第四章 指数函数与对数函数（举一反三讲义·基础篇）高一数学人教A版必修第一册

第四章 指数函数与对数函数全章十二大基础题型归纳（举一反三讲义·基础篇） 【人教A版】 题型1 根式与分数指数幂的互化 1．（24-25高一上·河北·阶段练习）设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·假期作业）下列根式与分数指数幂的互化错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·上海奉贤·阶段练习）已知，将化为分数指数幂形式，则 . 4．（24-25高一·全国·随堂练习）用分数指数幂表示下列各式（式中的字母均为正实数）： (1)； (2)； (3)． 5．（24-25高一上·全国·课后作业）将下列根式化成分数指数幂的形式： (1)； (2)； (3)； (4). 题型2 指数幂的化简、求值 1．（24-25高一上·江苏宿迁·开学考试）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）（    ） A．110 B．109 C．108 D．100 3．（24-25高一上·陕西咸阳·阶段练习）的值为 . 4．（24-25高一上·浙江杭州·期中）（1）求值：； （2）已知，求的值． 5．（24-25高一上·天津南开·期中）计算： (1)； (2)若，，求的值. 题型3 指数函数的判定及求参 1．（24-25高一上·全国·课前预习）下列各函数中，是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课前预习）函数是指数函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）若函数是指数函数，则实数a的取值范围为 . 4．（24-25高一下·全国·课堂例题）判断下列函数哪些是指数函数，哪些是幂函数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 5．（24-25高一上·陕西宝鸡·期末）已知函数是指数函数． (1)求的表达式； (2)判断的奇偶性，并加以证明. 题型4 指数（型）函数的单调性问题 1．（24-25高三上·山西·期中）已知函数（，且）在区间上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·宁夏银川·期中）设指数函数且，则“”是“是增函数”的 （   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）函数单调递减区间是 ． 4．（24-25高一上·河南·阶段练习）已知函数，． (1)当时，求的值域： (2)若单调递增，求m的取值范围． 5．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值. (2)试判断的单调性并证明，并求的值域. (3)解关于的不等式. 题型5 指数式与对数式的互化 1．（24-25高一·全国·课后作业）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（24-25高一上·全国·课后作业）若（且），则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）将下列指数式与对数式互化： （1），指数式为 ； （2），指数式为 ； （3），对数式为 ； （4），对数式为 ． 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）将下列指数式与对数式互化． (1)； (2)； (3)； (4)． 5．（24-25高一·全国·课堂例题）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型6 对数的运算性质的应用 1．（24-25高一上·重庆黔江·期末）计算（    ） A． B． C．4 D．5 2．（24-25高一上·上海·期中）设a是不等于1的正数，M，N是任意给定的正数，c是任意给定的实数，则下列性质中错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·贵州贵阳·期末）计算 . 4．（24-25高一上·全国·课后作业）计算下列各式的值： (1)； (2)． 5．（24-25高一上·天津宁河·期中） 求下列各式的值. (1)； (2). 题型7 运用换底公式化简计算 1．（24-25高一上·甘肃武威·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）计算的结果为（    ） A．4 B． C． D． 3．（24-25高一上·重庆·阶段练习）化简 . 4．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）（1）； （2）已知，用表示. 5．（24-25高一上·河北邯郸·阶段练习）阅读下面材料： 由于， 设，，① 于是.② 根据对数的定义，由①得，，③ 由②得④， 把③代入④得. (1)仿照上述过程，证明：； (2)已知，求的值. （提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及（1）中的结论） 题型8 求对数函数的函数值或解析式 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的图象过点（8，3），则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数（，且）的图象过点，则函数的解析式为 ． 4．（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知对数函数，且）的图象经过点，求的值. 5．（24-25高一上·全国·课后作业）已知对数函数（，且）的图象过点． (1)求； (2)若函数，求的定义域． 题型9 对数（型）函数的定义域与值域 1．（25-26高一上·全国·课前预习）下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）函数，的值域为（   ） A． B． C． D． 3．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）函数的值域是 . 4．（2025高一·全国·专题练习）已知函数． (1)若的定义域为，求实数的取值范围； (2)若的值域为，求实数的取值范围． 5．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知函数． (1)当时，求函数的值域； (2)若的定义域为，求实数的取值范围； (3)若在上单调递增，求实数的取值范围. 题型10 对数（型）函数的单调性问题 1．（25-26高三上·山西太原·阶段练习）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是 ． 4．（24-25高一上·安徽蚌埠·阶段练习）已知函数． (1)判断的奇偶性，并证明； (2)求函数的单调区间． 5．（24-25高一下·内蒙古赤峰·期末）已知函数. (1)当时，求的单调递减区间； (2)当在上恒成立，求的取值范围. 题型11 零点存在性定理的应用 1．（24-25高一上·陕西西安·期末）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知函数，则的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·天津·期末）函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·浙江杭州·期末）函数的零点，则的值为 ． 5．（2025高一上·江苏·专题练习）若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为 ． 题型12 二分法 1．（25-26高一上·全国·单元测试）用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.75 1.875 1.8125 3 1.342 0.5793 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（    ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 2．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）某同学用二分法求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如下表所示： 则该函数零点的近似值（精确度为0.1）可以是（    ） A．1.2 B．1.21 C．1.27 D．1.32 3．（24-25高一上·湖北·阶段练习）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： 那么方程的一个近似根精确到为 ． 4．（24-25高一上·全国·课堂例题）用二分法求函数在区间内的一个零点的近似值．（误差不超过0.01） 5．（24-25高一上·全国·课后作业）随着社会的发展，电动车进入了千家万户，给我们的生活带来了极大的方便．某品牌电动车2018年平均每台电动车生产成本为1500元，并以纯利润标定出厂价．2019年开始，公司加强管理，降低生产成本．2022年平均每台电动车尽管出厂价仅是2018年出厂价的，但却实现了纯利润的高收益．若以2018年的生产成本为基数，用二分法求2019—2022年生产成本平均每年降低的百分数（精确度为0.01）（参考数据： ）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 指数函数与对数函数全章十二大基础题型归纳（举一反三讲义·基础篇） 【人教A版】 题型1 根式与分数指数幂的互化 1．（24-25高一上·河北·阶段练习）设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据根式和指数幂的转化即可得到答案. 【解答过程】. 故选：D. 2．（24-25高一上·全国·假期作业）下列根式与分数指数幂的互化错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用分数指数幂的运算法则求解. 【解答过程】对于A选项，，故A正确； 对于B选项，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：B． 3．（24-25高三上·上海奉贤·阶段练习）已知，将化为分数指数幂形式，则 . 【答案】 【解题思路】利用根式转化为分数指数幂，再根据指数幂的运算法则即可. 【解答过程】. 故答案为：. 4．（24-25高一·全国·随堂练习）用分数指数幂表示下列各式（式中的字母均为正实数）： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）（2）根据分数指数幂和根式的关系进行求解；（3）根据分数指数幂和根式的关系和分数指数幂的运算法则计算出答案. 【解答过程】（1）； （2）； （3）. 5．（24-25高一上·全国·课后作业）将下列根式化成分数指数幂的形式： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解题思路】（1）（2）（3）（4）将根式化为分数指数幂，结合指数幂运算求解即可. 【解答过程】（1）原式. （2）原式. （3）原式. （4）原式. 题型2 指数幂的化简、求值 1．（24-25高一上·江苏宿迁·开学考试）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法运算法则依次进行运算即可求解． 【解答过程】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确； 故选：D． 2．（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）（    ） A．110 B．109 C．108 D．100 【答案】A 【解题思路】根据根式与分数指数幂的互化结合指数幂运算性质求解即可. 【解答过程】由题意可得：原式. 故选：A. 3．（24-25高一上·陕西咸阳·阶段练习）的值为 . 【答案】 【解题思路】根据指数幂运算求解即可. 【解答过程】原式. 故答案为：. 4．（24-25高一上·浙江杭州·期中）（1）求值：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【解题思路】（1）将根式化成分数指数幂，再根据幂的运算法则计算可得. （2）将两边平方即可得解. 【解答过程】（1） . （2）因为，所以， 即，所以. 5．（24-25高一上·天津南开·期中）计算： (1)； (2)若，，求的值. 【答案】(1)19 (2)6 【解题思路】（1）利用根式与指数幂运算法则计算即可得出结果； （2）利用根式的性质和分数指数幂的运算性质化简式子，再代值计算即可. 【解答过程】（1）原式 . （2）原式 ， 因为，，所以原式. 题型3 指数函数的判定及求参 1．（24-25高一上·全国·课前预习）下列各函数中，是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据指数函数定义即可判断. 【解答过程】根据指数函数的定义形如且为指数函数判断： 对于A：为幂函数，故A错误； 对于B：中不能作为底数，故B错误； 对于C：中系数不为1，故C错误； 对于D：是指数函数，故D正确； 故选：D. 2．（25-26高一上·全国·课前预习）函数是指数函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由指数函数的定义列出限制条件，求解不等式组可得答案. 【解答过程】由指数函数的定义得解得，且，故的取值范围是． 故选：C. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）若函数是指数函数，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【解题思路】利用指数函数定义可求解. 【解答过程】因为函数是指数函数，所以需满足， 解得且.故实数的取值范围为. 故答案为：. 4．（24-25高一下·全国·课堂例题）判断下列函数哪些是指数函数，哪些是幂函数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 【答案】(1)幂函数 (2)幂函数 (3)指数函数 (4)幂函数 (5)指数函数 (6)指数函数 【解题思路】利用指数函数与幂函数的定义逐一判断即可得解. 【解答过程】（1）因为形如（且）是指数函数， 形如（）是幂函数，故是幂函数； （2）是幂函数； （3）是指数函数； （4）是幂函数； （5）是指数函数； （6）是指数函数. 5．（24-25高一上·陕西宝鸡·期末）已知函数是指数函数． (1)求的表达式； (2)判断的奇偶性，并加以证明. 【答案】(1) (2)是偶函数，证明见解析 【解题思路】（1）由指数函数定义即可列方程求解； （2）由偶函数定义即可判断并得证. 【解答过程】（1）函数是指数函数，且， ， 可得或舍去， （2）是偶函数， 证明如下：，， ， 是偶函数． 题型4 指数（型）函数的单调性问题 1．（24-25高三上·山西·期中）已知函数（，且）在区间上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】分两种情况讨论，当和分别对函数的单调性进行讨论. 【解答过程】由题意可知，该函数为指数型复合函数， 当时，令，对称轴为，则要使（，且）在区间上单调递增，则则； 当时， 要使（，且）在区间上单调递增， 则，则，综上，. 综上，实数的取值范围为. 故选：D. 2．（24-25高一上·宁夏银川·期中）设指数函数且，则“”是“是增函数”的 （   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】根据指数函数的底数与单调性的关系直接判断即可. 【解答过程】由指数函数的性质可知，“是增函数”“”， 所以“”是“是增函数”的充要条件， 故选：C. 3．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）函数单调递减区间是 ． 【答案】 【解题思路】利用复合函数的单调性可求得原函数的单调递减区间. 【解答过程】因为内层函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 外层函数在上为增函数，故函数单调递减区间. 故答案为：. 4．（24-25高一上·河南·阶段练习）已知函数，． (1)当时，求的值域： (2)若单调递增，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）当代入，令化简，通过一元二次函数计算值域即可； （2）通过（1）可知只需在上单调递增，分别讨论，和即可. 【解答过程】（1）当时，， 令，则，故， 所以的值域为． （2）由（1）可得，， 因为在上单调递增， 要使在上单调递增，只需在上单调递增即可， ①当时，在上单调递减，不符合题意； ②当时，的图象开口向下，不符合题意； ③当时，则需，解得：. 所以m的取值范围是. 5．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值. (2)试判断的单调性并证明，并求的值域. (3)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)单调递增，理由见解析，的值域为； (3) 【解题思路】（1）根据，求出； （2）定义法判断函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论，并由，变形解不等式，求出值域； （3）由函数奇偶性和单调性，得到，解不等式，求出解集. 【解答过程】（1）因为是定义域为R的奇函数，故， ，即， 故，解得； （2）由（1）知，，在R上单调递增， 任取，且， ， 因为，在R上单调递增，故， 又， 所以，即， 所以在R上单调递增， ，变形得到，解得， 故的值域为； （3）因为是定义域为R的奇函数， 故， 由（2）知，在R上单调递增， 所以，令， 则，解得， 故，解得， 不等式的解集为. 题型5 指数式与对数式的互化 1．（24-25高一·全国·课后作业）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【解题思路】根据指数式与对数式互化公式直接得到答案. 【解答过程】由，可得，C不正确， 故选：C. 2．（24-25高一上·全国·课后作业）若（且），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据对数的定义将指数化为对数. 【解答过程】因为（且），所以. 故选：A. 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）将下列指数式与对数式互化： （1），指数式为 ； （2），指数式为 ； （3），对数式为 ； （4），对数式为 ． 【答案】；；；. 【解题思路】运用指对互化规则，“底不变，其他换”即可解题. 【解答过程】运用指对互化规则，“底不变，其他换”得到. （1），指数式为； （2），指数式为； （3），对数式为； （4），对数式为. 故答案为：；；；. 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）将下列指数式与对数式互化． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解题思路】根据指数式和对数式的互换公式直接得出答案： 【解答过程】（1）； （2）； （3）； （4）. 5．（24-25高一·全国·课堂例题）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【解题思路】可化为，由此化简各个小问。 【解答过程】（1）因为，所以 （2）因为，所以 （3）因为，所以 （4）因为，所以 （5）因为，所以 （6）因为，所以. 题型6 对数的运算性质的应用 1．（24-25高一上·重庆黔江·期末）计算（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】B 【解题思路】根据对数运算法则即可得到答案. 【解答过程】. 故选：B. 2．（24-25高一上·上海·期中）设a是不等于1的正数，M，N是任意给定的正数，c是任意给定的实数，则下列性质中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】对于ABC：根据对数的定义和运算性质分析判断即可；对于D：举反例说明即可. 【解答过程】因为a是不等于1的正数，M，N是任意给定的正数，c是任意给定的实数， 对于选项A：，故A正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：例如， 则， 此时，故D错误； 故选：D. 3．（24-25高一上·贵州贵阳·期末）计算 . 【答案】 【解题思路】根据对数运算的性质即可求解． 【解答过程】 故答案为：. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）计算下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）（2）利用对数运算性质化简求解即可． 【解答过程】（1）原式 ． （2）原式 ． 5．（24-25高一上·天津宁河·期中） 求下列各式的值. (1)； (2). 【答案】(1)7 (2)1 【解题思路】根据对数的运算性质分别计算即可求解. 【解答过程】（1）原式. （2）原式. 题型7 运用换底公式化简计算 1．（24-25高一上·甘肃武威·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据对数的运算性质即可结合换底公式求解. 【解答过程】由题意，. 故选：B． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）计算的结果为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据换底公式结合对数的定义运算求解. 【解答过程】由题意可得： . 故选：B. 3．（24-25高一上·重庆·阶段练习）化简 . 【答案】 【解题思路】根据指数、对数运算法则，先分别化简每一项，再将化简后的结果相加. 【解答过程】化简. 化简，根据换底公式，则，即 . 同理，所以. 化简. 将上述各项化简结果相加：. 故答案为：. 4．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）（1）； （2）已知，用表示. 【答案】（1）4；（2） 【解题思路】（1）根据对数恒等式，对数的换底公式的推论及对数运算法则化简求值； （2）由条件，结合指数与对数的关系可得，再结合换底公式由表示. 【解答过程】（1） ； （2）因为，故， 故. 5．（24-25高一上·河北邯郸·阶段练习）阅读下面材料： 由于， 设，，① 于是.② 根据对数的定义，由①得，，③ 由②得④， 把③代入④得. (1)仿照上述过程，证明：； (2)已知，求的值. （提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及（1）中的结论） 【答案】(1)证明见解析； (2)2. 【解题思路】（1）根据，结合材料即可证结论； （2）应用换底公式写出，，再由对数运算性质求结果. 【解答过程】（1）由①知：， 将③代入上式，有，得证. （2）由题设，，， 所以. 题型8 求对数函数的函数值或解析式 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的图象过点（8，3），则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 【答案】B 【解题思路】将点代入函数解析式计算求得，即，即，再代入，即可得到答案． 【解答过程】因为函数的图象过点，所以，即， 则，解得，所以，则， 故选:B． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设对数函数解析式求参即可. 【解答过程】设对数函数为, 代入可得, 所以, 则对数函数的解析式为. 故选：C. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数（，且）的图象过点，则函数的解析式为 ． 【答案】 【解题思路】把已知点坐标代入解析式，可求出，即可求解. 【解答过程】由题可得，即， 因为，且，所以， 故函数解析式为． 故答案为：. 4．（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知对数函数，且）的图象经过点，求的值. 【答案】0；；1. 【解题思路】由图象过点，求出a，再由函数表达式求出相应的函数值. 【解答过程】由题意知，即，而且， 所以，， 所以， ， . 5．（24-25高一上·全国·课后作业）已知对数函数（，且）的图象过点． (1)求； (2)若函数，求的定义域． 【答案】(1)2 (2) 【解题思路】（1）根据待定系数法求出解析式，再求值即可； （2）求出表达式，根据对数函数的性质得到真数为正，构造不等式组计算即可． 【解答过程】（1）由题意可得，可得，故，故； （2）， 其中，解得， 此时函数的定义域为． 题型9 对数（型）函数的定义域与值域 1．（25-26高一上·全国·课前预习）下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用对数式有意义的条件即可求出四个选项中函数的定义域，即可得解. 【解答过程】对于A选项：令，解得或， 则定义域为，故A错误； 对于B选项：令，解得，定义域为，故B正确； 对于C选项：因为，所以，定义域为，故C错误； 对于D选项：令，解得，定义域为，故D错误． 故选：B. 2．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）函数，的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】令，，由换元法可得，利用二次函数的单调性即可求解. 【解答过程】令，因为，所以， 因为 ， 所以，， 函数在区间上单调递增， 所以，， 所以函数，的值域为. 故选：. 3．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）函数的值域是 . 【答案】 【解题思路】先得到二次函数的值域，再结合对数函数的单调性，即可得到结果. 【解答过程】对于，对称轴为， 所以， 又在上单调递增，其中， 所以当时，取得最小值，即， 所以，即函数的值域为. 故答案为：. 4．（2025高一·全国·专题练习）已知函数． (1)若的定义域为，求实数的取值范围； (2)若的值域为，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意得到在上恒成立，再分类讨论求解即可； （2）根据题意得到的值域必须包含，再分类讨论求解即可. 【解答过程】（1）函数的定义域为， 则在上恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，有，解得． 所以实数的取值范围为． （2）函数的值域为， 则的值域必须包含， 当时，，不符合题意； 当时，有，解得. 所以实数的取值范围为． 5．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知函数． (1)当时，求函数的值域； (2)若的定义域为，求实数的取值范围； (3)若在上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）代入，由，利用对数型复合函数单调性求值域； （2）将条件转化为在上恒成立，利用计算即可； （3）根据对数型复合函数的单调性进行判断计算. 【解答过程】（1）当时，， 令，则， 对数函数在上单调递增，所以， 所以函数的值域为. （2）若的定义域为，则在上恒成立， 所以. 所以实数的取值范围是. （3）二次函数开口向上，对称轴为， 对数函数在上单调递增， 若在上单调递增， 则. 所以实数的取值范围是. 题型10 对数（型）函数的单调性问题 1．（25-26高三上·山西太原·阶段练习）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先利用对数函数的定义域得到，再结合复合函数的性质求解单调区间即可. 【解答过程】由，解得， 由二次函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 由对数函数性质得在上单调递增， 则的单调递增区间是，故A正确. 故选：A. 2．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据复合函数的单调性及对数函数的单调性和定义域求解即可. 【解答过程】因为函数在上单调递减， 所以在上单调递减，且在上恒成立， 则，解得， 故选：B. 3．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】令，则由题意可得在上是减函数，且在区间上恒成立，从而列不等式组可求得答案 【解答过程】令，因为在区间上是减函数，且在上是增函数， 所以在区间上是减函数，且在区间上恒成立， 所以，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 4．（24-25高一上·安徽蚌埠·阶段练习）已知函数． (1)判断的奇偶性，并证明； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1)奇函数，证明如见解析 (2)单调递增区间为和，单调递减区间不存在 【解题思路】（1）求出函数的定义域，利用奇偶性定义推理判断即可. （2）结合反比例函数与对数函数求出单调区间. 【解答过程】（1）函数中，，解得或， 则的定义域为， 函数为奇函数，证明如下：， 由奇函数的定义可知，为奇函数． （2）令，函数在和上单调递增， 又在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间不存在. 5．（24-25高一下·内蒙古赤峰·期末）已知函数. (1)当时，求的单调递减区间； (2)当在上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）求出函数定义域，再利用对数函数、二次函数单调性求出递减区间. （2）按分类求出函数在指定区间上的最大值，再建立不等式求解即得. 【解答过程】（1）函数有意义，则，解得， 此时，令， 函数在上单调递增，在上单调递减， 而当时，函数在上单调递增， 所以函数的单调递减区间是. （2）由（1）得，当时，函数在上单调递减，， 依题意，，解得； 当时，函数在上单调递增，， 依题意，，解得， 所以的取值范围是. 题型11 零点存在性定理的应用 1．（24-25高一上·陕西西安·期末）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由零点存在定理即可求解. 【解答过程】易知是上的增函数，又，，所以的零点所在区间是． 故选：A. 2．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知函数，则的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用零点存在性定理判断各区间端点处的符号即可得出结论. 【解答过程】易知函数在上单调递增， 易知， ， 满足，因此的零点所在区间为. 故选：C. 3．（24-25高一上·天津·期末）函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】结合对数函数性质分析当时，，判断函数在上的单调性，结合零点存在性定理判断结论. 【解答过程】当时，，所以， 故，所以函数在上没有零点， 设，且， 则， 故，， 所以，故函数在上单调递增， 又，， 所以函数的零点所在区间为. 故选：B. 4．（24-25高一上·浙江杭州·期末）函数的零点，则的值为 ． 【答案】 【解题思路】由函数单调性以及零点存在定理得，由此即可得解. 【解答过程】因为和均单调递增，所以也单调递增， 又注意到， 所以由零点存在定理可知函数的唯一零点， 所以，即有. 故答案为：. 5．（2025高一上·江苏·专题练习）若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为 ． 【答案】 【解题思路】根据函数单调性，结合函数零点存在定理即可得到答案. 【解答过程】因为在上均为增函数， 则函数在区间上为增函数，且函数图象连续不间断， 故若在区间上存在零点，则，可得． 故答案为：. 题型12 二分法 1．（25-26高一上·全国·单元测试）用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.75 1.875 1.8125 3 1.342 0.5793 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（    ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 【答案】C 【解题思路】由二分法，结合表格可知函数的零点在区间内，然后根据选项判断即可. 【解答过程】由表格可得，函数的零点在区间内， 且，结合选项可知，方程的近似解可取1.8． 故选：C. 2．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）某同学用二分法求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如下表所示： 则该函数零点的近似值（精确度为0.1）可以是（    ） A．1.2 B．1.21 C．1.27 D．1.32 【答案】C 【解题思路】观察数据，由零点存在性定理得到区间内存在零点，得到答案. 【解答过程】，， 由零点存在性定理得，区间内存在零点， 由于，， 故该函数零点的近似值（精确度为0.1）可以是1.27，其他选项不正确. 故选：C. 3．（24-25高一上·湖北·阶段练习）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： 那么方程的一个近似根精确到为 ． 【答案】 【解题思路】根据二分法逐进行求解即可. 【解答过程】因为，所以在内函数必有零点， 因为，所以函数零点在内， 因为，所以函数零点在内， 因为，所以函数零点在内， 因为，所以函数零点在内， 而， 所以方程的一个近似根精确到为， 故答案为：. 4．（24-25高一上·全国·课堂例题）用二分法求函数在区间内的一个零点的近似值．（误差不超过0.01） 【答案】 【解题思路】由零点的存在性定理，用二分法，逐步计算，直到区间长度小于等于为止，最后所得区间内的任何一个数均可作为函数的零点. 【解答过程】经计算，， 所以函数在内存在零点， 取的中点， 经计算， 因为， 所以， 如此继续下去，如下表： 区间 中点值 中点函数近似值 因为， 所以函数在区间内误差不超过的一个零点近似值可取为． 5．（24-25高一上·全国·课后作业）随着社会的发展，电动车进入了千家万户，给我们的生活带来了极大的方便．某品牌电动车2018年平均每台电动车生产成本为1500元，并以纯利润标定出厂价．2019年开始，公司加强管理，降低生产成本．2022年平均每台电动车尽管出厂价仅是2018年出厂价的，但却实现了纯利润的高收益．若以2018年的生产成本为基数，用二分法求2019—2022年生产成本平均每年降低的百分数（精确度为0.01）（参考数据： ）． 【答案】2019～2022年生产成本平均每年降低． 【解题思路】设2019～2022年生产成本平均每年降低的百分数为，由题意构造函数，结合零点存在性定理即可判断. 【解答过程】解：设2022年每台电动车的生产成本为元，依题意得， 解得，所以2022年每台电动车的生产成本约为924元． 设2019～2022年生产成本平均每年降低的百分数为， 根据题意，得，令，作出的对应值表： 60.15 则，故函数在区间内有零点． 取区间的中点，可得． 由，得， 取的中点，得， 因为，所以， 同理，又， 所以原方程的近似解可取为0.1125， 故2019～2022年生产成本平均每年降低． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $