24.1.4圆周角(第1课时)（教学设计）数学人教版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦圆周角概念、定理及推论，通过复习圆心角、垂径定理等旧知，类比引出圆周角，构建知识支架，衔接前后内容。 以探究为主线，经历观察、度量、猜想、证明过程培养推理能力，分类讨论和化归思想渗透抽象能力与几何直观，结合中考真题强化应用意识。助力学生发展探究与推理能力，为教师提供结构化教学流程和多样化练习资源。

　　　　　　　24.1.4圆周角（第1课时)（教学设计） 1.教学内容 本课时是人教版九年级上册教材第二十四章圆,24.1圆的有关性质，24.1.4圆周角第1课时,内容为圆周角概念，圆周角定理及其推论。 2. 内容解析 本节课内容是学生学习了圆的相关知识，垂径定理，弧、弦、圆心角之间的关系的基础上，继续研究圆周角的概念、性质和应用。与圆心角一样，圆周角也是研究圆时重点研究的一类角，它的顶点也在圆的特殊位置。顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。圆周角定理揭示了一条弧所对的圆周角与圆心角之间的数量关系，从而把圆周角与对应的弧、弦联系起来。圆周角定理及其推论为与圆有关的角的计算、证明角相等、弧、弦相等等数学问题提供了十分便捷的方法和思路，既是圆心角、弧、弦之间关系的继续，又是后续研究圆与其他平面图形的桥梁和纽带。圆周角定理的证明，采用完全归纳法。通过分类讨论，把一般问题转化为特殊情况来证明，渗透了分类讨论和化一般为特殊的化归思想。 基于以上分析，确定本节课教学重点是:圆周角定理及其推论的探究与应用。 1.教学目标 (1)理解圆周角的概念，了解并证明圆周角定理及其推论，并能进行简单证明和计算，发展抽象思维、数学运算和推理能力。 (2)经历画图、观察、度量、归纳等几何研究的一般过程，发现一条弧所对的圆周角与圆心角之间的关系，培养抽象能力、几何直观和推理能力。 (3)结合圆周角定理的探索与证明的过程，体会分类讨论、化归的思想方法，渗透从特殊到一般的数学思想，使学生了解分情况证明命题的思想和方法，发展几何直观和推理能力。 2.目标解析 （1）学生能依据图形特点，抽象归纳圆周角的概念，并在具体的图形中正确识别一条弧所对的圆周角，掌握辨析圆周角的方法，发展抽象能力；知道一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，及同弧或等弧所对的圆周角相等，能够正确识别直径所对的圆周角，并会结合具体问题构造直径所对的圆周角;能够应用定理或推论解决简单问题，发展数学运算和推理能力。 （2）经历圆周角定理的发现和证明的过程，能通过几何探究活动得出猜想，培养抽象能力；结合几何画板的直观演示，理解推理过程，培养几何直观和推理能力。知道圆周角定理可以解决一类问题，是解决与圆有关问题的基础。 (3)经历圆周角定理的探究过程，能根据圆心角与圆周角的位置关系对同弧所对的圆周角进行分类，理解证明圆周角定理需要分三种情况的必要性，发展几何直观，增强推理能力；理解证明圆周角定理时，可以把圆心在圆周角内部和外部两种情况转化成特殊情况，从而证明定理，能将分类思想与化归思想运用于后续学习，分类时要不重不漏。 本节课以研究与圆有关的“基本元素”及“由元素间的位置关系出发探究数量关系”为出发点，类比圆心角的学习，研究圆周角的概念，探究圆周角与圆心角、弧、弦的关系。探究圆周角定理时，让学生经历观察、度量、猜想、验证、归纳等几何研究的一般过程，体会数学研究的逻辑性和严密性。坚持以学生为主体，教师为引导者，采用讲授法、启发探究法、小组讨论法，以问题的提出、解决和再创造为主线，倡导学生主动参与课堂，完成探究活动，逐步引导学生理解概念、发现规律，得出猜想，证明猜想，归纳定理，应用定理，让学生在体验中，理解数学知识，感悟分类讨论、特殊到一般、化归的数学思想方法，积累数学活动经验。通过让学生经历知识发生、发展的全过程，掌握数学原理，归纳定理及推论，发展探究性思维。 基于以上分析，确定本节课的教学难点为圆周角定理的证明中由一般到特殊的数学思想方法和圆周角定理及推论的应用。 创设情景，引入新课 复习：①顶点是圆心的角叫圆心角； ②在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。 ③圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心；把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合。 （设计意图：复习相关知识点，引入新课.） 探究点1　圆周角的概念 追问1:为什么称为圆心角呢? 角的顶点在圆心。 追问2:顶点不在圆心，还可以在什么位置? 顶点可在不同位置，如图，可能在圆周上，圆内、圆外。 今天我们来研究顶点在圆周上的角？ 追问3：如下图，顶点在圆周上的角叫什么角？你能给圆周角下定义吗？ 圆周角；顶点在圆上，并且两边都与圆相交，我们把这样的角叫做圆周角。 追问4：你能将圆心角与圆周角进行比较吗？ 圆周角定义中有两个要素，顶点在圆上，并且两边都与圆相交；圆心角与圆周角定义中都提出了角的顶点的位置，因为以圆内任意一点为端点的射线必然与圆相交，因此圆心角的定义中未提与圆相交，但在圆周角的定义中，两边与圆相交的条件不能省略。 （设计意图：探究什么是圆周角，并类比与圆心角的异同.） 典型例题 例1　下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由. 【分析】根据圆周角定义中的两个要素，顶点在圆上，并且两边都与圆相交进行判断。 【详解】解：(1)(5)(6)是圆周角，符合顶点在圆上，并且两边都与圆相交;(2)不是，顶点不在圆上;(3)不是，边AC没有和圆相交;(4)不是，顶点不在圆上。 （设计意图：强化对圆周角的认识.） 探究点2　圆周角定理及其推论 探究：分别测量下图中，所对的圆周角∠BAC和圆心角∠BOC的度数，它们之间有什么关系? ∠BAC的度数是∠BOC度数的一半。 追问1：在⊙O上任取一条弧，作出这条弧所对的圆周角和圆心角，测量它们的度数，你能得出同样的结论吗?由此你能发现什么规律? 这条弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半。 追问2：⊙O的圆心Ｏ和圆周角位置关系有哪些种情况？ 圆心O在∠BAC的一边上;圆心O在∠BAC的内部;圆心O在∠BAC的外部三种情况。 追问3：如何证明上面的结论正确？进行讨论。 可以证明上面的三种情况结论都成立。先证明圆心O在∠BAC的一边上特殊情况，再将另外两种情况转化为特殊情况。 具体证明如下： (1)圆心O在∠BAC的一边上(如图). 【证明】:∵OA=OC，∴∠A=∠C，而∠BOC=∠A+∠C, ∴∠BAC=∠C=∠BOC. 教师指导：上面的证明过程我们可以推理符号“”完成： 。 (2)圆心O在∠BAC的内部. 【分析】此种情况与(1)不同，但可以转化成(1)的基本图形进行证明。 【证明】:连接AO并延长交00于D，则∠BAC =∠BAD +∠DAC 由（１），得∠BAD=∠BOD，∠ＣAD=∠ＣOD， ∴∠BAC =∠BAD +∠DAC=∠BOD＋∠ＣOD＝∠BOC. 仿照（1）用推理符号“”完成上面证明。 (3)圆心0在∠BAC的外部. 【分析】此种情况证明可以转化成(1)的基本图形进行证明。 【证明】连接AO并延长交00于点D，则∠BAC =∠DAC－∠BAD 由（１），得∠BAD=∠BOD，∠ＣAD=∠ＣOD， ∴∠BAC =∠DAC－∠BAD=∠ＣOD－∠ＢOD＝∠BOC. 仿照（1）（2）用推理符号“”完成上面证明。 思想方法总结：圆周角定理的证明，采用完全归纳法。通过分类讨论，把一般问题转化为特殊情况来证明，渗透了分类讨论和化一般为特殊的化归思想。 归纳总结：圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 追问4：如图，OB，OC都是⊙O的半径，点A,D是上任意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠BAC与∠BDC相等吗?请说明理由. 相等；理由如下： 在⊙O中，∵∠BAC =∠BＤC,∠BAC =∠BOC,∴∠BAC=∠BDC. 归纳总结　圆周角定理推论：同弧或等弧所对的圆周角相等。 追问5:如图，线段AB是的直径，点C是⊙0上的任意一点(除点A、B外)那么，∠ACB就是直径AB所对的圆周角，想一想，∠ACB会是怎样的角? ∵OA=OB=OC,∴△AOC、△BOC都是等腰三角形.∴∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB. 又∵∠OAC+∠OBC+∠ACB=180°.∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=180°=90°. 归纳总结　圆周角定理推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 （设计意图：探究圆周角定理及证明思想方法，并推导其推论.） 典型例题 例2 如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BC，AD，BD的长. 【分析】根据圆周角定理推论，得到∠ACB=∠ADB=90°，根据勾股定理求出。 【详解】解:∵AB是直径， ∴ ∠ACB=∠ADB=90°. 在Rt△ABC中， (cm). ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠BCD， ∴∠AOD=∠BOD. ∴AD=BD. 又在Rt△ABD中, , ∴(cm). 1．如图，将正方形中的绕点B顺时针旋转到的位置．若，求点P经过的路径长． 【详解】解：∵将正方形中的绕点顺时针旋转到的位置，， 由旋转性质可得，， ∴点所走过的路径是以为圆心，为半径，圆心角为弧长， ∴点所走过的路径的长为：． （设计意图：强化圆的性质应用） 1.课本课堂练习第1题　判断下列图形中的角是不是圆周角，并说明理由: 2.课本课堂练习第3题　　如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC.求证:∠ACB=2∠BAC. 3.课本课堂练习第4题　如图，你能用三角尺确定一张圆形纸片的圆心吗?有几种方法?与同学交流一下。 答案：1.(3)是，其他不是.(理由略). 2.由已知可得∠ACB=∠AOB，∠BAC=∠BOC,∠AOB=2∠BOC.所以∠ACB=2∠BAC. 3.方法有多种，如对折两次，找到直径的交点;利用“90°的圆周角所对的弦是直径”先找到直径，再确定 圆心;通过作任意一条弦的中垂线先作出直径，再确定圆心;等等。 （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1．（2025.山西）如图，AB为⊙O的直径，点C，D是⊙O上位于AB异侧的两点，连接AD，CD．若，则∠D的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【解答】解：连接OC， ∵，AB为⊙O的直径， ∴∠AOC＝∠BOC∠AOB＝90°， ∴∠D∠AOC＝45°， 故选：B． 2.（2025·安庆校考）如图，是的直径， ，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【详解】解：因为 所以 则 因为 所以， 故选：D 3.（2025·吉林松花江期中）如图，为的直径，弦与交于点E，连接、，；．    (1)求的度数； (2)连接，若，则的半径为_____． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：如图，连接，    ，°， ， ， 中， ，， 解得．故答案为：． 4．（2025·廊坊·九年级期中）如图，在中，，，直径于点，连接，． (1)求的度数； (2)求的长度． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． （设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） 1.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 2.圆周角定理推论：同弧或等弧所对的圆周角相等。 半圆或直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 (设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 必做题：习题24.1第5、6、12题 探究性作业：习题24.1第16题 （设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ） 主板书 4.1.4圆周角定理（第1课时） 探究点1　圆周角的概念 探究点2　圆周角定理及其推论 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $