培优专训(1)一元二次方程的解法及根的判别式的应用&培优专训(2) 一元二次方程中的陷阱”归类-【名师学案】2025-2026学年九年级上册数学分层进阶学习法（人教版）

跨单元整合 培优专训（一） 一元二次方程的解法及根的判别式的应用 1.【新中考·新运算型阅读理解题】(2024·宿 十2)2，还可表示为四个矩形与一个边长为2 迁)规定：对于任意实数a,b,c,有【a,b】★c 的小正方形面积之和，即4x(x+2)十2=4 =ac十b,其中等式右面是通常的乘法和加 X35十4，因此，可得新方程：(x十x十2)2= 法运算，如【2,3】★1=2×1+3=5.若关于 144,,x表示边长，∴.2x十2=12，即x=5. x的方程【x,x+1】★（m.x)=0有两个不相 注意：这种构造图形的方法只能求出方 等的实数根，则m的取值范围为 ) 程的一个根！ B.m74 x+2 Cm>号且m0 D.m<且m≠0 【点拔】根据新运算的要求，先将方程改写，再结 x+2 合题意方程有两个不相等的实数根解答.注意 画图区 不能忽略二次项系数不为零。 (1)尝试：小颖根据赵爽的解法解方程2x2+ 2.【新中考·新运算型阅读理解题】规定：a⑧b 3x-2=0,请将其解答过程补充完整： =(a+b)b,如：2☒3=(2+3)×3=15.若 2☒x=3,则x的值是 第一步：将原方程变为+号x-1=0, 3.【新中考·新定义型阅读理解题】如果一元 即x(x十 )=1; 二次方程的两根相差1，那么该方程称为 第二步：利用四个全等的矩形构造“空 “差1方程”.例如x2十x=0是“差1方程”. 心”大正方形；（在画图区画出示意图，标 (1)方程x2-5x-6=0 (填“是”或 明各边长) “不是”)“差1方程”； 第三步：根据大正方形的面积可得新的 (2)已知关于x的方程x2-(m-1)x-m= 方程： 0(m是常数)是“差1方程”，则m的值是 解得原方程的一个根为x= (2)反思：这种构造图形解一元二次方程体 4.【新中考·解题方法型阅读理解题】阅读以 现的数学思想是 (从“①分类讨 下材料，并解决相应的问题. 论；②数形结合；③演绎”三个选项中选 三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾 择最恰当的一项的序号填空) 股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何 解法，以x2+2.x-35=0为例，说明如下： 将方程x2十2x一35=0变形为x(x十 2)=35,然后画四个长为x十2，宽为x的矩 形，按如图所示的方式拼成一个“空心”大正 方形，图中大正方形的面积可表示为(x十x B1- 跨单元整合 培优专训（二） 元二次方程中的“陷阱归类 类型一忽略二次项系数不为0 11月都为八方来客奉上一场既有时代气息 1.若方程(m十3)x”7十m.x-2=0是关于x 又具开封特色的菊花文化盛宴，市民们也常 的一元二次方程，则m等于 在当季购买菊花观赏.某菊花供应商有一种 2.(2025·德州模拟)关于x的一元二次方程 菊花，进货价为每盆30元，销售价为每盆60 kx2+2x十1=0有两个实根，则实数k的取 元，菊花节期间平均每天可以售出20盆.菊 值范围是 花节落幕后决定降价出售，经市场调查发 类型二方程两边同时除以含字母的因式而 现：如果每盆降价4元，那么平均每天就可 漏解 多出售6盆.菊花供应商想要达到每天700 3.方程(x-2)2=2x(x-2)的解是 元的盈利，同时想让市民得到实惠，求每盆 售价为多少元？ 类型三用公式法解一元二次方程时，没把方 程化为一元二次方程的一般形式 4.用公式法解方程4x2一1=4.x. 8.如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49 米的栅栏围成两个矩形围栏（图中实线部 分)，且中间共留两个1米的小门，设栅栏 BC长为x米.若矩形围栏ABCD面积为 210平方米，求栅栏BC的长 类型四利用根与系数的关系解题时，忽略△0 5.已知关于x的方程x2-(2m-1)x+m2=0 的两个实数根为x1,x2,若(x1十1)(x2十1) =3,则m的值为 类型五解决与三角形有关的问题时忽视分 类讨论或构成三角形的条件 6.已知三角形的两边长分别为3和5，第三边 长是方程x2一3.x=x一3的根，则这个三角 形的周长为 类型六忽视实际问题中的条件限制 7.【新情境·“开封菊花文化节”】“中国开封菊 花文化节”始于1983年，是开封市实现文化 大发展、提升城市文化软实力、建设国际文 化旅游名城的重要名片之一.每年的10 B2-中位线.∴0E=AC=35.∴DE=OD-OE=9.∴BD=VBE+DE=15. 进阶测评（七）圆(2) 1.B2.D3.A4.A5.B6.A7.58.1个9.210.①②③④⑤11.解： 过点O作OC⊥AB于C,则∠ACO=90°.：AO=BO,OC⊥AB,∴.AC=7AB=4. OC=WOA-AC=√5-4=3=r.又.OC⊥AB,∴.AB与⊙O相切. E C O 第11题图 第12题图 第13题图 第16题图 12.证明：连接OE.:OE=OC,∠OEC=∠OCE.:DF=FE,∴∠FED=∠FDE. ∠FDE=∠CDO,∠CDO+∠OCD=90°，∴.∠FED+∠OEC=90°，即∠FEO= 90°.∴.OE⊥FE.OE是⊙O的半径，.EF为⊙O的切线.13.(1)证明：连接OP .CP与⊙O相切于点P,.OP⊥PC.BD∥PC,.OP⊥BD..BP=DP,即点P 为劣弧BD的中点：(2)解：四边形BCPD为平行四边形，∴.∠D=∠C.又BP BP,∴∠POB=2∠D,∴∠POB=2∠C.OP⊥PC,∴∠C+∠POB=90°，即∠C+ 2∠C=90°..∠C=30.14.D15.40°或140°16.(1)证明：连接OE.:OA= OE,∴.∠OEA=∠OAE..PQ是⊙O的切线，∴.OE⊥PQ.AC⊥PQ,∴.OE∥AC ∴.∠OEA=∠EAC.∴.∠OAE=∠EAC.∴.AE平分∠BAC.(2)解：过点O作OM1 AC于点M,.AM=MD=2AD=1.'∠OEC=∠ACE=∠OMC=90°，∴.四边形 OECM为矩形...OM=EC=2.∴.OA=√OM+AM=√2+1=√5.即⊙O半径 为√5. 培优专训（一）一元二次方程的解法及根的判别式的应用 1.D2.1或-33.(1)不是(2)0或-24. x+ x+2 x+号 画图区 解：画图如图所示。(x+x+号)=4X1+(号)0.5(2 培优专训（二）一元二次方程中的“陷阱”归类 1.32.k≤1且k≠03.x1=2,x2=-24.解：原方程变形为4x2-4x-1=0.a= 4,b=-4,c=-1,A=b2-4ac=(-4)2-4×4×(-1)=16+16=32.∴.x= 2.=1+2 -(-4)±√32_4±42_1±2 2×4 8 2=12 2· 5.-36.117.解： 设每盆售价x元，由题意，得(x-30)[20+（60)6]=70.解得，=50，x2=160 3· 想让市民得到实惠，∴.x=50.答：每盆售价为50元.8.解：栅栏的总长度为49 米，栅栏BC长为x米，∴.CD的长为(49十2-3x)米.根据题意，得x(49十2一3x) 210.解得x1=7,x2=10.当x=7时，49+2-3.x=49+2-3×7=30>25,不符合题 意，舍去；当x=10时，49+2-3x=49+2-3×10=21<25,符合题意.答：栅栏BC 的长为10米 培优专训（三）二次函数之数形结合一以形助数、以数辅形 【例1】C【例2】D 1.A2.B3.C4.B 培优专训（四）实际问题中的二次函数 1.(1)y=-2x十80解：(2)设日销售利润为w元.=(x-10)(-2x+80)=-2(z 一25)+450.答：糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450 元：(3)=(x-10-m)(-2.x+80)=-2.x2+(100+2m)x-800-80m.:最大利润 为392元，：4X(-2)(-80080）-I00+2m)=392.解得m1=2,m:=58.当m 4×(-2) =58时，x=- =54.每盒糖果的利润=54-10-58=-14（元）.小舍去.六m= 2a 2.2.①=-gx-2+26m2=-g（x+2+22.0)解：3)： 要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，∴·点D与点B重合或点F在y1 上.当点D与点B重合时，OD=OB=2,当点F在y1上时，0.5=-8（x-2)2+2,解 得x1=2十23，x2=2-2√5（不合题意，舍去）.：DE=3m,.DO=2十2√5-3=2 √3一1..OD的取值范围是2≤OD≤2√3一1.