2025-2026学年上学期人教版初中数学九年级期中预测卷3-1

2025-2026学年上学期人教版初中数学九年级期中预测卷3-1 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分） 1．（2分）（2024•城中区校级模拟）下列有关函数y＝（x﹣1）2+2的说法不正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x＝1 C．顶点坐标是（﹣1，2） D．函数图象中，当x＜0时，y随x增大而减小 2．（2分）（2023秋•霞浦县期中）若，则的值是（　　） A． B． C． D． 3．（2分）（2023秋•全椒县期中）把抛物线向下平移2个单位，再向左平移1个单位，得到的抛物线解析式为（　　） A． B． C． D． 4．（2分）（2024春•扬州月考）如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，且∠1＝∠2＝∠3，则下列结论中不正确的是（　　） A．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACD C．△ADE∽△EDC D．△ABC∽△ACD 5．（2分）（2023•新会区二模）下列关于x的一元二次方程中有两个相等的实数根的是（　　） A．（x﹣3）2＝4 B．x2＝x C．x2+2x+1＝0 D．x2﹣16＝0 6．（2分）（2024秋•郴州期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，BC＝5，则AB的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 7．（2分）如图，在▱ABCD中，点E在AB上，AE：BE＝1：2，BD与CE相交于点F，则DF：BF的值是（　　） A．1 B． C． D． 8．（2分）（2025•松山区模拟）已知二次函数y＝﹣（x﹣h）2+2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤4的情况下，与其对应的函数值y的最大值为﹣2，则h的值为（　　） A．0或4 B．2或6 C．0或6 D．2或4 二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分） 9．（2分）（2023秋•东明县校级月考）若，则∠α等于 　 　 度． 10．（2分）（2024春•黄浦区校级月考）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AO＝1，AD＝2，OC＝3，BC＝4，如果∠DAO＝∠CBO，那么AB：CD的值是 　 　 ． 11．（2分）（2021秋•塔城市校级期中）利用配方法将二次函数y＝x2+2x+3化为y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的形式为 　 　 ． 12．（2分）（2023秋•东昌区校级月考）已知二次函数的图象上有三点A（0，y1），B（4，y2），C（5，y3），则y1，y2，y3的大小关系为 　 　 ．（用“＜”连接） 13．（2分）（2025•海门区二模）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，根据题意得到方程是 　 　 ． 14．（2分）（2022秋•内江期末）如图，将一张矩形纸片沿EF折叠，得到两个全等的小矩形ABCD．如果矩形ABCD∽矩形ADFE，那么的值是 　 　 ． 15．（2分）（2024•金凤区校级一模）若二次函数y＝x2﹣4x﹣m的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是 　 　 ． 16．（2分）（2022秋•惠阳区期末）如图，△ABC是等边三角形，AB＝3，点E在AC上，AE＝2CE，点D在BC的延长线上，将线段DE绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，连接AF，若AF∥BD，则AF的长为 　 　 ． 三．解答题（共12小题，满分68分） 17．（4分）tan60°•cos30°﹣sin30°+tan45°． 18．（8分）（2024秋•苏家屯区校级期中）解方程： （1）（2x+3）2＝25； （2）x2+4x+2＝0． 19．（4分）（2022秋•顺义区校级期中）已知a是x2﹣2x﹣3＝0的一个根，求代数式（a﹣2）2+（a+1）（a﹣1）的值． 20．（4分）（2022秋•罗湖区校级月考）如图，点D，E，F分别在△ABC的边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB，AD＝3，DB＝6，DE＝2，求FC的长． 21．（5分）已知方程2x2﹣x+k＝0． （1）若方程的一个根为x1＝﹣2，求k的值； （2）若方程无实数根，求k的取值范围． 22．（5分）（2025春•明水县校级月考）在三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，l是过A的一条直线，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E． （1）填空，当直线l绕点A旋转到如图1位置时，线段BD与DE，CE的关系为 　 　 ． （2）若直线l绕点A旋转到如图2位置时，试说明：DE＝BD﹣CE． 23．（6分）（2024秋•武侯区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，根据图象解答下列问题． （1）方程ax2+bx+c＝0的两个根为 　 　 ，不等式ax2+bx+c＞0的解集为 　 　 ； （2）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 　 　 ； （3）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0，在﹣1＜x＜3的范围内有实数根，求t的取值范围． 24．（6分）（2024•西宁一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于点E． （1）求证：四边形ACED是平行四边形； （2）若，，求tan∠CDE的值． 25．（6分）（2022秋•定海区校级月考）舟山渔业公司以30元/千克的价格收购一批渔产品进行销售，为了得到日销售量P（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表： 销售价格x（元/千克） 30 35 40 45 50 日销售量p（千克） 600 450 300 150 0 （1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定P与x之间的函数表达式（直接写出）； （2）当这批渔产品的销售价格定为每千克多少元时，渔业公司的日销售利润最大？ （3）该公司每销售1千克这种渔产品需支出a元（a＞0）的相关费用，当40≤x≤45时，该公司的日获利的最大值为2430元，求a的值（日获利＝日销售利润﹣日支出费用）． 26．（6分）（2024•北京一模）在平面直角坐标系xOy中，M（m，y1），N（m+2，y2）是抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上两点．设该抛物线的对称轴为直线x＝t． （1）若对于m＝1，有y1＝y2，求t的值； （2）若对于1＜m＜2，都有y1＜y2，求t的取值范围． 27．（7分）（2022秋•海淀区校级月考）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，G是AB边上一点，过点G作射线CP，过点A作AM⊥CP于点M，过点B作BN⊥CP于点N，取AB中点O，连接ON． （1）①依题意在图中补全图形； ②求证：CM＝BN； （2）猜想线段AM，BN，ON的数量关系，并证明． 28．（7分）（2024春•海淀区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，对于线段MN，若在坐标系中存在一点P使得四边形OMPN为菱形，则称线段MN为点O的“关联线段”． （1）已知点M（1，3），则下列点N中，可以使得MN成为点O的“关联线段”的是 　 　 ； ①（﹣3，1）②（2，2）③ （2）已知点O的“关联线段”MN过点（1，1），且OM＝2，求出线段OP的最大值； （3）已知点M（﹣3，0），若存在点O的“关联线段”MN与直线y＝kx﹣6k有交点，直接写出k的取值范围为 　 　 ． 2025-2026学年上学期人教版初中数学九年级期中预测卷3-1 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B B C C D D C 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分） 1．（2分）（2024•城中区校级模拟）下列有关函数y＝（x﹣1）2+2的说法不正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x＝1 C．顶点坐标是（﹣1，2） D．函数图象中，当x＜0时，y随x增大而减小 【答案】C 【解答】解：A、∵函数y＝（x﹣1）2+2，1＞0， ∴开口向上，正确，故此选项不符合题意； B、∵函数y＝（x﹣1）2+2， ∴对称轴是直线x＝1，正确，故此选项不符合题意； C、∵函数y＝（x﹣1）2+2， ∴顶点坐标是（1，2），原说法不正确，故此选项符合题意； D、∵函数y＝（x﹣1）2+2， ∴开口向上，对称轴是直线x＝1， ∴当x＜1时，y随x增大而减小，当x＞1时，y随x增大而增大， ∴当x＜0时，y随x增大而减小，正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．（2分）（2023秋•霞浦县期中）若，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵， ∴ab， ∴． 故选：B． 3．（2分）（2023秋•全椒县期中）把抛物线向下平移2个单位，再向左平移1个单位，得到的抛物线解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：把抛物线向下平移2个单位，再向左平移1个单位，得到的抛物线解析式为：y（x+1）2﹣2． 故选：B． 4．（2分）（2024春•扬州月考）如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，且∠1＝∠2＝∠3，则下列结论中不正确的是（　　） A．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACD C．△ADE∽△EDC D．△ABC∽△ACD 【答案】C 【解答】解：∵∠1＝∠2，∠DAE＝∠BAC， ∴△ADE∽△ABC， 故A不符合题意； ∵∠1＝∠3，∠DAE＝∠DAC， ∴△ADE∽△ACD， 故B不符合题意； 在△ADE和△EDC中，只有条件∠1＝∠3，不能判定△ADE∽△EDC， 故C符合题意； ∵∠2＝∠3，∠BAC＝∠DAC， ∴△ABC∽△ACD， 故D不符合题意． 故选：C． 5．（2分）（2023•新会区二模）下列关于x的一元二次方程中有两个相等的实数根的是（　　） A．（x﹣3）2＝4 B．x2＝x C．x2+2x+1＝0 D．x2﹣16＝0 【答案】C 【解答】解：A、∵（x﹣3）2＝4， ∴x﹣3＝±2， ∴x1＝1，x2＝5， 故本选项不符合题意； B、∵x2＝x， ∴x2﹣x＝0， ∴x（x﹣1）＝0， ∴x1＝0，x2＝1， 故本选项不符合题意； C、Δ＝22﹣4×1×1＝0，该方程有两个相等实数根．故本选项符合题意； D、Δ＝02﹣4×1×（﹣16）＝64＞0，该方程有两个不相等的实数根．故本选项不符合题意； 故选：C． 6．（2分）（2024秋•郴州期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，BC＝5，则AB的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【解答】解：在Rt△ABC中， cosA， ∴AC． 根据勾股定理得， AC2+BC2＝AB2， 又∵BC＝5， ∴， 解得AB（舍负）． 故选：D． 7．（2分）如图，在▱ABCD中，点E在AB上，AE：BE＝1：2，BD与CE相交于点F，则DF：BF的值是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，且AB＝CD． ∵AE：BE＝1：2， ∴DC：BE＝（1+2）：2＝3：2． ∵AB∥CD， ∴△CDF∽△EBF， ∴DF：BF＝DC：BE＝3：2． 故选：D． 8．（2分）（2025•松山区模拟）已知二次函数y＝﹣（x﹣h）2+2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤4的情况下，与其对应的函数值y的最大值为﹣2，则h的值为（　　） A．0或4 B．2或6 C．0或6 D．2或4 【答案】C 【解答】解：有条件可得：x＞h时，y随x的增大而减小、当x＜h时，y随x的增大而增大， ①若h＜2≤x≤4，当x＝2时，y取得最大值﹣2， 可得：﹣（2﹣h）2+2＝﹣2， 解得：h＝0或h＝4（舍）； ②若2≤x≤4＜h，当x＝4时，y取得最大值﹣2， 可得：﹣（4﹣h）2+2＝﹣2， 解得：h＝6或h＝2（舍）． 综上，h的值为0或6， 故选：C． 二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分） 9．（2分）（2023秋•东明县校级月考）若，则∠α等于 　15　 度． 【答案】15． 【解答】解：∵，， ∴α+15°＝30°， 解得：α＝15°， 故答案为：15． 10．（2分）（2024春•黄浦区校级月考）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AO＝1，AD＝2，OC＝3，BC＝4，如果∠DAO＝∠CBO，那么AB：CD的值是 　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AO＝1，AD＝2，OC＝3，BC＝4， ∴∠AOD＝∠BOC， ∵∠DAO＝∠CBO， ∴△AOD∽△BOC， ∴， ∴，DOOC3， ∵∠AOB＝∠DOC， ∴△AOB∽△DOC， ∴， ∴AB：CD的值是， 故答案为：． 11．（2分）（2021秋•塔城市校级期中）利用配方法将二次函数y＝x2+2x+3化为y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的形式为 　y＝（x+1）2+2　 ． 【答案】y＝（x+1）2+2． 【解答】解：y＝x2+2x+3 ＝（x+1）2+3﹣1 ＝（x+1）2+2． 故答案为：y＝（x+1）2+2． 12．（2分）（2023秋•东昌区校级月考）已知二次函数的图象上有三点A（0，y1），B（4，y2），C（5，y3），则y1，y2，y3的大小关系为 　y1＜y3＜y2　 ．（用“＜”连接） 【答案】y1＜y3＜y2． 【解答】解：因为二次函数解析式为y， 所以抛物线的对称轴为直线x，且开口向下， 则抛物线上的点，离对称轴越远，其函数值越小． 因为A，B，C三个点都在抛物线上，且三个点坐标分别为（0，y1），（4，y2），（5，y3）， 所以3﹣0＝3，4﹣3＝1，5﹣3＝2，且3＞2＞1， 所以y1＜y3＜y2． 故答案为：y1＜y3＜y2． 13．（2分）（2025•海门区二模）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，根据题意得到方程是 　x（60﹣x）＝864　 ． 【答案】x（60﹣x）＝864． 【解答】解：设矩形的长为x步，根据直田积八白六十四步得： x（60﹣x）＝864． 故答案为：x（60﹣x）＝864． 14．（2分）（2022秋•内江期末）如图，将一张矩形纸片沿EF折叠，得到两个全等的小矩形ABCD．如果矩形ABCD∽矩形ADFE，那么的值是 　　 ． 【答案】． 【解答】解：设原来矩形的长为x，宽为y， 则对折后的矩形的长为y，宽为， ∵得到的两个矩形都和原矩形相似， ∴， 解得， 故答案为：． 15．（2分）（2024•金凤区校级一模）若二次函数y＝x2﹣4x﹣m的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是 　m≥﹣4　 ． 【答案】m≥﹣4． 【解答】解：∵函数y＝x2﹣4x﹣m的图象与x轴有公共点， ∴方程x2﹣4x﹣m＝0有两个实数根，即Δ＝42﹣4×1×（﹣m）≥0， 解得：m≥﹣4． 故答案为：m≥﹣4． 16．（2分）（2022秋•惠阳区期末）如图，△ABC是等边三角形，AB＝3，点E在AC上，AE＝2CE，点D在BC的延长线上，将线段DE绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，连接AF，若AF∥BD，则AF的长为 　1　 ． 【答案】． 【解答】解：过点E作EM⊥AF于M，交BD于N， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC＝3，∠ACB＝60°， ∵AE＝2CE， ∴AE＝2，EC＝1， ∵AF∥BE， ∴∠EAM＝∠ACB＝60°， ∵EM⊥AF， ∴∠AME＝90°， ∴∠AEM＝30°， ∴， ∵AF∥BD，EM⊥AF， ∴EN⊥BC， ∴， ∵∠EMF＝∠END＝∠FED＝90°， ∴∠MFE+∠MEF＝90°，∠MEF+∠DEN＝90°， ∵ED＝EF， ∴△EMF≌△DEN（AAS）， ∴， ∴； 故答案为：． 三．解答题（共12小题，满分68分） 17．（4分）tan60°•cos30°﹣sin30°+tan45°． 【答案】2． 【解答】解：原式1 1 ＝2． 18．（8分）（2024秋•苏家屯区校级期中）解方程： （1）（2x+3）2＝25； （2）x2+4x+2＝0． 【答案】（1）x1＝1，x2＝﹣4； （2）． 【解答】解：（1）2x+3＝±5， 解得：x1＝1，x2＝﹣4； （2）x2+4x＝﹣2， x2+4x+4＝﹣2+4， （x+2）2＝2， ， 解得：． 19．（4分）（2022秋•顺义区校级期中）已知a是x2﹣2x﹣3＝0的一个根，求代数式（a﹣2）2+（a+1）（a﹣1）的值． 【答案】9． 【解答】解：∵a是方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根， ∴a2﹣2a﹣3＝0，即a2﹣2a＝3， ∴（a﹣2）2+（a+1）（a﹣1）＝a2﹣4a+4+a2﹣1＝2（a2﹣2a）+3＝2×3+3＝9． 20．（4分）（2022秋•罗湖区校级月考）如图，点D，E，F分别在△ABC的边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB，AD＝3，DB＝6，DE＝2，求FC的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB， ∴四边形BFED是平行四边形， ∴BF＝DE＝2， ∵AD＝3，DB＝6， ∴AB＝9， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， 即， ∴BC＝6， ∴CF＝BC﹣BF＝4． 21．（5分）已知方程2x2﹣x+k＝0． （1）若方程的一个根为x1＝﹣2，求k的值； （2）若方程无实数根，求k的取值范围． 【答案】（1）k＝﹣10； （2）k． 【解答】解：（1）把x1＝﹣2代入方程得：8+2+k＝0， 解得：k＝﹣10； （2）∵方程无实数根， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4×2×k＜0， ∴k． 22．（5分）（2025春•明水县校级月考）在三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，l是过A的一条直线，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E． （1）填空，当直线l绕点A旋转到如图1位置时，线段BD与DE，CE的关系为 　DE＝BD+CE　 ． （2）若直线l绕点A旋转到如图2位置时，试说明：DE＝BD﹣CE． 【答案】（1）DE＝BD+CE； （2）说明理由见解答． 【解答】解：（1）如图1，∵BD⊥AE于D，CE⊥AE于E， ∴∠BDA＝∠AEC＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ABD＝∠CAE＝90°﹣∠BAD， 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（AAS）， ∴BD＝AE，AD＝CE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE， 故答案为：DE＝BD+CE． （2）如图2，∵BD⊥AE于D，CE⊥AE于E， ∴∠BDA＝∠AEC＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ABD＝∠CAE＝90°﹣∠BAD， 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（AAS）， ∴BD＝AE，AD＝CE， ∴DE＝AE﹣AD＝BD﹣CE． 23．（6分）（2024秋•武侯区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，根据图象解答下列问题． （1）方程ax2+bx+c＝0的两个根为 　x1＝1，x2＝3　 ，不等式ax2+bx+c＞0的解集为 　1＜x＜3　 ； （2）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 　k＜2　 ； （3）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0，在﹣1＜x＜3的范围内有实数根，求t的取值范围． 【答案】（1）x1＝1，x2＝3，1＜x＜3； （2）k＜2； （3）﹣16＜t≤2． 【解答】解：（1）由题意可得：方程ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝1，x2＝3； 由图象可得：不等式ax2+bx+c＞0的解集为1＜x＜3， 故答案为：x1＝1，x2＝3，1＜x＜3； （2）由题意可得：抛物线y＝ax2+bx+c＝0与直线y＝2只有一个公共点， ∴当k＜2时，抛物线y＝ax2+bx+c＝0与直线y＝k有两个公共点， 即方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根， ∴满足条件的k的范围为k＜2， 故答案为：k＜2； （3）设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+2， 把（1，0）代入得，0＝a+2， ∴a＝﹣2， ∴y＝﹣2（x﹣2）2+2， ∴ax2+bx+c﹣t＝0化为t＝﹣2（x﹣2）2+2， 当x＝﹣1时，t＝﹣2×（﹣1﹣2）2+2＝﹣16，当x＝2时，t＝2， 当x＝3时，t＝﹣2×（3﹣2）2+2＝0， ∴﹣16＜t≤2． 24．（6分）（2024•西宁一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于点E． （1）求证：四边形ACED是平行四边形； （2）若，，求tan∠CDE的值． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，∠BOC＝90°． ∵DE⊥BD， ∴∠BDE＝90°， ∴∠BDE＝∠BOC， ∴AC∥DE， ∴四边形ACED是平行四边形． （2）解：∵四边形ACED是平行四边形， ∴AD＝CE， ∵AD＝BC， ∴BC＝CE， ∵∠BDE＝90°， ∴DC＝CE， ∴∠CDE＝∠E， ∵，，∠BDE＝90°， ∴tan∠CDE． 25．（6分）（2022秋•定海区校级月考）舟山渔业公司以30元/千克的价格收购一批渔产品进行销售，为了得到日销售量P（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表： 销售价格x（元/千克） 30 35 40 45 50 日销售量p（千克） 600 450 300 150 0 （1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定P与x之间的函数表达式（直接写出）； （2）当这批渔产品的销售价格定为每千克多少元时，渔业公司的日销售利润最大？ （3）该公司每销售1千克这种渔产品需支出a元（a＞0）的相关费用，当40≤x≤45时，该公司的日获利的最大值为2430元，求a的值（日获利＝日销售利润﹣日支出费用）． 【答案】（1）P＝﹣30x+1500； （2）当x＝40时，y有最大值3000元； （3）a的值为2． 【解答】解：（1）观察表中数据，P与x满足一次函数关系，设P＝kx+b， 把（30，600），（35，450）代入得： ， 解得， ∴P＝﹣30x+1500； （2）设日销售利润为y元， 根据题意得：y＝P（x﹣30）＝（﹣30x+1500）（x﹣30）＝﹣30（x﹣40）2+3000， ∵﹣30＜0， ∴当x＝40时，y有最大值3000元； （3）日获利y＝P（x﹣30﹣a）＝（﹣30x+1500）（x﹣30﹣a）， ∴y＝﹣30x2+（2400+30a）x﹣（1500a+45000）， 对称轴， 若40a＞45，即a＞10， 当x＝45时，y有最大值2250﹣150a， ∵2250﹣150a＜2430， ∴这种情况不存在， 若40a＜45，即a＜10时， 当x＝40a时，y有最大值， ∴﹣30（40a）2+（2400+30a）（40a）﹣（1500a+45000）＝2430， 解得a＝38（舍去）或a＝2， ∴a的值为2． 26．（6分）（2024•北京一模）在平面直角坐标系xOy中，M（m，y1），N（m+2，y2）是抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上两点．设该抛物线的对称轴为直线x＝t． （1）若对于m＝1，有y1＝y2，求t的值； （2）若对于1＜m＜2，都有y1＜y2，求t的取值范围． 【答案】（1）t＝2； （2）t≤2． 【解答】解：（1）当y1＝y2时，则M，N关于x＝t对称， ∴t， ∴t＝m+1， ∵m＝1， ∴t＝2； （2）∵M（m，y1），N（m+2，y2）是抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上两点，对于1＜m＜2，都有y1＜y2， ∴点M到对称轴的距离小于点N到对称轴的距离， ∵1＜m＜2， ∴3＜m+2＜4， ∴t， ∴t≤2． 27．（7分）（2022秋•海淀区校级月考）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，G是AB边上一点，过点G作射线CP，过点A作AM⊥CP于点M，过点B作BN⊥CP于点N，取AB中点O，连接ON． （1）①依题意在图中补全图形； ②求证：CM＝BN； （2）猜想线段AM，BN，ON的数量关系，并证明． 【答案】（1）①见解析过程； ②见解析过程； （2）当点G在BO上时，结论：AM＝BNOM，当点G在AO上时，结论为：BN＝AMOM，理由见解析过程． 【解答】（1）解：①补全图形如图， ②证明：∵AM⊥CP，BN⊥CP， ∴∠AMC＝∠BNC＝90°， ∴∠ACM+∠CAM＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACM+∠BCN＝90°， ∴∠CAM＝∠BCN， ∵AC＝BC， ∴△ACM≌△CBN（AAS）， ∴CM＝BN； （2）当点G在BO上时，结论：AM＝BNON． 证明：如图2，连接OC，OM， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC，O是AB的中点， ∴OC＝OB，∠ACO＝∠CBO＝45°， ∵△ACM≌△CBN， ∴AM＝CN，∠OCM+∠ACO＝∠CBO+∠OBN， ∴∠OCM＝∠OBN， ∵CM＝BN， ∴△OCM≌△OBN（SAS）， ∴OM＝ON，∠COM＝∠BON， ∵∠COM+∠MOB＝90°， ∴∠BON+∠MOB＝90°， ∴∠MON＝90°， ∴MNON， ∴AM＝CN＝CM+MN＝BNON； 如图，当点G在AO上时，结论为：BN＝AMON， 理由如下：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，O是AB的中点， ∴OC＝OB，∠ACO＝∠CBO＝45°， ∵△ACM≌△CBN， ∴AM＝CN，∠ACM＝∠CBN， ∴∠OCM+∠ACM＝∠CBN+∠OBN， ∴∠OCM＝∠OBN， ∵CM＝BN， ∴△OCM≌△OBN（SAS）， ∴OM＝ON，∠COM＝∠BON， ∵∠BON﹣∠CON＝90°， ∴∠COM﹣∠CON＝90°， ∴∠MON＝90°， ∴MNON， ∴BN＝CM＝CN+MN＝AMON． 28．（7分）（2024春•海淀区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，对于线段MN，若在坐标系中存在一点P使得四边形OMPN为菱形，则称线段MN为点O的“关联线段”． （1）已知点M（1，3），则下列点N中，可以使得MN成为点O的“关联线段”的是 　①③　 ； ①（﹣3，1）②（2，2）③ （2）已知点O的“关联线段”MN过点（1，1），且OM＝2，求出线段OP的最大值； （3）已知点M（﹣3，0），若存在点O的“关联线段”MN与直线y＝kx﹣6k有交点，直接写出k的取值范围为 　0≤k或k≤0　 ． 【答案】（1）①③； （2）线段OP的最大值为2；（3）0≤kk≤0． 【解答】解：（1）∵四边形OMPN为菱形， ∴OM＝ON， ∵点M（1，3）， ∴OM， ①当点N的坐标为（﹣3，1）时，ON， ∴OM＝ON， ∴点N的坐标为（﹣3，1）时，使得MN成为点O的“关联线段”； ②当点N的坐标为（2，2）时，ON2， ∴OM≠ON， ∴点N的坐标为（2，2）时，使得MN不是点O的“关联线段”； ③当点N的坐标为（2，）时，ON， ∴OM＝ON， ∴点N的坐标为（2，）时，使得MN成为点O的“关联线段”； 故答案为：①③； （2）∵点O的“关联线段”MN过点Q（1，1），且OM＝2，如图， ∴点M在以O为圆心，2为半径的⊙O上， 当且仅当OQ⊥MN时，OP＝2OQ最大， ∵OQ， ∴线段OP的最大值为2； （3）以O为圆心，OM长为半径画⊙O，则M、N在⊙O上，如图， ∵存在点O的“关联线段”MN与直线y＝kx﹣6k有交点， ∴MN与直线y＝kx﹣6k有交点，即直线y＝kx﹣6k与⊙O有交点， 当x＝0时，y＝﹣6k， 当y＝0时，kx﹣6k＝0，解得x＝6， ∴直线y＝kx﹣6k与x轴交点为A（6，0），与y轴交点为（0，﹣6k）， 过点A作⊙O的切线AC、AD，切点分别为B、E，交y轴于点C、D，连接OB、OE， 则OB⊥AC，OE⊥AD，OA＝6，OB＝OE＝3， ∴AB＝AE3， ∵∠OEA＝∠DOA＝90°，∠OAE＝∠DAO， ∴△AOE∽△ADO， ∴，即， ∴OD＝2， ∴D（0，﹣2）， 同理可得C（0，﹣2）， 当﹣6k＝﹣2时，解得k， 当﹣6k＝2时，解得k， ∴k的取值范围为0≤k或k≤0； 故答案为：0≤k或k≤0． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $