22.1.4 第2课时 用定系数法求二次函数的解析式-【名师学案】2025-2026学年九年级上册数学分层进阶学习法（人教版）

第2课时用待定系数法求二次函数的解析式 知识储备 A.y=2(x+1)2+8 1.已知抛物线上的三个点的坐标或x,y的三对对 B.y=18(x+1)2-8 应值时，通常设抛物线的解析式是 Cy=号(x-1)+8 ,然后代入解析式，解三元一次方程组 D.y=2(x-1)2-8 求a,b,c的值， 5.一个二次函数的图象的形状与开口方向都和 2.已知抛物线的顶，点坐标和图象上另一个点的坐 抛物线y=4x2相同，且顶点坐标为(2,3)，则 标，可设抛物线的解析式是 这个二次函数的解析式是 3.已知抛物线与x轴的两个交点（x1,0)和(x2,0), 6.某二次函数的图象的顶点坐标是(2,4)，与x 可设抛物线的解析式是y=a(x一x1)(x一x2), 轴的一个交点的横坐标是一2，求这个二次函 再把另一个，点的坐标代入，求a的值， 数的解析式. 01基础练 停必备知识梳理与 知识点一 利用“一般式”求二次函数的解析式 1.二次函数的图象经过点(3,2)，(2,0)和(0,2) 三点，则此抛物线的解析式是 () 知识点三利用“交点式”求二次函数的解析式 A.y=2x2+x+2 B.y=x2+3x+2 7.【教材P42习题T10(3)变式】如图，抛物线的 C.y=x2-2x+3D.y=x2-3x+2 解析式为 2.【教材P40练习T1变式】二次函数y=x2+ A.y=x2-2x+3 bx+c,当x=1时，y=0;当x=-1时，y=8, B.y=x2-2x-3 C.y=x2+2x-3 则这个二次函数的解析式是 D.y=x2+2x+3 3.【教材P42习题T11变式】如图，二次函数 8.一条抛物线与x轴两个交 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过A,B,C三 点的横坐标分别是1和3，与y轴交点的纵 点.写出A,B,C三点的坐标，并求其解析式. 坐标是3，则此抛物线的解析式是 易错点○：因考虑问题不全面而漏解 9.若抛物线经过点（一1,0），(4,0)，其形状与 y=3x2的形状相同，则此抛物线的解析式是 【点拔】两条抛物线的形状相同，则a相等. 02综合练 皇关键能力提升与 知识点二利用“顶点式”求二次函数的解析式 10.【新中考·结论开放】一条抛物线的对称轴 是直线x=3,顶点到x轴的距离是2，开口 4.某二次函数的图象如图所示，则这个二次函 向上，请写出一个符合条件的解析式 数的解析式为 45九年极数学·上册 11.如图所示的抛物线的解析式是 -1/O1x 03素养练 12.若二次函数y=a.x2十b.x+c的x与y的部 透至科本茶培直口 分对应值如下表： 14.如图，抛物线y=ax2+bx十c与x轴交于点 A(-5,0),B(-1,0),与y轴交于点C(0, x… -6-5-4-3-2-1 … y…-13-33 53m… 一5)，点P是x轴上方抛物线上的动点，连 接PA,PC. (1)观察上表可求得m的值是 (1)求该抛物线所对应的函数解析式； (2)求这个函数的解析式； (2)若点P的坐标为（一2,3），请求出此时 (3)若点A(n+2,y1),B(n,y1)在该抛物线 △APC的面积. 上，n的值是 13.已知二次函数y=x2-2m.x+m2-1. (1)当二次函数的图象经过坐标原点O(0, 0)时，则二次函数的解析式是 (2)如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于 点C,顶点为D,求C,D两点的坐标； (3)在(2)的条件下，x轴上是否存在一点 P,使得PC+PD最短？若P点存在，求 出P点的坐标；若P点不存在，请说明 理由. 解题妙招 “两定一动”型三角形面积的计算 利用“宽高法”求“两定一 动型”三角形的面积，示意图如 右图： 方法：过动点P作y轴的 平行线交“两定点”（点B,A)所在直线于Q,则 △A6n=S△0十S△PQ2PQ(CB二xA).解题 关键是求两定点所在直线的解析式.如T14. 助学助款优质高数46十1=1A0.1.令y=号x+1=0,则x=-2.B(-2,0.把点A0,1代入y= ax2一2a.x+c中，得c=1:(2)y=a.x2一2ax+1=a(x-1)2+1一a,∴.对称轴为直线x =1.①若a>0,根据x>1时，y随x增大而增大，.x=4时，有最大值a十2.即9a+ 1-a=a十2，解得a=子；②若a<0,根据x>1时y随x增大而减小，∴x=3时，有 最大值a+2.即4a十1一a=a十2，解得a=之（舍去).综上所述，a的值为7 微专题四比较二次函数值大小的三种常用方法 【例】方法1：(-1)c一34c-8>方法2：1y<下减小<> 方法3：下1小小 1.y1<y3<y22.c>b 微专题五函数图象共存问题 【例】C>><同<错误C 1.D2.D 方法技巧专题（一）二次函数与线段长度的和（差）问题 【例】解：令y=x-2x-3=0,则x1=-1,x2=3..‘A点在B点左侧，∴.A(-1,0),B (3,0).D(4,y)在抛物线上，∴y=4-2×4-3=5..D(4,5).:点B与点A关于 对称轴直线x=1对称，∴.连接AD交对称轴于点E,点E即为使BE十DE最小的 点，设直线AD的解析式为y=kx+6,把A(一1,0)，D(4,5)代人，得4←◇解得 6=1.六y=x+1.当x=1时=2，点E的坐标是(1,2. (k=1 1.(1)y=x2+4x-5解：(2)由题意知B(0,-5),.OC=5=OB=50A..OA=1. .C(一5,0)，A(1,0).点A与点C关于对称轴直线x=一2对称，.直线BC与直 线x=一2的交点即为使△ABM周长最小的点.设直线BC的解析式为y=kx+c,将 B(0,-5),C(-5,0)代入，得9 =-5， 5=。解得{k一直线BC的解析式为y 1c=-5. -x-5.∴.当x=一2时，y=一x-5=一（一2）一5=一3...点M的坐标是（一2， 3).2.(1)y=一x2+2x+3解：(2)直线1上存在点P,使PA一PD 有最大值.点C与点D关于直线1对称，PC=PD.∴PA一PD PA一PC.故当点A,C,P共线时，PA一PC最大.连接AC并延长交直 线l于点P,点P即为所求作的点.设直线AC的解析式为y=kx+m, 把A(-10.C03)代人，得m-0解得直线AC的 07=3 解析式为y=3x十3.：对称轴为直线x=1,当x=1时y=3x十3=A0 B 6.∴.点P的坐标是(1,6). 第2课时用待定系数法求二次函数的解析式 知识储备 1.y=ax2+bx+c 2.y=a(x-h)2+k 基础练 1.D 2.y=x2-4x+33.解：A(-1,0),B(0,-3),C(4,5).把A,B,C三点代入y 「a-b+c=0, a=1, =ax2+b.x十c中，得16a+4b+c=5,解得b=-2,∴y=x2-2x-3.4.D5.y =-3 c=-3. 4(x一2)2+36.解：设此二次函数的解析式是y=a(x一2)2+4.把（一2,0）代入，得 0=a(-2-2)2十4，解得a=-- ∴y=-子（x-2)+4.7.B8y=x2-4x+3 9.y=3.x2一9x-12或y=-3x2+9x+1210.y=(x-3)2+2(答案不唯一)11. y=一x2+2x十312.(1)一3解：(2)由表可知此二次函数的顶点为（一3,5），设其 解析式是y=a(x十3)+5，把点(-2,3)代入，得3=a(-2+3)+5.解得a= -2. y=-2(x+3)2+5.(3)-413.(1)y=x2+2x或y=x-2x解：(2)当m=2 时，二次函数解析式为y=x2一4x十3=(x一2)2一1，.C(0,3),顶点坐标为D(2, 1):(3)存在.连接CD,根据“两点之间，线段最短”可知，当点P位于CD与x轴的交 点时，PC十PD最短，设经过C,D两点的直线解析式为y=kx十b(k≠0)，则将C(0， 3),D2,-1D两点坐标代人解析式，得已2+6.解得（合3. k=。2,y=-2x十3.令 y=0,可得-2x+3=0,解得x=号∴当P点坐标为（号，0）时，PC+PD最短。 P Ay 第13题图 第14题图 14.解：(1)由题意，设抛物线的解析式为y=a(x十5)(x+1),把C(0,一5)代入，得5a =一5.解得a=一1.∴.抛物线的解析式为y=一(x+5)(x十1)=一x2一6x一5；(2)过 点P作PQ∥y轴交AC于Q,设直线AC为y=kx+m,把A(-5,0),C(0,-5)代入 得流+00解得二y=-一5.当=-2时y=-x-5=-3:PQ /轴，P(-2,3)Q(-2,-3.PQ-3-(-3)=6.Sae=Sw+5aw= PQ·(-x)=号×6X0+5)=15. 重点强化专题（二）二次函数解析式的求法 1.y=(x-2)-12.解：设这个二次函数的解析式为y=ax2十bx十c,根据题意，得 a+b+c=-2, c=-1, a=1, 一b=1 解得b=一2，∴二次函数的解析式为y=x-2x一1.3.解：：对 c=-1. 2a 称轴为直线x=一 4@=2，图象与x轴交于A,B两点，且AB=2,∴A(1,0),B(3, 2a 0).把A1,0),C(0,3)代人y=ar2-4ar十c中，得a-a+c=0,解得a=, c=3 c=3'y= x2-4x+3. 4.解：令y=-2x+2=0,则x=4.心B(4,0).当x=0时y=2.C (0,2.设二次函数的解析式为y=a-4(x+1D,把C0,2)代人，解得a=-号 y=-合-40x+10=-2+2+2.5y=r+6x+661,-2》a 1 3 2)-1-(x-1)2+2(2)①y=(x+1)2-2②y=-(x+1)2-3 难点强化专题（二）二次函数的最值及函数值的范围（选用） 解题技巧 y≤y≤22yy≤y≤kky2 【例1】(1)减小5-3(2)0-4(3)5-4 1.160 【例2】1 -124m+4m冬-1m-2m-3g -3 2.()小=x+x(2)解：抛物线的解析式为y=x+x∴顶点P的坐标为(-号， 子）：当+1<-名，即<一多时，心随x增大而破小，由题意，得1+1》+什1=2 解得=-3=0（合去）.：的值为-3：当≤-<十1时y的最小值为-子 不符合题意：当t>一2时，y随x增大而增大，由题意，得t十t=2.解得t=一2（舍 去)，t2=1.∴综上所述，t的值是-3或1. 22.2二次函数与一元二次方程 知识储备 1.(x1,0),(x2,0)2.b2-4ac>0b2-4ac=0b2-4ac0 基础练 1.(1)x1=-1,x2=-5(-1,0),(-5,0)(2)x1=-1,x2=42.(1)x1=-2, x=4(2)x=x,=1(3)无实数根3.(1)2(2)①9②m>1③k≤号4k≤ 号且k≠15C6C1.<下<-1或>5（②-1<<58B9.C 10.(1)y=-x2十2x+3k4解：(2)-1x<3;(3)点C(0,3)关于对称轴直线 x=1的对称点是(2,3).∴.不等式ax2十bx+c<3的解集是x<0或x>2.11.(1)0 解：(2)画图象如图所示：(3)①函数图象关于y轴对称：②函数 3不力 有最小值-1；③当x>1时，y随x增大而增大.(4)①33②2③-1<a<0 重点强化专题（三）直线与抛物线的交点问题（选用） 1x=0=32<0或>331)-1-音x=-是=12)-号< x≤14.(1)一25(2)x-2或x>3解：(3)设平移后的直线的解析式是y= 一x十k.由题意，得x2一2x一3=一x十k有两个相等的实数根，则（一1）2一4（一3-k) =0,解得及=一是“平移后的直线为)=一一是 5.(1)(3,0)(0,6)y=- 2x十6解：(2)由题意知y=一2.x十b的图象与直线BC平行，：当0≤x≤3时，对于 x的每一个值，一2x十b>x2一5x十6，.由图可知b>6. 17