22.3 第3课时 实物抛物线&模型构建专题(1) 二次函数与几何图形面积的最值问题-【名师学案】2025-2026学年九年级上册数学分层进阶学习法（人教版）

第3课时 实物抛物线 知识储备 构建二次函数模型解决“实物抛物线型”的实 际问题时，为使问题简单，通常使抛物线的顶点在 或以抛物线的 为y轴建立平 面直角坐标系 01基础练 必备知识梳理一 知识点一 利用二次函数解决桥梁（隧道）类问题 1.(教材P51“探究3”改编) 一题多变 (1)【已知解析式，求水面到拱顶的距离】某桥 知识点二利用二次函数解决运动类问题 的桥拱可以用如图所示的抛物线的一部分表 3.某广场有一喷水池，水从↑m 示，其网数解析式为y=一六，当水面宽度 地面喷出.如图，以水平地 面为x轴，出水点为原点， AB为24m时，水面离拱顶的距离OD等于 建立平面直角坐标系，水 x(m) m, 在空中划出的曲线是抛物线y=一x2十4x的 ◆y/m 一部分，则水喷出的最大高度是 m. x/m 4.如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定 D B 角度的方向击出时，小球的飞行路线是条抛 第1(1)题图 第1(2)题图 物线.若不考虑空气阻力，小球的飞行高度 (2)【已知水面到拱顶的距离，求水面的宽度】 (单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函 如图是一座抛物线形拱桥，当拱顶到水面的 数关系：h=一5+20t.则当小球飞行高度达 距离为2m时，水面宽4m.若水面下降2m, 到最高时，飞行时间t S. 则水面宽度为 m. 2.如图，一隧道的横截面是由一段抛物线及矩 形的三边围成的，隧道宽BC=10m,矩形部 分的高AB=3m,抛物线的最高点E离地面 5.(中考·兰州)一名运动员在10m高的跳台 的距离OE=6m.以直线BC为x轴，直线 进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨 迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度 OE为y轴建立平面直角坐标系如下： (1)求抛物线的解析式； y(m)与离起跳点A的水平距离x(m)之间的 函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水 (2)如果该隧道内设有双车道，现有一辆货运 平距离为1m时达到最高点，当运动员离起 卡车高4.5m、宽3m,那么这辆货运卡车 跳点A的水平距离为3m时离水面的距离为 能顺利通过隧道吗？ 7m, (1)求y关于x的函数解析式； (2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离 OB的长. 59 九年级数学·上册 台支 10m 03素养练 》学特幸养拾有一 8.(中考·河南)小林同学不仅是一名羽毛球运 动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛 进行技术分析，下面是他对击球线路的分析. 02综合练 膏关锭能力提升一 如图，在平面直角坐标系中，点A,C在x轴 6.【教材P52习题T3变式】某一型号飞机着陆 上，球网AB与y轴的水平距离OA=3m,CA 后滑行的距离y(m)与滑行时间x(s)之间的 =2m,击球点P在y轴上.若选择扣球，羽毛球 函数关系式是y=40x一2x2,则该型号飞机 的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足一 着陆后需滑行 m才能停下来。 次函数关系y=一0.4x十2.8；若选择吊球，羽毛 7.【新情境·“大课间”】为促进中学生全面发 球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足 展，培养良好体质，某班同学在“大课间”开展 二次函数关系y=a(x-1)2十3.2. “集体跳绳”运动.跳绳时，绳甩到最高处时的 (1)点P的坐标是 ,a的值是 形状是抛物线y=ax2+bx+c的部分图象. ； 以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标 (2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使 系，若摇绳的两人之间间距为6米，摇绳时两 球过网，要使球的落地点到C点的距离更 人手离地面均为号米.已知小丽身高1.575 近，请通过计算判断应选择哪种击球方式. y=a(x-1)2+3.2 米，在距离摇绳者A的水平距离1.5米处，绳 子刚好经过她的头顶 y=-0.4x+2.8 BI (1)图中抛物线的解析式是 (2)龙老师身高1.82米，请问他适合参加本 次运动吗？说明理由； (3)若多人进入跳绳区齐跳，且大家身高均为 1.7米，要求相邻两人之间间距至少为 0.6米，试计算最多可供几人齐跳？ 请完成进阶测评（四）》 助学助教优质高数60 跨单元整合 模型构建专题（一） 二次函数与几何图形面积的最值问题 解题技巧 2.(2025·沈阳模拟)如图，在平面直角坐标系 如图，在△ABC中，三角 2 B,C为定点， 中，二次函数y=x2十bx十c的图象与x轴交 形的一个顶，点A在抛物线上 A为动点 (一动点)，另两个顶点B,C O(x,kx+n) 于A,B两点，A点在原点的左侧，B点的坐 是定点（两定点），则可以将司 标为(3,0)，与y轴交于C(0,一3)点，点P是 △ABC的面积转化为S△ac十 A(x,ax+bx+c) 直线BC下方的抛物线上一动点. (1)这个二次函数的解析式是 SAoB=2AQ·(Q-c)+zAQ·(xB-xQ)=2AQ (2)求出四边形ABPC的面积最大时的P点 ·(xB一xc).故求△ABC面积的最大值就转化为求 坐标和四边形ABPC的最大面积. 线段AQ长度的最大值. 1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y= -x2+b.x-c的图象与x轴交于点A(-3,0) 和点B(1,0),与y轴交于点C. (1)求这个二次函数的解析式： (2)若点M是直线AC上方抛物线上的一个 动点，求△MCA面积的最大值及点M的 坐标 61九年级数学·上册一68、抛物线的解析式为y=元十2x+8:解：(2)设P(1,-1+21+8),则E一 (t,t+2),D(t,0),.'PE=2DE,∴.|-t2+2t+8-(t+2)|=2t+2.解得t=1或-2 或5.A(-2,0),∴.t=1或5..P的坐标为(1,9)或(5，-7).(3)解：设H(a,a十 2),.HM∥y轴，∴.M(a,-a+2a+8).∴.MH=-a+2a+8-(a+2)=-a2+a+ .:对称轴为直线x=1,MN∥x轴，MN=2I-a)=2-2a.:HM=MN, -a+a+6=(2-2a)…之，解得a=1士6.：-2<a<3,∴a=1-6.点H的横 坐标为1一√6. 第2课时二次函数与商品利润 知识储备 1.销售收入成本销售量利润2.实际情况取值范围 基础练 1.y=-10x2+560x-73502.A3.(1)y=-2x+160解：(2)由题意，得=(x -30)(-2x+160)=-2x2+220x-4800=-2(x-55)2+1250..-2<0,.当2 =55时，有最大值为1250（元）.答：当销售单价为55元时，该商店获得的利润最 大，最大利润为1250元.4.(100+x)(30十x)2x(80-2x)y=-2.x2+20x +24000≤x≤40524505.(1)y=-5x+500解：(2)由题意，得=(x-40) (-5.x+500)=-5.x2+700x-20000=-5(x-70)2+4500..a=一5<0，抛物线开 口向下，∴.当x=70时，最大，最大值为4500，答：当销售单价为70元时，每天获得 的利润最大，最大利润是4500元.6.解：1)y=(200-x)(60十4×)=-0.4 +20x+12000=-0.4(x2-50x+625)+12250=-0.4(x-25)2+12250..200- x≥180，∴.x≤20..a=一5<0，抛物线开口向下，对称轴是直线x=25,x≤20时，y 随x的增大而增大，.当x=20时，利润最大，最大利润为：一0.4(20一25)2十12250 =12240(元).答：y与x的函数关系式为：y=一0.4x十20x十12000：每辆轮椅降价 20元时，每天的销售利润最大，最大利润为12240元：(2)12160=一0.4(x一25)2十 1250.解得x=40(不合题意，合去)=10.售出轮椅的辆数为：60十4×8=64 (辆).答：这天售出了64辆轮椅.7.解：(1)y与x的函数表达式为：y一 {-2x+10(30二x≤45)(2)设利润为w元，当22≤x≤30时，w=(x-20)(-x+ -x+70(22x≤30) 70)=一x2十90x-1400=-(x一45)2+625.在22≤x≤30范围内，随着x的增 大而增大，∴.当x=30时，取得最大值为400；当30<x≤45时，心=(x一20)（一2 +100)=-2.x2+140x-2000=-2(x-35)2+450.当x=35时，取得最大值为 450..450>400,..当销售价格为35元/kg时，每天的利润最大为450元. 第3课时实物抛物线 知识储备 原点对称轴 基础练 1.(1)4(2)4V22.解：(1)设抛物线的解析式为y=ax+c,:点E(0,6),A(-5, 3 D在此抛物线上，d6.3解得0=25'此抛物线的解所式为y 3 25 c=6. 3 十6：(2)当x=士3时，y=一2云X9+6=4.92>4.5.·这辆货运卡车能顺利通过隧 道.3.44.25.解：(1)根据题意知，抛物线过(0,10)和(3,7)，对称轴为直线x= 1,设y关于的函数表达式为知=（一1计长结9解得：任=y关 于x的函数表达式为y=-(x-1)2+11;(2)令y=-(x-1)2+11=0.解得x= √厅+1或x=-√T+1(舍去).答：运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长 为（√T+1)m.6.2007.(1)y=-0.1x2+0.6x+0.9解：(2）-0.1<0，开口 向下，.当x=3时，有最大值1.8.1.8m<1.82m,.他不适合参加本次运动：(3) 当y=1.7时.-0.1x2+0.6x十0.9=1.7.解得x1=2,x2=4.∴.4-2=2（米）.：相邻 两人之间间距至少为0.6米间距个数为：2÷0.6=33.答：最多可供4人齐跳. 8.(1)(0,2.8)-0.4解：(2)由题意可知点C的坐标是(5,0).在y=一0.4x+2.8 中，令y=0得x=7.在y=-0.4(x-1)2+3.2中，令y=0,得x=-2√2+1（舍去）》 或x=2√2+1≈3.82.7-5>3.82-5引，∴.选择吊球方式，球的落地点到C的距 离更近. 模型构建专题（一）二次函数与儿何图形面积的最值问题 1.解：(1D把A(-3,0),B1,0)代人y=-x2+bx-c中，得+2三00，解得 (b=一？：这个二次函数的解析式是y=一2-2x+3:(2)设直线AC为y=mx+ c=-3. 把A(-3,0.C03代人，得十=0解得”y-x+3设点M(e, -a-2a+3),过点M作MN∥y轴交AC于N,则N(a,a+3)..MN=-a2-2a+ 3-(a+3)--a-30.:Sw-Sw+So-MN,OA---3a)-- -号（一3<a<0.”-是<0，开日向下，当a=-号时Sac最大最大值 是号此时点M的坐标是(-号，只)， 第1题图 第2题图 2.(1)y=x-2x-3解：(2)过点P作y轴的平行线与BC交于点Q,与OB交于点 下设P,-2江一3，设直线C的解析式为3=红十d则十0解得 气”3直线BC的解析武为y=x-3.则Q点的坐标为(x,x-3),QP=x3 -(x2-2x-3)=-x2+3x.由0=x2-2x-3,解得x1=-1,x2=3.A0=1,AB= L.Snom=Sx+Saw十Sae合AB,0C+2QP.BF+号QP.0F=合X4 X3+2（-x+3)X3=-多( -号》+要”-是<0开日向下当=时， 四边形ABPC的面积最大，此时P点的坐标为（受，-），四边形ABPC的面积的 最大值为积 难点强化专题（三）抛物线与特殊的儿何图形问题（选用） 1.(1)y=x2一2x-3解：(2)C的坐标是(0，一3)，对称轴是直线x=1,设P(1,m), 则BC2=3+32=18,BP=(3-1)2+(0-m)2=m2+4,Cp2=12+(m+3)2=m2+ 6m+10.①当∠BCP=90时，BC2+CP2=BP2.∴.18+m+6m+10=m+4.解得m =-4.∴点P坐标是(1，-4)；②当∠PBC=90时，BP2+BC=PC..m2+4+18 =m+6m十10.解得m=2.∴.点P坐标是(1,2)；③当∠BPC=90时，CP2+BP= BC.m+6m+10+m2+4=18.m,=-3+7 m=二3应.点P的坐 2 2 标是1，一3士区)或1,3，应)，综上所述，点P的坐标是1，-4)或(1,2) 2 2 或1,3+亚)或1，-37). 2 2 第1题图 第4题图 2.(1)(0,-3)y=x2+2x-3(2)解：存在，理由：设点N(-1,m),由点A,C,N的 坐标得，AC=18,AN2=4+m,CN=1+(m+3).当AC=AN时，则18=4+m2. 解得m=士√4.则点N(-1,士√/14).当AC=CN或AN=CN时，则18=1+(m +3)2或4十m2=1+(m十3)2.解得m=-3+√17或-1（不合题意的值已舍去），则 点N(一1，一1)或（一1，一3+√17），综上所述，点N的坐标是(-1，士√/14)或（一1，