24.1.3 弧、弦、圆心角-【名师学案】2025-2026学年九年级上册数学分层进阶学习法（人教版）

24.1.3 弧、弦、圆心角 知识储备 (4)若△ABC为等边三角形，则∠BOC的度 1.顶，点在 的角叫做圆心角。 数为 2.孤、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，相等的 4.【教材P89习题T4变式】如图，A,B,C,D是 圆心角所对的弦 ,所对的孤 ⊙O上的四点，且AD=BC,则AB与CD的 在同圆或等圆中，如果两条孤、两条弦、两个圆 大小关系为 () 心角中有一组量相等，则其余各组量也都 A.AB>CD B.AB=CD C.AB<CD D.不能确定 01基础练 必备知识梳理 知识点一 圆心角及其计算 1.【概念辨析】下面四个图中的角，是圆心角的 是 第4题图 第5题图 5.【教材P85练习T2变式】如图，AB是⊙O的 直径，点E在⊙O上，点D,C是BE的三等分 点，∠COD=34°，则∠A的度数是 B D 6.(原创题)如图，正方形ABCD内接于⊙O,M 2.(1)如图，⊙O的直径是4，弦长AB=2,则圆 为CD的中点，连接AM,BM. 心角∠AOB的度数是 求证：AM=BM. 第2(1)题图 第2(2)题图 (2)【T2(1)变式·逆向思维】如图，⊙O的弦 AB=4√2，∠AOB=90°，则半径是 知识点二弧、弦、圆心角之间的关系 7.如图，AB是⊙O的直径，点C,D是⊙O上的 3.(教材P84例3图改编) 一材多题 点，△AOC是等边三角形，D是BC的中点. 如图，点A,B,C在⊙O上，连 求证：AC=CD. 接OA,OB,OC. (1)若∠AOB=∠AOC,则AB = AB= (2)若AC=BC,则AC= ,∠AOC= (3)若AB=BC,则AB= ,∠AOB= 89 九年级数学·上册 易错点○因忽视“在同圆或等圆中”这一条件 致错 8.下列说法正确的是 A.相等的弦所对的弧相等 B.相等的圆心角所对的弧相等 C.等弧所对的弦相等 D.相等的弦所对的圆心角相等 03素养练 学科素养培育一 02综合练 ,关键能力捉升一 13.【新课标·作图能力】如图，A,B 9.如图，已知A,B,C,D是⊙O上的点，∠1= C,D都在⊙O上，∠AOB+ ∠2，则下列结论中正确的有 () ∠COD=90°. ①AB=CD:②BD=AC;③AC=BD: (1)将△COD绕点O逆时针旋转得到△BOE, ④∠BOD=∠AOC. 使OC与OB重合，画出旋转后的图形； (2)在(1)的条件下，求∠ABE的度数； A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 (3)若AB=2,CD=√2，求⊙O的半径长， ● 第9题图 第10题图 10.【易错题】如图，在⊙O中，AB=2CD,则下 列结论正确的是 () A.AB>2CD B.AB=2CD C.AB<2CD D.以上都不对 【点拨】取AB的中点P,连接PA,PB,结合已知条 件可证PA=PB=CD,从而得到PA=PB=CD, 再利用△PAB的三边关系解答. 11.【教材P90习题T13变式】如 图，A,B是半径为4的⊙O上 的两点.若∠AOB=120°，C是 AB的中点，则四边形AOBC 少解题妙招 是 ,它的周长等于 在同圆中，证弦相等，可证弦所对的圆心角或 12.【教材P123复习题T2变式】如图，在⊙O 弧相等.如T4,T6,T9;证孤相等，可证弧所对的 中，CM⊥OA于点M,DN⊥OB于点N,且 圆心角或弦相等.如T7,T12.此外，等量与等量的 和（或差）相等，不仅适用于线段、角，同样适用于 AM=BN.求证：AC=BD. 弧.如T4,T6.但不能由弧的倍数关系得到弦的倍 数关系.如T10. 助学助教优质高数90明：.正方形ABCD,.∠A=∠DCF=90°..△DAE逆时针旋转90°得到△DCM, ∴.∠A=∠DCM=90°，DE=DM,∠EDM=90°，AE=CM..∠FCM=∠FCD+ ∠DCM=180.∴.F,C,M三点共线.又，∠EDF+∠FDM=∠EDM=90°.∠EDF =45°，∴.∠FDM=∠EDF=45°..DE=DM,DF=DF,.△DEF≌△DMF.∴.EF =MF.∴.EF=FM=FC+CM=FC+AE;(2)解：设EF=MF=x.:AE=CM=2, BC=5=AB,..BE=AB-AE=5-2=3,BM=BC+CM=5+2=7...BF=BM- MF=BM-EF=7-x.在Rt△EBF中，由勾股定理，得EB+BF=EF,3+(7 )=,解得x9EF=9 第二十四章圆 24.1圆的有关性质 24.1.1圆 知识储备 线段弦 任意两点间端点弧弧优弧劣弧重合互相重合 基础练 1.C2.解：把绳子的一端固定在一个定点（如钉子）作为圆心，拉紧绳子，绳子的另 端绕固定点旋转一周所经过的路径就是符合条件的圆.3.OC,OA,ODAC,CD CD AC,AD ACD,CDA 2 4.A 5.D 6.A 7.(-1,0)8.5 cm 9.10 10.证明：连接OA,OB,OA=OB,.∠B=∠A.又AC=BD,OA=OB,.△AOC 2△BOD,.OD=OC. D O C G 第10题图 第13(1)题图 第14题图 第15题图 11.B12.C13.（1)解：连接OB,点B,E在⊙O上，CD为直径，.OB=OE OC.又.AB=OC,∴.OB=AB=OE.∴.∠A=∠AOB,∠E=∠EBO.又.'∠EBO= ∠A+∠AOB,∴.∠EBO=∠E=2∠A.又.∠DOE=∠A+∠E,'.∠DOE=∠A十 2∠A=72°..∠A=24°.(2)36°14.证明：取BC的中点O,连接EO,DO,BD, CE是△ABC的高，.∠BDC=∠BEC=90°..'O是Rt△BDC和Rt△BEC斜边BC 的中点.∴E0=2BC=B0=C0,D0=2BC=B0=C0.∴B0=D0=B0=C0.÷ 点B,C,D,E四点在以点0为圆心，号BC长为半径的圆上.15.)=(2)解： BC=4,OC=2,'.OB=25,连接OA,OB,OF,设正方形ECGF的边长为x,则GF x=CG,∴.OG=OC+CG=2+x.在Rt△OGF中，x2+(x+2)=(25),解得x1= 一4（舍去），x2=2,.正方形ECGF的边长为2. 24.1.2垂直于弦的直径 知识储备 1.所在的直线2.平分平分弦所对的垂直于平分 基础练 1.D2.D3.(1)C(2)8 4 解：连接OA.'OE⊥AC,OD⊥AB,AB 上AC∠OEA=∠ODA=∠A=90.AD=AB=4,AE=号AC=3.∴四边形 ODAE是矩形.∴.OD=AE=3.∴.OA=√OD+AD=5.5.⊥56.B7.B 8.89.C10.411.512.(1)解：由题意，得AF=FB=zAB=40m.设OE的半 径是rm,则EF=ED一DF=(r-20)m..∠EFA=90°，∴.AE=AF2十EF2.则x2 40+(r-20),解得r=50.答：桥拱的半径为50m.(2)10(3)能 微专题八利用垂径定理与勾股定理计算 1.262.2143.18 5 24.1.3弧、弦、圆心角 知识储备 1.圆心2.相等也相等对应相等 基础练 1.D2.(1)60°(2)43.(1)ACAC(2)BC∠BOC(3)BC∠BOC(4) 120°4.B5.51°6.证明：：四边形ABCD是正方形，.AD=BC.AD=BC. M为CD的中点，.MD=MC.∴AM=BM.∴.AM=BM.7.证明：：△AOC是等边 三角形，∴.∠AOC=60°.∴∠BOC=180°-∠AOC=120°.D是BC的中点，∴.BD= D.∠B0D=∠COD=2∠B0C=60.∠A0C=∠COD.∴AC=CD.&.C 9.D10.C11.菱形1612.证明：连接OC,OD..OA=OB,AM=BN,.OA AM=OB-BN.即OM=ON..'CM⊥OA,DN⊥OB,∴.∠CMO=∠DNO=90°.又. OC=OD,.Rt△COM≌Rt△DON.∴.∠COM=∠DON.∴.AC=BD. 第12题图 第13题图 13.解：(1)如图，△BOE即为所求；(2)，∠AOB十∠COD=90°，由旋转知∠BOE= ∠COD,∴.∠AOE=∠AOB+∠BOE=90°.：OA=OB=OE,∴.∠OAB=∠OBA, ∠OBE=∠OEB.·∠OAB+∠OBA+∠OBE+∠OEB+∠AOE=360°..∴.2∠ABE +90°=360°.∴.∠ABE=(360°一90°)÷2=135°：(3)如图，连接AE,过点E作EF AB于点F,∴.∠EBF=45°..BE=CD=√2，∴.EF=BF=1..AF=AB+BF=3. .AE=√3+1=10.在Rt△AOE中，OA+OE2=AE,∴.2OA=(√/10).解得 OA=√5.∴.⊙0的半径长为√5 24.1.4圆周角 第1课时圆周角定理及其推论 知识储备 1.圆上相交2.一半3.(1)相等(2)直角(3)直径 基础练 1.B2.(1)A(2)120°(3)C3.B4.65.D6.B7.D8.直径所对的圆周 角为直角9： 解：(1)连接OB,:在⊙O中，OD⊥AB,.AD=BD,AB =2AC,∠AC0=90.÷∠AOD=∠BOD=60.:BD=BD,.∠E=3∠B0D 30.(2)在R△A0C中，∠A=30,0C=2A0=1.AC=/2-下=原.∴AB= 2AC=2√5.10.B11.4√12.解：(1)△ABC是等腰直角三角形，理由：点C 是AB的中点，∴.AC=BC,AC=BC.AB为直径，.∠ACB=90°=∠ADB. △ABC是等腰直角三角形.(2)，△ABC是等腰直角三角形，'.∠CAB=∠CBA= 45°.又.∠ACD=∠ABD=60°，∠ADC=∠ABC=45°，∴.∠CAD=180°-∠ACD- ∠ADC=75°.Rt△ADB中，∠ABD=60°，.∠BAD=30°...AB=2BD=4.在Rt △ABC中，AC+BC=AB..2AC=4.解得AC=2√2.13.(1)证明：：∠ADE =∠ACE,∠ADE=∠B,.∠B=∠ACE.CE∥AB,.∠BAC=∠ACE..∠B= ∠BAC.∴.AC=BC;(2):AC为⊙O的直径，∴.∠ADC=∠ADB=90°.设AC=BC =x,则CD=BC-BD=x-4.在Rt△ADC中，AD+CD=AC,即8+(x-4)2= x,解得x=10.∴0A=2AC=5,即o0的半径为5， 第2课时圆内接四边形 知识储备 1.同一个圆上外接圆2.互补 基础练 1.130°2.(1)65°(2)1403.A4.证明：.DB=DC,∴.∠DBC=∠DCB.四边 形ABCD是圆内接四边形，.∠BAD十∠DCB=180°.又：'∠EAD十∠DAB=18O°， ∴.∠EAD=∠DCB.:DC=DC,.∠DAC=∠DBC.又：∠DBC=∠DCB,∴ ∠EAD=∠DAC.即AD平分∠EAC.5.60°30°或150°6.C 解：延长BC,AD交于点E,.四边形ABCD是⊙O的内接 /D 四边形，∴.∠A=180°-∠BCD=60°，∠ADC=180°-∠B=90°.∴.∠CDE=90°，∠E =90°-∠A=30°..CE=2CD=2,AE=2AB=4.又.DE=/CE2-CD=√3，∴. AD-AE-DE-4-3. 重点强化专题（五）与圆的基本性质有关的辅助线 1.B2.323.28°4.25.C6.B7.C 24.2点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.1点和圆的位置关系 知识储备 1.d>rd=r0≤d<r2.不在同一条直线上外接圆垂直平分线外心3.