2025-2026学年上学期人教版初中数学八年级期中预测卷3-1

2025-2026学年上学期人教版初中数学八年级期中预测卷3-1 一．选择题（共12小题，满分24分，每小题2分） 1．（2分）（2021秋•天宁区校级期中）下列一组数：﹣8，2.7，3，，﹣0.，0，2，0.010010001⋯（相邻两个1之间依次增加一个0），其中无理数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（2分）（2024春•呈贡区校级期中）在下列各式中，计算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2分）（2024春•会泽县校级期中）分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≠1 B．x＝﹣1 C．x≠0 D．x＞0 4．（2分）（2024秋•岳阳楼区校级期中）根据分式的基本性质，分式可变形为（　　） A． B． C． D． 5．（2分）（2024秋•桃城区校级月考）已知下列命题： ①若a＝b，则a2＝b2； ②若x＞0，则|x|＝x； ③三角形是由三条线段组成的图形； ④全等三角形的对应边相等． 其中原命题与逆命题均为真命题的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2分）（2023秋•涪城区期中）下列说法中，正确的是（　　） A．近似数28.00与近似数28.0的精确度一样 B．近似数0.32与近似数0.302的有效数字一样 C．近似数2.4×102与近似数240的精确度一样 D．近似数220与近似数0.101都有三个有效数字 7．（2分）（2024•宁夏）数学活动课上，甲、乙两位同学制作长方体盒子．已知甲做6个盒子比乙做4个盒子少用10分钟，甲每小时做盒子的数量是乙每小时做盒子的数量的2倍．设乙每小时做x个盒子，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 8．（2分）（2023春•惠济区期末）如图，某公园有一个假山林立的池塘．A，B两点分别位于这个池塘的两端，为测量出池塘的宽AB，小明想出了这样一个办法：先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD＝BC，再过点D作BF的垂线DE，交AC的延长线于点E．线段ED的长即为A，B两点间的距离，此处判定三角形全等的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS 9．（2分）（2025春•钟山区校级月考）计算的结果等于（　　） A．2 B．x C．x+1 D． 10．（2分）（2024秋•荣昌区期末）如图，AB＝AE，下列条件中，添加后仍不能判定△ABC≌△AED的是（　　） A．AC＝AD B．∠B＝∠E C．BC＝ED D．BD＝EC 11．（2分）（2024秋•安新县期中）如图，已知∠DAO＝∠CBO，添加下列条件中的一个后，仍不能判定△ADO≌△BCO的是（　　） A．DO＝CO B．∠D＝∠C C．AD＝BC D．AO＝BO 12．（2分）满足下列条件的两个三角形不一定全等的是（　　） A．有一边相等的两个等边三角形 B．有一腰和底边对应相等的两个等腰三角形 C．周长相等的两个三角形 D．斜边和直角边对应相等的两个等腰直角三角形 二．填空题（共8小题，满分26分） 13．（6分）（2019秋•甘州区校级月考）的算术平方根是 　 　 ，的平方根是 　 　 ，的立方根是 　 　 ． 14．（4分）比较大小： （1） 　 　 ； （2） 　 　 ． 15．（2分）（2022秋•香洲区校级期中）如图，四边形ABCD中，∠ACB＝∠BAD＝90°，AB＝AD，BC＝1，AC＝5，四边形ABCD的面积为 　 　 ． 16．（2分）（2025春•杨浦区期中）如图，已知△AEC≌△ADB，如果∠2＝25°，∠AGE＝80°，那么∠D＝ 　 　 °． 17．（2分）（2024春•海沧区校级期中）如图，△OAB的边OA在数轴上，∠OAB＝90°，AO＝2，AB＝1，以原点O为圆心，OB为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的实数为 　 　 ． 18．（2分）（2025春•乾县校级期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值为　 　 ． 19．（4分）如果m1，那么m的取值范围是 　 　 ＜m＜　 　 .（均填整数） 20．（4分）如图，已知OA＝OB，用“SAS”证明△AOC≌△BOD，可以添加的条件是 　 　 ；用“ASA”证明△AOC≌△BOD，可以添加的条件是 　 　 ． 三．解答题（共6小题，满分50分） 21．（9分）已知a+a﹣1＝3，求a2+a﹣2和a3+a﹣3的值． 22．（9分）（2023春•长沙月考）已知一个三位自然数m，若满足十位数字等于百位数字与个位数字之和，则称这个数为“平衡数”，并把其百位数字与个位数字的乘积记为F（m）． 例如693，∵3+6＝9，∴693是“平衡数”．F（693）＝6×3＝18． 规定：G（m，n）＝sF（m）+tF（n）（s，t均为非零实数，m，n均为平衡数）． 已知：G（253，121）＝5，G（231，693）＝﹣16． （1）求s，t及G（286，341）的值； （2）已知“平衡数”m个位数为7，同时与“平衡数”n满足G（m，n），求n的所有可能值； （3）已知m，n是两个十位数字相同的“平衡数”，m加上其各个数位上数字之和是7的倍数，若G（m，n）＝﹣5，求n的所有可能值． 23．（9分）（2021秋•宁江区期末）如图，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，BF＝DE，AE＝CF．求证：△ABE≌△CDF． 24．（9分）（2023•南京三模）已知M，N分别是∠AOB的边OA，OB上的点． （1）如图①，OM≠ON，P为∠AOB角平分线上的一点，若∠AOB+∠MPN＝180°，求证：PM＝PN． （2）如图②，若P为∠AOB外一点，求作点M，N，使得∠PMO为锐角，PM＝MN，且∠PMN＝90°．（要求：利用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 25．（9分）（2024春•诸暨市期末）根据以下信息，探索解决问题： 背景：为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1500件新产品进行加工后再投放市场．每天满工作量情况下，甲、乙两个工厂加工数量及每件加工费用保持稳定不变，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息． 信息1 每天满工作量情况下，乙工厂每天加工数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍； 信息2 每天满工作量情况下，甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天； 信息3 每天满工作量情况下，甲工厂加工1天，乙工厂加工2天共需要10000元；甲工厂加工2天，乙工厂加工3天共需要16100元． 问题解决 问题1 1设每天满工作量情况下，甲工厂每天加工数量为x件，结合信息1可得：乙工厂每天加工数量为 　 　 件（请用x的代数式表示）． 问题2 每天满工作量情况下，求甲工厂每天能加工多少件新产品？ 问题3 公司将1500件新产品交给甲、乙两工厂一起加工，发现这批新产品的平均加工费用为整数，两工厂加工的时间之和不是整数．请问交给甲工厂多少件新产品进行加工？ 26．（5分）（2023春•印江县月考）“大胆猜想，小心求证”是科学研究的基本要求，在一节数学课上，张老师画了一个三角形使得AB＝AC＝20，∠A＝30°，然后让同学们根据条件大胆的提出问题，并结合同学们提出的问题给予解答． （1）甲同学说我发现：∠B＝∠C＝　 　 度； （2）乙同学说我发现：△ABC的面积为：　 　 ； （3）丙同学说我发现：点D为边BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为E、F，则有DE＝DF，请写出DE＝DF 的直接依据：　 　 ； （4）丁同学说受丙同学启发我发现，点D为边BC上任一点，DE⊥AB，DF⊥AC，CH⊥AB，垂足为E、F、H，则有DE+DF＝CH，请你为丁同学说说理由． 2025-2026学年上学期人教版初中数学八年级期中预测卷3-1 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C D A C A D C B A C B 题号 12 答案 C 一．选择题（共12小题，满分24分，每小题2分） 1．（2分）（2021秋•天宁区校级期中）下列一组数：﹣8，2.7，3，，﹣0.，0，2，0.010010001⋯（相邻两个1之间依次增加一个0），其中无理数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解答】解：﹣8，2.7，3，，﹣0.，0，2，0.010010001⋯（相邻两个1之间依次增加一个0）中，无理数有，0.010010001⋯（相邻两个1之间依次增加一个0），共2个． 故选：C． 2．（2分）（2024春•呈贡区校级期中）在下列各式中，计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A． ，故原说法错误，不符合题意； B． ，故原说法错误，不符合题意； C． ，故原说法错误，不符合题意； D． ，故原说法正确，符合题意； 故选：D． 3．（2分）（2024春•会泽县校级期中）分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≠1 B．x＝﹣1 C．x≠0 D．x＞0 【答案】A 【解答】解：∵分式 在实数范围内有意义， ∴x﹣1≠0， 解得：x≠1． 故选：A． 4．（2分）（2024秋•岳阳楼区校级期中）根据分式的基本性质，分式可变形为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵，， ∴选项A、选项B、选项D都不符合题意，只有选项C符合题意， 故选：C． 5．（2分）（2024秋•桃城区校级月考）已知下列命题： ①若a＝b，则a2＝b2； ②若x＞0，则|x|＝x； ③三角形是由三条线段组成的图形； ④全等三角形的对应边相等． 其中原命题与逆命题均为真命题的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解答】解：①若a＝b，则a2＝b2，原命题是真命题； 逆命题为：若a2＝b2，则a＝b，是假命题，如：22＝（﹣2）2，但2≠﹣2； ②若x＞0，则|x|＝x，原命题是真命题； 逆命题：若|x|＝x，则x＞0，是假命题，如x＝0； ③三角形是由三条线段组成的图形，原命题是真命题； 逆命题：由三条线段组成的图形是三角形，是假命题； ④全等三角形的对应边相等，原命题是真命题； 逆命题：三边对应相等的三角形全等，是真命题． 其中原命题与逆命题均为真命题的有1个， 故选：A． 6．（2分）（2023秋•涪城区期中）下列说法中，正确的是（　　） A．近似数28.00与近似数28.0的精确度一样 B．近似数0.32与近似数0.302的有效数字一样 C．近似数2.4×102与近似数240的精确度一样 D．近似数220与近似数0.101都有三个有效数字 【答案】D 【解答】解：A、近似数28.00精确到0.01，近似数28.0的精确到0.1，故选项错误； B、近似数0.32的有效数字有3、2，近似数0.302的有效数字有3、0、2，故选项错误； C、近似数2.4×102精确到十位，240的精确度精确到个位，故选项错误； D、近似数220与近似数0.202都有三个有效数字，故选项正确． 故选：D． 7．（2分）（2024•宁夏）数学活动课上，甲、乙两位同学制作长方体盒子．已知甲做6个盒子比乙做4个盒子少用10分钟，甲每小时做盒子的数量是乙每小时做盒子的数量的2倍．设乙每小时做x个盒子，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由题意可得， ， 故选：C． 8．（2分）（2023春•惠济区期末）如图，某公园有一个假山林立的池塘．A，B两点分别位于这个池塘的两端，为测量出池塘的宽AB，小明想出了这样一个办法：先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD＝BC，再过点D作BF的垂线DE，交AC的延长线于点E．线段ED的长即为A，B两点间的距离，此处判定三角形全等的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS 【答案】B 【解答】解：∵AB⊥BF，DE⊥BF， ∴∠ABC＝∠CDE＝90°， 在△ABC和△EDC中， ， ∴△ABC≌△EDC（ASA）． 故选：B． 9．（2分）（2025春•钟山区校级月考）计算的结果等于（　　） A．2 B．x C．x+1 D． 【答案】A 【解答】解： ＝2， 故选：A． 10．（2分）（2024秋•荣昌区期末）如图，AB＝AE，下列条件中，添加后仍不能判定△ABC≌△AED的是（　　） A．AC＝AD B．∠B＝∠E C．BC＝ED D．BD＝EC 【答案】C 【解答】解：A、由SAS判定△ABC≌△AED，故A不符合题意； B、由ASA判定△ABC≌△AED，故B不符合题意； C、∠BAC和∠EAD分别是BC和ED的对角，不能判定△ABC≌△AED，故C符合题意； D、由BD＝CE，AB＝AE，得到AD＝AC，由SAS判定△ABC≌△AED，故D不符合题意． 故选：C． 11．（2分）（2024秋•安新县期中）如图，已知∠DAO＝∠CBO，添加下列条件中的一个后，仍不能判定△ADO≌△BCO的是（　　） A．DO＝CO B．∠D＝∠C C．AD＝BC D．AO＝BO 【答案】B 【解答】解：∵∠DAO＝∠CBO，∠AOD＝∠BPC， ∴对于选项A，DO＝CO，则能判定△ADO≌△BCO，理由如下： 在△ADO和△BCO中， ， ∴△ADO≌△BCO（AAS）； 故添加选项A中的条件能判定△ADO≌△BCO， ∴选项A不符合题意； 对于选项B，∠D＝∠C，则不能判定△ADO≌△BCO，理由如下： ∵∠DAO＝∠CBO，∠AOD＝∠BPC，∠D＝∠C， ∴三个角对应相等的两个三角形不全等， 故添加选项B中的条件不能判定△ADO≌△BCO， ∴选项B符合题意； 对于选项C，AD＝BC，则能判定△ADO≌△BCO，理由如下： 在△ADO和△BCO中， ， ∴△ADO≌△BCO（AAS）， 故添加选项C中的条件能判定△ADO≌△BCO， ∴选项C不符合题意； 对于选项D，AO＝BO，则能判定△ADO≌△BCO，理由如下： 在△ADO和△BCO中， ， ∴△ADO≌△BCO（ASA）， 故添加选项D中的条件能判定△ADO≌△BCO， ∴选项D不符合题意； 故选：B． 12．（2分）满足下列条件的两个三角形不一定全等的是（　　） A．有一边相等的两个等边三角形 B．有一腰和底边对应相等的两个等腰三角形 C．周长相等的两个三角形 D．斜边和直角边对应相等的两个等腰直角三角形 【答案】C 【解答】解：A．根据SSS，可知有一边相等的两个等边三角形全等，故选项A不符合； B．根据SSS，可知有一腰和底边对应相等的两个等腰三角形全等，故选项B不符合； C．周长相等的两个三角形三边不一定对应相等，故不一定全等，故选项C符合； D．根据HL，可知斜边和直角边对应相等的两个等腰直角三角形全等，故选项B不符合． 故选：C． 二．填空题（共8小题，满分26分） 13．（6分）（2019秋•甘州区校级月考）的算术平方根是 　　 ，的平方根是 　±2　 ，的立方根是 　2　 ． 【答案】；±2；2． 【解答】解：6，其算术平方根为；4，其平方根为±2；8，其立方根为2； 故答案为：；±2；2． 14．（4分）比较大小： （1） 　＜　 ； （2） 　＞　 ． 【答案】（1）＜；（2）＞． 【解答】解：（1）∵，，63＜96， ∴， ∴， 故答案为：＜； （2）∵，52＜72， ∴， ∴， ∴， 故答案为：＞． 15．（2分）（2022秋•香洲区校级期中）如图，四边形ABCD中，∠ACB＝∠BAD＝90°，AB＝AD，BC＝1，AC＝5，四边形ABCD的面积为 　15　 ． 【答案】15． 【解答】解：过点A作AE⊥AC，过点D作DE⊥AE于E， 则∠CAD+∠DAE＝90°，∠AED＝90°， ∴∠ACB＝∠AED， ∵∠BAD＝90°， ∴∠CAD+∠BAC＝90°， ∴∠BAC＝∠DAE， 在△BAC和△DAE中， ， ∴△BAC≌△DAE（AAS）， ∴AE＝AC＝5，DE＝BC＝1，S△ADE＝S△ABC， ∴S四边形ABCD＝S梯形ACDE（1+5）×5＝15， 故答案为：15． 16．（2分）（2025春•杨浦区期中）如图，已知△AEC≌△ADB，如果∠2＝25°，∠AGE＝80°，那么∠D＝ 　75　 °． 【答案】75． 【解答】解：∵△AEC≌△ADB，∠2＝25°， ∴∠E＝∠D，∠EAC＝∠DAB， ∴∠1+∠GAC＝∠GAC+∠2， ∴∠1＝∠2＝25°， 在△AEG中，∠AGE＝80°， ∴∠E＝180°﹣（∠1+∠AGE）＝180°﹣（25°+80°）＝75°， ∴∠D＝75°， 故答案为：75． 17．（2分）（2024春•海沧区校级期中）如图，△OAB的边OA在数轴上，∠OAB＝90°，AO＝2，AB＝1，以原点O为圆心，OB为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的实数为 　　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵∠OAB＝90°，AO＝2，AB＝1， ∴， 由作图方法可知， ∴点C表示的实数为， 故答案为：． 18．（2分）（2025春•乾县校级期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值为　﹣5　 ． 【答案】﹣5． 【解答】解：， 方程可化为， 方程两边同乘x﹣3，得m＝﹣5+x﹣3， 解得x＝m+8， ∵关于x的分式方程有增根， ∴x＝3， ∴m+8＝3， ∴m＝﹣5， 故答案为：﹣5． 19．（4分）如果m1，那么m的取值范围是 　2　 ＜m＜　3　 .（均填整数） 【答案】2，3． 【解答】解：∵34， ∴21＜3， 故答案为：2，3． 20．（4分）如图，已知OA＝OB，用“SAS”证明△AOC≌△BOD，可以添加的条件是 　OC＝OD　 ；用“ASA”证明△AOC≌△BOD，可以添加的条件是 　∠A＝∠B　 ． 【答案】OC＝OD，∠A＝∠B． 【解答】解：∵OA＝OB，∠AOC＝∠BOD， ∴当添加OC＝OD时，△AOC≌△BOD（SAS）； 当添加∠A＝∠B时，△AOC≌△BOD（AAS）． 故答案为：OC＝OD，∠A＝∠B． 三．解答题（共6小题，满分50分） 21．（9分）已知a+a﹣1＝3，求a2+a﹣2和a3+a﹣3的值． 【答案】7；18． 【解答】解：∵a+a﹣1＝3， ∴a2+a﹣2＝（a+a﹣1）2﹣2＝9﹣2＝7； a3+a﹣3＝（a+a﹣1）（a2﹣1+a﹣2） ＝3×（7﹣1） ＝3×6 ＝18． 22．（9分）（2023春•长沙月考）已知一个三位自然数m，若满足十位数字等于百位数字与个位数字之和，则称这个数为“平衡数”，并把其百位数字与个位数字的乘积记为F（m）． 例如693，∵3+6＝9，∴693是“平衡数”．F（693）＝6×3＝18． 规定：G（m，n）＝sF（m）+tF（n）（s，t均为非零实数，m，n均为平衡数）． 已知：G（253，121）＝5，G（231，693）＝﹣16． （1）求s，t及G（286，341）的值； （2）已知“平衡数”m个位数为7，同时与“平衡数”n满足G（m，n），求n的所有可能值； （3）已知m，n是两个十位数字相同的“平衡数”，m加上其各个数位上数字之和是7的倍数，若G（m，n）＝﹣5，求n的所有可能值． 【答案】（1）s＝1，t＝﹣1，G（286，341）＝9； （2）n＝286或682或374或473； （3）n＝286或682或165或561． 【解答】解：（1）由题意得：G（253，121）＝sF（253）+tF（121）＝6s+t＝5， G（231，693）＝sF（231）+tF（693）＝2s+18t＝﹣16， ∴， 解得：， ∴G（m，n）＝F（m）﹣F（n）， ∴G（286，341）＝F（286）﹣F（341）＝2×6﹣3×1＝9； （2）∵已知“平衡数”m个位数为7， ∴m的可能值为297或187， ∵G（m，n）， ∴F（m）﹣10≥0， ∴m＝297， ∴F（m）＝14， ∴G（m，n）2， ∴14﹣F（n）＝2， ∴F（n）＝12， 设n的百位数字为p，十位数字为q，个位数字为r，则pr＝12，且p+r＜10， ∴n＝286或682或374或473； （3）设“平衡数”m＝100a+10b+c，n＝100x+10b+y， ∴b＝a+c＝x+y， ∴m+a+b+c＝100a+10b+c+a+b+c＝10la+1lb+2c＝10la+11（a+c）+2c＝112a+13c， ∵m加上其各个数位上数字之和是7的倍数， ∴为整数， ∵0≤c≤9的整数， ∴c＝7或c＝0， ①当c＝0时， F（m）＝0， ∴F（n）＝5， ∴n＝165或561； ②当c＝7时， ∵l≤a≤9的整数，l≤b≤9的整数，且b＝a+c， ∴a＝1，b＝8或a＝2，b＝9， ∴m＝187或297， ∵G（m，n）＝﹣5， 当m＝187时， ∴7﹣F（ n）＝﹣5， ∴F（n）＝12， ∴xy＝12，x+y＝8， ∴或 ， ∴n＝286或682； 当m＝297时， ∴14﹣F（n）＝﹣5， ∴F（n）＝19， ∴xy＝19，x+y＝9，方程无解， 综上所述，n＝286或682或165或561． 23．（9分）（2021秋•宁江区期末）如图，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，BF＝DE，AE＝CF．求证：△ABE≌△CDF． 【答案】证明见解析． 【解答】证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴∠AEB＝∠DFC＝90°， ∵DE＝BF， ∴DF＝BE， 在△AEB和△CFD中， ， ∴△AEB≌△CFD（SAS）． 24．（9分）（2023•南京三模）已知M，N分别是∠AOB的边OA，OB上的点． （1）如图①，OM≠ON，P为∠AOB角平分线上的一点，若∠AOB+∠MPN＝180°，求证：PM＝PN． （2）如图②，若P为∠AOB外一点，求作点M，N，使得∠PMO为锐角，PM＝MN，且∠PMN＝90°．（要求：利用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【答案】（1）证明见解析部分； （2）作图见解析部分． 【解答】 （1）证明：如果1中，过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥PB于点F， ∵OP平分∠AOB，PE∥OA，PF⊥OB， ∴PE＝PF， ∵∠PEO＝∠PFO＝90°， ∴∠AOB+∠EPF＝180°， ∵∠AOB+∠MPN＝180°， ∴∠MPN＝∠EPF， ∴∠MPE＝∠NPF， ∵∠PEM＝∠PFN＝90°， ∴△PEM≌△PFN（ASA）， ∴PM＝PN； 2）解：图形如图2所示：作PK⊥OB，KM平分∠PKB，类似（1）作PM⊥MN，可得PM＝PN 25．（9分）（2024春•诸暨市期末）根据以下信息，探索解决问题： 背景：为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1500件新产品进行加工后再投放市场．每天满工作量情况下，甲、乙两个工厂加工数量及每件加工费用保持稳定不变，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息． 信息1 每天满工作量情况下，乙工厂每天加工数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍； 信息2 每天满工作量情况下，甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天； 信息3 每天满工作量情况下，甲工厂加工1天，乙工厂加工2天共需要10000元；甲工厂加工2天，乙工厂加工3天共需要16100元． 问题解决 问题1 1设每天满工作量情况下，甲工厂每天加工数量为x件，结合信息1可得：乙工厂每天加工数量为 　1.5x　 件（请用x的代数式表示）． 问题2 每天满工作量情况下，求甲工厂每天能加工多少件新产品？ 问题3 公司将1500件新产品交给甲、乙两工厂一起加工，发现这批新产品的平均加工费用为整数，两工厂加工的时间之和不是整数．请问交给甲工厂多少件新产品进行加工？ 【答案】问题1：1.5x； 问题2：每天满工作量情况下，甲工厂每天能加工50件新产品； 问题3：交给甲工厂1125或375件新产品进行加工． 【解答】解：问题1：∵每天满工作量情况下，乙工厂每天加工数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍，且甲工厂每天加工数量为x件， ∴乙工厂每天加工数量为1.5x件． 故答案为：1.5x； 问题2：根据题意得：10， 解得：x＝50， 经检验，x＝50是所列方程的解，其符合题意． 答：每天满工作量情况下，甲工厂每天能加工50件新产品； 问题3：设每天满工作量情况下，甲工厂加工1天所需费用为m元，乙工厂加工1天所需费用为n元， 根据题意得：， 解得：， ∴每天满工作量情况下，甲工厂加工新产品的单价为2200÷50＝44（元/件）， 乙工厂加工新产品的单价为3900÷（1.5×50）＝52（元/件）． 设交给甲工厂y件新产品进行加工，则交给乙工厂（1500﹣y）件新产品进行加工， 根据题意得：n（44＜n＜52，且n为整数）， ∴y（52﹣n）． ∵y为正整数， ∴n可以为46，48，50， 当n＝46时，y（52﹣46）＝1125， 此时（天），符合题意； 当n＝48时，y（52﹣48）＝750， 此时25（天），不符合题意，舍去； 当n＝50时，y（52﹣50）＝375， 此时（天），符合题意． 答：交给甲工厂1125或375件新产品进行加工． 26．（5分）（2023春•印江县月考）“大胆猜想，小心求证”是科学研究的基本要求，在一节数学课上，张老师画了一个三角形使得AB＝AC＝20，∠A＝30°，然后让同学们根据条件大胆的提出问题，并结合同学们提出的问题给予解答． （1）甲同学说我发现：∠B＝∠C＝　75　 度； （2）乙同学说我发现：△ABC的面积为：　100　 ； （3）丙同学说我发现：点D为边BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为E、F，则有DE＝DF，请写出DE＝DF 的直接依据：　角平分线的性质或全等三角形的性质　 ； （4）丁同学说受丙同学启发我发现，点D为边BC上任一点，DE⊥AB，DF⊥AC，CH⊥AB，垂足为E、F、H，则有DE+DF＝CH，请你为丁同学说说理由． 【答案】（1）75； （2）100； （3）角平分线的性质或全等三角形的性质； （4）DE⊥AB，DF⊥AC，CH⊥AB，如图3，连接AD， ∴， ∵S△ABD+S△ACD＝S△ABC，AB＝AC， ∴， 即：AB•（DE+DF）＝AB•CH， ∴DE+DF＝CH． 【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠A＝30°， ∴； 故答案为：75； （2）解：过点B作BH⊥AC，交AC于点H，如图1， 则∠BHA＝90°， ∵AB＝AC＝20，∠A＝30°， ∴， ∴； 故答案为：100； （3）解：连接AD，如图2， 方法一：∵AB＝AC，点D为边BC的中点， ∴AD平分∠BAC， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF（角平分线上的性质）； 故答案为：角平分线的性质； 方法二：∵AB＝AC，点D为边BC的中点， ∴∠DAE＝∠DAF， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠DEA＝∠DFA＝90°， 在△AED和△AFD中， ， ∴△AED≌△AFD（AAS）， ∴DE＝DF（全等三角形的性质）； 综上所述，可以用角平分线的性质，也可以用全等三角形的性质，得到DE＝DF； 故答案为：角平分线的性质或全等三角形的性质； （4）证明：DE⊥AB，DF⊥AC，CH⊥AB，如图3，连接AD， ∴， ∵S△ABD+S△ACD＝S△ABC，AB＝AC， ∴， 即：AB•（DE+DF）＝AB•CH， ∴DE+DF＝CH． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $