鸯镇一带的超基性岩石，又名蛇纹石玉，因其结构细密，质地细腻坚韧，抗压、抗折、抗风化性好，可琢性强，光泽晶莹，而成为玉雕工艺品、高档农具的配套镶嵌和高级饰面之理想材料．如图，是一个半径为的半圆形的鸳鸯玉石，是半圆的直径，是弧上两点，，张师傅在这块玉石上切割了一块扇形玉石（阴影部分）做吊坠，则这块扇形玉石的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，求弧长，利用圆内接四边形的性质可得，进而由圆周角定理可得，利用弧长公式计算即可求解，掌握圆内接四边形的性质和弧长公式是解题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： 由圆内接四边形的性质可得，， ∴， ∴， ∴这块扇形玉石的周长， 故答案为：． 【考点24 扇形的面积】 1．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在菱形中,，点O是对角线的中点，以点O为圆心,长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及扇形面积公式的应用，解题的关键是通过构造全等三角形，将不规则阴影部分的面积转化为扇形面积与规则三角形面积的差来计算． 先利用菱形性质得、，点为中点，故，进而得；构造等边，结合证，将转化为；再用勾股定理算、（即扇形半径）；最后用扇形面积公式算，减去得阴影面积． 【详解】解：如图，连接，在上取点，使，连接， 在菱形中，，点O是对角线的中点，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵ ∴ ∴ ， ∴． 故答案为：． 2．（2025·广东深圳·三模）如图，已知半径为的上有三点、、，与交于点，，，则阴影部分的扇形面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及扇形面积公式，熟练掌握这些知识是解题的关键． 先利用三角形外角性质求出，再由等腰三角形性质得出，进而求出圆心角，最后根据扇形面积公式计算扇形的面积． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的扇形面积， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）当汽车在雨天行驶时，为了看清道路，司机要启动前方挡风玻璃上的雨刷器．如图所示是某汽车的一个雨刷器示意图，雨刷器杆与雨刷在处固定连接（不能转动），若测得，当杆绕点转动时，雨刷扫过的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，扇形面积，理解图示，掌握扇形面积的计算是关键． 如图所示，延长交于点，与交于点，可得，则，由代入计算即可． 【详解】解：如图所示，延长交于点，与交于点， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴当杆绕点转动时，雨刷扫过的面积是圆环的面积， ∵，， ∴， 故选：B ． 4．如图，在中，分别交于点D，E，连接，若，，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D．π 【答案】A 【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到，再根据等腰三角形三线合一得出点E是的中点，从而得出是的中位线，于是，根据同底等高得到和的面积相等，从而阴影部分的面积转化为扇形的面积，根据扇形面积公式计算出扇形的面积即可得出阴影部分的面积． 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， 即点E是的中点， ∵点O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了扇形的面积，圆周角定理，中位线定理，平行线间的距离相等，等腰三角形的三线合一，不规则图形的面积求法，把不规则图形转化为规则图形计算面积是解题的关键． 【考点25 圆锥的侧面积】 1．（2025·四川绵阳·二模）小月同学在手工课上用扇形卡纸制作的简易圆锥形漏斗如图所示，若漏斗的底面圆的直径为6cm，高为4cm，则扇形卡纸的面积至少是（    ） A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 先利用勾股定理计算出圆锥的母线长，然后根据圆锥的侧面积公式进行计算． 【详解】解：依题意，圆锥的底面圆的半径为，高为， ∴这个圆锥的母线长， 则这个圆锥的侧面积． 故选：C． 2．（24-25九年级上·北京·期末）如图，在矩形中，，点在边上，且，连接，以为圆心，长为半径画弧，交边于点，将扇形剪下来做成圆锥，则该圆锥底面半径为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角，扇形弧长的计算，理解题意，掌握弧长公式的计算是关键． 根据矩形的性质，等边对等角得到是等腰直角三角形，，，，由弧长公式得到，结合圆的周长公式即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴的长度， 设围成圆锥后，底面圆的半径为， ∴， 解得，， ∴该圆锥底面半径为1， 故选：A ． 3．（24-25九年级上·四川德阳·期末）若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形，则此圆锥的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查弧长公式、圆锥的展开图、求圆锥的高，由弧长公式求得扇形半径，进而求得底面圆的半径为，再利用求解即可． 【详解】解：由题意得，， ， ∵扇形的弧长等于底面圆的周长， ∴底面圆的半径为， ， 故答案为：． 4．（2024·宁夏银川·二模）如图，已知点C为圆锥母线的中点，为底面圆的直径，，，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为 ．    【答案】 【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形．扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，化曲面为平面，用三角函数求解． 连接，先根据直径求出底面周长，根据底面周长等于展开后扇形的弧长可求出圆锥的侧面展开后的圆心角，可得是等边三角形，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示，    ∵为底面圆的直径，， 设半径为r, ∴底面周长， 设圆锥的侧面展开后的圆心角为， ∵圆锥母线， 根据底面周长等于展开后扇形的弧长可得：， 解得：， ∴， ∵半径， ∴是等边三角形， ∵点C为圆锥母线的中点， ∴， 在中，， ∴蚂蚁爬行的最短路程为， 故答案为：． 【考点26 数据的集中趋势】 1．一组数据2、3、x、4的众数与平均数相等，则x＝ 【答案】3 【分析】此题考查了众数和平均数，掌握相关知识是解决问题的关键．分类讨论众数分别为2，3，4时，计算平均数是否与众数相等即可． 【详解】解：当这组数的众数是2时，， 此时平均数是：， 故此情况不成立； 当这组数的众数是3时，， 此时平均数是：， 故此情况成立； 当这组数的众数是4时，， 此时平均数是：， 故此情况不成立． 故答案为：3． 2．（24-25八年级下·河南南阳·期末）某学校82班的数学兴趣小组有6名成员，身高（单位：）分别是162、165、170、170、168、172，现增加一名身高为的成员后，现在兴趣小组成员的身高与原来相比，平均数 ，中位数 ，众数 （从“变小”、“变大”、“不变”中选择一项填空）． 【答案】 变大 变大 不变 【分析】本题考查了众数、中位数和算术平均数，根据平均数、中位数的意义、众数的定义，可得答案． 【详解】解：， 原来的中位数是， 现在的身高从小到大排列为：、、、、、、， 现在的中位数是最中间的， 众数不变，依然是， 故增加一名身高为的成员后，现在兴趣小组成员的身高与原来相比，平均数变大，中位数变大，众数不变． 故答案为：变大，变大，不变． 3．（24-25八年级上·山西太原·期末）山西地处黄河中游，是中国面食文化的发祥地，被称为“世界面食之根”．为弘扬山西面食文化，学校开展“面食制作大比拼”活动．下面是甲、乙、丙、丁四个小组面食作品的评分表（单位：分），若将色、形、味三项得分按的比例确定各组的最终得分，则获得最高分的是（） 小组项目 甲 乙 丙 丁 色 7 7 9 8 形 8 8 8 8 味 8 9 7 7 A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组 【答案】B 【分析】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．根据加权平均数的概念分别计算出四人的平均得分，从而得出答案． 【详解】解：甲组的平均得分为（分， 乙组的平均得分为（分， 丙组的平均得分为（分， 丁组的平均得分为（分， 获得最高分的是乙组． 故选：B． 4．小亮同学想知道自己的体重在班级中是否属于中等水平，则需了解全班同学体重的（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．极差 【答案】B 【分析】根据中位数的定义进行解答即可． 【详解】∵小亮同学想知道自己的体重在班级中是否属于中等水平， ∴需了解全班同学体重数据的中间的数据，即中位数， 故选：B． 【点睛】本题主要考查统计的有关知识，中位数是一组数据中，最中间的数据；对统计量进行合理的选择和恰当的运用是解题关键． 【考点27 数据的离散程度】 1．下列各组数据的波动程度最小的是（   ） A．3，3，4，3，6，5 B．1，2，3，3，4 C．2，5，7，5 D．3，4，5，3，1 【答案】B 【分析】本题考查求方差，根据方差越小数据的波动程度程度越小判断即可． 【详解】解：A、平均数为，方差为； B、平均数为，方差为； C、平均数为，方差为； D、平均数为，方差为； ∴各个选项中，方差最小的是B选项，即数据的波动程度程度最小的是B选项， 故选：B． 2．（24-25八年级下·山西晋城·期末）长时间观看手机、电脑等电子产品对视力影响非常大．6月6日是“全国爱眼日”，为了解学生的视力情况，某学校从甲、乙两个班级各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线统计图，则 ．（填“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了方差的计算与应用，熟练掌握方差的计算公式以及方差表示数据波动大小的意义是解题的关键．通过观察折线统计图，比较甲、乙两班视力数据的波动情况，判断方差大小，再通过计算方差进行验证． 【详解】解： ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．如果3，2，，5的平均数是4，那么这组数据的方差为 ． 【答案】2.5 【分析】本题考查平均数和方差，先根据平均数是4计算出x的值，再根据方差公式计算． 【详解】解：由题意知，， 解得， 这组数据的方差为． 故答案为：2.5． 4．（24-25八年级下·福建厦门·期末）2025年2月，北京市教育委员会发布《关于进一步加强新时代中小学体育工作的若干措施》，明确要求中小学每天综合体育活动时间不低于2小时．某校从初二年级随机抽取甲、乙、丙三名学生参加为期5天的专项训练，每日活动时长记录如下（单位：分钟）： 学生 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 甲 64 58 60 60 59 乙 60 63 60 60 57 丙 62 60 58 59 p 对每一名学生计算5天活动时长的平均数和方差．规定平均数较大的学生排序靠前；若平均数相同，则方差较小的学生排序靠前．若丙在甲、乙、丙三名学生中的排序居中，则这三名学生中排序最靠前的是 ，表中p（p为整数）的值为 ． 【答案】 甲 61 【分析】此题考查了算术平均数和方差．根据算术平均数和方差的计算公式分别求出甲、乙的平均数和方差，根据题意确定丙的平均数从而求出p的值，再根据丙的方差和排序最终确定p的值． 【详解】解：， ； ， ； ∵丙在甲、乙、丙三名学生中的排序居中， ∴， ∴， ∴或， ∴或62， 当时，， ， ∵， ∴丙排在甲前面，不符合题意， ∴不符合题意； 当时，， ， ∵， ∴丙排在乙前面，符合题意， ∴， 故答案为：甲，61． 【考点28 等可能条件下的概率】 1．从由1，2，3，4，5，6组成的三位渐升数（如123，145）中任取一个数，则这个三位渐升数能被9整除的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查求解概率，常用方法有：树状图法、列表法和列举法，本题即为列举法．掌握求解概率的方法是解本题的关键． 列出所有的三位渐升数，然后找出能被9整除的数，从而得出概率． 【详解】解：所有的渐升数为123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456，共20个， 其中126，135，234能被9整除， 故所求概率为． 故答案为：． 2．袋子中装有10个黑球、1个白球，它们除颜色外无其他差别，随机从袋子中摸出一个球，则（ ） A．这个球一定是黑球 B．摸到黑球、白球的可能性的大小一样 C．这个球可能是白球 D．事先能确定摸到什么颜色的球 【答案】C 【详解】∵布袋中有除颜色外完全相同的11个球，其中10个黑球、1个白球， ∴从布袋中随机摸出一个球是黑球的概率为，摸出一个球是白球的概率为， ∴A、这个球一定是黑球，错误； B、摸到黑球、白球的可能性的大小一样，错误； C、这个球可能是白球，正确； D、事先能确定摸到什么颜色的球，错误； 故选C． 【点睛】可能性的大小. 3．（2025·山东东营·三模）小江玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所示的靶子，点E，F分别是平行四边形的两边，上的点，，点M，N是上任意两点，则投掷一次，飞镖落在阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、几何概率的知识点，准确计算是解题的关键． 将平行四边形分成平行四边形和平行四边形两部分，可得四边形内阴影部分是四边形面积的一半，四边形内阴影部分是四边形面积的一半，从而可得飞镖落在阴影部分的概率； 【详解】∵平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， ∴四边形和四边形都是平行四边形， ∵四边形内阴影部分面积四边形面积， 四边形内阴影部分面积四边形面积， ∴阴影部分的面积平行四边形的面积， ∴飞镖在阴影部分的概率是． 故选：B． 4．（2025·上海·二模）六张卡片上写着“菱形，平行四边形，矩形，等腰梯形，正方形，直角梯形”．从六张卡片中任选两张卡片（不重复），上面所写的四边形都既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别，概率公式，掌握相关知识点是解题关键． 先逐一判断每个图形，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：菱形：既是中心对称图形，又是轴对称图形； 平行四边形：仅为中心对称图形，不是轴对称图形； 矩形：既是中心对称图形，又是轴对称图形； 等腰梯形：仅为轴对称图形，不是中心对称图形； 正方形：既是中心对称图形，又是轴对称图形； 直角梯形：既不是中心对称图形，也不是轴对称图形； 符合条件的图形有菱形、矩形、正方形，共3个， 将“菱形，平行四边形，矩形，等腰梯形，正方形，直角梯形”记为：“A，B，C，D，E，F”， 从六张卡片中任选两张卡片，列表如下： A B C D E F A B C D E F 由表可知，共30种情况，符合条件的有6种， ∴概率为， 故选A． 【计算篇】 【考点29 一元二次方程的解法】 1．（25-26九年级上·山东青岛·阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程： (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（配方法）． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法是解题的关键． （1）根据直接开平方法步骤计算可得； （2）将常数项移到右边后，再配上一次项系数的一半的平方，写成完全平方式后开方可得； （3）将含未知数的项移到一边，常数项移到另一边后，再配上一次项系数的一半的平方，写成完全平方式后开方可得． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， 2．（25-26九年级上·辽宁锦州·阶段练习）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据公式法求解即可； （2）先移项，再根据因式分解法求解即可． 【详解】（1） （2） 或 3．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）用适当的方法解下列关于x的方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)，， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，并熟练掌握利用一元二次方程特征选用合适方法解一元二次方程是解题的关键． （1）整理后，利用因式分解法解一元二次方程即可． （2）先求解，再利用公式法解一元二次方程即可． （3）整理得，利用公式法解一元二次方程即可． （4）先把方程化为，再进一步解方程即可． 【详解】（1）解：， 变形为， ∴， ∴或， 解得：，． （2）解：， ∴，，， ∴， ∴， ∴，． （3）解：， 整理得：， ∴，，， ∴， ∴， ∴，． （4）解：， ∴， ∴， ∴或或， 解得：，，． 4．（25-26九年级上·广东江门·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)当时，求此方程的解． 【答案】(1)见解析 (2)，． 【分析】题目主要考查一元二次方程根的判别式及解一元二次方程， （1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）将m的值代入利用公式法求解一元二次方程即可． 【详解】（1）证明： ， ∵， ∴， ∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：将代入方程中， 得， ∴， ∴， 即，． 5．（25-26九年级上·山东枣庄·阶段练习）关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)若方程的两个根为，，且，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的判别式和根与系数的关系是解题的关键， （1）利用方程有两个实数根，得到，代入即可求得k的取值范围； （2）利用根与系数的关系得到，代入，解出关于k的一元二次方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴ ∵， ∴， 解得：． （2）解：∵，是方程的两个根 ， ∴， ∵， ∴， 解得：，（舍去）． 【实际应用篇】 【考点30 一元二次方程的应用】 1．（25-26九年级上·陕西汉中·阶段练习）乒乓球作为陕西中考体育“体质健康测试类”选考项目，因其对体能要求相对较低且趣味性较高，成为同学们选考热点，乒乓球拍的销量也在持续增长．某体育用品店销售一种乒乓球拍，进价为每副42元，按每副66元销售，平均每月能卖出200副，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时，在不亏本的情况下，尽量减少库存，经调研发现，售价每降低2元，平均每月可多卖出20副． (1)小明说：“如果薄利多销，平均每月的销售量肯定能达到500副．”请你判断小明的说法是否正确？并说明理由； (2)该体育用品店期望销售这种乒乓球拍，平均每月的销售利润为4830元，销售员甲说：“在原售价的基础上降低1元，销售利润即可达到预期目标．”销售员乙说：“在原售价的基础上降低3元更合适”，如果你作为老板，请用方程的思想说明应采纳谁的意见． 【答案】(1)小明的说法不正确，理由见解析 (2)采纳销售员乙的意见，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程中的应用，一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键． （1）设售价降低元，平均每月的销售量能达到500副，根据“售价每降低2元，平均每月可多卖出20副”列出方程，可求出具体降价金额，从而可求出售价，将售价与进价比较即可得出结论； （2）设售价降低元，可使平均每月的销售利润为4830元，根据利润、售价、进价之间的关系列出方程，解出结果后，再根据增加销售量可以减少库存即可得出结论． 【详解】（1）解：设售价降低元，平均每月的销售量能达到500副， 依题意得，， 解得， 降价后每副的售价为（元）， 进价为每副42元，， 平均每月的销售量能达到500副时会亏本， 小明的说法不正确； （2）解：采纳销售员乙的意见，理由如下： 设降低元， ∵售价每降低2元，平均每月可多卖出20副， ∴售价每降低1元，平均每月可多卖出10副， 由题意得， 解得或， 当时（甲的意见），销售量为副； 当时（乙的意见），销售量为副； ∵尽量减少库存， ∴采纳销售员乙的意见． 2．城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲最多施工900米 (2)的值为2 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，审清题意、弄清量之间的关系、正确列出不等式和方程是解题的关键． （1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工米，根据不等关系“工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的”列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可解答； （2）根据“最终每天实际总成本比计划多万元”即可得出关于的一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲施工米， 由题意可得：， 解得：． 答：甲最多施工900米． （2）解：由题意可得：， 整理得， 解得． 答：的值为2． 3．为鼓励广大凤中学子走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，初三年级某班组织同学们周末共跑沙滨路，其中，小凤和小鸣两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小凤的跑步速度是小鸣跑步速度的1.2倍，那么小凤比小鸣早5分钟到达B地． 根据以上信息，解答下列问题： (1)小凤每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小凤以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小凤共消耗2300卡路里的热量，小凤从A地到C地锻炼共用多少分钟？ 【答案】(1)小凤的跑步速度为每分钟； (2)小凤从地到地锻炼共用70分钟． 【分析】（1）设小鸣的跑步速度为每分钟 ，则小凤的跑步速度为每分 ．根据小鸣的跑步时间小凤的跑步时间列分式方程求解即可； （2）设小凤从地到地用时分钟，根据前30分钟消耗的热量分钟后的热量列方程解答即可． 【详解】（1）设小鸣的跑步速度为每分钟 ，则小凤的跑步速度为每分 ， 根据题意，得， 解得， 经检验是原方程的解， 原方程的解为， ∴小凤的跑步速度为每分钟， 答：小凤的跑步速度为每分钟； （2）由（1）知，小凤的跑步速度为每分， 则小凤从地到地所用时间为（分钟）． 设小凤从地到地用时分钟， 根据题意，得， 解得或（舍去）， 则（分钟）． 答：小凤从地到地锻炼共用70分钟． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程与分式方程的应用，读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系是解题的关键． 4．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）某校新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽30米．阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知喷漆面积为1056平方米． (1)求通道的宽是多少米． (2)据调查分析，停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 【答案】(1)3米 (2)上涨40元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设通道的宽是x米，根据题意列出方程，解出x的值即可解答； （2）设每个车位的月租金上涨y元，根据题意列出方程，解出y的值，结合优惠大众选择较小的y的值即可解答． 【详解】（1）解：设通道的宽是米，则每一层的停车位可合成长为米，宽为米的长方形， 依题意，得， 解得（不合题意，舍去）． 答：通道的宽是3米． （2）解：设每个车位的月租金上涨元，则每个车位的月租金为元，可租出个车位， 依题意，得， 解得， 又要优惠大众， ． 答：每个车位的月租金应上涨40元． 【几何计算与证明篇】 【考点31 利用圆中的相关性质求角度】 1．（24-25八年级下·江苏·期末）如图，在中，弦，点在上． (1)如图①，若是的直径，求的度数； (2)如图②，在弧上取一点，若，请用含的式子表示的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查圆周角定理，圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质，正确运用相关知识是解答本题的关键． （1）根据圆周角的性质和圆内接四边形性质即可求解； （2）连接，根据等弦对等弧，等弧对等角并结合圆内接四边形性质即可得到和的关系． 【详解】（1）∵是的直径， 又 是等腰直角三角形， ∵四边形是的内接四边形， （2）如图，连接， ∵四边形是的内接四边形， 2．（24-25九年级上·天津和平·期中）已知是的直径，，E是上一点，延长交于点D． (1)如图①，当点E是弦的中点时，求的大小； (2)如图②，当时，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是关键，注意运用同弧所对的圆周角相等． （1）根据垂径定理，可得，根据三角形内角和即可求出，再根据圆周角定理得出，进而求出的度数； （2）如图②，连接，根据，，可得，则，根据，可得，根据同弧所对的圆周角相等，可得，进而即可求解； 【详解】（1）解：∵是直径，点E是弦的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图②，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 3．（25-26九年级上·全国·期中）如图，是的直径，是弦的延长线上一点，且，的延长线交于点． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查圆周角定理，垂直平分线的判定与性质，作出适当的辅助线是解题的关键． （1）连接，首先证明，推出，即可解决问题； （2）连接，根据，所以只要求出的度数即可． 【详解】（1）证明：如图， 连接， 是的直径， ，即， ， 垂直平分． ． ． ， ． ． （2）解：如图， 连接， ， ． ． 是的直径， ． ． 4．（24-25九年级下·安徽淮北·期中）如图1，在中，直径垂直弦于点G，，连接交于点F． (1)若，，求的长； (2)连接，如图2，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考出了圆的垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）如图1：连接，由垂径定理的推理可得，再结合已知条件可得，设，则．然后在运用勾股定理求解即可． （2）如图2，连接交于点H，由（1）知，则，易证可得，即，进而得到，最后由三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质可得即可解答． 【详解】（1）解：如图1：连接， 直径弦， ． ， ， ， ． 设，则． 在中，，即，解得， ∴． （2）解：如图2，连接交于点H， 由（1）知， ． ，， ， ， ， ， ． 【考点32 利用圆中的相关性质求线段长度】 1．（25-26九年级上·北京海淀·期中）如图，的直径为，弦为，的平分线交于点，求，，的长． 【答案】， ， 【分析】本题考查主要圆周角定理，勾股定理等知识，熟练掌握直径所对的圆周角是直角的性质是解题关键． 根据直径所对的圆周角等于可得，利用勾股定理可求出的长，利用角平分线的定义及圆周角定理可得，，可得是等腰直角三角形，即可求出、的长． 【详解】解：为直径， ， ，， ， 是的角平分线， ， 和是所对的圆周角， ， 同理可得：， ， 是等腰直角三角形， ∴， ∵， ． 2．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长交于点D，E是上任意一点，连接，，，． (1)若，求的度数： (2)找出图中所有与相等的线段，并证明； (3)若，，求的周长． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)60 【分析】（1）利用圆周角定理得到，再根据三角形的内角和定理求，然后利用圆内接四边形的对角互补求解即可； （2）连接，由三角形的内心性质得到，，，然后利用圆周角定理得到，，利用三角形的外角性质证得，然后利用等角对等边可得结论； （3）过I分别作，，，垂足分别为Q、F、P，根据内切圆的性质和和切线长定理得到，，，利用解直角三角形求得， ，进而可求解． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 如图所示，连接， ∵点I为的内心， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （3）解：过I分别作，，，垂足分别为Q、F、P， ∵点I为的内心，即为的内切圆的圆心． ∴Q、F、P分别为该内切圆与三边的切点， ∴，，， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴的周长为 ． 【点睛】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形的内角和定理、三角形的内心性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定、切线长定理以及解直角三角形，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 3．（2025·青海西宁·中考真题）如图，是的弦，，半径分别与弦垂直，垂足分别为G，H，交于点M，交于点N，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形； (3)若，，则_______． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，垂径定理，勾股定理，菱形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据弧，弦，角之间的关系以及垂径定理，即可得证； （2）先证明四边形为平行四边形，等积法推出，即可得证； （3）垂径定理结合勾股定理求出的长，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵半径分别与弦垂直， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵半径分别与弦垂直， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形； （3）∵， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 由（2）知：四边形为菱形， ∴设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得； ∴． 4．如图，中，，点是上一点，以点为圆心，以为半径作分别交，于点，，与相切于点．连接，相交于点． (1)猜想：与的数量关系，并证明你的猜想； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)，见解析； (2)． 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由圆周角定理可得，又，则，然后通过切线的性质可得，则，最后通过垂径定理即可求证； （）先证明四边形是矩形，故有，，设的半径为，在中，，所以，然后求出的值即可． 【详解】（1）解：猜想：， 证明：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 设的半径为， 在中，， ∴， 解得：， ∴的半径为． 【考点33 利用圆中的相关性质进行证明】 1．（2024·广东·二模）如图，点D在以为直径的上，过D作的切线交延长线于点C，于点E，交于点F，连接，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先根据切线的性质，得出，再说明，从而可利用平行线的性质得到，再根据等边对等角，得到，于是可得； （2）先根据直径所对的圆周角是直角得到，再根据垂直的意义得到，从而可得，再利用平行线的性质、结合，可说明，列出比例式适当需要即可． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）如图，连接． ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了根据平行线判定与性质证明，半圆（直径）所对的圆周角是直角，相似三角形的判定与性质综合，等边对等角，切线的性质定理，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 2．（2025·上海·模拟预测）如图，在中，，圆O的圆心在内部，与的边顺时针分别交于点E、D、F、G、N、M（点E在线段上），射线交边于点P．如果； (1)求证：． (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形综合问题、角平分线的判定定理、垂径定理的实际应用等知识点，熟记相关几何结论是解题关键． （1）作，推出，进而得平分，即可求证； （2）证得，，进而得，再证即可； 【详解】（1）证明：作， ， ， ∴平分， ， （2）证明：如图所示： ， ， ， ； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 3．（2024·湖南·模拟预测）如图,是的直径，点C是的中点，过点C作于点E，过点D作的切线交的延长线于点P，连接，F为与的交点． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了圆的切线性质、弧与圆周角的关系、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、直径所对圆周角为直角及全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用圆的核心性质（切线垂直于过切点的半径、弧中点对应圆周角相等、直径所对圆周角为直角）建立角的等量关系，再结合等腰三角形判定或全等三角形判定证明线段相等． （1）连接，利用切线性质得，由得；根据推出，结合对顶角，联立直角三角形的角互余关系，证得，再由“等角对等边”得； （2）延长至Q，由C是中点得；利用得，进而；根据直径性质得得，结合切线推出；从而，再用证，最终得． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的切线，是的半径， ∴（切线垂直于过切点的半径）， ∴，即 ．① ∵， ∴，即 ．又， ∴ ． 由得，， ∴ ．② 联立①、②知， ∴（等角对等边）． （2）证明：延长至点Q， ∵点C是的中点，即， ∴， ∵， ∴， ∴，③ ∵是的直径， ∴即 由得，， ∴ 由是切线，是半径知，即 ∴，④ 由③与④知，， 由是直径知：又， ∴， ∴ 4．如图，在中，弦弦于E，弦弦 于F点，与相交于M点． (1)求证：； (2)如果，求的半径． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，全等三角形性质和判定，勾股定理，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）连结，结合垂直定义，以及同角的余角相等推出，再结合圆周角定理求解，即可解题； （2）连接，作于H，于K，利用垂径定理得到，结合圆周角定理推出，证明，得到，再结合勾股定理求解，即可解题． 【详解】（1）证明：连结，如图1所示， ∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴； （2）解：连接，作于H，于K，如图2所示： 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 即的半径为． 【考点34 求圆中的弧长或扇形面积】 1．（2024·广东·二模）如图，为的直径，C是上一点，为的切线，过点B作于点D，连接，． (1)求证：是的平分线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据切线的性质和，得到，由两直线平行内错角相等得到，结合，由等边对等角可得，进而证明结论； （2）根据直角三角形的性质和（1）的结论得到，结合，得到为等边三角形，可得，最后利用弧长公式计算即可． 【详解】（1）证明：∵与相切于点C， ∴，     ∵， ∴，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴的长度为． 【点睛】本题考查了圆的基本概念，切线的性质，平行线的判定与性质，等边对等角，角平分线的定义，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，弧长公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 2．如图，在中，， 的平分线交于点D，点O在上，以点O为圆心，为半径的圆恰好经过点D，分别交、于点E、F． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质及角平分线的性质，可证明，所以，即可判断及证明结论； （2）根据圆周角定理可证明，然后根据直角三角形的性质可证明，再根据勾股定理可求得，最后根据阴影部分的面积及扇形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：直线与相切； 理由如下： 如图，连接， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 而为半径， 直线与相切； （2）解：， ， ， 在中，， ， 解得或（舍去）， 阴影部分的面积 ． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，扇形的面积计算，熟练掌握圆的切线的判定及扇形的面积计算是解题的关键． 3．如图，是的外接圆，，点是上一点，，连接，过点作交的延长线于点． (1)求证：为的切线； (2)若的半径为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定和性质，弧长的计算，圆周角定理，平行线的性质，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接，由得，等量代换得到，从而得到，根据圆周角定理得到，再根据直线平行可证，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）根据圆周角定理得到，根据已知条件得到，求得，得到，根据弧长公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接， ， ∴， ∴ ∴， ∴是的直径， 即， ， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴为的切线； （2）解：由（1）知是的直径， ∵的半径为， ∴， 的长． 4．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，在中，，以为直径的与交于点． (1)尺规作图：作出劣弧的中点，过点作，连接并延长，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，求阴影部分的面积．（结果用含的式子表示） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作的垂直平分线交于一点，即为点E，再过点A作一个等于的角，然后连接并延长，交于点M，即可作答． （2）先由垂径定理得，根据圆周角定理得出，再结合勾股定理得出，算出，然后根据代入数值计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，作图如图所示． ； （2）解：由（1），得， ∴． ∵点是的中点， ∴， ∴． ∴， ∴． 如图，连接，过点O作于点H． 则， ∴， ， ∴， ， ， 则． 【点睛】本题考查了作一个已知角以及圆周角定理，垂径定理，扇形面积，勾股定理，综合性较强，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【压轴篇】 【考点35 换元法解一元二次方程】 1．（25-26九年级上·河南商丘·阶段练习）阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为①，解这个方程得． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，． 请运用上面学到的方法填空： (1)解方程，则______； (2)若，求______． 【答案】(1)5或 (2)5 【分析】此题考查了换元法解一元二次方程，正确理解已知中的解题方法并仿照解题是解题的关键． （1）仿照例题，将看作整体，因式分解后得出，再求解即可． （2）仿照例题，将看作整体，因式分解后得出，再求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴或， ∴， 故答案为：5或； （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，， ∵不论a、b为何值，，即， ， 故答案为：5． 2．（24-25九年级上·江西吉安·期中）定义：我们把关于的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”________； (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根________，________．根据以上结论，猜想的两根，，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________； (3)已知关于的方程的两根是，，请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根． 【答案】(1)； (2)，，互为倒数； (3)， 【分析】本题主要考查了新定义问题，一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解，用因式分解法和换元法解一元二次方程，掌握并灵活运用新定义是解题的关键． （1）根据“友好方程”的定义，即得答案； （2）先写出的友好方程，然后再解得其友好方程的答案，通过观察，可猜想出原方程与友好方程两根之间的关系； （3）由（2）可知，的两个根分别是，，将整理为：，那么有或，从而解得答案． 【详解】（1）解：一元二次方程与称为一对“友好方程”， 一元二次方程的“友好方程”为； 故答案为：； （2）解：根据题意可知，一元二次方程的友好方程为， 解，得到， 解得，， 观察可知，，； 所以猜想的两根，，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系是互为倒数． 故答案为：，，互为倒数； （3）解：已知关于的方程的两根是，， 那么的两个根分别是，， 将整理为：， 那么有或， 即，； 故答案为：，． 【考点36 一元二次方程根的判别式与根与系数关系的综合】 1．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根有如下的关系（韦达定理）：； 材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将m、n看作是此方程的两个不相等的实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数m、n满足、，求的值． (2)已知实数p、q满足、，且，求的值． (3)已知实数a、b、c满足、，且，求c的最大值． 【答案】(1) (2)1 (3)7 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式等知识，正确理解一元二次方程根与系数关系，并能对相关式子进行变形是解题关键． （1）根据题意得到m，n是方程的两个不相等的实数根，得到，变形为整体代入即可求解； （2）变形为，结合得到p、可看作方程的两根，得到，变形为即可求解； （3）根据、得到a、b是方程的两个根，即可得到，根据，即可求出，得到c的最大值为7． 【详解】（1）解：∵实数m、n满足、，， ∴m，n是方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴p、可看作方程的两根， ∴， ∴； （3）解：∵、， ∴a、b是方程的两个根， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴c的最大值为7． 2．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）我们知道一元二次方程的两根为，，若其中一个根是另一个根的倍（为正整数），则称这样的方程为倍“梅石花”方程，例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是二倍“梅石花”方程；若一元二次方程的两根为，，则称这样的方程为“状元来”方程． (1)根据上述定义，请判断：是_________倍“梅石花”方程； (2)若关于的方程是倍“梅石花”方程，直接写出的最小值是_________． (3)若方程为“状元来”方程，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、完全平方公式等知识，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键． （1）利用因式分解法解方程可得，由此即可得； （2）设这个方程的两个根为，则可得，，将代入化简即可得；化简可得，再根据可得，由此即可得； （3）根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，则可得，代入化简即可得证． 【详解】（1）解：， ， 解得， ∵， ∴是4倍“梅石花”方程， 故答案为：4． （2）解：设这个方程的两个根为， ∴，， ∴， ∴，为正整数， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为1， 故答案为：1． （3）证明：∵可化成， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 3．（2025·湖南长沙·二模）我们知道：关于的一元二次方程（，，，均为整数），如果时，这个方程的实数根就可以表示为，其中就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即，通过观察公式，我们可以发现，如果的值是一个完全平方数（若（为整数），则是一个完全平方数）时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 例：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为，，不都为整数；方程的两根，，都为整数，此时，的值是一个完全平方数． 我们定义：两根都为整数的一元二次方程（，，，均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用表示，即．若有另一个“幸运方程”（，，，均为整数）的“幸运数”为，若，则称与互为“开心数”． (1)关于的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是______； ②若该幸运方程的“幸运数”是，则的值为______． (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“幸运方程”，求的值及该方程的“幸运数”； (3)若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，求的值． 【答案】(1) ； 或； (2)，该方程的“幸运数”为 (3)或 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及“幸运方程”的定义，解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系； （1）把代入方程得到方程，根据“幸运数”的定义即可求解； 根据“幸运数”的定义可得方程，解方程可求得的值； （2）通过的取值范围确定根的判别式的范围，继而根据“整数根”特点确定根的判别式的取值，最后结合为整数确定取值，按照“幸运数”定义求解即可； （3）根据是“幸运方程”得出的两个根为整数，设方程的两个分别为，根据根与系数的关系得出，进而根据为整数，得出的值为或，求得，根据与互为“开心数”得出方程，进而分或，分别代入，解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：当时，代入得，， ∴，即， 故答案为：； 依题意， ， 整理得，， 解得，， 故答案为：或； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是“幸运方程”， ∴是完全平方数， 即是完全平方数， ∴或或， 解得或或， ∵为整数， ∴， 当时，方程化为， ∴； ∴方程的“幸运数”为； （3）解：∵是“幸运方程” ∴的两个根为整数， 设方程的两个根分别为， ∴ ∴ ∴， ∴ ∵为整数， 当时，则，此时， 当时，则，此时， 当时，则，此时， 当时，则，此时， 综上所述，的值为或； 方程的“幸运数”为， 当时， 当时， ∴ 方程的“幸运数”为 ∵与互为“开心数”， ∴，即 当时，方程为： 解得：或（舍去，不是整数） 当时，方程为： 解得： 综上所述，或 【考点37 由点与圆的位置关系求最值】 1．（2025·陕西西安·二模）（1）如图1，线段，的半径为2，点O到的距离等于4，C为上一动点，则面积的最小值为______； （2）如图2，四边形是某区的一处景观示意图，，，，，，M是上一点，且．按设计师要求，需在四边形区域内确定一个点N，修建花坛和草坪，且需．已知花坛的造价是每平米200元，草坪的造价是每平米100元，请帮设计师计算修好花坛和草坪最少需要多少元？（结果保留根号） 【答案】（1）6；（2） 【分析】本题主要考查了圆的性质，三角形面积的计算，以及三角函数等知识，作辅助圆是解决问题的关键． （1）根据点与圆上点的最值问题解答即可； （2）根据题意可得总费用，连接，求出，再作于点E，于点G，作于H，求出，即可得到当点D、N、H在同一条直线上时，的面积最小，求出解题即可． 【详解】（1）当点C在与的交点时，点C到的距离最小，则的面积最小． ，的半径为2， ， ， 面积的最小值， 故答案为：6； （2）由题意得：， ， 总费用 ， 连接 ，， ， ， ， ， 作于点E，于点G， ， 作于H， 又， ， 当点D、N、H在同一条直线上时，的面积最小， 边上的高， ， ， 总费用（元）， 答：总费用的最小值为元． 2．在中，，，．如图（1），将绕A点旋转得到．连接、． (1)当点D落在延长线时，______． (2)在旋转过程中，当A、C、D三点共线时，求的长． (3)如图（2），点F为的中点，直线与直线相交于点G．在旋转过程中，求写出线段的取值范围． 【答案】(1)8 (2)或 (3) 【分析】（1）根据题意得到，由旋转的性质得到，然后利用等腰三角形三线合一性质求解即可； （2）根据题意分点C在线段上和点A在线段上两种情况讨论，分别利用勾股定理求解即可； （3）过点B作交于点H，根据题意证明出，得到，然后得到，然后得到点D在以点A为圆心，长为半径的圆上运动，然后根据圆上一点到圆外一点距离的最值分别求出的最大值和最小值，进而求解即可． 【详解】（1）如图所示，当点D落在延长线时， ∴ ∵将绕A点旋转得到 ∴ ∴； （2）如图所示，当点C在线段上时，连接， ∵，， ∴ 由旋转可得， ∴ ∵ ∴； 如图所示，当点A在线段上时，连接， ∴ ∵ ∴； 综上所述，的长为或； （3）如图所示，过点B作交于点H ∴ ∵ ∴ ∵由旋转可得， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵由旋转可得， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵点F是的中点 ∴是的中位线 ∴ 由旋转可得，点D在以点A为圆心，长为半径的圆上运动 ∴如图所示，当点A，C，D三点共线，且点C在线段上时，的长度最小 ∴此时， ∴； 如图所示，当点A，C，D三点共线，且点A在线段上时，的长度最大， ∴此时 ∴ ∴综上所述，线段的取值范围为． 【点睛】此题考查了三角形旋转综合题，旋转的性质，勾股定理，圆的性质，全等三角形的性质和判定等知识，掌握相关知识是解题的关键． 3．如图，和均为边长为的等边三角形，点在边上，是的中点，作点关于的对称点，连接和． (1)求证：四边形是菱形； (2)求的最小值； (3)若与垂直，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据等边三角形的性质，得出，即可得证； （2）根据题意得出点在以为圆心，为半径的圆上，进而勾股定理求得的长，当在线段上时，取得最小值，即可求解； （3）根据题意作出图形，延长交于点，得出，，勾股定理求得，进而根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：∵和均为边长为的等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵，是的中点， ∴， ∵点关于的对称点， ∴， ∴点在以为圆心，为半径的圆上， 连接，如图所示， ∵是的中点，是等边三角形 ∴， ∴， 当在线段上时，取得最小值， ∴的最小值为 （3）解：如图所示，延长交于点， ∵， ∴，， ∴， 在中，，则， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆外一点到圆上的距离，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，菱形的判定，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 4．点为平面直角坐标系中一点，点为图形上一点，我们将线段长度的最大值与最小值之间的差定义为点视角下图形的“包容度”．如图，半径为2，与轴，轴分别交于点，，点． (1)在点视角下，的“包容度”为_________，线段的“包容度”为_________； (2)点为轴上一点，若在点视角下，线段的“包容度”为2，写出的取值范围； 【答案】(1)4，2 (2)m的取值范围为或 【分析】（1）连接，连接并延长交于点，利用图形的“包容度”的定义分别求出这点到图形的长度的最大值与最小值即可得出结论； （2）分三种情况讨论解答：当点在线段（不含端点）上时，不合题意；当点在点B的右侧时，求出的范围即可得到结论；当点在点A的左侧时，利用勾股定理求得的大小，从而得到点的坐标，结论可得． 【详解】（1）解：连接，连接并延长，交于点，如图， 则为点P到的长度的最大值与最小值， ∴在点P视角下，的“包容度”为； ∵半径为2，与x轴分别交于点， ∴， ∵点P坐标为， ∴． ∴． ∴点P到线段AB的最大长度为5，最小值为3， ∴在点P视角下，线段的“包容度”为； 故答案为：4，2； （2）由（1）知：， 当点在线段（不含端点）上时， ∵， ∴，不合题意； 当点在点B的右侧时， ∵， ∴点P到的最小距离为3． 当时，， ∴，不合题意； ∴； 当点在点A的左侧时， ∵， ∴． ∴． ∴， ∴， ∴， 综上，m的取值范围为或． 【点睛】本题是一道圆的综合题，主要考查了点和圆的位置关系，勾股定理，点的坐标的特征，分类讨论的思想方法，本题是新定义型题目，连接并熟练运用新定义是解题的关键． 【考点38 动点的运动轨迹长度计算】 1．（2025·河南周口·模拟预测）数学活动课上，某小组将一个含的三角尺和一个正方形纸板如图1摆放，若，，将三角形绕点逆时针方向旋转（）角，观察图形的变化，并完成探究活动活动． 【初步探究】 如图2，连接，并延长，延长线相交于点，交于点． （1）问题1：和的数量关系是______，位置关系是______． 【深入探究】 应用问题1的结论解决下面的问题． （2）问题2：如图3，连接，点是的中点，连接，，求证：． 【尝试应用】 （3）问题3：如图4，请直接写出当旋转角从变化到时，点经过路线的长度． 【答案】（1），；（2）见解析；（3） 【分析】（1）先证，得到，，再根据和内角和推导，证即可得出结论； （2）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得证； （3）由（2）知点，则点G的运动轨迹是以O为圆心，为半径的弧上，再根据α的变化求圆心角即可得解． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是含有的直角三角尺， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， 故答案为：，； （2）证明：是直角三角形，是的中点， ， 由（1）知， 是直角三角形， ， ； （3）解：由（2）知，， 点的运动轨迹是以为圆心，为半径的弧， 连接，， 旋转角从变化到， 此时点的运动路线就是， 取中点，连接， ，，， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， 的长度为， 即点经过路线的长度为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、弧长公式等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 2．（2025·广东广州·一模）如图，边长为的正方形内部有一点，点在边的上方，，，连接、、． (1)求证：； (2)延长交所在直线于点； ①若，时，求的面积； ②若，当从到的变化过程中，求点经过的路径长． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）利用四边形是正方形，得出，，再证明，即可证明； （2）①设交于点，交于点，先证明证明，再证明和是等腰直角三角形，求出，，求出，再证明，得出，结合，即可求解； ②连接，取的中点，连接、．先证明，得出在以为圆心，为半径的上，过作于，当时，求出、，利用，判定，则可求出，当旋转角从变化到时，在上运动，求出，利用弧长公式即可求解． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， ∵， ∴， ， 在和中，， ； （2）解：①如图，设交于点，交于点， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形，， 是等腰直角三角形， ，， ∴， ， ， ∴， 又， ； ②如图，连接，取的中点，连接、． 四边形是正方形， ， 点是的中点， ，， 同①可知， 点是的中点， ， ∴在以为圆心，为半径的上， 如图，过作于， 当时， ， ， ， ，， ，， ， 又， ， ， ， ， 当旋转角从变化到时，在上运动， ，，， ， ∴点经过路线的长度为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，正方形的性质，勾股定理及其逆定理，圆周角定理，弧长公式，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． 3．（24-25九年级上·广东广州·期末）已知正方形的四个顶点在上 (1)如图1，若点在劣弧上，连接、、，若在上取一点，使得，连接，求证： (2)若点在弧上（不与点、、重合），过点作于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． (3)如图2，若正方形的边长为4，点是线段上的动点，过点作于点，将线段为边，在右侧作等边，求出点的运动轨迹长． 【答案】(1)见解析 (2)或，理由见解析 (3) 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质和圆周角定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）根据正方形的性质和圆周角定理，利用证明两三角形全等即可； （2）当点E在弧上时，过点作于点，证明，即可得到四边形是正方形，然后根据线段的和差解答；当点E在弧上时，在上取点，使，连接，根据全等三角形的对应边相等得到，，，然后证明是等腰直角三角形，即可得到结论； （3）将绕点C顺时针旋转得到，连接，可以得到，即可得到点N在以为直径的圆F上，然后根据弧长公式计算解答即可． 【详解】（1）证明：在正方形中，， 与都对应弧， ， 在和中， ； （2）解：满足或，理由如下： 如图，当点在弧上,过点作于点， ∵是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是矩形， 又∵， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，即； 当点在弧上时，在上取点，使，连接， 由（1）， ，，， 在正方形中，， ， ， ， 是等腰直角三角形三角形， ， ， ， ， ； （3）解：如图，将绕点C顺时针旋转得到，连接，则， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，， ∴点N在以为直径的圆F上， ∵最大为， ∴最大为，即最大圆心角为， ∴点N的运动路径为． 4．（2025·河北唐山·二模）如图1是某种笔记本电脑支架，如图2，其底座放置在水平桌面上，通过调节及的度数来控制托盘的高度，笔记本机身和屏幕分别用线段表示．已知，，，不计材料厚度． (1)若，． ①为使屏幕与桌面保持垂直，________________°； ②在①的条件下，求此时点H到桌面的距离； (2)从（1）的条件开始，保持，并逐渐增大的度数，直到托盘与平行时停止，求出点G移动的路径长．【（1）②、（2）的结果保留根号或】 【答案】(1)①120，② (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作辅助线构造直角三角形是解题关键． （1）①延长交于点，利用四边形内角和求解即可；②过点作，，则四边形是矩形，利用锐角三角函数分别求出，，进而得出，即可求解 （2）连接，由（1）得，在中，求出，当时，，即可得到的度数从增大到，绕点C顺时针旋转了，利用弧长公式计算即可得到答案． 【详解】（1）解：①如图，延长交于点， ， ， ， ，， ， ； ②如图，过点作，， 则四边形是矩形， ， 在中，， ， ，， ， 在中，， ， ， 即点到桌面的最大距离为； （2）解：连接，由（1）得， ∴在中，， 当时，， ∴的度数从增大到，绕点C顺时针旋转了， ∴点G移动的路径长为． 【考点39 动态图形的扫过的面积的计算】 1．如图1，一扇门，宽度，A到墙角的距离，设，A，在一条直线上，门打开后被与门所在墙面垂直的墙阻挡，边靠在墙的位置． (1)求的度数； (2)打开门后，门角上的点在地面扫过的痕迹为弧，设弧与两墙角线围成区域（如图的面积为，求的值 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了弧长公式和扇形面积公式的应用，解题的关键是理解门打开过程中相关线段和角度的变化关系． （1）通过分析门打开前后的线段关系，利用三角函数求出的度数． （2）先确定扇形的半径和圆心角，再根据扇形面积公式和三角形面积公式求出围成区域的面积． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ； （2）解： 2．（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)请画出关于轴对称的图形，并写出点的坐标； (2)将绕着原点顺时针旋转得到，请画出，并写出点的坐标；并求线段在旋转过程中扫过的面积（结果保留）． 【答案】(1)见解析， (2)见解析，点的坐标为； 【分析】本题考查作图-旋转变换、作图-轴对称变换，熟练掌握旋转的性质、轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所作，点的坐标 （2）解：如图，即为所作， 点的坐标为； ∵ ∴线段在旋转过程中扫过的面积 3．（2025·河南·模拟预测）如图1，直线分别交坐标轴于，两点，的中线交轴于点． (1)求直线的解析式． (2)如图2，将图1中的绕点逆时针旋转到的位置，求线段所扫过的图形的面积． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题考查了一次函数解析式的求解、三角形中线的性质以及旋转图形面积的计算，解题的关键是利用坐标轴交点和中线性质确定点坐标来求直线方程，通过旋转性质将线段扫过面积转化为扇形面积差计算． （1）先求直线与坐标轴交点得到、坐标，又根据是的中线，得到点的坐标为．设直线的解析式为，再用待定系数法求直线解析式； （2）设以点为圆心，长为半径的圆，分别交，于点，，由旋转性质知，得到扇形与扇形为全等图形，线段所扫过的图形面积即为与弧所围成的圆环的面积，通过计算得结果． 【详解】（1）解： 与轴交于点A，与轴交于点， 点A的坐标为，． 将代入，得，解得． 点的坐标为． 又是的中线， ，点的坐标为． 设直线的解析式为， 将点的坐标为代入上式，得，解得． 直线的解析式为； （2）解：如图，设以点为圆心，长为半径的圆，分别交，于点，， 由旋转的性质，可知， 扇形与扇形为全等图形． 线段所扫过的图形面积即为与弧所围成的圆环的面积． ，， ， 线段所扫过的图形面积为． 4．古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．波波决定研究一下圆．如图，、是的两条半径，，C是半径上一动点，连接并延长交于D，过点D作圆的切线交的延长线于E，已知． （1）求证：； （2）若，求长； （3）当从增大到的过程中，求弦在圆内扫过的面积． 【答案】（1）见解析；（2）8；（3） 【分析】1）连接，由切线的性质得出，由等腰三角形的性质得出，得出，即可得出结论； （2）设，则，，在中，由勾股定理得出方程，解法长即可； （3）过点作交的延长线于，当时，，得出，，，当时，，，即可得出结果． 【详解】解：（1）证明：连接，如图1所示： 是的切线， ， ， ， 、是的两条半径， ， ， ， ， ； （2）解：，， ， 设， ， ， ， ， ， 即：， 解得：， ； （3）解：过点作交的延长线于，如图2所示： 当时，， ，， ， 当时，， ，， ， 当从增大到的过程中，在圆内扫过的面积为： ． 【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、扇形面积的计算、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握切线的性质和勾股定理是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $