第二章 直线和圆的方程易错题练习二-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第二章 直线和圆的方程易错题练习（二） 班级 学号 姓名 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．将直线y=(x-2)绕点(2,0)按逆时针方向旋转60°后所得直线方程是 (　A　) A.y=-x+2 B.y=x+2 C.y=-x-2 D.y=x-2 【解析】 ∵直线y=(x-2)的倾斜角是60°, ∴按逆时针方向旋转60°后的直线的倾斜角为120°,斜率为-,且过点(2,0), ∴其方程为y-0=-(x-2),即y=-x+2. 2．已知直线l1:ax+2y+1=0与直线l2:x+(a-1)y+2=0,则下列说法错误的是 (　A　) A.若l1∥l2,则a=2 B.若l1⊥l2,则a= C.直线l1过定点 D.直线l2过定点(-2,0) 3．若点在圆x2+y2-x-a=0的外部,则a的取值范围为 (　A　) A. B. C. D. 【解析】 因为x2+y2-x-a=0可化为+y2=a+,则a+>0,所以a>-. 又点在圆x2+y2-x-a=0的外部,所以12+12-1-a>0,故a<1.综上,-<a<1. 4．若三条直线l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0,l3:x+y+a=0能构成三角形,则a应满足的条件是 (　D　) A.a=1,或a=-2 B.a≠±1 C.a≠1,且a≠-2 D.a≠±1,且a≠-2 【解析】 为使三条直线能构成三角形,需三条直线两两相交且不共点. ①若l1∥l2,则由a×a-1×1=0,得a=±1. ②若l2∥l3,则由1×1-a×1=0,得a=1. ③若l1∥l3,则由a×1-1×1=0,得a=1. 当a=1时,l1,l2与l3三线重合,当a=-1时,l1,l2平行. ④若三条直线交于一点,由解得 将l2,l3的交点(-a-1,1)的坐标代入l1的方程,解得a=1(舍去)或a=-2. 所以要使三条直线能构成三角形,需a≠±1,且a≠-2. 5．△ABC的三个顶点是A(0,3),B(3,3),C(2,0),直线l:x=a将△ABC分割成面积相等的两部分,则a的值是 (　A　) A. B.1+ C.1+ D. 【解析】 设直线l与AB交于点D,与AC交于点E,如图所示. 因为A(0,3),B(3,3),C(2,0),所以lAC:y=-x+3,lAB:y=3, 所以D,E. 因为S△ADE=S△ABC, 所以AD·DE=××AB×3,即a·a=××3×3,解得a=. 6．若点A,B,点P在x轴上,则+的最小值为 (　B　) A.2 B.5 C.4 D. 【解析】 如图所示,作A关于x轴的对称点A1,连接BA1,PA1, 则+=+≥,当B,P,A1三点共线时等号成立. 又==5,故+的最小值为5. 7．已知点A(1,0),B(1,6),圆C:x2+y2-10x-12y+m=0,若在圆C上存在唯一的点P使∠APB=90°,则m等于 (　C　) A.-3或3 B.57 C.-3或57 D.3或57 【解析】 由题意得,以AB为直径的圆与圆C有且仅有一个公共点,即两圆相切. 因为A(1,0),B(1,6),所以以AB为直径的圆M的方程为(x-1)2+(y-3)2=9, 圆C:(x-5)2+(y-6)2=61-m.因为两圆相切,所以|CM|=|3±|,即5=|3±|,解得m=57或m=-3. 8．已知直线x+y+m=0(m>0)与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,当△AOB的面积最大时,实数m的值为 (　B　) A.2 B.1 C. D. 【解析】 依题意,如图所示, 则|OA|=|OB|=1. ∵S△AOB=|OA|·|OB|sin∠AOB=sin∠AOB,∴当sin∠AOB=1,即∠AOB=90°时,△AOB的面积最大,此时圆心O到直线的距离d=sin 45°=1×sin 45°=, ∴=,解得m=±1.又∵m>0,∴m=1. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若三条直线2x+y-4=0,x-y+1=0与ax-y+2=0共有两个交点,则实数a的值可以为 (　AC　) A.1 B.2 C.-2 D.-1 【解析】 由题意可得三条直线中,有两条直线互相平行.因为直线x-y+1=0和直线2x+y-4=0不平行,所以直线x-y+1=0和直线ax-y+2=0平行或直线2x+y-4=0和直线ax-y+2=0平行.因为x-y+1=0的斜率为1,2x+y-4=0的斜率为-2,ax-y+2=0的斜率为a,所以a=1或a=-2. 10．过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的圆的方程可以为 (　ABC　) A.(x-2)2+(y-3)2=13 B.(x-2)2+(y-1)2=5 C.+(y-1)2= D.+= 【解析】 设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 当圆过,,三点时, 则解得 所以圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=13; 当圆过,,三点时, 则解得 所以圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5; 当圆过,,三点时, 则解得 所以圆的方程为+=; 当圆过,,三点时, 则解得 所以圆的方程为+(y-1)2=. 11．已知圆P:x2+y2+2y=0与圆Q:x2+y2+4x=0交于A,B两点,则 (　ABD　) A.两圆有2条公切线 B.圆P与圆Q的公共弦所在直线的方程是y=2x C.= D.四边形PAQB的面积为2 【解析】 圆P:x2+=1,故P,r1=1, 圆Q:+y2=4,故Q,r2=2. 对于A,==, 而r2-r1=1<<3=r1+r2,故两圆相交,故两圆有2条公切线,故A正确; 对于B,两圆方程相减后可得公共弦所在直线的方程为2y-4x=0,即y=2x,故B正确; 对于C,点P到直线y=2x的距离为d==, 故=2=,故C错误; 对于D,易得PQ⊥AB, 故四边形PAQB的面积为××=××=2,故D正确. 故选ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是　(-∞,-1)∪　.  【解析】 设直线的斜率为k,如图,过定点A的直线经过点B(3,0)时,直线l在x轴上的截距为3,此时k=-1; 过定点A的直线经过点C(-3,0)时,直线l在x轴上的截距为-3, 此时k=, 满足条件的直线l的斜率取值范围是(-∞,-1)∪. 13．已知圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5,点B的坐标为(0,2),设P,Q分别是直线l:x+y+2=0和圆C上的动点,则|PB|+|PQ|的最小值为　2　.  【解析】 由于点B(0,2)关于直线l:x+y+2=0的对称点为B'(-4,-2), 则|PB|+|PQ|=|PB'|+|PQ|≥|B'Q|,又B'到圆C上点Q的最短距离为|B'C|-r=3-=2,所以|PB|+|PQ|的最小值为2. 14．如图,正方形ABCD的边长为20米,圆O的半径为1米,圆心是正方形的中心,点P,Q分别在线段AD,CB上,若线段PQ与圆O有公共点,则称点Q在点P的“盲区”中,已知点P以1.5米/秒的速度从A出发向D移动,同时,点Q以1米/秒的速度从C出发向B移动,则在点P从A移动到D的过程中,点Q在点P的盲区中的时长约　4.4　秒.(参考数据:≈2.65,结果精确到0.1)  【解析】 以点O为原点,建立平面直角坐标系,如图. 可设点P,Q, 可得出直线PQ的方程为y-10+t=,圆O的方程为x2+y2=1, 由直线PQ与圆O有公共点,可得≤1, 化为3t2+16t-128≤0, 解得0≤t≤,而≈4.4, 因此,点Q在点P的盲区中的时长约为4.4秒. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．已知直线l:6x-y+1=0. (1)若平行于l的直线m经过点A(-1,-4),求m的方程. (2)若l与直线y=4x+b的交点在第二象限,求b的取值范围. 解: (1)因为直线m平行于l,可设直线m的方程为6x-y+c=0(c≠1). 又因为直线m经过点A(-1,-4),所以-6+4+c=0, 解得c=2.故直线m的方程为6x-y+2=0. (2)联立方程解得 因为它们的交点在第二象限,所以解得<b<1,即b的取值范围为. 16．已知△ABC的顶点A(4,3),AB边上的高所在直线的方程为x-y-3=0,D为AC的中点,且BD所在直线的方程为3x+y-7=0. (1)求顶点B的坐标. (2)求BC边所在直线的一般式方程. (3)求△ABC的面积. 解: (1)由A(4,3)及AB边上的高所在直线的方程为x-y-3=0, 得AB所在直线的方程为x+y-7=0. 又BD所在直线方程为3x+y-7=0,联立得B(0,7). (2)设C(m,n),由A(4,3),D为AC的中点,得D. 由已知得得C. 又B(0,7),则直线BC的方程为19x+y-7=0. (3)由(1)知直线AB的方程为x+y-7=0,B(0,7), 由(2)知C,则==4, 点C到直线AB的距离d==, 所以△ABC的面积S=×4×=18. 17．(1)平面几何中有一个著名的定理:△ABC的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点共圆,该圆称为△ABC的九点圆或欧拉圆.若A,B,△ABC的垂心为G,则△ABC的九点圆的标准方程为　　　　　　　　.  (2)矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,1),AB边所在直线的方程为x-2y-4=0,点T(-1,0)在AD边所在的直线上. ①求AD边所在直线的方程. ②求矩形ABCD外接圆的方程. 解:(1)根据题意,设△ABC的九点圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2. 由A(-2,1),B(4,1),G(3,3), 设AB中点为D,其坐标为(1,1),AG中点为E,其坐标为,BG中点为F,其坐标为, 由△ABC的九点圆过D,E,F, 则解得 故△ABC的九点圆的标准方程为(x-2)2+=.故答案为(x-2)2+=. (2)①因为AB边所在直线的方程为x-2y-4=0,且AD与AB垂直,所以直线AD的斜率为-2. 又因为点T(-1,0)在直线AD上, 所以AD边所在直线的方程为y-0=-2(x+1),即2x+y+2=0. ②由解得所以点A的坐标为(0,-2). 因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,1),所以M为矩形外接圆的圆心. 又外接圆的半径为|AM|==, 从而矩形ABCD外接圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=13. 18．已知直线l:3x+4y+1=0,一个圆与x轴正半轴、y轴正半轴都相切,且圆心C到直线l的距离为3. (1)求圆的方程. (2)P是直线l上的动点,PE,PF是圆的两条切线,E,F分别为切点,求四边形PECF的面积的最小值. 解: (1)圆与x轴正半轴、y轴正半轴都相切, ∴圆的方程可设为(x-a)2+(y-a)2=a2(a>0). ∵圆心C到直线的距离为3,由点到直线的距离公式,得d==3, 解得a=2,∴半径为2.∴圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=4. (2)∵PE,PF是圆的两条切线,E,F分别为切点, ∴△PCE≌△PCF, ∴=2S△PCE,PE是圆的切线,且E为切点, ∴PE⊥CE,|CE|=2,|PE|2=|PC|2-|CE|2=|PC|2-4, ∴当|PC|取最小值时,|PE|也最小,即四边形PECF的面积最小.|PC|min即为C到l的距离,由(1)知|PC|min=3,∴|PE=32-4=5, 即|PE|min=, 此时S△PCE=|EC|·|PE|=×2×=, ∴四边形PECF的面积的最小值为2. 19．在平面直角坐标系中,已知圆O:x2+y2=9及圆内一点P(1,0),Q是圆O上的动点.以Q为圆心,QP为半径的圆Q与圆O相交于E,F两点. (1)若圆Q与圆x2+y2=r2(r>0)恒有公共点,求r的取值范围. (2)证明:点P到直线EF的距离为定值,并求出此定值. 解:(1)因为|OP|=1,|OQ|=3,所以圆Q的半径|PQ|∈. 又圆Q与圆x2+y2=r2恒有公共点,且圆心之间的距离|OQ|=3, 所以||PQ|-r|≤3≤|PQ|+r对任意|PQ|∈恒成立, 所以解得1≤r≤5,所以r的取值范围为. (2)设Q,圆Q的半径|PQ|=, 则圆Q的方程为+=+, 整理得x2-2x0x+y2-2y0y=1-2x0. 又圆O:x2+y2=9, 两圆方程相减,整理得直线EF的方程为2x0x+2y0y-2x0-8=0, 所以P到直线EF的距离d==. 因为Q在圆O上,所以+=9, 所以P到直线EF的距离d=,即点P到直线EF的距离为定值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 直线和圆的方程易错题练习（二） 班级 学号 姓名 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．将直线y=(x-2)绕点(2,0)按逆时针方向旋转60°后所得直线方程是 ( ) A.y=-x+2 B.y=x+2 C.y=-x-2 D.y=x-2 2．已知直线l1:ax+2y+1=0与直线l2:x+(a-1)y+2=0,则下列说法错误的是 ( ) A.若l1∥l2,则a=2 B.若l1⊥l2,则a= C.直线l1过定点 D.直线l2过定点(-2,0) 3．若点在圆x2+y2-x-a=0的外部,则a的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 4．若三条直线l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0,l3:x+y+a=0能构成三角形,则a应满足的条件是 ( ) A.a=1,或a=-2 B.a≠±1 C.a≠1,且a≠-2 D.a≠±1,且a≠-2 5．△ABC的三个顶点是A(0,3),B(3,3),C(2,0),直线l:x=a将△ABC分割成面积相等的两部分,则a的值是 ( ) A. B.1+ C.1+ D. 6．若点A,B,点P在x轴上,则+的最小值为 ( ) A.2 B.5 C.4 D. 7．已知点A(1,0),B(1,6),圆C:x2+y2-10x-12y+m=0,若在圆C上存在唯一的点P使∠APB=90°,则m等于 ( ) A.-3或3 B.57 C.-3或57 D.3或57 8．已知直线x+y+m=0(m>0)与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,当△AOB的面积最大时,实数m的值为 ( ) A.2 B.1 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若三条直线2x+y-4=0,x-y+1=0与ax-y+2=0共有两个交点,则实数a的值可以为 ( ) A.1 B.2 C.-2 D.-1 10．过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的圆的方程可以为 ( ) A.(x-2)2+(y-3)2=13 B.(x-2)2+(y-1)2=5 C.+(y-1)2= D.+= 11．已知圆P:x2+y2+2y=0与圆Q:x2+y2+4x=0交于A,B两点,则 ( ) A.两圆有2条公切线 B.圆P与圆Q的公共弦所在直线的方程是y=2x C.= D.四边形PAQB的面积为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是 .  13．已知圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5,点B的坐标为(0,2),设P,Q分别是直线l:x+y+2=0和圆C上的动点,则|PB|+|PQ|的最小值为 .  14．如图,正方形ABCD的边长为20米,圆O的半径为1米,圆心是正方形的中心,点P,Q分别在线段AD,CB上,若线段PQ与圆O有公共点,则称点Q在点P的“盲区”中,已知点P以1.5米/秒的速度从A出发向D移动,同时,点Q以1米/秒的速度从C出发向B移动,则在点P从A移动到D的过程中,点Q在点P的盲区中的时长约 秒.(参考数据:≈2.65,结果精确到0.1)  四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．(13分)已知直线l:6x-y+1=0. (1)若平行于l的直线m经过点A(-1,-4),求m的方程. (2)若l与直线y=4x+b的交点在第二象限,求b的取值范围. 16．(15分)已知△ABC的顶点A(4,3),AB边上的高所在直线的方程为x-y-3=0,D为AC的中点,且BD所在直线的方程为3x+y-7=0. (1)求顶点B的坐标. (2)求BC边所在直线的一般式方程. (3)求△ABC的面积. 17．(15分) (1)平面几何中有一个著名的定理:△ABC的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点共圆,该圆称为△ABC的九点圆或欧拉圆.若A,B,△ABC的垂心为G,则△ABC的九点圆的标准方程为 .  (2)矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,1),AB边所在直线的方程为x-2y-4=0,点T(-1,0)在AD边所在的直线上. ①求AD边所在直线的方程. ②求矩形ABCD外接圆的方程. 18．(17分)已知直线l:3x+4y+1=0,一个圆与x轴正半轴、y轴正半轴都相切,且圆心C到直线l的距离为3. (1)求圆的方程. (2)P是直线l上的动点,PE,PF是圆的两条切线,E,F分别为切点,求四边形PECF的面积的最小值. 19．(17分)在平面直角坐标系中,已知圆O:x2+y2=9及圆内一点P(1,0),Q是圆O上的动点.以Q为圆心,QP为半径的圆Q与圆O相交于E,F两点. (1)若圆Q与圆x2+y2=r2(r>0)恒有公共点,求r的取值范围. (2)证明:点P到直线EF的距离为定值,并求出此定值. 学科网（北京）股份有限公司 $