24.1.4 圆周角&重点强化专题(5) 与圆的基本性质有关的辅助线-【名师学案】2025-2026学年九年级上册数学分层进阶学习法（人教版）

24.1.4圆周角 第1课时 圆周角定理及其推论 知识储备 1.圆周角：顶点在 ,并且两边都与圆 50 ,这样的角叫做圆周角. 102 959 100 140° 2.圆周角的定理：一条孤所对的圆周角等于它所 A B 对的圆心角的 3.如图，在⊙0中，弦AC=4,B是⊙O上一点， 3.推论：(1)同孤或等孤所对的圆周角 且∠ABC=45°，则⊙O的半径为 () (2)半圆（或直径）所对的圆周角是 90°的圆周角所对的弦是 A.4 B.22 C.25 D.2 01基础练 停必备知识梳理一 知识点一 圆周角的概念 第3题图 第4题图 1.【概念辨析】下列图形中的角是圆周角的是 4.如图，点A,B,C在⊙O上，BC=6,∠BAC= ( 30°，则⊙O的半径为 知识点三圆周角定理的推论 5.【推论辨析】如图，A,B,C,D是⊙O上的点， 则图中与∠A相等的角是 () A.∠B B.∠C 知识点二 圆周角定理 C.∠DEB D.∠D 2.(教材P89习题T2图改编) 一题多变 (1)【已知圆心角，求圆周角】如图，点A,B,C 在⊙O上，若∠AOB=60°，则∠C的度数为 D 第5题图 第6题图 A.30° B.45° C.60° D.90° 6.(中考·广东)如图，AB是⊙O的直径， 30° D ∠BAC=50°，则∠D= () A.20° B.40° C.50° D.60° 7.如图，点A,B,C,D,E在⊙O上，AB=CD, 第2(1)题图 第2(2)题图 ∠AOB=42°，则∠CED= () (2)【已知圆周角，求圆心角】如图，AB是⊙O A.48 B.24° C.22 D.21° 的直径，点C,D在⊙O上，∠ADC=30°，则 ∠BOC的大小为 (3)【已知圆周角，判断圆心】如图，点E,F,G在 圆上，∠FEG=50°，则点P是圆心的是() 第7题图 第8题图 91九年级数学·上册 8.【教材P89习题T6变式】如图是小华应用直 角曲尺来检验半圆形工件是否合格，其中所应 用的数学知识是 9.(教材P89习题T5玫编) 一材多题 如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB,垂足为 C,交⊙O于点D,点E在⊙O上 (1)若∠AOD=60°，求∠DEB的度数； (2)在(1)的条件下，若⊙O的半径是2，求 AB的长. 03素养练 》季升生养培者一 13.如图，以△ABC的边AC为直径作⊙O,交 BC边于点D,过点C作CE∥AB交⊙O于 点E,连接AD,DE,∠B=∠ADE. (1)求证：AC=BC; (2)若AD=8,BD=4,求⊙O的半径. 02综合练 套关键能力提升一】 10.如图，⊙O的直径AE=8,∠B=∠EAC,则 AC的长为 () A.4 B.4√2 C.4√3D.6 D 第10题图 第11题图 11.如图，⊙O的半径是4，点A,B,C,D在⊙O 上，AC⊥BC,∠ADC=30°，则BC的长是 12.【教材P87例4变式】如图，AB是⊙O的直 解题妙招 径，点C是AB的中点，点D在⊙O上， 与圆的直径有关的辅助线 (1)请判断△ABC的形状，并说明理由； 在圆中有直径，常构造直径所对的圆周 (2)若∠ABD=60°，BD=2,求∠CAD的度 角一直角，再利用同弧所对的圆周角相等转化 数和AC的长， 角，然后利用三角形内角和计算角度，利用勾股定 理计算线段的长，如T10;若已知90°的圆周角，可 连接该圆周角所对的弦，得直径.如T8,T11. 助学助教优质高敦92 第2课时 圆内接四边形 知识储备 1.圆内接多边形的定义：如果一个多边形的所有 顶点都在 ,这个多边形叫做圆 内接多边形，这个圆叫做多边形的 2.圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角 易错点 因忽视弦所对的圆周角有两种情况 01基础练 必备知识梳理· 而漏解 知识点圆内接四边形的性质 5.在半径为1的⊙O中，长为1的弦所对的圆 1.(2024·青海)如图，四边形 B 心角等于 ,所对的圆周角等于 ABCD是⊙O的内接四边形， ∠A=50°，则∠C的度数是 02素养练 》孕科生养持有一 6.如图，⊙C经过原点O,与坐标轴交于点A, 2.(1)【教材P88练习T5变式】如图，四边形 B,点A的坐标是(0,3)，M是第三象限圆上 ABCD内接于⊙O,E为BC延长线上一点. 的一点，若∠BMO=120°，则⊙C的半径是 若∠DCE=65°，则∠A的度数是 () 一EEò 第2(1)题图 第2(2)题图 A.6 B.5 C.3 D.3√2 (2)【T2(1)变式】如图，四边形ABCD内接于 7.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ⊙O,点E在CD的延长线上.若∠ADE= ∠B=90°，∠BCD=120°，AB=2,CD=1,求 70°，则∠AOC= 度 AD的长. 3.如图，AB是⊙O的直径，D,C 是⊙O上的点，∠ADC=115°， 则∠BAC的度数是() A.25° B.30° C.35 D.40° 4.【教材P90习题T14变式】如图，在⊙O的内 接四边形ABCD中，DB=DC,点E在BA的 延长线上.求证：AD平分∠EAC. 93九年级数学·上册 重点强化专题（五） 与圆的基本性质有关的辅助线 类型一与圆心角和圆周角有关的辅助线 (三)构造圆内接四边形 (一)构造同弧或等弧所对的圆心角或圆周角 解题技巧 解题技巧 0 【针对练习】 【针对练习】 1.(2025·大庆模拟)如图，点A,B,C在⊙O 5.如图，点C是⊙O的劣弧AB上一点，∠AOB =96°，则∠ACB的度数为 () 上，点C是劣弧AB的中点，若∠AOB=160°， 则∠BAC的度数是 () A.112°B.124° C.132° D.150° A.10° B.40 C.50° D.60° 第5题图 第6题图 第1题图 第2题图 6.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A 2.(2025·兰州模拟)如图，⊙O中半径OC=3, 72°，过点O作BC的垂线交BC于点D,连接 ∠BAC=45°，则弦BC的长度为 BD,则∠D的度数为 () (二)利用直径构造直角或利用直角构造直径 解题技巧 A.64° B.54° C.46° D.36° 类型二与弧的中点有关的辅助线 0 解题技巧 已知孤的中点，通常构造等孤所对的圆心角，先 利用等孤所对的圆心角相等，再利用等腰三角形三 【针对练习】 线合一的性质证明连线垂直平分孤所对的弦，然后 3.(2025·衡水模拟)如图，AB是⊙O的直径， 弦CD交AB于点E,连接AC,AD.若∠D= 利用垂径定理和勾股定理计算 62°，则∠BAC= 7.如图，AB是⊙O的弦，且AB= 6,点C是弧AB中点，点D是 优弧AB上的一点，∠ADC= 30°，则圆心O到弦AB的距离等于 第3题图 第4题图 A.35 B C.3 4.(2025·襄阳模拟)如图，点A,B,C在⊙O D. 上，ACLBC,AC=2,BC=2√5，则⊙O的半 请完成进阶测评（六） 径为 助学助款优质高数94D.∠B0D=∠COD=2∠B0C=60.∠A0C=∠COD.∴AC=CD.&.C 9.D10.C11.菱形1612.证明：连接OC,OD..OA=OB,AM=BN,.OA AM=OB-BN.即OM=ON..'CM⊥OA,DN⊥OB,∴.∠CMO=∠DNO=90°.又. OC=OD,.Rt△COM≌Rt△DON.∴.∠COM=∠DON.∴.AC=BD. 第12题图 第13题图 13.解：(1)如图，△BOE即为所求；(2)，∠AOB十∠COD=90°，由旋转知∠BOE= ∠COD,∴.∠AOE=∠AOB+∠BOE=90°.：OA=OB=OE,∴.∠OAB=∠OBA, ∠OBE=∠OEB.·∠OAB+∠OBA+∠OBE+∠OEB+∠AOE=360°..∴.2∠ABE +90°=360°.∴.∠ABE=(360°一90°)÷2=135°：(3)如图，连接AE,过点E作EF AB于点F,∴.∠EBF=45°..BE=CD=√2，∴.EF=BF=1..AF=AB+BF=3. .AE=√3+1=10.在Rt△AOE中，OA+OE2=AE,∴.2OA=(√/10).解得 OA=√5.∴.⊙0的半径长为√5 24.1.4圆周角 第1课时圆周角定理及其推论 知识储备 1.圆上相交2.一半3.(1)相等(2)直角(3)直径 基础练 1.B2.(1)A(2)120°(3)C3.B4.65.D6.B7.D8.直径所对的圆周 角为直角9： 解：(1)连接OB,:在⊙O中，OD⊥AB,.AD=BD,AB =2AC,∠AC0=90.÷∠AOD=∠BOD=60.:BD=BD,.∠E=3∠B0D 30.(2)在R△A0C中，∠A=30,0C=2A0=1.AC=/2-下=原.∴AB= 2AC=2√5.10.B11.4√12.解：(1)△ABC是等腰直角三角形，理由：点C 是AB的中点，∴.AC=BC,AC=BC.AB为直径，.∠ACB=90°=∠ADB. △ABC是等腰直角三角形.(2)，△ABC是等腰直角三角形，'.∠CAB=∠CBA= 45°.又.∠ACD=∠ABD=60°，∠ADC=∠ABC=45°，∴.∠CAD=180°-∠ACD- ∠ADC=75°.Rt△ADB中，∠ABD=60°，.∠BAD=30°...AB=2BD=4.在Rt △ABC中，AC+BC=AB..2AC=4.解得AC=2√2.13.(1)证明：：∠ADE =∠ACE,∠ADE=∠B,.∠B=∠ACE.CE∥AB,.∠BAC=∠ACE..∠B= ∠BAC.∴.AC=BC;(2):AC为⊙O的直径，∴.∠ADC=∠ADB=90°.设AC=BC =x,则CD=BC-BD=x-4.在Rt△ADC中，AD+CD=AC,即8+(x-4)2= x,解得x=10.∴0A=2AC=5,即o0的半径为5， 第2课时圆内接四边形 知识储备 1.同一个圆上外接圆2.互补 基础练 1.130°2.(1)65°(2)1403.A4.证明：.DB=DC,∴.∠DBC=∠DCB.四边 形ABCD是圆内接四边形，.∠BAD十∠DCB=180°.又：'∠EAD十∠DAB=18O°， ∴.∠EAD=∠DCB.:DC=DC,.∠DAC=∠DBC.又：∠DBC=∠DCB,∴ ∠EAD=∠DAC.即AD平分∠EAC.5.60°30°或150°6.C 解：延长BC,AD交于点E,.四边形ABCD是⊙O的内接 /D 四边形，∴.∠A=180°-∠BCD=60°，∠ADC=180°-∠B=90°.∴.∠CDE=90°，∠E =90°-∠A=30°..CE=2CD=2,AE=2AB=4.又.DE=/CE2-CD=√3，∴. AD-AE-DE-4-3. 重点强化专题（五）与圆的基本性质有关的辅助线 1.B2.323.28°4.25.C6.B7.C 24.2点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.1点和圆的位置关系 知识储备 1.d>rd=r0≤d<r2.不在同一条直线上外接圆垂直平分线外心3.