24.1.2 垂直于弦的直径-【名师学案】2025-2026学年九年级上册数学分层进阶学习法（人教版）

明：.正方形ABCD,.∠A=∠DCF=90°..△DAE逆时针旋转90°得到△DCM, ∴.∠A=∠DCM=90°，DE=DM,∠EDM=90°，AE=CM..∠FCM=∠FCD+ ∠DCM=180.∴.F,C,M三点共线.又，∠EDF+∠FDM=∠EDM=90°.∠EDF =45°，∴.∠FDM=∠EDF=45°..DE=DM,DF=DF,.△DEF≌△DMF.∴.EF =MF.∴.EF=FM=FC+CM=FC+AE;(2)解：设EF=MF=x.:AE=CM=2, BC=5=AB,..BE=AB-AE=5-2=3,BM=BC+CM=5+2=7...BF=BM- MF=BM-EF=7-x.在Rt△EBF中，由勾股定理，得EB+BF=EF,3+(7 )=,解得x9EF=9 第二十四章圆 24.1圆的有关性质 24.1.1圆 知识储备 线段弦 任意两点间端点弧弧优弧劣弧重合互相重合 基础练 1.C2.解：把绳子的一端固定在一个定点（如钉子）作为圆心，拉紧绳子，绳子的另 端绕固定点旋转一周所经过的路径就是符合条件的圆.3.OC,OA,ODAC,CD CD AC,AD ACD,CDA 2 4.A 5.D 6.A 7.(-1,0)8.5 cm 9.10 10.证明：连接OA,OB,OA=OB,.∠B=∠A.又AC=BD,OA=OB,.△AOC 2△BOD,.OD=OC. D O C G 第10题图 第13(1)题图 第14题图 第15题图 11.B12.C13.（1)解：连接OB,点B,E在⊙O上，CD为直径，.OB=OE OC.又.AB=OC,∴.OB=AB=OE.∴.∠A=∠AOB,∠E=∠EBO.又.'∠EBO= ∠A+∠AOB,∴.∠EBO=∠E=2∠A.又.∠DOE=∠A+∠E,'.∠DOE=∠A十 2∠A=72°..∠A=24°.(2)36°14.证明：取BC的中点O,连接EO,DO,BD, CE是△ABC的高，.∠BDC=∠BEC=90°..'O是Rt△BDC和Rt△BEC斜边BC 的中点.∴E0=2BC=B0=C0,D0=2BC=B0=C0.∴B0=D0=B0=C0.÷ 点B,C,D,E四点在以点0为圆心，号BC长为半径的圆上.15.)=(2)解： BC=4,OC=2,'.OB=25,连接OA,OB,OF,设正方形ECGF的边长为x,则GF x=CG,∴.OG=OC+CG=2+x.在Rt△OGF中，x2+(x+2)=(25),解得x1= 一4（舍去），x2=2,.正方形ECGF的边长为2. 24.1.2垂直于弦的直径 知识储备 1.所在的直线2.平分平分弦所对的垂直于平分 基础练 1.D2.D3.(1)C(2)8 4 解：连接OA.'OE⊥AC,OD⊥AB,AB 上AC∠OEA=∠ODA=∠A=90.AD=AB=4,AE=号AC=3.∴四边形 ODAE是矩形.∴.OD=AE=3.∴.OA=√OD+AD=5.5.⊥56.B7.B 8.89.C10.411.512.(1)解：由题意，得AF=FB=zAB=40m.设OE的半 径是rm,则EF=ED一DF=(r-20)m..∠EFA=90°，∴.AE=AF2十EF2.则x2 40+(r-20),解得r=50.答：桥拱的半径为50m.(2)10(3)能 微专题八利用垂径定理与勾股定理计算 1.262.2143.18 5 24.1.3弧、弦、圆心角 知识储备 1.圆心2.相等也相等对应相等 基础练 1.D2.(1)60°(2)43.(1)ACAC(2)BC∠BOC(3)BC∠BOC(4) 120°4.B5.51°6.证明：：四边形ABCD是正方形，.AD=BC.AD=BC. M为CD的中点，.MD=MC.∴AM=BM.∴.AM=BM.7.证明：：△AOC是等边 三角形，∴.∠AOC=60°.∴∠BOC=180°-∠AOC=120°.D是BC的中点，∴.BD=24.1.2垂直于弦的直径 知识储备 C,若OC=3,则AB的长是 1.圆的对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径 4.【教材P83练习2变式】如图，在⊙O中，AB, 都是圆的对称轴. AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB于点D, 2.垂径定理及其推论：垂直于弦的直径 OE⊥AC于点E,且AB=8cm,AC=6cm, 弦，并且 两条孤；平分弦（不 求⊙O的半径. 是直径)的直径 弦，并且 容 所对的两条弧. 01基础练 必备知识梳理 知识点一 圆的对称性 1.下列说法中，不正确的是 A.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 B圆的对称中心是它的圆心 C.圆的对称轴有无数条 知识点三垂径定理的推论 D.圆的每一条直径都是它的对称轴 5.如图，⊙O的弦AB=8,M是 知识点二垂径定理 AB的中点，则OM 2.【定理辨析】如图，AB是⊙O的直径，弦CD AB,若OM=3,则⊙O的半 ⊥AB,垂足为M,下列结论不一定成立的是 径是 易错点○因忽视垂径定理推论的条件致错 A.CM=DM 6.【定理辨析】下列说法错误的是 B.CB=DB A.垂直于弦的半径平分弦 C.AC=AD B.平分弦的直径垂直于弦 D.OM=MB C.直径是弦 3.(教材P83练习T1改编) 一题多变 D.垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧 (1)【已知直径和弦长，求圆心到弦的距离】如 【点拔】垂径定理的推论应强调“弦不是直径”这个条件， 图，AB是⊙O的直径，弦CD L AB于点H, 因为圆的两条直径互相平分，但它们不一定互相垂直. 若AB=10,CD=8,则OH= () 知识点四垂径定理及其推论的应用 A.8 B.5 C.3 D.4 7.【新情境·圆形拱门】(2024·通辽)如图，圆 形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中 点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在 圆的圆心，若AB=1m,CD=2.5m,则拱门 第3(1)题图 第3(2)题图 所在圆的半径为 () (2)【已知直径和圆心到弦的距离，求弦长】如 A.1.25m B.1.3m 图，⊙O的直径是10，AB为弦，OC⊥AB于 C.1.4m D.1.45m 87九年极数学·上册 11.如图，在平面直角坐标系中，⊙P与y轴交 于点M(0,-4),N(0,一10)，圆心P的横坐 标为一4，则⊙P的半径为 12.(教材P82例2改编) A DB 一材多题 第7题图 第8题图 如图，一圆弧形桥拱的圆心为E,拱桥的水 8.【新中考·跨化学学科】如图，一个底部呈球 面跨度AB=80m,桥拱到水面的最大高度 形的烧瓶，球的半径为5cm,瓶内液体的最大 DF为20m. 深度CD=2cm,则截面圆中弦AB的长为 (1)求桥拱的半径； cm. (2)若水面上涨后的水面跨度为60m,则水 02综合练 室关键能力提升一 面上涨的高度为 m; (3)若有一艘宽为40m,船舱顶部高出水面 9.【分类讨论思想】已知⊙O的直径为10cm, 10m且平行于水面的游船要经过此桥 AB,CD是⊙O的两条弦，AB∥CD,AB= 拱，该船 从此桥下经过（填“能”或 8cm,CD=6cm,则AB与CD之间的距离 为 “不能”). ( ) A.1 cm B.7cm C.1cm或7cm D.以上都不对 10.如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上 一个动点（不与A,B重合），过点O作OC⊥AP 于点C,OD LPB于点D,则CD的长为· 个y P 第10题图 第11题图 人1人人人。人 微专题公 利用垂径定理与勾股定理计算 解题技巧 2.如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点 在圆中，通常构造以“半径、弦长的一半与圆心 E,点E是AO的中点，⊙O的半径是4，若 到弦的垂线段”为边的直角三角形，利用垂径定理 与勾股定理计算， ∠AED=45°，则CD的长是 1.【新课标·数学文化】“圆材 埋壁”是我国古代数学名著 《九章算术》中的一个问题： “今有圆材，埋在壁中，不知大小.以锯锯 第2题图 第3题图 之，深一寸，锯道长一尺.问：径几何？”转化 3.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4, 为现在的数学语言表达就是：如图，CD为 以点C为圆心，AC长为半径画圆交AB于 ⊙O的直径，弦AB⊥CD,垂足为E,CE=1 D,则AD的长是 寸，AB=10寸，则直径CD的长度为 寸 助学助款优质高数88