专题5.5 用二次函数解决问题（高效培优讲义）数学苏科版九年级下册

专题5.5 用二次函数解决问题 教学目标 1.了解销售利润、抛物线型、几何图形三类实际问题的背景，能分析其中变量与常量的关系； 2.会根据三类问题的等量关系（如总利润公式、几何公式）列二次函数解析式，确定自变量取值范围； 3.能在自变量范围内，用公式法或配方法求二次函数最值，检验结果合理性 教学重难点 1.重点：根据实际问题列二次函数解析式；确定自变量取值范围并求最值 2.难点：将实际场景（如抛物线型物体、几何图形）转化为数学模型；判断最值是否在顶点处（需结合增减性分析） 知识点01 二次函数与销售利润的问题 解决此类问题的基本思路: （1）理解问题; （2）分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系; （3）利用总利润=单件利润×销售量，或总利润=总售价一总成本，列出二次函数的解析式， （4）确定自变量取值范围：①涨价要保证销售量≥0;②降价要保证单件利润≥0. （5）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值 【即学即练】 1．“嫦娥”揽月、“祝融”探火、“羲和”逐日、“北斗”指路、“天和”遨游星辰．新中国成立75年来，中国航天事业从无到有、从弱到强，实现历史性、高质量、跨越式发展．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了航空航天模型．已知该模型每件成本为20元，按每件24元出售，每日可售出40件．经市场调查发现，这种模型每件涨价1元，日销售量会减少2件，每件模型应涨价 元，才能使每日利润最大． 【答案】8 【分析】 【详解】解：设当涨价a元时，单日利润为W元， 则， 因为，抛物线开口向下， 所以当时，， 即当每件模型应涨价8元，才能使每日利润最大． 故答案为：8． 2．陕西的水果种类繁多，品质优良，成为了当地经济的重要支柱．随着苹果的大量上市，某水果销售商以每箱30元的价格购进了一批苹果进行销售，经过一段时间后，发现以每箱40元的价格销售这批苹果时，平均每天可以售出80箱，若每箱苹果的售价每提高1元，则平均每天少售出2箱． (1)求销售这批苹果平均每天的利润元与每箱的售价（元）之间的函数关系式； (2)当每箱苹果的售价为55元时，求销售这批苹果平均每天的利润． 【答案】(1) (2)销售这批苹果平均每天的利润为元 【分析】 【详解】（1）解：； （2）解：当时，， 所以销售这批苹果平均每天的利润为元． 知识点02 二次函数与抛物线型问题 解决此类问题的基本思路: （1）建立恰当的直角坐标系 （2）能够将实际距离准确地转化为点的坐标； （3）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值 【即学即练】 1．有一个抛物线形拱桥，其最大高度为，跨度为，现把它的示意图放在平面直角坐标系中如图，求抛物线的解析式是 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：由题意得，抛物线的顶点坐标是， 设抛物线的解析式为， 代入得，， 解得． ∴抛物线的解析式为． 故答案为：． 2．如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：）与飞行时间x（单位：）之间具有函数关系，请根据要求解答下列问题： (1)在飞行过程中，当小球的飞行时，飞行高度是多少？ (2)在飞行过程中，当小球的飞行高度为时，飞行时间是多少？ (3)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？ (4)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？ 【答案】(1) (2)或 (3) (4)小球飞行高度在飞行时间是时最大，最大高度为． 【分析】 【详解】（1）解：在中，当时，， 答：当小球的飞行时，飞行高度是； （2）解：在中，当时，解得或， 答：当小球的飞行高度为时，飞行时间是或； （3）解：在中，当时，解得或， 答：小球从飞出到落地所用时间是； （4）解：∵， ∴小球飞行高度在飞行时间是时最大，最大高度为． 知识点03 二次函数与几何图形的问题 解决此类问题的基本思路: （1）理解问题; （2）分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系; （3）利用几何图形的周长及面积公式列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围; （4）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值; （5）检验结果的合理性。 注意：最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定 【即学即练】 1．某矩形的邻边长分别为和，假设每条边的长都增加时，矩形的面积增加． (1)与之间的关系式为______． (2)当该矩形每条边的长都增加，，时，矩形的面积各增加多少？ 【答案】(1) (2)当该矩形每条边的长都增加时，矩形的面积各增加 【分析】 【详解】解：（1）由题意得， 整理得： 故答案为： （2）当时，； 当时，； 当时，． 故答案为：当该矩形每条边的长都增加，，时，矩形的面积各增加． 2．用一根长为20cm的铁丝，把它弯成一个矩形，其中，矩形面积为． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当x为何值时，矩形的面积最大？最大面积为多少？ 【答案】(1) (2)当边长为5cm时，矩形的面积最大，最大面积是 【分析】 【详解】（1）解：由题意得， （2）解：， ∴当时，最大，最大为25， ∴当边长为5cm时，矩形的面积最大，最大面积是． 题型01 投球问题 例1．如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O点打出一球向球洞A飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度12米时，球移动的水平距离为9米．已知山坡与水平方向的夹角为，O、两点相距米． (1)求出点的坐标及球的飞行路线所在抛物线的解析式； (2)请通过计算，判断小明这一杆能否把球直接打入球洞． 【答案】(1)， (2)不能 【分析】 【详解】（1）解：由图可知：，由题意，， ∴，， ∴， 由题意，抛物线的顶点坐标为，且过原点， 设抛物线的解析式为，把代入，得，解得， ∴； （2）∵， ∴当时，， ∴小明这一杆不能把球直接打入球洞． 例2．在一场篮球赛中，队员甲面对面传球给乙，出手后篮球的高度y（）与飞出的水平距离x（）满足． (1)这次传球的出手高度是__________，篮球飞行的最大高度是__________； (2)队员乙在篮球飞行方向上距甲6处，他的最大摸高是3，他在原地能接到球吗？如能接到，请计算说明：如不能，他应该前进或后退多少米才能接到？ 【答案】(1)；4 (2)不能，前进或后退 【分析】 【详解】（1）解：令，代入得 ， 将化为顶点式得 ， ∴ 篮球飞行的最大高度是． 故答案依次为：；． （2）解：当时， ∵ ， ∴ 他在原地不能接到球． 令，则， 两边同乘得：， ， ， 解得，， ∴他应该后退能接到球或他应该前进能接到球． 变式1-1．我国女子铅球选手巩立姣夺得巴黎夏季奥运会第五名的成绩，她在最好一次成绩的投掷中，铅球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，铅球的飞行高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的函数关系式为，则巩立姣在巴黎夏季奥运会铅球比赛中的最好成绩是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：令，则， 整理得：， 解得（舍去），， ∴巩立姣在巴黎夏季奥运会铅球比赛中的最好成绩是． 故选：B． 变式1-2．发石车，古称“砲”，是中国古代战争中极具代表性的远程攻击武器，它通过杠杆原理或配重机制将石块等重物抛射出去，利用石块的动能冲击敌方防御工事．在数学视角下，发石车发射的石块在空中的运动轨迹可近似看作抛物线的一部分，我们可通过建立平面直角坐标系，结合抛物线性质分析其运动规律． 如图1所示，某发石车置于山坡底部的处，现以为原点，水平方向为轴、竖直方向为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．已知石块从点发射后，运动轨迹为抛物线的一部分，当石块距离发射点的水平距离为6米时，达到最大飞行高度12米；山坡上有一点A，A与的水平距离为9米，且到地面（轴）的竖直距离为6米；在点处建有一堵防御墙，防御墙的竖直高度为5米．请解决以下问题： (1)求石块运动轨迹所在抛物线的解析式； (2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙； (3)在竖直方向上，石块飞行时与坡面的最大距离是_______________米． 【答案】(1) (2)石块不能飞越防御墙 (3)在竖直方向上，石块飞行时与坡面的最大距离是米 【分析】 【详解】（1）解：根据题意知， 设抛物线的解析式为， 将点代入到中得， 解得， ∴拋物线的解析式为． （2）解：根据题意知， 在中，当时，， ， ∴石块不能飞越防御墙． （3）解：由题意可知点的坐标为， 设直线的解析式为， ， ， ∴直线的解析式为． 如图，作直线轴，交抛物线于点，交直线于点， 设点，则点的坐标为， ， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴在竖直方向上，石块飞行时与坡面的最大距离是米． 变式1-3．综合与实践 投壶，源于射礼，是我国古代宴饮时做的一种投掷游戏，也是一种礼仪．顾名思义，投壶就是由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分．综合与实践小组的同学受游戏启发，将箭抽象为一个点，以抛出箭时的站立点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系进行研究（单位长度为1米）．把壶近似看作矩形，、在轴上．已知壶口的宽度米，高度米．某同学将箭从点处抛出，箭的飞行轨迹为抛物线的一部分，且当箭达到最大飞行高度2米时，到抛出点的水平距离为1米．箭刚好从点擦边投入壶中． (1)求抛物线的函数解析式． (2)求站立点与壶的距离． (3)该同学再次抛出箭，仅调整了抛出点的高度，其他条件不变．若要使得箭再次投入壶中，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)站立点与壶的距离为2.4米 (3) 【分析】 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 将点代入解析式得：， 解得， 抛物线解析式为； （2）解：矩形， 米，米． 设， 抛物线过点， 则， 解得：或（舍）， ， 米， 米， （3）解：设点调整的高度为米， 则调整后的抛物线解析式为， 由（2）可知，，， 当抛物线经过点时，， 解得，此时点向下调整米， 当抛物线经过点时，， 解得，此时点无需调整， ， 米， 调整后的的取值范围． 题型02 销售问题 例3．某商家销售一种糕点，每盒进价为40元，在销售过程中发现，周销量y（盒）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其部分对应数据如表所示： 销售单价x（元） … 60 65 70 … 周销量y（盒） … 240 210 180 … (1)求y关于x的函数表达式． (2)当销售单价定为多少元时，每周出售这种糕点所获利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)当销售单价定为70元时，每周出售这种糕点所获利润最大，最大利润为5400元 【分析】 【详解】（1）解：由题意，设y关于x的函数表达式为， ∴， ∴， ∴y关于x的函数表达式为； （2）解：设销售利润为W元， 由题意，可得每周出售这种糕点所获利润， ， ∵， ∴当时，每周出售这种糕点所获利润最大，最大利润为5400元． 例4．某工厂计划从A，B两种产品中选择一种生产并销售，每日产销x件．已知A产品成本价为m元件（m为常数，且），售价为8元件，每日最多产销500件，同时每日共支付专利费30元；B产品成本价为12元件，售价为20元件，每日最多产销300件，同时每日支付专利费y元，y（元）与每日产销x件）满足关系式． (1)若产销A，B两种产品的日利润分别为元，元，请分别写出与x的函数关系式； (2)分别求的最大值； (3)为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由．［利润（售价成本）产销数量专利费］ 【答案】(1) (2)的最大值为，的最大值为1420 (3)当时，选A产品；当时，选A产品或B产品均可；当时，选B产品 【分析】 【详解】（1）解：由题意得，， ； （2）解：∵， ∴， 由题意得， ∴当时，最大， ∴ ， 在中，， ∴抛物线开口向下， ∴顶点横坐标， 又∵B产品每日最多产销300件， ∴当时，最大，最大为； （3）解：当时， 解得， ∵， ∴当时，A产品的最大利润更大，选A 产品； 当时， 解得，此时 A、B 产品利润相等，两种产品均可以选择； 当时， 解得， ∵， ∴时，B产品的最大利润更大，选B 产品． 变式2-1．某超市销售一种饮料，每瓶进价为4元．经市场调查表明，当售价为每瓶6元时，日均销售量为400瓶，若每瓶售价每增加4元．日均销售量减少．设每瓶售价为元，则日均毛利润为 【答案】 【详解】解：设每瓶的售价为元，日均毛利润为元，由题意得； ， 故答案为：． 变式2-2．某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的每天销售数量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 销售单价/元 … 40 60 80 … 每天销售数量/件 … 80 60 40 … (1)直接写出y与x之间的函数关系式________． (2)设该公司销售这种商品每天获利元，当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ (3)公司想要每天获利2000元，销售单价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)当销售单价为75元时，每天获利最大，最大利润是2025元 (3)70元或80元 【分析】 【详解】（1）解：∵商品的每天销售数量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系， ∴设， 由表可得当时，；当时，， ∴，解得， ∴y与x之间的函数关系式为； 故答案为：； （2）解：由题意得：， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，W有最大值，为2025元， ∴当销售单价为75元时，每天获利最大，最大利润是2025元． （3）解：当时，， 解得，， ∴公司想要每天获利2000元，销售单价应定为70元或80元． 变式2-3．某品牌运动鞋专卖店销售一款经典运动鞋．经市场调研，该鞋的进货成本为每双元．根据以往销售数据，当销售单价为元/双时，月平均销售量为双．为了增加销量，店铺决定采取降价促销；销售单价每降低1元，月销售量就会增加5双；但销售单价不低于元．设该运动鞋的销售单价为x元/双，月销售总利润为y元． (1)当销售单价定为元时，求月销售量和月销售利润； (2)销售单价定为多少元时，可获得最大月利润？最大月利润是多少元？ (3)若店铺要求月利润不低于元，销售单价应定在什么范围？ 【答案】(1)当销售单价定为元时，月销售量双，月销售利润元 (2)定价元可获得最大月利润，最大月利润是元 (3)销售单价应定在元到元之间 (包括元和元) 【分析】 【详解】（1）解：当销售单价定为元时， 月销售量双， 月销售利润元； （2）解：， ， 顶点横坐标为 ， ∵，图象开口向下， ∴当时，y随x增大而增大， 当时，元， 答：销售单价定为元时，可获得最大月利润，最大月利润是元． （3）解： ， 即 ， 解方程： ， 得 ，， ∵二次函数开口向上， ∴解集为， 又∵， ∴， 答：销售单价应定在元到元之间 (包括元和元) ．nn 题型03 图形问题 例5．有6长的铝合金材料，做成“日”字形窗框（不考虑材料加工时的损耗），如图所示，则做成的窗框的最大采光面积是 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：设为x，窗框的采光面积为S，则，， ∴窗框的采光面积， ∵， ∴当时，S取最大值为， 即当为时，窗框的采光面积最大． 故答案为： 例6．某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为．设饲养室长为，占地面积为． (1)如图1，问饲养室长x为多少时，占地面积y最大？ (2)如图2，若要求在图中所示位置留宽的门，请通过计算，判断占地面积能否达到？ 【答案】(1)当饲养室长时，占地面积最大 (2)占地面积不能达到，过程见详解 【分析】 【详解】（1）解：根据题意可得， ∴当时，占地面积y最大， 即当饲养室长时，占地面积最大. （2）解：根据题意可得， ∴当时，占地面积y最大， 即当饲养室长为时，占地面积最大，为338. ∴占地面积不能达到. 变式3-1．如图，在矩形中，，，动点从点出发向终点运动，连接，以为边在上方作正方形，在点运动的过程中，阴影部分面积的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：设，正方形的边长为， ∵四边形为矩形，，， ∴， ∴， ∵正方形的边长为， ∴， ∵， ∴， ∴当时，阴影部分面积最小为， 故答案为：． 变式3-2．《劳动教育》成为一门独立的课程，某校率先行动，在校园内开辟了一块劳动教育基地．九年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙（墙的最大可用长度为15米），现用长为34米的篱笆（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分），围成中间隔有一道篱笆的长方形菜地，在菜地的前端设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践，设垂直于墙的篱笆边长为米． (1)求当为何值时，围成的菜地面积为81平方米； (2)求垂直于墙的篱笆边长为多少米时，围成菜地的面积最大？最大面积是多少平方米？ 【答案】(1) (2)垂直于墙的篱笆边长为7米时，围成菜地的面积最大，最大面积是105平方米． 【分析】 【详解】（1）解：∵篱笆的总长为米，设垂直于墙的篱笆边长为米， 则米， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， 当时，围成的菜地面积为平方米； （2）解：设围成菜地的面积为平方米， ∵墙的最大可用长度为米， ，即， 解得， 根据题意得：， ∵，且对称轴为， ∴当时随x的增大而减小， ∴当时，有最大值，最大值为105， ∴垂直于墙的篱笆边长为7米时，围成菜地的面积最大，最大面积是105平方米． 变式3-3．在一次劳动课中，老师准备了一些长为、宽为的长方形硬纸板，准备利用这些纸板制作无盖的长方体纸盒，且每张纸板可制作两个纸盒（接头处忽略不计）．如图，活动小组将纸板在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再在中间裁掉一块正方形，再分别沿着虚线折起来，得到两个相同的无盖长方体纸盒，其中一个纸盒的底面是矩形． (1)求制作的无盖纸盒的底面的边的长； (2)写出一个无盖纸盒的体积y（单位：）与x（单位：）之间的函数关系式，并求出当x的值为5时，单个无盖纸盒的体积y的值． 【答案】(1) (2)，当时， 【分析】 【详解】（1）解：如图为两个无盖纸盒的展开图： 由图可知，， 故． 故边的长为； （2）解：根据题意，可知无盖纸盒的长宽高分别为：， ∴， ∴当时，． 题型04 拱桥问题 例7．如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度，他先测出门的宽度，然后用一根长为的小竹竿竖直地接触地面和门的内壁，并测得，则门高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】解：由题意得，抛物线过点、、， 设， 把代入， 得， 解得， ． 令得， ， 门的高度约为． 故选：B． 例8．某座大桥拱形可近似看作抛物线的一部分.如图（1），在大桥截面的比例图上，跨度，拱高，线段表示大桥拱内桥长，．如图（2），在比例图上，以直线为轴，抛物线的对称轴为轴，以作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系． (1)求图（2）中这条抛物线的解析式； (2)如果与的距离，求该大桥拱内实际桥长（备用数据：，计算结果精确到1米）． 【答案】(1) (2)该大桥拱内实际桥长为388米 【分析】 【详解】（1）解：由图知，该抛物线经过点，，， 点为抛物线的顶点， 可设， 代入点，得， 解得， 图（2）中这条抛物线的解析式为． （2）解：当时，， 解方程得，， （）． 根据大桥截面的比例为，可得（）． 该大桥拱内实际桥长为388米． 变式4-1．如图，是一座抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．当水面下降1m时，水面宽度增加多少？ (1)根据题意应如何恰当建立平面直角坐标系，请写出你的建系方案___________、____________． (2)依据你的建系方案： ①设出抛物线解析式为___________________． ②根据题意可知抛物线经过的点的坐标为________________．（根据需要的个数填写即可） (3)直接写出：当水面下降时，水面宽度增加多少？ 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3) 【分析】 【详解】（1）解∶ 如图所示，建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y通过中点O且通过C点，O为原点， （2）解：①根据题意得：抛物线的顶点坐标为， ∴可设出抛物线解析式为； 故答案为：； ②根据题意得：， ∴抛物线经过的点； 故答案为： （3）解：把点代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴当水面下降时，水面宽度为， ∴当水面下降时，水面宽度增加了． 变式4-2．图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为 ． 【答案】40 【详解】解：以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系， ， 设抛物线的解析式为， 将代入， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ， 故答案为：40． 变式4-3．某市一处十字路口立交桥的横断面如图所示，桥拱的部分为一段抛物线，顶点的高度为米，它两侧和是高为米的支柱，和为两个方向的机动车通行区，宽都为米，线段和为两段对称的上桥斜坡，且．以所在直线为轴，横断面的对称轴为轴建立平面直角坐标系． (1)求桥拱所在抛物线的解析式及的长； (2)和为支撑斜坡的立柱，其高都为米，相应的和为两个方向的行人及非机动车通行区，若，求的宽度； (3)按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于米．今有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为米．它能否从桥下区域安全通过？请说明理由． 【答案】(1)桥拱所在抛物线的解析式为，的宽为米； (2)的宽为米； (3)该大型运货汽车可以从桥下区域安全通过，理由见解析． 【分析】 【详解】（1）解：设桥拱所在抛物线的解析式为， 由题意得，，， ∴，解得， ∴桥拱所在抛物线的解析式为， ∵，， ∴（米）， ∴（米）， 答：的长为米； （2）解：∵，米， ∴（米）， ∴（米）， 答：的宽为米； （3）解：该大型运货汽车可以从桥下区域安全通过，理由， 当时，， ∵， ∴该大型运货汽车可以从桥下区域安全通过． 题型05 喷水问题 例9．小红观察到一处喷水景观喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：喷水装置竖立在地面上，建立如图所示的平面直角坐标系，其中一条水柱距地面的高度y（m）与水柱距喷水头的水平距离x（m）之间满足关系式． (1)求喷头P与地面的距离OP； (2)已知身高的小红现直立在距离喷水装置的水柱正下方的点B处，此时她的头顶并未接触到水柱，小红想要继续沿方向直立行走，当她的头顶恰好接触到水柱时，距离点B多远？ 【答案】(1) (2)离点远 【分析】 【详解】（1）当时，， 答：喷头P与地面的距离为0.4m． （2）将代入得：， 解得（舍），， ， 答：当小红的头顶恰好接触到水柱时，距离点B 3m远． 例10．年月日，商业首航完成中国民航商业运营国产大飞机正式起步时分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”寓意“接风洗尘”，是国际民航中高级别的礼仪如图，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分如图，当两辆消防车喷水口A，的水平距离为米时，两条水柱在抛物线的顶点处相遇此时相遇点距地面米，喷水口A，距地面均为米若两辆消防车同时后退米，两条水柱的形状及喷水口，到地面的距离均保持不变，求此时两条水柱相遇点距地面多少米． 【答案】此时两条水柱相遇点距地面米 【详解】解：由题意得，， ， ，， 设抛物线解析式为， 将代入， 得，解得， ， 两辆消防车同时后退米， 抛物线向右平移后的解析式为， 当时，则， 答：此时两条水柱相遇点距地面米． 变式5-1．如图：某广场有一喷水池，水从地面喷出，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（　　） A．4米 B．3米 C．2米 D．1米 【答案】A 【详解】解：， ∵抛物线开口向下， ∴二次函数有最大值为4， ∴水喷出的最大高度是4米． 故选：A． 变式5-2．某圆形洗手盆上安装了一款水龙头，其弯曲部分呈抛物线形，以水龙头底部与洗手盆台面的交点O为坐标原点，直立部分所在直线为y轴，垂直于的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，测得水龙头最高点P距x轴，距y轴． (1)直接写出点P的坐标__________； (2)若沿水龙头喷出的水柱仍然按照原来的抛物线轨迹运动，且在台面的落点到直立部分的距离为，求水龙头直立部分的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵点P距x轴，距y轴，且点在第一象限， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意得，设抛物线解析式为，且抛物线经过点， ∴，解得， 因此， 当时，， ∴水龙头直立部分的长度为． 变式5-3．某游乐场的圆形喷水池中心有一喷水管米，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立平面直角坐标系，点在轴上．已知在与池中心点水平距离为3米时，水柱达到最高，此时高度为2米． (1)求水柱所在的抛物线（第一象限部分）的函数表达式； (2)身高为的小颖站在距离喷水管的地方，她会被水喷到吗？ 【答案】(1) (2)她不会被水喷到 【分析】 【详解】（1）解：设拋物线解析式为， 由图像可得，，图像过， ， 解得：， ． （2）解：当时，， ∴她不会被水喷到．nnnn 题型06 动点问题 例11．如图，在矩形中，，，点在边上移动（不与点B，C重合），连接，过点E作交于点F，设，，则与之间的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接． ∵在矩形中，，， ∴，， ∵，，则，， ∴，，， 又∵为直角三角形， ∴，即， 整理得， 该函数图象是开口向下、顶点坐标是的抛物线， ∵点在边上移动（不与点B，C重合）， ∴该函数图象不包含原点和x轴的交点， 故选：B． 例12．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动．如果，两点分别从，两点同时出发，那么的面积随出发时间变化而变化． (1)写出关于的函数解析式及的取值范围． (2)当运动时间为何值时，的面积能否达到？若能，求出值；若不能请说明理由． (3)当运动时间为何值时，的面积能否达到？若能，求出值；若不能请说明理由． 【答案】(1)， (2)经过1秒或5秒，的面积为 (3)的面积不能达到 【分析】 【详解】（1）解：∵，，， ∴， S关于的函数解析式为：； 的取值范围是：． （2）解：设经过秒，的面积为． ∴即， 解得： 答：经过1秒或5秒，的面积为． （3）解：设经过秒，的面积为． ∴即， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能达到． 变式6-1．如图1，在中，，，动点从点开始沿边向点移动，动点从点开始沿边向点移动，两点同时出发，到达各自的终点后停止．设点运动的时间为（单位：），的面积为（单位：），与的函数图象如图2所示，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由图2得：点N到达点C所用时间为，点M到达点B所用时间为，且当时，的面积为， 如图， 此时， ∴的面积为的面积的2倍，即， ∴的面积为． 故选：B 变式6-2．如图，在平面直角坐标系中，点和点分别在轴和轴的正半轴上，，，以，为邻边作矩形.点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动。过点作交于点，连接.设运动时间为秒，记的面积为，求与的函数解析式 【答案】 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的函数解析式为， 延长交轴于点， ∴由图可得，点的横坐标，， ∴，点， 即 ∴， ∴， 故答案为： 变式6-3．如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边终点以速度移动．如果分别从同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒（）． (1)填空： ______；（用含的代数式表示） (2)当为何值时，的长度等于？ (3)连接，，记的面积为． ① ______（用含的代数式表示）； ②当______秒时，的最小值为______． 【答案】(1) (2)当秒时,的长度等于 (3)①；②2；48． 【分析】 【详解】（1）解：∵，点从点开始沿边向终点以的速度移动， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意得，，，， ∴， 解得（不合题意，舍去），， ∴当秒时,的长度等于； （3）解：①根据题意得，，，，，，， ∴ ， 故答案为：； ②由①可知，， ∵， ∴当秒时，取得最小值，最小值为， 故答案为：2，48． 一、单选题 1．某商场购进一批文创商品，进价为每件20元．当售价为每件28元时，每周可卖出160件；售价每降低1元，每周销量增加20件，设每件售价为x元，每周利润为y元，y与x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得：． 故选：A． 2．从地面竖直向上抛出一小球，小球高度与小球运动时间之间的关系式是．有下列结论： ①小球运动时间是时，高度为； ②小球运动中高度可以是； ③当时，高度h随着时间t的增大而减小． 其中正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】 【详解】解：①当时，，故①正确； ②， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为，故②错误； ③由②可知，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，高度随着时间的增大而减小，故③正确， ∴正确的个数有 2 个， 故选：C． 3．某宾馆有50个房间供游客居住，市场监管部门规定每间房价不得高于360元，当每个房间每天的定价为220元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的成本．有下列结论： ①若每个房间定价增加30元，则每天居住的房间数为47个； ②每个房间的定价可以有两个不同的值满足该宾馆某天利润为12000元； ③宾馆每天的最大利润为12250元． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】 【详解】结论①：定价增加30元，即定价为元， 每增加10元，空闲房间数增加1个， 故增加30元对应空闲3个，居住房间数为个，故①结论正确； 结论②：设定价增加元，则定价为元，房间数为个． 根据题意得， 解得或． 当时，对应定价为元（超过360元上限）， ∴，故②结论错误； 结论③：设利润为w，根据题意得， ∵ ∴抛物线开口向下，对称轴为， ∵ ∴ ∴当， ∴最大利润为：元，故③结论错误． 综上，仅结论①正确，正确个数为1． 选B． 【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，有理数运算的实际应用，一元二次方程的实际应用，解题的关键是掌握以上知识点． 二、填空题 4．某企业有效做好常态化防控，有序推进复工复产，扩大内需，经市场调研发现：如果单独投资A种产品，则所获利润（万元）与投资金额x（万元）之间存在一次函数关系：；如果单独投资B种产品，则所获利润（万元）与投资金额x（万元）之间存在二次函数关系：，如果企业同时对A、B两种产品共投资20万元，能获得的最大利润 ． 【答案】14万元 【详解】解：设投资A产品a万元，投资B产品万元，利润为W万元， 则 ； ∴当时，能获得的最大利润； 故最大利润为14万元． 故答案为：14万元． 5．如图，要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，若水管高度为，要使水柱落地处在水池内，水池半径至少应为 m． 【答案】4 【分析】 【详解】解：设抛物线的解析式为， 由题意可知抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点为， ， 解得：， 抛物线的解析式为：， 当时，，解得（负根已舍去）， 水池半径至少应为， 故答案为：． 6．某校计划举办劳动之星颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“劳”“动”“之”“星”（分别记作点，，，）四个大字，要求与地面平行，且，抛物线最高点的五角星（点）到的距离为，，，如图2所示，则点到的距离为 ． 【答案】 【详解】解：如图，建立平面直角坐标系， 由题意可得：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 设解析式为， 由题意可得， 解得：， ∴， ∵点的横坐标为， ∴点的纵坐标为， ∴点到的距离为， 故答案为：． 三、解答题 7．如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的长方形花圃．    (1)设花圃的一边为，则的长可用含的代数式表示为 ； (2)当的长是多少米时，围成的花圃面积为最大？最大面积多少平方米？ 【答案】(1) (2)当的长是米时，围成的花圃面积为最大，最大面积为平方米 【分析】 【详解】（1）解：的长可用含的代数式表示为． 故答案为：； （2）解：设围成的花圃面积为y， 依题意，得， ， ， ， 当时，y有最大值，y最大． 即当的长是米时，围成的花圃面积为最大，最大面积为平方米 8．如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的，大孔水面宽度为，顶点距水面，小孔顶点距水面4.5m，当水位上涨刚好淹没小孔时，求此时大孔的水面宽度． 【答案】 【分析】 【详解】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，M点坐标为，A点坐标为，B点坐标为， 由顶点M的坐标为，可设中间大抛物线的函数式为， ∵点B在此抛物线上， ∴， 解得， ∴函数式为， ∵小孔顶点距水面4.5m, ∴， 将代入解析式得 ， 解得， ∴可得． 答：当水位上涨刚好淹没小孔时，此时大孔的水面宽度为． 9．一名运动员第一次在距离篮圈中心（水平距离）远处跳起投篮，篮球在空中运行的路线为一条抛物线球出手点距离地面，在与运动员水平距离为的空中到达最大高度，篮圈中心点距离地面约，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求篮球运行路线所在抛物线的解析式． (2)该运动员此次投篮篮球未经过篮圈中心，请你通过计算说明理由． (3)该运动员在相同位置再次运球准备投篮时，吸引到对方防守人员前来拦截，该运动员立即运球后撤、跳起投篮，篮球经过篮圈中心若该运动员在第二次投篮时的出球高度、角度和力度都与第一次一样，求他后撤的距离．（结果保留根号） 【答案】(1)； (2)见解析； (3)他后撤的距离为． 【分析】 【详解】（1）解：根据题意，得点， 设篮球运行路线所在抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得：， 篮球运行路线所在抛物线的解析式为； （2）解：根据题意，得点坐标为， 当时，， 点不在篮球运行路线上，即运动员此次投篮篮球未经过篮圈中心． （3）解：令，得． 解得：，舍去． ， 答：他后撤的距离为． 10．某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度为4米．在距点水平距离为米的地点，拱桥距离水面的高度为米．小路同学根据学习函数的经验，对和之间的关系进行了探究． /米 0 0.6 1 1.8 2.4 3 3.6 4 /米 0.88 1.90 2.38 2.86 2.80 2.38 1.6 0.88 经过测量，得出了和的几组对应值，如上表．将表中数据对应的点描在坐标系中，通过观察发现是关于的 ． （1）根据表中数据写出桥墩露出水面的高度 米； （2）求与之间的函数关系式； （3）公园欲开设游船项目，现有长为3.5，宽为1.5，露出水面高度为1.88的游船．为安全起见，公园要在水面上的两处设置警戒线，并且，要求游船能从两点之间安全通过，则处距桥墩距离至少为多少米． 【答案】图象见解析；二次函数； （1）0.88；（2）；（3）米 【分析】 【详解】解：图象如下： 由此可得是关于的二次函数． 故答案为：二次函数． （1）由表格可知，当时，， ∵拱桥距离水面的高度为米， ∴桥墩露出水面的高度米； 故答案为：0.88； （2）由（1）知，当时，， 设与之间的函数关系式为， 由表格可知，当时，；当时，； ∴，解得， ∴， 与之间的函数关系式为； （3）令，即， 整理可得， 解得（舍），， ∴处距桥墩距离至少为米． 11．某商贸公司购进某种商品，经过市场调研，整理出这种商品在第天的售价与日销售量的相关信息如下表： 时间x（天） 售价（元） 60 日销售量 已知这种商品的进价为20元/kg，设销售这种商品的日销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式； (2)第几天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ (3)公司在销售的前28天中，每销售1kg这种商品就捐赠元（）给希望工程，若每天扣除捐赠后的日销售利润随时间的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1) (2)第25天；2450元 (3) 【分析】 【详解】（1）解：当时， 当时， ； （2）解：当时， ， 当时，， 当时， ∴随的增大而减小， 当时，， ∴在第25天的销售利润最大，最大日销售利润为2450元； （3）解：设每天扣除捐赠后的日销售利润为元， ∴对称轴为直线， ∵随的增大而增大，为整数， 解得， 12．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B移动，速度为；点Q从点B开始沿边向点C移动，速度为，点P、Q分别从点A、B同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动． (1)是否存在时间t，使得直线平分的面积，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由； (2)经过多少秒后，四边形的面积最小，最小是多少？ 【答案】(1)不存在时间t，使得直线平分的面积，理由见解析 (2)经过后，四边形的面积最小，最小是 【分析】 【详解】（1）解：不存在时间t，使得直线平分的面积，理由如下： 假设存在时间t，使得直线平分的面积， 根据题意得：， ∴， ∵直线平分的面积，即， ∴， ∴， 整理得：， 此时， ∴该方程无解， 即不存在时间t，使得直线平分的面积； （2）解：根据题意得：， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，四边形的面积最小，最小是， 即经过后，四边形的面积最小，最小是． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.5 用二次函数解决问题 教学目标 1.了解销售利润、抛物线型、几何图形三类实际问题的背景，能分析其中变量与常量的关系； 2.会根据三类问题的等量关系（如总利润公式、几何公式）列二次函数解析式，确定自变量取值范围； 3.能在自变量范围内，用公式法或配方法求二次函数最值，检验结果合理性 教学重难点 1.重点：根据实际问题列二次函数解析式；确定自变量取值范围并求最值 2.难点：将实际场景（如抛物线型物体、几何图形）转化为数学模型；判断最值是否在顶点处（需结合增减性分析） 知识点01 二次函数与销售利润的问题 解决此类问题的基本思路: （1）理解问题; （2）分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系; （3）利用总利润=单件 ×销售量，或总利润=总售价- ，列出二次函数的解析式， （4）确定自变量取值范围：①涨价要保证销售量 ;②降价要保证单件利润 . （5）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的 或 【即学即练】 1．“嫦娥”揽月、“祝融”探火、“羲和”逐日、“北斗”指路、“天和”遨游星辰．新中国成立75年来，中国航天事业从无到有、从弱到强，实现历史性、高质量、跨越式发展．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了航空航天模型．已知该模型每件成本为20元，按每件24元出售，每日可售出40件．经市场调查发现，这种模型每件涨价1元，日销售量会减少2件，每件模型应涨价 元，才能使每日利润最大． 2．陕西的水果种类繁多，品质优良，成为了当地经济的重要支柱．随着苹果的大量上市，某水果销售商以每箱30元的价格购进了一批苹果进行销售，经过一段时间后，发现以每箱40元的价格销售这批苹果时，平均每天可以售出80箱，若每箱苹果的售价每提高1元，则平均每天少售出2箱． (1)求销售这批苹果平均每天的利润元与每箱的售价（元）之间的函数关系式； (2)当每箱苹果的售价为55元时，求销售这批苹果平均每天的利润． 知识点02 二次函数与抛物线型问题 解决此类问题的基本思路: （1）建立恰当的直角坐标系 （2）能够将实际距离准确地转化为点的 ； （3）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的 或 【即学即练】 1．有一个抛物线形拱桥，其最大高度为，跨度为，现把它的示意图放在平面直角坐标系中如图，求抛物线的解析式是 ． 2．如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：）与飞行时间x（单位：）之间具有函数关系，请根据要求解答下列问题： (1)在飞行过程中，当小球的飞行时，飞行高度是多少？ (2)在飞行过程中，当小球的飞行高度为时，飞行时间是多少？ (3)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？ (4)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？ 知识点03 二次函数与几何图形的问题 解决此类问题的基本思路: （1）理解问题; （2）分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系; （3）利用几何图形的 及 公式列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围; （4）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的 或 ; （5）检验结果的合理性。 注意：最值有时不在顶点处，则要利用函数的 来确定 【即学即练】 1．某矩形的邻边长分别为和，假设每条边的长都增加时，矩形的面积增加． (1)与之间的关系式为______． (2)当该矩形每条边的长都增加，，时，矩形的面积各增加多少？ 2．用一根长为20cm的铁丝，把它弯成一个矩形，其中，矩形面积为． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当x为何值时，矩形的面积最大？最大面积为多少？ 题型01 投球问题 例1．如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O点打出一球向球洞A飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度12米时，球移动的水平距离为9米．已知山坡与水平方向的夹角为，O、两点相距米． (1)求出点的坐标及球的飞行路线所在抛物线的解析式； (2)请通过计算，判断小明这一杆能否把球直接打入球洞． 例2．在一场篮球赛中，队员甲面对面传球给乙，出手后篮球的高度y（）与飞出的水平距离x（）满足． (1)这次传球的出手高度是__________，篮球飞行的最大高度是__________； (2)队员乙在篮球飞行方向上距甲6处，他的最大摸高是3，他在原地能接到球吗？如能接到，请计算说明：如不能，他应该前进或后退多少米才能接到？ 变式1-1．我国女子铅球选手巩立姣夺得巴黎夏季奥运会第五名的成绩，她在最好一次成绩的投掷中，铅球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，铅球的飞行高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的函数关系式为，则巩立姣在巴黎夏季奥运会铅球比赛中的最好成绩是（    ） A． B． C． D． 变式1-2．发石车，古称“砲”，是中国古代战争中极具代表性的远程攻击武器，它通过杠杆原理或配重机制将石块等重物抛射出去，利用石块的动能冲击敌方防御工事．在数学视角下，发石车发射的石块在空中的运动轨迹可近似看作抛物线的一部分，我们可通过建立平面直角坐标系，结合抛物线性质分析其运动规律． 如图1所示，某发石车置于山坡底部的处，现以为原点，水平方向为轴、竖直方向为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．已知石块从点发射后，运动轨迹为抛物线的一部分，当石块距离发射点的水平距离为6米时，达到最大飞行高度12米；山坡上有一点A，A与的水平距离为9米，且到地面（轴）的竖直距离为6米；在点处建有一堵防御墙，防御墙的竖直高度为5米．请解决以下问题： (1)求石块运动轨迹所在抛物线的解析式； (2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙； (3)在竖直方向上，石块飞行时与坡面的最大距离是_______________米． 变式1-3．综合与实践 投壶，源于射礼，是我国古代宴饮时做的一种投掷游戏，也是一种礼仪．顾名思义，投壶就是由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分．综合与实践小组的同学受游戏启发，将箭抽象为一个点，以抛出箭时的站立点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系进行研究（单位长度为1米）．把壶近似看作矩形，、在轴上．已知壶口的宽度米，高度米．某同学将箭从点处抛出，箭的飞行轨迹为抛物线的一部分，且当箭达到最大飞行高度2米时，到抛出点的水平距离为1米．箭刚好从点擦边投入壶中． (1)求抛物线的函数解析式． (2)求站立点与壶的距离． (3)该同学再次抛出箭，仅调整了抛出点的高度，其他条件不变．若要使得箭再次投入壶中，请直接写出的取值范围． 题型02 销售问题 例3．某商家销售一种糕点，每盒进价为40元，在销售过程中发现，周销量y（盒）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其部分对应数据如表所示： 销售单价x（元） … 60 65 70 … 周销量y（盒） … 240 210 180 … (1)求y关于x的函数表达式． (2)当销售单价定为多少元时，每周出售这种糕点所获利润最大？最大利润为多少元？ 例4．某工厂计划从A，B两种产品中选择一种生产并销售，每日产销x件．已知A产品成本价为m元件（m为常数，且），售价为8元件，每日最多产销500件，同时每日共支付专利费30元；B产品成本价为12元件，售价为20元件，每日最多产销300件，同时每日支付专利费y元，y（元）与每日产销x件）满足关系式． (1)若产销A，B两种产品的日利润分别为元，元，请分别写出与x的函数关系式； (2)分别求的最大值； (3)为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由．［利润（售价成本）产销数量专利费］ 变式2-1．某超市销售一种饮料，每瓶进价为4元．经市场调查表明，当售价为每瓶6元时，日均销售量为400瓶，若每瓶售价每增加4元．日均销售量减少．设每瓶售价为元，则日均毛利润为 变式2-2．某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的每天销售数量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 销售单价/元 … 40 60 80 … 每天销售数量/件 … 80 60 40 … (1)直接写出y与x之间的函数关系式________． (2)设该公司销售这种商品每天获利元，当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ (3)公司想要每天获利2000元，销售单价应定为多少元？ 变式2-3．某品牌运动鞋专卖店销售一款经典运动鞋．经市场调研，该鞋的进货成本为每双元．根据以往销售数据，当销售单价为元/双时，月平均销售量为双．为了增加销量，店铺决定采取降价促销；销售单价每降低1元，月销售量就会增加5双；但销售单价不低于元．设该运动鞋的销售单价为x元/双，月销售总利润为y元． (1)当销售单价定为元时，求月销售量和月销售利润； (2)销售单价定为多少元时，可获得最大月利润？最大月利润是多少元？ (3)若店铺要求月利润不低于元，销售单价应定在什么范围？ 题型03 图形问题 例5．有6长的铝合金材料，做成“日”字形窗框（不考虑材料加工时的损耗），如图所示，则做成的窗框的最大采光面积是 ． 例6．某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为．设饲养室长为，占地面积为． (1)如图1，问饲养室长x为多少时，占地面积y最大？ (2)如图2，若要求在图中所示位置留宽的门，请通过计算，判断占地面积能否达到？ 变式3-1．如图，在矩形中，，，动点从点出发向终点运动，连接，以为边在上方作正方形，在点运动的过程中，阴影部分面积的最小值为 ． 变式3-2．《劳动教育》成为一门独立的课程，某校率先行动，在校园内开辟了一块劳动教育基地．九年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙（墙的最大可用长度为15米），现用长为34米的篱笆（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分），围成中间隔有一道篱笆的长方形菜地，在菜地的前端设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践，设垂直于墙的篱笆边长为米． (1)求当为何值时，围成的菜地面积为81平方米； (2)求垂直于墙的篱笆边长为多少米时，围成菜地的面积最大？最大面积是多少平方米？ 变式3-3．在一次劳动课中，老师准备了一些长为、宽为的长方形硬纸板，准备利用这些纸板制作无盖的长方体纸盒，且每张纸板可制作两个纸盒（接头处忽略不计）．如图，活动小组将纸板在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再在中间裁掉一块正方形，再分别沿着虚线折起来，得到两个相同的无盖长方体纸盒，其中一个纸盒的底面是矩形． (1)求制作的无盖纸盒的底面的边的长； (2)写出一个无盖纸盒的体积y（单位：）与x（单位：）之间的函数关系式，并求出当x的值为5时，单个无盖纸盒的体积y的值． 题型04 拱桥问题 例7．如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度，他先测出门的宽度，然后用一根长为的小竹竿竖直地接触地面和门的内壁，并测得，则门高为（    ） A． B． C． D． 例8．某座大桥拱形可近似看作抛物线的一部分.如图（1），在大桥截面的比例图上，跨度，拱高，线段表示大桥拱内桥长，．如图（2），在比例图上，以直线为轴，抛物线的对称轴为轴，以作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系． (1)求图（2）中这条抛物线的解析式； (2)如果与的距离，求该大桥拱内实际桥长（备用数据：，计算结果精确到1米）． 变式4-1．如图，是一座抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．当水面下降1m时，水面宽度增加多少？ (1)根据题意应如何恰当建立平面直角坐标系，请写出你的建系方案___________、____________． (2)依据你的建系方案： ①设出抛物线解析式为___________________． ②根据题意可知抛物线经过的点的坐标为________________．（根据需要的个数填写即可） (3)直接写出：当水面下降时，水面宽度增加多少？ 变式4-2．图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为 ． 变式4-3．某市一处十字路口立交桥的横断面如图所示，桥拱的部分为一段抛物线，顶点的高度为米，它两侧和是高为米的支柱，和为两个方向的机动车通行区，宽都为米，线段和为两段对称的上桥斜坡，且．以所在直线为轴，横断面的对称轴为轴建立平面直角坐标系． (1)求桥拱所在抛物线的解析式及的长； (2)和为支撑斜坡的立柱，其高都为米，相应的和为两个方向的行人及非机动车通行区，若，求的宽度； (3)按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于米．今有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为米．它能否从桥下区域安全通过？请说明理由． 题型05 喷水问题 例9．小红观察到一处喷水景观喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：喷水装置竖立在地面上，建立如图所示的平面直角坐标系，其中一条水柱距地面的高度y（m）与水柱距喷水头的水平距离x（m）之间满足关系式． (1)求喷头P与地面的距离OP； (2)已知身高的小红现直立在距离喷水装置的水柱正下方的点B处，此时她的头顶并未接触到水柱，小红想要继续沿方向直立行走，当她的头顶恰好接触到水柱时，距离点B多远？ 例10．年月日，商业首航完成中国民航商业运营国产大飞机正式起步时分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”寓意“接风洗尘”，是国际民航中高级别的礼仪如图，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分如图，当两辆消防车喷水口A，的水平距离为米时，两条水柱在抛物线的顶点处相遇此时相遇点距地面米，喷水口A，距地面均为米若两辆消防车同时后退米，两条水柱的形状及喷水口，到地面的距离均保持不变，求此时两条水柱相遇点距地面多少米． 变式5-1．如图：某广场有一喷水池，水从地面喷出，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（　　） A．4米 B．3米 C．2米 D．1米 变式5-2．某圆形洗手盆上安装了一款水龙头，其弯曲部分呈抛物线形，以水龙头底部与洗手盆台面的交点O为坐标原点，直立部分所在直线为y轴，垂直于的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，测得水龙头最高点P距x轴，距y轴． (1)直接写出点P的坐标__________； (2)若沿水龙头喷出的水柱仍然按照原来的抛物线轨迹运动，且在台面的落点到直立部分的距离为，求水龙头直立部分的长度． 变式5-3．某游乐场的圆形喷水池中心有一喷水管米，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立平面直角坐标系，点在轴上．已知在与池中心点水平距离为3米时，水柱达到最高，此时高度为2米． (1)求水柱所在的抛物线（第一象限部分）的函数表达式； (2)身高为的小颖站在距离喷水管的地方，她会被水喷到吗？ 题型06 动点问题 例11．如图，在矩形中，，，点在边上移动（不与点B，C重合），连接，过点E作交于点F，设，，则与之间的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 例12．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动．如果，两点分别从，两点同时出发，那么的面积随出发时间变化而变化． (1)写出关于的函数解析式及的取值范围． (2)当运动时间为何值时，的面积能否达到？若能，求出值；若不能请说明理由． (3)当运动时间为何值时，的面积能否达到？若能，求出值；若不能请说明理由． 变式6-1．如图1，在中，，，动点从点开始沿边向点移动，动点从点开始沿边向点移动，两点同时出发，到达各自的终点后停止．设点运动的时间为（单位：），的面积为（单位：），与的函数图象如图2所示，则的面积为（   ） A． B． C． D． 变式6-2．如图，在平面直角坐标系中，点和点分别在轴和轴的正半轴上，，，以，为邻边作矩形.点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动。过点作交于点，连接.设运动时间为秒，记的面积为，求与的函数解析式 变式6-3．如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边终点以速度移动．如果分别从同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒（）． (1)填空： ______；（用含的代数式表示） (2)当为何值时，的长度等于？ (3)连接，，记的面积为． ① ______（用含的代数式表示）； ②当______秒时，的最小值为______． 一、单选题 1．某商场购进一批文创商品，进价为每件20元．当售价为每件28元时，每周可卖出160件；售价每降低1元，每周销量增加20件，设每件售价为x元，每周利润为y元，y与x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 2．从地面竖直向上抛出一小球，小球高度与小球运动时间之间的关系式是．有下列结论： ①小球运动时间是时，高度为； ②小球运动中高度可以是； ③当时，高度h随着时间t的增大而减小． 其中正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．某宾馆有50个房间供游客居住，市场监管部门规定每间房价不得高于360元，当每个房间每天的定价为220元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的成本．有下列结论： ①若每个房间定价增加30元，则每天居住的房间数为47个； ②每个房间的定价可以有两个不同的值满足该宾馆某天利润为12000元； ③宾馆每天的最大利润为12250元． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 4．某企业有效做好常态化防控，有序推进复工复产，扩大内需，经市场调研发现：如果单独投资A种产品，则所获利润（万元）与投资金额x（万元）之间存在一次函数关系：；如果单独投资B种产品，则所获利润（万元）与投资金额x（万元）之间存在二次函数关系：，如果企业同时对A、B两种产品共投资20万元，能获得的最大利润 ． 5．如图，要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，若水管高度为，要使水柱落地处在水池内，水池半径至少应为 m． 6．某校计划举办劳动之星颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“劳”“动”“之”“星”（分别记作点，，，）四个大字，要求与地面平行，且，抛物线最高点的五角星（点）到的距离为，，，如图2所示，则点到的距离为 ． 三、解答题 7．如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的长方形花圃．    (1)设花圃的一边为，则的长可用含的代数式表示为 ； (2)当的长是多少米时，围成的花圃面积为最大？最大面积多少平方米？ 8．如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的，大孔水面宽度为，顶点距水面，小孔顶点距水面4.5m，当水位上涨刚好淹没小孔时，求此时大孔的水面宽度． 9．一名运动员第一次在距离篮圈中心（水平距离）远处跳起投篮，篮球在空中运行的路线为一条抛物线球出手点距离地面，在与运动员水平距离为的空中到达最大高度，篮圈中心点距离地面约，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求篮球运行路线所在抛物线的解析式． (2)该运动员此次投篮篮球未经过篮圈中心，请你通过计算说明理由． (3)该运动员在相同位置再次运球准备投篮时，吸引到对方防守人员前来拦截，该运动员立即运球后撤、跳起投篮，篮球经过篮圈中心若该运动员在第二次投篮时的出球高度、角度和力度都与第一次一样，求他后撤的距离．（结果保留根号） 10．某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度为4米．在距点水平距离为米的地点，拱桥距离水面的高度为米．小路同学根据学习函数的经验，对和之间的关系进行了探究． /米 0 0.6 1 1.8 2.4 3 3.6 4 /米 0.88 1.90 2.38 2.86 2.80 2.38 1.6 0.88 经过测量，得出了和的几组对应值，如上表．将表中数据对应的点描在坐标系中，通过观察发现是关于的 ． （1）根据表中数据写出桥墩露出水面的高度 米； （2）求与之间的函数关系式； （3）公园欲开设游船项目，现有长为3.5，宽为1.5，露出水面高度为1.88的游船．为安全起见，公园要在水面上的两处设置警戒线，并且，要求游船能从两点之间安全通过，则处距桥墩距离至少为多少米． 11．某商贸公司购进某种商品，经过市场调研，整理出这种商品在第天的售价与日销售量的相关信息如下表： 时间x（天） 售价（元） 60 日销售量 已知这种商品的进价为20元/kg，设销售这种商品的日销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式； (2)第几天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ (3)公司在销售的前28天中，每销售1kg这种商品就捐赠元（）给希望工程，若每天扣除捐赠后的日销售利润随时间的增大而增大，求的取值范围． 12．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B移动，速度为；点Q从点B开始沿边向点C移动，速度为，点P、Q分别从点A、B同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动． (1)是否存在时间t，使得直线平分的面积，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由； (2)经过多少秒后，四边形的面积最小，最小是多少？ 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $