2025-2026学年上学期人教版初中数学九年级期中预测卷3-2

2025-2026学年上学期人教版初中数学九年级期中预测卷3-2 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列各选项中是一元二次方程的是（　　） A．x2+1＝x（x+1） B．x2﹣2x﹣3 C．x2﹣1＝0 D．x2＝1 2．（3分）（2020秋•西青区校级月考）如果方程2x2+mx﹣12＝0的一个根是﹣2，那么m的值是（　　） A．3 B．﹣2 C．2 D．﹣6 3．（3分）（2022秋•灵石县期中）已知菱形ABCD的面积是12cm2，对角线AC＝4cm，则菱形的边长是（　　） A．3cm B．cm C．5cm D．6cm 4．（3分）（2023春•西峡县期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，AC，BD交于点O．关于四边形ABCD的形状，甲、乙、丙三人的说法如下： 甲：若添加“AB∥CD”，则四边形ABCD是菱形； 乙：若添加“∠BAD＝90°，则四边形ABCD是矩形； 丙：若添加“∠ABC＝∠BCD＝90°，则四边形ABCD是正方形． 则说法正确的个数是（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 5．（3分）（2024•遂平县一模）有数字1，2，3的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数，摆出的三位数能被4整除的概率是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）（2023秋•太和区期中）一个黑色不透明的袋子中装有若干个白球和红球，共计10个，这些球除颜色外都相同．将球搅匀，每次从中随机摸出一个球，记下颜色后放回、再搅匀、再摸球，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.4，由此可估计袋子中白球的个数约为（　　） A．4 B．6 C．8 D．9 7．（3分）（2024秋•南山区期中）如图，在A时测得旗杆的影长是4米，B时测得旗杆的影长是16米，若两次的日照光线恰好垂直，则旗杆的高度是（　　）米． A．5 B．6 C．7 D．8 8．（3分）（2024秋•和平区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将△AOB扩大到原来的2倍，得到△OA'B'，若点A的坐标是（1，2），则点A'的坐标是（　　） A．（2，4） B．（﹣2，﹣4） C．（4，2） D．（﹣4，﹣2） 9．（3分）（2024•莱芜区一模）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠BAC＝36°，以点A为圆心，以AC为半径作弧交AB于点D，连接CD，以点D为圆心，以CD为半径作弧交AD于点E，分别以点C、E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线DP交AC于点F，以下结论不正确的是（　　） A．∠CDF＝36° B．AF＝BD C． D． 10．（3分）（2024•深圳模拟）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP，CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD，DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：①；②∠PDE＝15°；③；④；⑤DE2＝PF•PC．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（2024秋•东河区期末）已知3a＝2b，则 　 　 ． 12．（3分）有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是12，可发现第1次输出的结果是6，第2次输出的结果是3，依次继续下去，则第2021次输出的结果是 　 　 ． 13．（3分）（2024春•海陵区期末）小明与同学做“抛掷图钉试验”，获得数据如下： 抛掷次数n 100 300 500 700 800 900 1000 钉尖着地的频数m 36 111 190 266 312 351 391 根据以上数据，可以估计“钉尖着地”的概率为 　 　 .（结果精确到0.01） 14．（3分）（2024•大连一模）如图，为了估计河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，使AB与河岸垂直，在近岸取点C，E，使BC⊥AB，CE⊥BC，AE与BC交于点D．已测得BD＝40m，DC＝20m，EC＝24m，则河宽AB为 　 　 ． 15．（3分）（2023•射阳县校级模拟）若关于x的方程x2﹣2ax+a﹣2＝0的一个实数根为x1≥1，另一个实数根x2≤﹣1，则a的取值范围是 　 　 ． 16．（3分）（2024•汇川区一模）如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，若AB＝6，∠B＝60°，则B，D两点间的距离为 　 　 ． 三．解答题（共7小题） 17．（2024秋•临县期中）阅读与思考 观察下列方程系数的特征及其根的特征，解决问题： 方程及其根 方程及其根 方程及其关联方程 方程的根 方程及其关联方程 方程的根 ①2x2﹣3x+1＝0 ①x2+2x﹣3＝0 x1＝﹣3，x2＝1 ②2x2+3x+1＝0 ②x2﹣2x﹣3＝0 x1＝3，x2＝﹣1 … … （1）请描述一元二次方程和关联方程的系数特征及它们根的关系特征． （2）方程x2﹣2x﹣4＝0和x2+2x﹣4＝0是不是关联方程？求解两个方程并判断两个方程的根是否符合根的关系特征． （3）请以一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，b2﹣4ac≥0）为例证明关联方程根的关系特征． 18．（2020秋•个旧市校级期中）小明和小亮用如图所示两个可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，转动两个转盘各一次，若两次数字之积小于3，则小明胜，否则小亮胜．这个游戏对双方公平吗？请列表或画树状图说明理由． 19．（2025春•肥城市期末）如图所示是由三个小正方形组成的网格，连接AC，AD，AE，根据要求完成下列题目． 求证：（1）△ACD∽△ECA； （2）∠ADB+∠AEB＝45°． 20．（2024•市中区校级二模）在▱ABCD中，BE⊥CD于点E，点F在AB上，且AF＝CE，连接DF． （1）求证：△ADF≌△CBE； （2）连接CF，若CF平分∠BCD，且CE＝3，BE＝4，判断四边形BEDF的形状，并求其面积． 21．（2023秋•宜阳县月考）暑假期间，河北涿州的洪涝灾害，牵动着全国人民的心．某单位开展了“驰援涿州，我们在路上”赈灾捐款活动，第一天收到捐款8000元，第三天收到捐款11520元． （1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率； （2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？ 22．（2025春•雁塔区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝12cm，AD＝28cm，BC＝33cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始，设运动时间为t秒． （1）t为何值时，四边形ABQP为矩形． （2）在整个运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PQCD是菱形？若存在，请你求出t的值；若不存在，请你改变Q点的运动速度，使四边形PQCD在某一时刻为菱形？ 23．（2024秋•西岗区期末）在一次数学探究课上，老师给同学们提供了图1的数学模型：“在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，等于腰长的一条线段AD绕点A旋转，…”同学们通过探究后，交流各自的体会： 小晴同学：若α＝60°，则AD在△ABC内旋转任意位置，∠BDC的大小不变（如图2）； 小颖同学：若α＝60°，则AD在△ABC外旋转任意位置，∠BDC的大小也不变（如图3）； 小宁同学：综合前面的结论，发现在图1条件中，AD旋转到任意位置上，∠BDC与α都存在一定的数量关系； … 老师：在图4中，若α＝60°时，过点D作直线DF与AC交于点F，若∠CFD＝∠ABD，在直线DF上取一动点P，当PA﹣PC的值最大时，该最大值与图中的某条线段存在数量关系； 问题： （1）若α＝60°时， ①如图2，当AD在△ABC内旋转任意位置，∠BDC＝ 　 　 °； ②如图3，当AD在△ABC外旋转任意位置，∠BDC＝ 　 　 °； （2）若α取任意数值（0＜α＜90°），AD旋转任意位置，∠BDC＝ 　 　 （用含α的式子表示）； （3）在图4中，α＝60°，过点D作直线DF与AC交于点F，若∠CFD＝∠ABD，在直线DF上取一动点P，当PA﹣PC的值最大时，该最大值与图中的某条线段存在数量关系，请说出你们的猜想并说明理由． 2025-2026学年上学期人教版初中数学九年级期中预测卷3-2 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B B C A D B D C 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列各选项中是一元二次方程的是（　　） A．x2+1＝x（x+1） B．x2﹣2x﹣3 C．x2﹣1＝0 D．x2＝1 【答案】C 【解答】解：x2+1＝x（x+1）整理得：x＝1，则A不符合题意； x2﹣2x﹣3不是方程，则B不符合题意； x2﹣1＝0符合一元二次方程的定义，则C符合题意； x2＝1不是整式方程，则D不符合题意； 故选：C． 2．（3分）（2020秋•西青区校级月考）如果方程2x2+mx﹣12＝0的一个根是﹣2，那么m的值是（　　） A．3 B．﹣2 C．2 D．﹣6 【答案】B 【解答】解：把x＝﹣2代入2x2+mx﹣12＝0，得2×（﹣2）2﹣2m﹣12＝0， 解得m＝﹣2． 故选：B． 3．（3分）（2022秋•灵石县期中）已知菱形ABCD的面积是12cm2，对角线AC＝4cm，则菱形的边长是（　　） A．3cm B．cm C．5cm D．6cm 【答案】B 【解答】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，AC＝4cm， ∴AB＝BC＝CD＝AD，OB＝OD，OA＝OCAC＝2（cm），AC⊥BD， ∵菱形ABCD的面积为12cm2， ∴AC•BD＝12， 即4•BD＝12， 解得：BD＝6， ∴OBBD6＝3（cm）， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB（cm）， 即菱形的边长为cm， 故选：B． 4．（3分）（2023春•西峡县期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，AC，BD交于点O．关于四边形ABCD的形状，甲、乙、丙三人的说法如下： 甲：若添加“AB∥CD”，则四边形ABCD是菱形； 乙：若添加“∠BAD＝90°，则四边形ABCD是矩形； 丙：若添加“∠ABC＝∠BCD＝90°，则四边形ABCD是正方形． 则说法正确的个数是（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【解答】解：∵AB＝AD，BC＝DC， ∴AC垂直平分BD， 当添加：“AB∥CD”，则∠ABD＝∠BDC， ∵∠BDC＝∠DBC， ∴∠ABO＝∠CBO， 又∵BO＝BO，∠BOA＝∠BOC， ∴△ABO≌△CBO（ASA）， ∴BA＝BC， ∴AB＝BC＝CD＝DA， ∴四边形ABCD是菱形，故甲说法正确； 当添加“∠BAD＝90°，无法证明四边形ABCD是矩形，故乙说法错误； 当添加条件“∠ABC＝∠BCD＝90°”时， 则∠ABC+∠BCD＝180°， ∴AB∥CD， 由证选项A可知四边形ABCD是菱形， ∵∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是正方形，故丙说法正确； 故选：B． 5．（3分）（2024•遂平县一模）有数字1，2，3的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数，摆出的三位数能被4整除的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中摆出的三位数能被4整除的结果有：132，312，共2种， ∴摆出的三位数能被4整除的概率是． 故选C． 6．（3分）（2023秋•太和区期中）一个黑色不透明的袋子中装有若干个白球和红球，共计10个，这些球除颜色外都相同．将球搅匀，每次从中随机摸出一个球，记下颜色后放回、再搅匀、再摸球，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.4，由此可估计袋子中白球的个数约为（　　） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】A 【解答】解：根据题意得：10×0.4＝4（个）， 答：估计袋子中白球的个数约为4个． 故选：A． 7．（3分）（2024秋•南山区期中）如图，在A时测得旗杆的影长是4米，B时测得旗杆的影长是16米，若两次的日照光线恰好垂直，则旗杆的高度是（　　）米． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解答】解：如图，∠CPD＝90°，QC＝4m，QD＝16m， ∵PQ⊥CD， ∴∠PQC＝90°， ∴∠C+∠QPC＝90°， 而∠C+∠D＝90°， ∴∠QPC＝∠D， ∴Rt△PCQ∽Rt△DPQ， ∴， 即， ∴PQ＝8， 即旗杆的高度为8m． 故选：D． 8．（3分）（2024秋•和平区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将△AOB扩大到原来的2倍，得到△OA'B'，若点A的坐标是（1，2），则点A'的坐标是（　　） A．（2，4） B．（﹣2，﹣4） C．（4，2） D．（﹣4，﹣2） 【答案】B 【解答】解：由题意得，△OAB∽△OA'B'，相似比为1：2， ∴． 过点A作AC⊥x轴于点C，过点A'作A'C'⊥x轴于点C'， ∴△AOC∽△A'OC'， ∴． ∵点A的坐标是（1，2）， ∴OC＝1，AC＝2， ∴OC'＝2，A'C'＝4， ∴点A'的坐标为（﹣2，﹣4）． 故选：B． 9．（3分）（2024•莱芜区一模）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠BAC＝36°，以点A为圆心，以AC为半径作弧交AB于点D，连接CD，以点D为圆心，以CD为半径作弧交AD于点E，分别以点C、E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线DP交AC于点F，以下结论不正确的是（　　） A．∠CDF＝36° B．AF＝BD C． D． 【答案】D 【解答】解：根据题中的作图步骤可知， AC＝AD，DP平分∠CDA． 因为∠BAC＝36°， 所以∠CDA， 所以∠CDF． 故A选项中的结论正确． 因为∠A＝∠ADE＝36°， 所以AF＝DF． 因为∠FCD＝∠CFD＝72°， 所以DF＝CD． 因为∠B＝∠DCB＝36°， 所以CD＝BD， 所以AF＝BD． 故B选项中的结论正确． 由上述过程可知， 点F为线段AC的黄金分割点， 所以． 不妨令CF，AF＝2， 则AD＝AC． 又因为BD＝AF＝2， 所以AB， 则． 故C选项中的结论正确． 因为， 所以． 又因为， 所以 故D选项中的结论错误． 故选：D． 10．（3分）（2024•深圳模拟）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP，CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD，DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：①；②∠PDE＝15°；③；④；⑤DE2＝PF•PC．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，△BPC是等边三角形， ∴AD∥BC，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，∠PBC＝∠PCB＝60°，PB＝PC， ∴∠PEF＝∠PBC＝60°，∠PFE＝∠PCB＝60°，∠ABE＝∠PCD＝90°﹣60°＝30°， ∴∠PEF＝∠PFE，AEEB， ∴PE＝PF， ∴PB+PE＝PC+PF， ∴EB＝FC， ∴AEFC， 故①正确； ∵PC＝DC＝BC，∠PCD＝30°， ∴∠PDC＝∠DPC（180°﹣30°）＝75°， ∴∠PDE＝∠ADC﹣∠PDC＝90°﹣75°＝15°， 故②正确； 设PB＝PC＝BC＝CD＝2m，作PG⊥BC于点G，PL⊥CD于点L， ∵∠PGC＝∠GCL＝∠PLC＝90°， ∴四边形PGCL是矩形， ∴PL＝CG＝BGBC＝m， ∴PGm， ∴， 故③正确； ∵tan30°， ∴， ∵DF∥BC， ∴△DFH∽△BCH， ∴， ∴， 故④错误； ∵∠PBC＝60°，∠DBC＝∠BDC＝45°， ∴∠DBE＝∠PBC﹣∠DBC＝60°﹣45°＝15°， ∴∠PDE＝∠DBE， ∵∠PED＝∠DEB， ∴△PED∽△DEB， ∴， ∴DE2＝PE•BE＝PF•CF≠PF•PC， 故⑤错误， 故选：C． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（2024秋•东河区期末）已知3a＝2b，则 　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵3a＝2b， ∴， 故答案为：． 12．（3分）有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是12，可发现第1次输出的结果是6，第2次输出的结果是3，依次继续下去，则第2021次输出的结果是 　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：第一次输出结果：12＝6， 第二次输出结果：6＝3， 第三次输出结果：3+5＝8， 第四次输出结果：8＝4， 第五次输出结果：4＝2， 第六次输出结果：2＝1， 第七次输出结果：1+5＝6， 第八次输出结果：6＝3， …… ∴每6次为一循环， ∵2021÷6＝336……5， ∴第2021次输出的结果为2， 故答案为：2． 13．（3分）（2024春•海陵区期末）小明与同学做“抛掷图钉试验”，获得数据如下： 抛掷次数n 100 300 500 700 800 900 1000 钉尖着地的频数m 36 111 190 266 312 351 391 根据以上数据，可以估计“钉尖着地”的概率为 　0.39　 .（结果精确到0.01） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：根据表格计算钉尖着地的频率为：0.36，0.37，0.38，0.38，0.39，0.39，0.39， 观察发现：随着实验次数的增多，钉尖着地的频率逐渐稳定到0.39附近， 所以可估计“钉尖不着地”的概率为0.39． 故答案为：0.39． 14．（3分）（2024•大连一模）如图，为了估计河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，使AB与河岸垂直，在近岸取点C，E，使BC⊥AB，CE⊥BC，AE与BC交于点D．已测得BD＝40m，DC＝20m，EC＝24m，则河宽AB为 　48m　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵AB⊥BC，CE⊥BC， ∴∠ABD＝∠ECD＝90°， 又∵∠ADB＝∠EDC（对顶角相等）， ∴△ABD∽△ECD， ∴， 即：， 解得：AB＝48． 故答案为：48m． 15．（3分）（2023•射阳县校级模拟）若关于x的方程x2﹣2ax+a﹣2＝0的一个实数根为x1≥1，另一个实数根x2≤﹣1，则a的取值范围是 　﹣1≤a　 ． 【答案】﹣1≤a． 【解答】解：设y＝x2﹣2ax+a﹣2，是开口向上的抛物线， ∵方程一个实数根为x1≥1，另一个实数根x2≤﹣1， ∴当x＝﹣1和x＝1时，y≤0，即，Δ＝4a2﹣4（a﹣2）＝4（a2﹣a+2）＞0， 解得：﹣1≤a． 16．（3分）（2024•汇川区一模）如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，若AB＝6，∠B＝60°，则B，D两点间的距离为 　　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：连接AC、BD相交于点O， 由题意知四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，BO＝DO，∠ABD＝∠CBD， ∵AB＝6，∠B＝60°， ∴∠ABD＝∠CBD＝30°， ∴AO3， 由勾股定理得， ∴BD＝2BO， 即B，D两点间的距离为， 故答案为：． 三．解答题（共7小题） 17．（2024秋•临县期中）阅读与思考 观察下列方程系数的特征及其根的特征，解决问题： 方程及其根 方程及其根 方程及其关联方程 方程的根 方程及其关联方程 方程的根 ①2x2﹣3x+1＝0 ①x2+2x﹣3＝0 x1＝﹣3，x2＝1 ②2x2+3x+1＝0 ②x2﹣2x﹣3＝0 x1＝3，x2＝﹣1 … … （1）请描述一元二次方程和关联方程的系数特征及它们根的关系特征． （2）方程x2﹣2x﹣4＝0和x2+2x﹣4＝0是不是关联方程？求解两个方程并判断两个方程的根是否符合根的关系特征． （3）请以一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，b2﹣4ac≥0）为例证明关联方程根的关系特征． 【答案】（1）描述见解析； （2）是，求解及判断过程见解析； （3）证明见解析． 【解答】（1）解：由表格可知：一元二次方程和关联方程的系数特征是：二次项系数、常数项相同，一次项系数互为相反数， 一元二次方程和关联方程的根的关系特征是：对应根互为相反数； （2）解：方程x2﹣2x﹣4＝0和x2+2x﹣4＝0是关联方程，理由如下： ∵方程x2﹣2x﹣4＝0和x2+2x﹣4＝0的二次项系数、常数项相同，一次项系数互为相反数，符合（1）中描述的特征， ∴它们是关联方程； ∵方程x2﹣2x﹣4＝0的根是：，， 方程x2+2x﹣4＝0的根是：，， ∴它们的两个根对应互为相反数，符合根的关系特征； （3）证明：由公式法可知ax2+bx+c＝0的根是：， 由公式法可知它的关联方程ax2﹣bx+c＝0的根是：， ∴它们的两个根对应互为相反数． 18．（2020秋•个旧市校级期中）小明和小亮用如图所示两个可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，转动两个转盘各一次，若两次数字之积小于3，则小明胜，否则小亮胜．这个游戏对双方公平吗？请列表或画树状图说明理由． 【答案】这个游戏对双方公平．理由如下： ∴共有6种等可能的结果， 其中两次数字之积小于3的有 （1，1）（1，1），（2，1）（2，1），（1，2）（1，2）共3个， ∴概率为 ， 所以对双方公平． 【解答】解：这个游戏对双方公平．理由如下： ∴共有6种等可能的结果， 其中两次数字之积小于3的有3种， ∴两次数字之积小于3的概率为 ， 所以对双方公平． 19．（2025春•肥城市期末）如图所示是由三个小正方形组成的网格，连接AC，AD，AE，根据要求完成下列题目． 求证：（1）△ACD∽△ECA； （2）∠ADB+∠AEB＝45°． 【答案】（1）证明见解答； （2）证明见解答． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCH、四边形HCDG和四边形GDEF都是正方形， ∴AB＝BC＝CH＝CD＝DG＝DE，∠B＝∠BCH＝∠HCD＝∠CDG＝∠GDE＝90°， ∴∠BCH+∠HCD＝180°，∠CDG+∠GDE＝180°， ∴B、C、D、E四点在同一条直线上， 设AB＝BC＝CD＝DE＝m，则CE＝2m，CAm， ∵，， ∴， ∵∠ACD＝∠ECA， ∴△ACD∽△ECA． （2）∵AB＝BC，∠B＝90°， ∴∠ACB＝∠BAC＝45°， ∵∠ACB＝∠ADB+∠DAC， ∴∠ADB+∠DAC＝45°， ∵△ACD∽△ECA， ∴∠DAC＝∠AEB， ∴∠ADB+∠AEB＝45°． 20．（2024•市中区校级二模）在▱ABCD中，BE⊥CD于点E，点F在AB上，且AF＝CE，连接DF． （1）求证：△ADF≌△CBE； （2）连接CF，若CF平分∠BCD，且CE＝3，BE＝4，判断四边形BEDF的形状，并求其面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）20． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CB＝AD，∠A＝∠BCD， 在△ADF和△CBE中， ， ∴△ADF≌△CBE（SAS）； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∵AF＝CE， ∴AB﹣AF＝CD﹣CE， 即BF＝DE，BF∥DE， ∴四边形BEDF为平行四边形， 又∵BE⊥CD， ∴∠BED＝90°， ∴平行四边形BEDF为矩形； ∵CF平分∠BCD， ∴∠BCF＝∠DCF， ∵AB∥CD， ∴∠BFC＝∠DCF， ∴∠BCF＝∠BFC， ∴BC＝BF， 在Rt△BCE中，由勾股定理得BC5， ∴BC＝BF＝5， ∴S矩形BEDF＝BF•BE＝5×4＝20． 21．（2023秋•宜阳县月考）暑假期间，河北涿州的洪涝灾害，牵动着全国人民的心．某单位开展了“驰援涿州，我们在路上”赈灾捐款活动，第一天收到捐款8000元，第三天收到捐款11520元． （1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率； （2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？ 【答案】（1）捐款增长率为20%； （2）第四天该单位能收到13824元捐款． 【解答】解：（1）设捐款增长率为x．由题意得：8000（1+x）2＝11520， ， ， ， ，（不合题意，舍去）， ．即捐款增长率为20%． （2）（元） 即第四天该单位能收到13824元捐款． 22．（2025春•雁塔区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝12cm，AD＝28cm，BC＝33cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始，设运动时间为t秒． （1）t为何值时，四边形ABQP为矩形． （2）在整个运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PQCD是菱形？若存在，请你求出t的值；若不存在，请你改变Q点的运动速度，使四边形PQCD在某一时刻为菱形？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°， ∴∠A＝∠B＝90°， ∴当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形， 即t＝33﹣2t， 解得：t＝11， ∴当t＝11时，四边形PQBA是矩形； （2）不存在某一时刻t，使四边形PQCD是菱形，理由如下： ∵四边形PQCD是菱形， ∴CQ＝CD， ∴2t＝13， ∴t， 此时，DP＝AD﹣AP＝28（cm）， 而DP≠CD， ∴四边形PQCD不可能是菱形． 若四边形PQCD为菱形， ∴PD＝CD＝CQ， ∴28﹣t＝13， ∴t＝15， 设点Q的运动速度为v， ∴15v＝13， ∴vcm/s． 即Q点的运动速度为cm/s，使四边形PQCD为菱形． 23．（2024秋•西岗区期末）在一次数学探究课上，老师给同学们提供了图1的数学模型：“在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，等于腰长的一条线段AD绕点A旋转，…”同学们通过探究后，交流各自的体会： 小晴同学：若α＝60°，则AD在△ABC内旋转任意位置，∠BDC的大小不变（如图2）； 小颖同学：若α＝60°，则AD在△ABC外旋转任意位置，∠BDC的大小也不变（如图3）； 小宁同学：综合前面的结论，发现在图1条件中，AD旋转到任意位置上，∠BDC与α都存在一定的数量关系； … 老师：在图4中，若α＝60°时，过点D作直线DF与AC交于点F，若∠CFD＝∠ABD，在直线DF上取一动点P，当PA﹣PC的值最大时，该最大值与图中的某条线段存在数量关系； 问题： （1）若α＝60°时， ①如图2，当AD在△ABC内旋转任意位置，∠BDC＝ 　150　 °； ②如图3，当AD在△ABC外旋转任意位置，∠BDC＝ 　30　 °； （2）若α取任意数值（0＜α＜90°），AD旋转任意位置，∠BDC＝ 　180°α或α　 （用含α的式子表示）； （3）在图4中，α＝60°，过点D作直线DF与AC交于点F，若∠CFD＝∠ABD，在直线DF上取一动点P，当PA﹣PC的值最大时，该最大值与图中的某条线段存在数量关系，请说出你们的猜想并说明理由． 【答案】（1）①150；②30； （2）180°α或α． （3）结论：PA＝PC的最大值＝BD．理由见解析． 【解答】解：（1）①如图2中，∵AB＝AC，∠BAC＝60°， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵AB＝AD＝AC， ∴∠ABD＝∠ADB，∠ADC＝∠ACD， ∴∠BDC＝∠ADB+∠ADC＝60°+∠DBC+60°+∠DCB＝120°+（180°﹣∠BDC）， ∴∠BDC＝150°． 故答案为：150； ②如图3中，∵AB＝AC，∠BAC＝60°， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵AB＝AD＝AC， ∴∠ABD＝∠ADB，∠ADC＝∠ACD， ∴∠BDC＝∠ADB﹣∠ADC＝∠DBC﹣60°﹣（60°﹣∠DCB）＝﹣120°+（180°﹣∠BDC）， ∴∠BDC＝30°． 故答案为：30； （2）当AD在△ABC内旋转时，∠BDC＝180°α． 当AD在△ABC外旋转时，∠BDCα． 故答案为：180°α或α． （3）结论：PA＝PC的最大值＝BD． 理由：如图4中，作点C关于直线DF的对称点C′，连接AC′，DC′，CC′，PC′． ∵∠CFD+∠AFD＝180°，∠CFD＝∠ABD， ∴∠ABD+∠AFD＝180°， ∴∠BAF+∠BDF＝180°， ∵∠BAF＝60°， ∴∠BDF＝120°， ∵∠BDC＝150°， ∴∠CDF＝150°﹣120°＝30°， ∵C，C′关于DF对称， ∴DC＝DC′，∠CDF＝∠C′DF＝30°， ∴∠CDC′＝60°， ∴△CDC′是等边三角形， ∴∠DCC′＝∠ACB＝60°，CD＝CC′， ∴∠BCD＝∠ACC′， ∵CA＝CB， ∴△BCD≌△ACC′（SAS）， ∴AC′＝BD， ∴PC＝PC′， ∴PA﹣PC＝PA﹣PC′≤AC′＝BD， ∴PA﹣PC的最大值为BD． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $