方法技巧专题(2)巧用旋转的性质计算&数学活动(2) 无刻度的直尺作图(选用)-【名师学案】2025-2026学年九年级上册数学分层进阶学习法（人教版）

跨单元整合 方法技巧专题（二） 巧用旋转的性质计算 01考点突破 针旋转一定角度，当AD∥BC时，∠BAE的 度数是 类型一与旋转有关的角度计算 解题技巧 类型二与旋转有关的线段的长度计算 利用旋转前后的两个图形全等、旋转角相等、旋 解题技巧 利用旋转的性质发现特殊角，结合全等图形、勾 转中出现的等腰三角形求角度。 股定理计算线段的长. 1.(2024·兰州校级期中)如图，△ABC为钝角 6.如图，在△AOB中，AO=2,BO=AB=3.将 三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转 △AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB', 100°得到△AED,连接BD,若AE∥BD,则 连接AA',BB,则线段BB'的长为() ∠EAB的度数为 () A.40° A.3√2 B.2√2 C.2 D.3 B.120° C.140° D.150° 第1题图 第2题图 第6题图 第7题图 2.【方程思想】如图，在△ABC中，∠BAC= 7.【转化思想】如图，将△ABC绕点A逆时针旋 120°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得 转45°得到△AB'C',AB=2,则图中阴影部分 到△ABC'.若点B恰好落在BC边上，且 的面积为 AB'=CB',则∠C的度数为 () A.12° B.18° C.20° D.24 02素养提升 3.(2024·长春期中)如图，将△ABC绕点A逆 8.如图，把正方形ABCD中的△ABP绕点B 时针旋转75°得到△ADE,延长BC交DE于 顺时针旋转得到△CBP',若BP=2,AP=1. 点G,则∠EGB的度数为 (1)∠PBP'= ,PP'= A.75° B.105° C.115° D.125° (2)连接CP,若CP=3,求∠APB的度数 第3题图 第4题图 4.(2025·沈阳模拟)如图，△COD是△AOB绕 点O顺时针方向旋转38°后所得的图形，点C 恰好在AB上，∠AOD=90°，则∠B的度数 是 5.(2024·雅安)如图，在 D △ABC和△ADE中，AB =AC,∠BAC=∠DAE= 40°，将△ADE绕点A顺时 73九年级数学·上册 数学活动（二） 无刻度的直尺作图（选用） (2022版课标新要求拓展) 活动一利用中心对称图形的性质作图 任务3：已知格点△ABC的位置如图，请用没有 【方法指导】平行四边形、矩形、菱形等都是中心 刻度的直尺在AC的右侧作∠DAC,使∠DAC 对称图形，利用它们对角线的交点，可以解决无 =∠ACB. 刻度的直尺作图中作线段中点（三角形某边上 中线)的问题；利用菱形的对角线平分对角可以 活动二利用旋转的性质作垂线 解决无刻度的直尺作图中作一个角的平分线的 【方法指导】利用旋转的性质解决无刻度的直尺 问题.此外，还可根据平行四边形的对边互相平 作图中“过直线上一点作直线的垂线”时，先构 行，解决无刻度的直尺作图中过一点作一个角 造关于该点的格点直角三角形，然后将此直角 等于已知角的问题等.解题时需根据题意适当 三角形绕该，点顺时针旋转90°即可；当点在直线 地构造这些中心对称图形.请完成下列任务： 外时，可先在直线上找一点，按照“过直线上一 任务1：(1)在边长为1的小正方形组成的网格 点作直线的垂线”的方法做该直线的垂线，再过 中，对于任意一条连接格点的线段，请用没有刻 已知，点作此直线的平行线（可用平移的方法）. 度的直尺找出它的中点O. 请完成下列任务： 任务4：(1)已知直线MN的位置如图，格点P 是直线MN上一点，请用无刻度的直尺过点P 作MN的垂线， (2)【变式】如图，在7×6的方格中，△ABC的 顶点均在格点上.请用没有刻度的直尺在图中 画出△ABC的中线AD. 任务4(1)图 任务4(2)图 (2)【变式】已知直线MN的位置如图，格点P B 是直线MN上一点，点Q是直线MN外一点， 请用无刻度的直尺过点Q作MN的垂线. 任务2：已知∠AOB在网格中的位置如图，O在 格点上，且OM=ON,请用没有刻度的直尺作 活动三综合应用 出∠AOB的角平分线 任务5：如图，已知∠AOB,OA=OB.点E在 OB边上，其中四边形AEBF是平行四边形，请 用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线. M B 任务2图 任务3图 助学助款优质高数76=6,BC=8,由勾股定理，得AB=√AC+BC=√6十8=10.由旋转的性质，得 ∠AED=∠C=90°，AE=AC=6,DE=BC=8,.∴.BE=AB-AE=10-6=4.在Rt △BDE中，由勾股定理，得BD=/BE+DE=√4+8=4√5.12.解：(1)AE AF,理由如下：四边形ABCD是菱形，∴AB=AD,∠B=∠D.BE=DF, △ABE≌△ADF(SAS).'.AE=AF:(2)仍然成立.证明：连接AC..四边形ABCD 是菱形，∠B=60°，∴AB=BC=AD=CD,∠B=∠D=60°..△ABC是等边三角 形，△ACD是等边三角形..∴.AB=AC,∠ACF=∠B=60°=∠BAC..∠MAN=60° =∠BAC,∴.∠BAE=∠CAF.'AB=AC,∠B=∠ACF,∴.△BAE≌△CAF (ASA)...AE=AF. 第2课时旅转作图 知识储备 1.(1)中心 方向角(2)对应2.旋转中心旋转角 基础练 1.(1)①90°AO③A'C'B'C(2)解：如图，△A'B'C‘即为所求. 6 2-10 第1(2)题图 第4题图 第9题图 2.D3.(1,3)4.解：(1)如图，△ABC即为所求.A(1,4),B(2,1),C(4,1).(2) 如图，△A2BC1即为所求.A2(1,-2),B2(4,一1).5.512021806.A7. 728.(一3,1)9.解：(1)如图，△AP'C即为所求：(2)等边三角形.(3)△PP'C是 直角三角形，理由如下：：△APP'是等边三角形，.PP=PA=2.又：△APB四 △AP'C,∴.BP=CP'=25.在△PP'C中，(PP')+(P'C)=22+(23)2=16,PC =4=16,∴.(PP)2+(PC)2=PC.∴.∠CPP=90°，即△PP'C为直角三角形. (4)150° 微专题六 确定旋转中心的方法 【例】(1，-1)垂直平分线交点 1.点B2.90(-1,0) 方法技巧专题（二）巧用旋转的性质计算 1.C2.C3.B4.57°5.30°或150°6.A7.√28.(1)90°2√2解：(2) PB=P'B,∠PBP'=90°，∴.∠BP'P=∠BPP'=45°..△ABP≌△CBP',.AP CP'=1,∠APB=∠BP'C.在△P'PC中，P'P2+P'C=(2√2)2+1=9，PC=3 9,∴.P'p2+P'C2=PC.∴.∠PPC=90°.∴.∠BP'C=∠BP'P+∠PP'C=45°+90° =135°...∠APB=∠BP'C=135° 23.2中心对称 23.2.1中心对称 知识储备 1.对称或中心对称对称中心对称点2.对称中心平分 基础练 1.D2.(1)一条中点DE (2)D3.解：如图，四边形A'B'C'D'即为所求. 第3题图 第6题图 4.(3,-1)5.∠B=90°（答案不唯一）6.解：(1)延长AD至E,使DE=AD,连接 CE,则△ECD即为所求.(2)1<AD<11 23.2.2中心对称图形 知识储备 1.重合中心对称图形对称中心2.中心对称 基础练 1.C2.B3.A4.C5.2cm6.解：如图所示. 19 图1 图2 第6题图 第7题图 7.解：(1)如图所示：(2)如图所示. 解：作图 如图所示 数学活动（二） 无刻度的直尺作图（选用） 任务1(1)解：如图，点O即为所求， B 任务1(1)图 任务1(2)图 (2)解：如图，线段AD即为所求.任务2解：如图，射线OC即为所求 任务2图 任务3图 任务3解：如图，∠DAC即为所求. 任务4解：如图，直线AB即为所求.解：如图， 直线CD即为所求 M 8中 任务4(1)图 任务4(2)图 任务5图 任务5解：如图，射线OP即为所求。 23.2.3关于原点对称的点的坐标 知识储备 相反（一x,一y) 基础练 1.(1)B(2)(-a,-b)2.C3.A4.A5.(-3,-3)6.解：由题意，得点M(2 +m,m-1)在第四象限+0解得-2m<1.7.解，1D△AB,C如图所 m-1<0. 示，B1(一3,3)：(2)△A2B2C2如图所示，△ABC与△A2B2C2关于x轴对称. 2一 第7题图 第12题图 8.C9.(1,-3)10.（-1,-1)11.y=-x2-4x-512.解：(1)如图，△AB1C 即为所求：(2)如图，△AB,C2即为所求：(3)如图，△PAB即为所求，点P坐标是(2 0),△PAB周长的最小值是3√2+√/10. 微专题七平面平角坐标系中的中点公式的运用 1.(2,-3)2.(-a,-b+2)3.(-1,3)4.(-5,-3) 23.3课题学习图案设计 基础练 1.(1)①⑤(2)②⑥(3)③④2.60°（答案不唯一）3.解：如图所示 20