24.4 第1课时 弧长和扇形面积-【名师学案】2025-2026学年九年级上册数学分层进阶学习法（人教版）

第3课时切线长定理和三角形的内切圆 知识储备 1.切线长2.相等夹角3.都相切三角形三条角平分线内心 基础练 1.B2.D3.144.解：设圆心为O,连接OA,OP.三角板有一个锐角为30°， ∠PAB=90°+30°=120°.又，PA与⊙O相切，AB与⊙O相切，∴∠OPA=90°， ∠PA0=号×120°=602.∠P0A=30.:PA=5cm,0A=10cm.在Rt△0PA 中，由勾股定理，得OP=√/OA-PA=5√3cm..铁环的半径为5√3cm. D 第4题图 第9题图 5.(1)B(2)110°6.解：根据切线长定理，得AE=AF,BF=BD,CE=CD.设AF= AE=x cm,CE=CD=(28-x)cm,BF=BD=(18-x)cm..'BC=26 cm=BD+ CD,.(18-x)+(28-x)=26.解得x=10.∴.AF=10cm,BD=8cm,CE=18cm. 7.A8.A9.解：(1)连接OF,根据切线长定理得BE=BF,CF=CG,∠OBF ∠OBE,∠OCF=∠OCG..AB∥CD,'.∠ABC+∠BCD=180°.∴.∠OBF+∠OCF =90°..∠BOC=90°.(2)由(1)知，∠BOC=90°.：OB=6cm,OC=8cm,∴.由勾股 定理，得BC=OB+OC=10(cm).∴.BE+CG=BF+CF=BC=10(cm).(3) 4.810.(1)6解：(2).∠P=60°，.∠PCE+∠PDE=120°.∴.∠ACD+∠CDB =360°-120°=240.CA,CE是⊙0的切线，∠0CE=乞∠ACD,同理：∠0DE 含∠CDB.∠0cCE+∠0DE=2(∠ACD+∠CDB)=120.∴∠C0D=180-120 =60° 微专题九三角形的内切圆半径 1.22.6 24.3正多边形和圆 知识储备 1.相等相等2.中心半径中心角距离边心距3.n等分 基础练 1.C2.(1)B(2)103.(1)120°(2)60°(3)2(4)√5(5)6√34.解：设点O 是正△ABC的中心，连接OB,OC,过点O作OD⊥BC于D,则∠ODB=90°，BD= CD=2BC-5.:∠B0C=360-120,0B=0C,∠0BC=∠0CB=180°，120 2 =30°.在Rt△OBD中，∠OBC=30°，∴.OB=2OD.OB2=OD+BD,∴.(2OD)2= 0D+(.0D=1.0B=20D=2.∴Sa=3X合BC.0D=3×2×25X1 =35.半径是2，边心距是1，面积是3√5. 图2 图② 第4题图 第6题图 第10题图 第11题图 5.15或105°6.解：如图.7.A8.B9万10.1)厄：1解：(2)BE是⊙0 的内接正十二边形的一边，理由如下：连接OA,OB,OE.在正方形ABCD中，∠AOB =360 4 =90在正六边形AEFCGH中，∠AOE=360 =60°.∴.∠BOE=∠AOB 6 ∠AOE=30.:0-=12,BE是o0的内接正十二边形的一边.11.（①DPA=PB +PC解：(2)不成立，理由如下：过点B作BE⊥PB交PA于点E,则∠PBE=90 =∠PBC+∠EBC,.'正方形ABCD,'.∠ABC=90°=∠ABE+∠EBC,AB=CB. ∴∠ABE=∠PBC.又PB=PB,∠BAP=∠BCP.△ABE≌△CBP.AE= PC.在R△PBE中，∠BPA=令∠AOB=×90=45∠PEB=45=∠BPA. .'PB=BE..PE=/2 BP...PA=AE+PE=PC+/2BP. 24.4弧长和扇形面积 第1课时孤长和扇形面积 知识储备 12 360 合R 22 基础练 1.(1)4π(2)6cm(3)120°(4)元2.4π 3. 解：连接AO,DO, C0.AC=AC,AD=AD,∠AOC=2∠B=116°，∠AOD=2∠ACD=80°. ∠C0D=16-80=36.1金-3605-元41)5(21305.25x6.2 180 7.解：(1)：AB=AB,∠A0B=2∠C=90.:A0+B0=AB,2A0=(2 1,解得A0=2⊙0的半径是2：(2)Ss=Sam-Sm=902-名×2× 360 2=元-2.8号x9x10.1山.10x12解：)：D是AB的中点，PD经过 圆心∴.PD⊥AB.∴∠ADO=90°.∠A=30°，∴.OA=2OD,∠COP=∠AOD=90 -∠A=60°.：OA=OC,D是AB中点，∴.OD为△ABC的中位线..BC=2OD=2. :0A=20D=2.00的半径为2.劣弧PC的长为602-2经：(2)由(1D知 180 ∠COP=60.PFLAC,∠PF0=90.∴∠OPF=90-∠POF=30.0F=9 OP=1.∴.在Rt△OPF中，PF=√OP-OF=√5.∴.S用影=Sm形P-S△oPF= 2-X1x万-等-9 360 13.7元 重点强化专题（六）与圆有关的阴影部分面积的计算 1.4怀2.23E-受4B5B64x-87.C8.管-79162x10.x 53 11.22 第2课时圆锥的侧面积和全面积 知识储备 lr扇形母线1周长(2xr)lxr(r十) 基础练 1.(1)20x(2)60π(3)①2xr22cm16元②解：根据圆锥底面圆的周长等于 侧面展开图中扇形的弧长，得8.2=2x·1.解得n=120答它的侧面展开图的圆 心角是120°.2.C3.解：圆锥的母线长是：√3+4=5.圆锥的侧面积是4×5·x =20π.圆柱的侧面积是8π×4=32π.几何体的下底面面积是π×4=16π.∴.该几何 体的全面积（即表面积）为：20x+32x+16π=68元.4.(1)B(2)C5.D6.A7. 6π8.8√2π9. 解：连接CG.四边形ABCD为菱形，∴.BC= H D AB=2√5，AB∥CD..∠B=180°-∠BCD=60°.又：AB与EF相切于G,∴∠BGC =90.∴∠BCG=90-∠B=30°.∴BG=号BC=5.CG=√23)-(5)=3. 设圆锥的底面半径是，则2三293，解得71.答：圆锥底面的半径是1.D ()弧长"6180°半圆(2)90°3ABAP3535 180 综合与实践（三）制作圆维形生日帽 解：任务1：(1)相等120°(2)由圆锥的底面圆的周长等于扇形的弧 B 长，得”x 8元2x2一2π义180=360工；任务2：(2)L6·r3·2 πl 360r-360X3=180.任务3：把圆锥的侧面沿着母线PB展开，如图所 6 示：∠A'PC=zX180=90,PA'=PB=6,.PC=zPB=3(cm.∴在R△A PC中，A'C=√/PA2+PC=/6十3=3√5(cm).∴.彩带长度的最小值为2A'C=6 √5cm. 数学活动（三）圆中无刻度的直尺作图（选用） 任务1解：(1)如图，线段AC,BD即为直径，点O即为圆心；(2)如图，线段MN,PQ即 为直径，点O即为圆心.24.4弧长和扇形面积 第1课时 孤长和扇形面积 知识储备 求DC的长. 1.在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的孤长l= 2.在半径为R的圆中，圆心角为n°的扇形面积为 S扇形= ,其中1为孤长，R 是半径 01基础练 必备知识梳理 知识点一 弧长公式及其应用 1.(教材P115习题T1改编) 一题多变 知识点二扇形的面积公式及其应用 (1)【已知半径和圆心角，求弧长】 4.(1)(2025·牡丹江模拟)扇形的半径为4，圆 (2024·安徽)若扇形AOB的半径为6， 心角为120°，则该扇形的面积为 (结 ∠AOB=120°，则AB的长为 果保留π). (2)【已知弧长和圆心角，求半径】 (2)【T4(1)变式】一个扇形的面积是13πcm2, (2024·哈尔滨)若90°的圆心角所对的弧长 半径是6cm,则此扇形的圆心角是 度 是3πcm,则此弧所在圆的半径是 5.一个扇形的半径是5cm,弧长是10πcm,则 (3)【已知弧长和半径，求圆心角】 这个扇形的面积是 cm2. (2024·绵阳)将一个折扇展开，可抽象成一 6.【教材P113练习T3变 式】如图，在Rt△ABC 个扇形，若扇形的半径是2，弧长是红，则扇 中，∠C=90°，AC=BC= 形的圆心角是 2,点D是AB的中点，以A,B为圆心，AD, (4)【已知圆周角和直径，求弧长】 BD长为半径画弧，分别交AC,BC于点E, 如图，AB是⊙O的直径，C是 F,则图中阴影部分的面积为 ⊙O上一点，连接AC,OC,若 7.【教材P112例2变式】如图，在⊙O中，AB= AB=6,∠A=30°，则BC的长 2√2，∠C=45°. 为 (1)求⊙O的半径； 2.【新中考·跨物理学科】如图，用一 (2)求图中阴影部分的面积. 个半径为6cm的定滑轮拉动重物 上升，滑轮旋转了120°，假设绳索 粗细不计，且与滑轮之间没有滑 动，则重物上升了 cm(结果保留π). 3.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∠B=58°，∠ACD=40°.若⊙O的半径为5， 107九年级数学·上册 易错点)因不能正确转化组合图形的面积致错 (1)求劣弧PC的长； 8.如图，将△ABC绕点C顺时 (2)求阴影部分的面积. 针旋转120°得到△A'B'C, 已知AC=3,BC=2,则线段 AB扫过的图形（阴影部分）的面积为 【点拨】线段AB扫过的图形的面积=S△ABC十S扇CA' S扇BB一S△A'BC,由旋转可知S△ABC=S△A'BC,从而可 得线段AB扫过的面积是扇形CAA'与扇形CBB' 的面积之差. 02综合练 个关键能力提升一 9.【新情境·宣传展板】如图①是一块弘扬“社 会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板 的部分示意图如图②所示，它是以点O为圆 心，OA,OB长分别为半径，圆心角∠O=120 形成的扇面，若OA=3m,OB=1.5m,则阴 影部分的面积为 m2. 社会主义核心价值观 03素养练 绕学科麦养塔有 ① ② 13【新中考·新定义型阅读理解题】如图，六边形 10.数学课上，老师将如图所示的边长为1的正 ABCDEF是正六边形，曲线FAB,CD,EF 方形铁丝框变形成以点A为圆心，AB为半 径的扇形（铁丝的粗细忽略不计），则所得扇 叫做“正六边形的渐开线”，FA1,A1B1, 形ABD的面积是 B1C,CD1,DE,E,F1,…的圆心依次按 A,B,C,D,E,F循环，且每段弧所对的圆心 角均为正六边形的一个外角.当AB=1时， 曲线FA1B,C1D1E1F,的长度是 11.【转化思想】如图，半径为10 E 的扇形AOB中，∠AOB=D 90°，C为AB上一点，CD1 OA,CE⊥OB,垂足分别为D,E.若∠CDE 为36°，则图中阴影部分的面积为 解题妙招 12.如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AC是 不规则图形的面积的计算 直径，∠A=30°，BC=2,D是AB的中点， 计算不规则图形的面积时，通常将其转化为 连接DO并延长，交⊙O于点P,过点P作 规则图形的面积的和或差来计算，如T6,T7,T8, PF⊥AC于点F. T11,T12(2). 助学助教优质高敦108