3.2.1 函数的单调性课件（第1课时）-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.2.1 函数的单调性与最大（小）值 第1课时 函数的单调性 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 1. 借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性. 2. 能够利用定义证明函数的单调性 3. 掌握函数单调性的简单应用 一、学习目标 自主预习，导学提示 阅读课本76-77页，完成以下问题： 1.单调递增、单调递减、增函数、减函数的概念是什么？ 2.如何表示函数的单调区间？ 3.函数的单调性和单调区间有什么关系？ 二、新课导入 考试 曲线的变化趋势不同 一、不同的函数，其图象的变化趋势不同 二、同一函数在不同区间上变化趋势也不同 函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性 引例 观察这些函数图像，你能说说他们分别反映了相应函数的哪些特征吗？ 图象从左到右上升 （保持递增） 图象关于原点成中心对称 图象从左到右有增有减 图象关于y轴对称 局部上升或下降 在初中我们利用函数图像研究过函数值y随着自变量x的增大而增大（或减小）的性质，这一性质叫做函数的单调性。下面进一步用符号语言刻画这种性质。 初高衔接 观察下列函数图象，指出其变化趋势. x y x y y=x+1 x y O O O 1 1 1 1 1 1 在某一区间内， 图像在该区间内呈上升趋势——函数值y随着自变量x的增大而增大； 图像在该区间单调递增 初高衔接 观察下列函数图象，指出其变化趋势. 1 y=-x+1 x y x y x y O O O 1 1 1 1 1 1 在某一区间内， 图像在该区间内呈下降趋势——函数值y随着自变量x的增大而减小； 图像在该区间单调递减 初高衔接 观察下列函数图象，指出其变化趋势. x y y=x2 y x x y 1 1 -1 -1 O O O 1 1 1 1 y轴左侧（上升）， 随x的增大而增大， y轴右侧（下降）， 随x的增大而减小。 y轴左侧（下降）， 随x的增大而减小， y轴右侧（上升）， 随x的增大而增大。 局部上升或下降趋势 需要分段讨论 三、思——定量分析二次函数f(x)=x2的单调性 在y轴左侧，当x≤0时，y随x的增大而减小 f(x)在(-∞,0]上单调递减 在y轴右侧，当x≥0时，y随x的增大而增大 f(x)在[0,+∞)上单调递增 思——定量分析二次函数f(x)=x2的单调性 12 思维火花 在区间[0,+∞)上的x1， x2，当x1< x2时，有f(x1)< f(x2)，一定能保证函数图象在区间[0,+∞)上y随x的增大而增大吗？ x O y x O y 因此，满足在区间[0,+∞)上所有的x1， x2，当x1<x2时，f(x1) < f(x2). 小结 图象从左至右上升 当x1< x2时, f(x1)< f(x2) y随x的增大而增大 任意的 都有 x y O 1 1 2 -1 -2 2 3 4 x1 f(x2) x2 f(x1) M N 思维火花 注意：单调性是针对定义域的某个区间而言的，是函数的一种局部性质。 课本77页思考1 函数，各有怎样的单调性? O x y 注意:端点值于单调区间不重要，但要明确端点是否在定义域内。 概念剖析 ——单调递增、增函数 x增大 x1 ＜ x2 x增大，函数值f(x)也增大 函数值f(x)也增大 f(x1)＜f(x2) 当 x1＜x2 时， 都有f(x1)＜f(x2) 用符号表示 用符号表示 用符号表示 概念剖析 ——单调递增、增函数 如果∀x1，x2∈I, 当x1<x2时, 都有f(x1)<f(x2), 则称函数f(x)在区间I上单调递增， 区间 I 为f(x)的单调递增区间. 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它为增函数。 请类比增函数定义给出减函数的定义. 概念剖析 ——单调递减、减函数 如果∀x1，x2∈I, 当x1<x2时, 都有f(x1)＞f(x2), 则称函数f(x)在区间I上单调递减， 区间 I 为f(x)的单调递减区间. 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它为减函数。 如果函数y =f(x)在区间D是增函数或减函数，那么就说函数y =f(x)在区间D上具有(严格的)单调性,区间D叫做y =f(x)的单调区间。常数函数不具有严格的单调性. 单调增区间和单调减区间都叫单调区间 注意：定义中的x1，x2有以下3个特征 (1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般； (2)有大小，通常规定x1<x2； (3)属于同一个单调区间． 课本77页思考2（1） 设A是区间D上某些自变量的值组成的集合，而且∀x1,x2∈A，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，我们能说函数f(x)在区间D上单调递增吗？ 课本77页思考2（2） 函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内是 单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间单调递增但在另 一些区间上单调递减的函数例子吗？ 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -2 -3 2 3 o   牛刀小试： 给出函数 y = f (x) 的图象，如图所示，根据图象说出这个函数在哪些区间上是增函数？哪些区间上是减函数？ 解：函数在区间[-1，0]，[2，3]上是减函数； 在区间[0，1]，[3，4]上是增函数． 2 3 x 1 4 -1 O y 区间的端点不影响区间的单调性. 例：的单调递增区间或 当函数有多个单调区间时，不能写并集 连接，要用“，”或者“和”隔开.（易错易错易错） 概念辨析： （3）反比例函数 在 上是减函数．( ) × （1）若f (1)< f (2)，则 f (x)在[1,2]上单调递增.（ ） （2）f (x)在R上单调递增，则f (-3)<f (2).（ ） × √ 四、议——典例分析 例1 根据定义研究函数的单调性. 则 ①当k>0时， 于是 ②当k<0时， 于是 取值 作差变形 定号 定号 结论 结论 一次函数 例2 物理学中的玻意耳定律告诉我们，对于一定量气体， 当体积V减小时，压强P将增大。试对此用函数的单调性证明。 分析：按题意就是证明函数在区间 上是减函数. 反比例函数 证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，+∞)上的任意两个实数，且V1<V2， 由V1，V2∈ (0，+∞)且V1<V2，得V1V2>0, V2- V1 >0 因为k>0,所以 所以，函数是减函数。也就是说，当体积V减少时，压强P将增大. 例2拓展 的定义域是什么？它在定义域上的单调性是怎样的？ 小结 定义法证明函数单调性的步骤： 取值：在区间内任取x1、x2，且x1<x2; 作差：f(x1)－f(x2); 变形：将f(x1)－f(x2)进行适当因式分解、配方变形; 定号：将变形结果与0作比较; 结论：判断，根据定义作结论. 28 例3 根据定义证明函数 在区间 上单调递增。 证明： 所以，函数 在区间 上单调递增。 五、展——自信大方的上台展示吧！ 证明函数 在定义域上的单调递增． 任意取值 判断符号 得出结论 作差变形 证明：函数f(x) = 4x-2的定义域为(-∞，+∞). 展1 展2 证明函数上单调递增. 展3 已知函数f(x)＝x2－4|x|＋3，x∈R. (1)将函数写成分段函数的形式； (2)画出函数的图象； (3)根据图象写出它的单调区间． 解：(1)f(x)＝x2－4|x|＋3＝ (2)如图． (3)由图象可知单调递增区间为[－2，0)，[2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－2)，[0，2)． 六、精讲精评 f(x)在区间D上单调递增⇔∀x1，x2∈D且x1<x2, 都有f (x1)<f (x2) ⇔∀x1，x2∈D, (x1－x2)[f(x1)<f(x2)]>0 f(x)在区间D上单调递减⇔∀x1，x2∈D且x1<x2, 都有f (x1)>f (x2) ⇔∀x1，x2∈D, (x1－x2)[f(x1)<f(x2)]<0 要在定义域上讨论单调区间. [3,＋∞) 增+增=增 减+减=减 增－减=增 减－增=减 注：“增－增”、“减－减”无法确定单调性 思维火花——对勾函数 七、强化训练，巩固提升 2. 已知函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,试比较f(a2-a+1)与f ( )的大小. 3.已知g(x)是定义在[-2,2]上的增函数,且g(t)>g(1-3t),求t的取值范围. Lavf57.62.100 vid:v0300f7f0000c01msnier0a0jpklqot0 k的符号 单　调　性 k>0 在(-∞,0),(0,+∞)上是减函数 k<0 在(-∞,0),(0,+∞)上是增函数 1.函数f(x)＝－x2＋2x＋3的单调减区间是(　　) A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(－∞，2) D．(2，＋∞) 【答案】　B 解:∵a2-a+1=, ∴与a2-a+1都是区间(0,+∞)上的值. ∵f(x)在区间(0,+∞)上是减函数, ∴f≥f(a2-a+1). 解:∵g(x)是[-2,2]上的增函数,且g(t)>g(1-3t), ∴ 即 ∴<t≤1.∴t的取值范围为. $