培优专训(5) 二次函数综合题-【名师学案】2025-2026学年九年级上册数学分层进阶学习法（人教版）

跨单元整合 培优专训（五） 二次函数综合题 1.(2024·日照)已知二次函数y=-x2+(2a 2.(2024·广安)如图，抛物线y=一号+b加 +4).x-a2-4a(a为常数)， (1)求证：不论a为何值，该二次函数图象与 十c与x轴交于A,B两点，与y轴交于点 x轴总有两个公共点； C,点A坐标为(-1,0)，点B坐标为(3,0). (1)此抛物线的函数解析式是 (2)当a+1≤x≤2a+5(a≥-1)时，该二次 函数的最大值与最小值之差为9，求此 时函数的解析式. (2)点P是直线BC上方抛物线上的一个动 点，过点P作x轴的垂线交直线BC于 点D,过点P作y轴的垂线，垂足为点 E,请探究2PD+PE是否有最大值？若 有最大值，求出最大值及此时P点的坐 标；若没有最大值，请说明理由， -B5- 3.(2025·齐齐哈尔模拟)如图，在平面直角坐 4.如图，抛物线y=ax2十x+c经过坐标轴上 标系中，直线y一x一2与x轴交于点A, 的A,B(0,4),C(4,0)三点 (1)抛物线的函数解析式为 与y轴交于点C,过A,C两点的抛物线y a.x2+bx+c(a≠0)与x轴的另一个交点为 (2)E是直线BC上方抛物线上一动点，连 点B(一1,0)，点P是抛物线位于第四象限 接BE,CE,求△BCE面积的最大值及 图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的 此时点E的坐标； 平行线，分别交直线AC于点E,点F. (3)Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线 (1)求抛物线的解析式； 上是否存在点P,使得四边形PQBC是 (2)求PE+PF的最大值； 平行四边形？若存在，求出满足条件的 (3)点D是x轴上的任意一点，若△ACD是 点P,Q的坐标；若不存在，说明理由. 以AC为腰的等腰三角形，请求出点D 的坐标. -B6-培优专训（五）二次函数综合题 1.(1)证明：.△=(2a+4)2-4(a+4a)=4a+16a+16-4a2-16a=16>0,∴.不论 a为何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点：(2)解：：y=一(x-Q-2)+4, ∴.抛物线的顶点是(a+2,4)..a≥-1，∴.(2a+5)-(a十2)=a十3≥2.∴.a十1<a十 2<2a十5.∴.y最大=4，y最小=一(a十3)2十4..当a十1≤x2a十5(a≥-1)时，该二次 函数的最大值与最小值之差为9，∴.4十(a+3)2-4=9.∴a=-6(舍去)或a=0..y =-x2+4x.2.(1)y=- 导+青x十2解：(2)由题意，得C0,2).设直线BC为 y=kx+2.∴3谈+2=0.解得及=-子直线BC为)=一号十2.设P(,-号 +÷+2)D(x,-号+2）.∴2PD+PE=2(-号x+号x+2+号-2)+x 一4 x+5x.当x= 5 2×(-) 背时，有最大值瓷此时P(装》.3解： Q)直线y=号x一2与x轴交于点A,与y轴交于点C,则点A.C的坐标分别为：(4， 0),(0,-2),则抛物线的解析式为y=a(x一4)(x十1)=a(x2-3x-4),把C(0,一2) 代人，得-如=一2解得a=子则抛物线的解析式为y=22-多：-2(2)设P 3 (m,2m-号m-2）则Fr(m,m-2）,设E(c宁一2小PE/x箱，∴分x-2 2m3 m-2.∴x=m-3mdPE=n-(m-3m)=-m+4nPF=名m 2-(分m-号m-2）=-m+2mPE+PF=-m+4m-名m+2m=-是 3 m+6m.:-多<0，当m=2时，PE+PF有最大值6.(3)设点D,0),由点A, C,D的坐标得，AC=20,AD=(x-4),CD=x2+4,分AC=AD或AC=CD两种 情况.即20=(x一4)或20=x2+4.解得x=4士2√5或4（舍去）或一4.即点D(4士2 5,0)或(-4,0).4.(1)y= +x+4 1 (2)解：设直线BC的 函数解析式为y=kx+b,将B(0,4),C(4,0)代人y=kx十b,得L, 4+b=0.解得 (k怎，1直线BC的函数解析式为y=一x十4.过点E作EBG∥y轴交BC于点G. b=4. 设E,-++4)0<4,期G,-+4.G=-之++4-(-1+40 =-7+2z∴S=7EG(e-xw)=7×(-2+2）×4=-f+4=-0 -2)2+4.-1<0,图象开口向下，∴.当t=2时，△BCE的面积有最大值4，此时E (2,D:(3)解：存在点P,使得四边形PQBC是平行四边形，：y=一名十x+4 抛物线的对称轴为直线x=1,由题知，B(0,4).CC4.0).设Q1,m.P(0,一t+n 十4)，当四边形PQBC是平行四边形时，对角线PB,CQ互相平分，则 n+0=4+1, =5, 7+a+4十4=m十0.解得 =子p.-)Q1.2）), 培优专训（六）与旋转有关的计算和证明 1.(1)解：由旋转，得CA=CD,∠DEC=∠ABC=90°，∠ECD=∠BCA=30°，.. ∠DEA=90°，∠CAD=∠CDA=75°..∠ADE=90°-∠DEA=90°-75°=15°：(2) 证明：.·∠FBC=∠ACB=30°，.∠AFB=∠FBC+∠ACB=60°.∴.∠ABF ∠AFB=60°.∴.△ABF是等边三角形.∴.BF=AB.由旋转得，∠DEC=∠ABC= 90°，DE=AB,CE=CB,∠BCE=60°.∴△BCE是等边三角形.∴.∠CBE=∠BEC= 60°.∴.∠EBF=∠EBC-∠FBC=30°.∴.∠DEB+∠EBF=∠DEC+∠BEC+ ∠EBF=180°..DE∥BF.又.DE=AB=BF,.四边形BFDE为平行四边形. 2.(1)150 (2)证明：如图，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到 △ACE,由旋转的性质，得AE=AE,CE=BE,∠CAE=∠BAE,∠ACE'=∠B, ∠EAE=90°.·∠EAF=45,∴.∠EAF=∠EAE-∠EAF=90°-45°=45°=