培优专训(3) 二次函数之数形结合—以形助数、以数辅形&培优专训(4) 实际问题中的二次函数-【名师学案】2025-2026学年九年级上册数学分层进阶学习法（人教版）

中位线.∴0E=AC=35.∴DE=OD-OE=9.∴BD=VBE+DE=15. 进阶测评（七）圆(2) 1.B2.D3.A4.A5.B6.A7.58.1个9.210.①②③④⑤11.解： 过点O作OC⊥AB于C,则∠ACO=90°.：AO=BO,OC⊥AB,∴.AC=7AB=4. OC=WOA-AC=√5-4=3=r.又.OC⊥AB,∴.AB与⊙O相切. E C O 第11题图 第12题图 第13题图 第16题图 12.证明：连接OE.:OE=OC,∠OEC=∠OCE.:DF=FE,∴∠FED=∠FDE. ∠FDE=∠CDO,∠CDO+∠OCD=90°，∴.∠FED+∠OEC=90°，即∠FEO= 90°.∴.OE⊥FE.OE是⊙O的半径，.EF为⊙O的切线.13.(1)证明：连接OP .CP与⊙O相切于点P,.OP⊥PC.BD∥PC,.OP⊥BD..BP=DP,即点P 为劣弧BD的中点：(2)解：四边形BCPD为平行四边形，∴.∠D=∠C.又BP BP,∴∠POB=2∠D,∴∠POB=2∠C.OP⊥PC,∴∠C+∠POB=90°，即∠C+ 2∠C=90°..∠C=30.14.D15.40°或140°16.(1)证明：连接OE.:OA= OE,∴.∠OEA=∠OAE..PQ是⊙O的切线，∴.OE⊥PQ.AC⊥PQ,∴.OE∥AC ∴.∠OEA=∠EAC.∴.∠OAE=∠EAC.∴.AE平分∠BAC.(2)解：过点O作OM1 AC于点M,.AM=MD=2AD=1.'∠OEC=∠ACE=∠OMC=90°，∴.四边形 OECM为矩形...OM=EC=2.∴.OA=√OM+AM=√2+1=√5.即⊙O半径 为√5. 培优专训（一）一元二次方程的解法及根的判别式的应用 1.D2.1或-33.(1)不是(2)0或-24. x+ x+2 x+号 画图区 解：画图如图所示。(x+x+号)=4X1+(号)0.5(2 培优专训（二）一元二次方程中的“陷阱”归类 1.32.k≤1且k≠03.x1=2,x2=-24.解：原方程变形为4x2-4x-1=0.a= 4,b=-4,c=-1,A=b2-4ac=(-4)2-4×4×(-1)=16+16=32.∴.x= 2.=1+2 -(-4)±√32_4±42_1±2 2×4 8 2=12 2· 5.-36.117.解： 设每盆售价x元，由题意，得(x-30)[20+（60)6]=70.解得，=50，x2=160 3· 想让市民得到实惠，∴.x=50.答：每盆售价为50元.8.解：栅栏的总长度为49 米，栅栏BC长为x米，∴.CD的长为(49十2-3x)米.根据题意，得x(49十2一3x) 210.解得x1=7,x2=10.当x=7时，49+2-3.x=49+2-3×7=30>25,不符合题 意，舍去；当x=10时，49+2-3x=49+2-3×10=21<25,符合题意.答：栅栏BC 的长为10米 培优专训（三）二次函数之数形结合一以形助数、以数辅形 【例1】C【例2】D 1.A2.B3.C4.B 培优专训（四）实际问题中的二次函数 1.(1)y=-2x十80解：(2)设日销售利润为w元.=(x-10)(-2x+80)=-2(z 一25)+450.答：糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450 元：(3)=(x-10-m)(-2.x+80)=-2.x2+(100+2m)x-800-80m.:最大利润 为392元，：4X(-2)(-80080）-I00+2m)=392.解得m1=2,m:=58.当m 4×(-2) =58时，x=- =54.每盒糖果的利润=54-10-58=-14（元）.小舍去.六m= 2a 2.2.①=-gx-2+26m2=-g（x+2+22.0)解：3)： 要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，∴·点D与点B重合或点F在y1 上.当点D与点B重合时，OD=OB=2,当点F在y1上时，0.5=-8（x-2)2+2,解 得x1=2十23，x2=2-2√5（不合题意，舍去）.：DE=3m,.DO=2十2√5-3=2 √3一1..OD的取值范围是2≤OD≤2√3一1.跨单元整合 培优专训（三） 二次函数之数形结合 以形助数、以数辅形 类型一 图象共存问题 【例1】在同一平面直角坐标系中，一次函数y =x十a与二次函数y=ax2+bx+c的图象可 能是 第1题图 第2题图 科六 2.(2025·湖北模拟)二次函数y=a.x2+b.x十c 的图象如图所示，对称轴为直线x=1,给出 下列结论：①abc>0;②当x>2时，y>0;③ 类型二二次函数的图象与字母系数之间的 8a十c>0;④3a十b<0,其中正确的结论有 关系 () 【例2】如图，二次函数y= A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 a.x2十b.x十c(a≠0)的图象经 3.(2024·云南期末)如图，二次函数y=a.x 过点(1,2)，且与x轴交点的 横坐标分别为x1和x2,其中 2 十bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(3, -1<x<0,1<x2<2,下列结论： 0),与y轴交于点B,对称轴为直线x=1,下 ①4a+2b+c<0;②2a+b<0;③b>1;④b2+ 列四个结论：①abc<0;②2a+b=0;③4a 8a>4ac.其中正确的结论有 ( 2b十c>0;④a.x2十b.x≥a十b.其中正确结论 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 的个数为 () 【点拔】结合图象可知a<0,a十b十c=2,0<-,易 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2a <1,ac->2,4a+2b+c<0.①由a<0,-2a b 0123x <1可得b一2a,即b+2a<0;②由a<0, 4ac-B>2可得4ac-6<8a,即4ac<P+8a;③ 第3题图 第4题图 由a-b+c<0,a+b+c=2,可得-2b<-2,即b 4.(2024·广元改编)如图，抛物线y=ax2十 >1. b.x十c过点C(0,-2),与x轴交点的横坐标 【针对练习】 分别为x1,x2,且一1<x1<0,2<x2<3,则 1.如图，抛物线y=a.x2十bx十c(a≠0)的对称 下列结论：①a-b十c<0;②方程a.x2十bx十 轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为 (一1,0)，其部分图象如图所示，下列结论错 c+2=0有两个不相等的实数根；③a+b> 误的是 ( ) 0,①a>导其中正确的结论有 () A.abc0 B.b2-4ac>0 A.1个 B.2个C.3个 D.4个 C.4a+2b+c>0 D.2a+b=0 B3 跨单元整合 培优专训（四） 实际问题中的二次函数 类型一利润问题 个问题，数学兴趣小组同学通过建立数学模 1.(2024·贵州改编)某超市购入一批进价为 型进行探索。 10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发 【数学建模】如图2，建立平面直角坐标系， 现：销售单价不低于进价时，日销售量y 可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平 (盒)与销售单价x(元)是一次函数关系，下 面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；喷 表是y与x的几组对应值 水口H离地竖直高度OH为1.5m,把绿化 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 带横截面抽象为矩形DEFG,其水平宽度 DE=3m,竖直高度EF=0.5m,OD表示 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 洒水车和绿化带之间的距离.内边缘抛物线 (1)y与x之间的函数关系式是 y2是由外边缘抛物线y向左平移得到，外 边缘抛物线y1最高点A离喷水口的水平距 (2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销 离为2m,高出喷水口0.5m. 售利润最大，最大利润是多少？ 2 (3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利 A yG 院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼 BD 品后，为确保该种糖果日销售获得的最 图1 图2 大利润为392元，求m的值. 【解决问题】 (1)外边缘抛物线y1的函数解析式为 ,喷出水的最大射程 OC为 (2)内边缘抛物线y2的函数解析式为 ,内边缘抛物线y2与x 轴的正半轴交点B的坐标为 (3)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整 个绿化带，请求OD的取值范围. 类型二抛物线型问题 2.【问题背景】如图1，洒水车沿着平行于公路 绿化带方向行驶，同时向右侧绿化带浇水 数学兴趣小组的同学想了解洒水车要如何 控制行驶路线与绿化带之间的距离，才能保 证喷出的水能浇灌到整个绿化带，为解决这 B4-