21.3 第1课时 传播问题与数字问题-【名师学案】2025-2026学年九年级上册数学分层进阶学习法（人教版）

21.3实际问题与一元二次方程 第1课时 传播问题与数字问题 知识储备 3.【新中考·跨生物学科】诺如病毒是一种传染 1.传播问题列方程的依据： 性比较强的病毒，会引起病毒性胃肠疾病，具 传染源十第一轮被传染的数量十第二轮被传染 有发病急、传播速度快、涉及范围广等特点， 的数量=两轮传染后的总数量， 在学校、游戏厅等聚集性场所易引起暴发.假 2.数字问题列方程的依据： 设有一个人感染了该病毒，经过两轮传染后 两位数=十位数字×10十个位数字， 十十十十十十十十 共有49人感染该病毒，求每轮传染中平均一 01基础练 个人传染了多少人？ 必备知识梳理一 知识点一 传播问题 1.(1)(答题模板)阅读教材P19“探究1”，完成 下列填空： 【新情境·秋冬流感】秋冬季节为流感的高发 期，有1人患了流感，第一轮传染了8个人， 则第一轮传染后共有 人患了流感，第二 轮传染时平均每人也传染8人，则第二轮传 染了 人，第二轮传染后共有 人 知识点二球赛问题 患了流感， 4.(教材P22习题T6改编) 一题多变 (2)【针对练习】有一个人患了流行性感冒，经 (1)【双循环比赛】一次足球比赛采取双循环 过两轮传染后共有144人患了流行性感冒， 比赛形式（即每两队之间都进行两场比赛）. 设每轮传染中平均一个人传染了x人，可列 若共比赛72场，设有x支球队参加比赛，下 方程为 列方程符合题意的是 () 2.(1)【教材P22习题T4变式】某树主干长出 A.x(x+1)=72 B.x(x-1)=72 若干数目的支干，每个支干又长出同样数目 的小分支，主干、支干和小分支总数是31.若 C2r(x+10=72 D.2x(x-1)=72 设主干长出x个支干，则可列方程为() (2)【单循环比赛】为增强学生身体素质，某校 A.(x+1)2=31 B.x+2x+1=31 开展篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之 C.x2+x+1=31 D.x(x+1)=31 间赛一场).现计划安排21场比赛，则应安排 (2)【T2(1)变式】中秋节当天，小明将收到的 支球队参赛， 一条短信发送给若干人，每个收到短信的人 知识点三数字问题 又给相同数量的人（不重复）转发了这条短信， 5.【教材P21习题T2变式】两个连续整数之积 此时包括小明在内收到这条短信的人共有111 是30，则这两个数为 () 人，则小明给 人发了短信 () A.5,6 B.-6,-5 A.10 B.-10C.11 D.-11 C.5,6或-6，-5 D.都不是 17九年极数学·上册 6.一个两位数等于它个位上的数的平方，且个 (2)求该三位数. 位上的数比十位上的数大3，求这个两位数. 03素养练 》学科生系指有 11.(教材P4习题T6改编) 一材多题 02综合练 膏关锭能力提升口 【新课标·传统文化】春节期间，九(1)班全 7.某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场 体同学通过打电话的方式互相拜年，如果该 之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航 班共有48名同学，若每两名同学之间仅通 线，则这个航空公司一共有飞机场个， 过一次电话，那么全班同学共通过多少次电 8.某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加 话呢？我们可以用下面的方式来解决问题： 了51人，使得团体操表演队伍增加的行、列 用点A1,A2,A3,…,A48分别表示第1名同 数相同，则增加了行. 学、第2名同学、第3名同学…第48名同 9.在2025年5月的日历上用一个方框圈出4 学，把该班级人数x与通电话次数y之间的 个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数 关系用如图模型表示： 与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方 程知识解答). A. 人☒食續 2025年05月 x=2 x=3 x=4 r=5 x=6 日 四 五 y=1; y=3;y=6;y= ；y= 劳动节 2 3 (1)第四个图中y的值为 ,第五个图 6 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 中y的值为 18 9 20 21 22 23 24 (2)通过探索发现，通电话次数y与该班级人 25 ° 27 28 29 30 31 端午节 数x之间的关系式为 ,当 x=48时，对应的y= (3)若九(1)班全体女生相互之间共通话190 次，则该班共有 名女生 解题妙招 单循环与双循环比赛问题 机场开辟航线问题，握手问题与签合同问题 10.一个三位数，百位数字比个位数字大1，十位 均类似于单循环比赛问题，每两个元素之间算一 数字比个位数字小3.已知这个三位数比百 次，个元素下循环的总次数为空(n-1).如T4 位数字和个位数字的积的20倍大25，求这 (2),T7和T11;互赠卡片问题类似于双循环比赛 个三位数.设这个三位数的个位数字为x. 问题，每两个元素之间算两次，n个元素下循环总 (1)该三位数的百位数字为 ,十位数 次数为n(n-1).如T4(1). 字为 ;(用含x的代数式表示) 助学助款优质高数18=-2,c=-1,∴b-4如c=(-2)-4X1X(-1）=8.x=2±8=2±2E=1士 2 2 /2.∴.x1=1十/2，x2=1-√2.③解：原方程变形，得x(x-7)+8(x一7)=0..(a -7)(x+8)=0..x-7=0或x+8=0.∴.x1=7,x=-8.7.B8.2.59.-1或 1.510.(1)解：(3x+2+2x)(3x+2-2x)=0.(5x+2)(x+2)=0.∴.x1=-0.4,x2 =-2.(2)解：2(x-3)2-(x+3)(x-3)=0.(x-3)(2x-6-x-3)=0.(x-3)(7 -9)=0.∴.x1=3,x2=9 微专题二用十字相乘法分解因式解一元二次方程 【例】(2)00解：(x-2)(x-3)=0.∴.x1=2,x2=3. 1.C2.0,±6，±15 分类强化专题 一元二次方程的解法（计算强化专练） 1.(1)解：(3x+2)2=25.3.x+2=士5.∴.x1=1,x2= 3· (2)解：x2-3=1.x2=4. x1=2,x2=-2.(3)解：2x十3=±(3x十2).2x+3=3.x+2,2x+3=-(3.x十2). x1=1,x2=-1.2.(1)解：x+2x=1.x2+2x+1=2.(x+1)=2.∴.x+1=士√2. x1=-1十√2，x2=-1-√2.(2)解：x2-6x+9=10000.(x-3)2=10000,x-3 =士100.∴.x1=103,x2=-97.3.(1)解：.a=2,b=-1,c=-6,.△=(-1)2-4 3 <2X(-6)=49,“x=Y里=..x三2，x2= (2)解：x2-2√5x+6 4 =0..a=1,b=一23，c=6.∴.△=（一2√/3）2一4×1×6=一12<0.∴.此方程无实数 根.4.(1)解：(2x-1)2=0.2x-1=0.x1=x,=2.(2)解：(x-2)(x-2-3) =0..x1=2,x2=5.(3)解：3(x+2)2-(x+2)(x-2)=0.(x+2)(3x+6-x+2) =0.x1=-2,x2=-4.5.(1)-4(x-5)(x+1)5-1(2)①解：(x+2)(x十 3)=0..x1=-2,x2=-3.②解：(x-9)(x+8)=0.∴x1=9,x2=-8.③解：(x -1)(x-6)=0.∴.x1=1,x2=6.④解：(x+9)(x-8)=0.x1=-9,x2=8. 6.解：设2y-1=a,则原方程可变形为a-a-2=0.解得a1=2,a2=一1.当a1=2 时，2y-1=2,解得y=1.5；当a2=-1时，2y-1= -1,解得y=0.y1=0,y2= 1.5.7.解：①当x-2≥0，即x≥2时，原方程化为：x2-2(x-2)-4=0.解得x1= 0,x2=2.:x≥2，∴.x=2.②当x-2<0,即x<2时，原方程化为：x2+2(x一2)-4= 0.解得x=一4，x2=2.:x<2,∴x=一4.综上所述，原方程的解是x1=2,x,=一4. *21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 知识储备 -b c aa 基础练 1.C2.(1)6(2)一23.(1)解：原方程变形为x2-2x一5=0.x1十x2=2,x1x2=一 5.(2)解：原方程变形为3x2-2=0..x十=0，x4x=一气 .4.(1)C(2)-2 35解：由题意，得x+x5,x2.0上1十22 ℃T2℃℃2 +x=(x十x)-2xx=5-2X(-2)=29.6.A7.m>7 8.解：(1)由题 意，得(-4)-4(-2m十5)>0.解得m>2;(2)由题意，得1十x,=4,x1x=5- 2m.:,十十xx。=34+5-2m=3.解得m=3,“m>号，m的值是3.9.3 10.2+2x-20=011.-3012.1)号 -2 (3)解：由题意，得m, 3 1 n是一元二次方程2x-3x-1=0的两根心m十n=之mm=-2:(n一m)2=（n +m)-mm=(受)广-4X(-合）=子∴-m=士平∴2-”mm=士 2· m n mn √/17 微专题三 一元二次方程的根及根与系数的关系的应用 【例】55+3b3b+51010101036 1.C2.03.-4 21.3实际间题与一元二次方程 第1课时传播问题与数字问题 基础练 1.(1)97281(2)(1+x)=1442.(1)C(2)A3.解：设每轮传染中平均一 个人传染了x个人，则第一轮传染后有(1十x)人被传染，第二轮传染后有[1十x十x (1十x)]人被传染，根据题意，得(1十x)2=49.解得x1=6,x2=一8（不符合题意，舍 去).答：每轮传染中平均一个人传染了6个人.4.(1)B(2)75.C6.解：设这个 两位数十位上的数为x,则个位上的数为x十3.由题意，得10x十x十3=(x+3).解 得x1=2,x2=3.当x=2时，x+3=5;当x=3时，x+3=6.∴.这个两位数是25或 36.7.58.39.解：设这个最小数为x,则最大数为(x十8).由题意，得x(x十8)= 65.整理，得x2+8.x-65=0.解得x1=5,x2=-13(不合题意，舍去).答：这个最小数 15 为5.10.(1)(x十1)(x-3)解：(2)由题意，得100(x+1)十10(x-3)+x=20x (x+1)+25.整理，得20x2-91x-45=0.解得x=5(负值已舍去)，则x+1=6,x一3 =2,.该三位数是625.11.(1)1015(2)y=2x(x-1)1128(3)20 第2课时平均变化率问题与销售问题 知识储备 2.总成本 总销量 基础练 1.60(1-x)60(1-x)260(1-x)=48.62.D3.解：设该电商平台3,4月份销 售额的月平均增长率为x.由题意，得10(1十x)=12.1.解得x1=0.1,x2=一2.1（不 符合题意，舍去).∴.x=0.1=10%.答：该电商平台3,4月份销售额的月平均增长率 为106.4.D5.(1)①(20-x)20x(100+20x)②(20-x)(100+20.x)=2 880(2)解：设售价涨价x元时，每天的利润为140元，由题意，得(9+x一5)(32 4x)=140.解得x1=3,x2=1.答：该纪念品的售价涨价3元或1元时，每天的利润为 140元.6.807.(1)10%解：(2)方案一：6075×100×0.98=595350（元），方案 二：6075×100-100×1.5×24=603900（元）..595350<603900，.∴.方案一更优 惠，小颖选择方案一：打9.8折购买；(3)不会跌破4800元/平方米.因为由(1)知：平 均每月下调的百分率是10%，，∴.6075(1一10%)2=4920.75（元/平方米）..4920. 75>4800,∴.6月份该楼盘商品房成交均价不会跌破4800元/平方米.8.解：任务 1:[80一(90一80)×1]×90+(400一90)×30=15600（元）.答：学校补进镇流器和灯 管共花费15600元；任务2：160-x,12000-30x;任务3：由题意，得(160一x)x+12 000-30x=15000.解得x1=30,x2=100..80x110,∴.x=100.答：补进镇流器 100件. 第3课时几何图形的面积问题 知识储备 1.高2.宽 基础练 1.A2.63.(8+2x)(6+2x)=804.(1)(35-2x)(20-x)=600(2)15.解： 设车道的宽为xm,由题意，得(20一x)(33-x)=510.解得x=3,x2=50(舍去).答： 车道的宽是3m.6.(1)15(2)解：设AB为xm,由题意，得(24-3.x)x=45.解得： x=5,x2=3.当x1=5时，BC=9,当x2=3时，BC=15.墙可利用的最大长度为 10m,BC=15舍去.答：BC的长为9m.7.(1)1解：(2)设xs后，△PBQ的面积 是7cm.由题意，得2·2z(5-x)=1,即x2-5x+7=0.4=(-5)2-4×7<0,此 方程无实数根.∴△PBQ的面积不能等于7cm.8,解：由题意知，横彩条宽度为 xcm,列方程，得(20-2x)12-号x)=20×12×(1-号).解得x=2=16(舍 3 去).1=2，号x=3.答：竖彩条宽2cm,横彩条宽3cm.9.解：1)设与墙垂直的边 长xm,则与墙平行的边长(33-3x十3)m,由题意，得(33-3x+3)·x=48×2.解得 x1=4,x2=8.x6,∴.x=4.当x=4时，36-3x=24,24÷2=12.答：每个生态园与 墙平行的一边的长是12m.(2)不能，理由如下：与设墙垂直的边长为ym,由题意，得 (33-3y+3)·y=108×2.化简整理，得y2-12y+72=0.△=(-12)-4×72<0. ∴此方程无实数根，不能围成。 难点强化专题（一）根的判别式及根与系数的关系的综合运用 【例】解：(1).x2+(2m-1)x+m2=0有两个实数根，∴.△=b-4ac≥0.∴.(2m-1)2 一4m≥0.六m≤(2)：是该方程的两个根x十=-(2m-1),xx= m2.:x1x2十x1+x2-1=0,.m2-(2m-1)-1=0.m=0或2.m≤4m=0. 1.解：(1)由题意，得△=(-4)2-4(m-2)≥0且m-2≠0，解得m6且m≠2；(2) 把x1=-1代入方程(m-2)x2-4x+1=0,得m-2+4+1=0.解得m=-3.∴.方程 21 为-5x2-4x+1=0..∴.x1·x2=- 行.”x=-1…x=52.(D≤ 解：(2) x1是关于x的一元二次方程x2+3x+k-3=0的根，∴.x+3x1十k一3=0，即x =-3x1-k+3.x+2x1十x2十k=4,.-3.x1-k+3+2x1十x2十k=4,即x2-x =1①.x1十x2= -占=一3②.联立①②解得=一2·即(-2)+2×(-2)+(-1） x2=-1. +k=4.解得k=5.3.解：(1)x2-(m十2)x+m-1=0,a=1,b=-(m十2)，c=m 1,△=b-4ac=[-(m+2)]-4×1×(m-1)=m2+4m+4-4m+4=m2+8..m ≥0，∴.m十8>0，即△>0.∴.无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；(2)方程 x2一(m十2)x十m-1=0的两个实数根为x1,x2,则x,+x2=m十2，xx2=m一1.： x+x-x1x2=9,即(x1十x)2-3x1x=9..(m+2)2-3(m-1)=9.解得m1= -2,m2=1...m的值为一2或1. 数学活动（一）探究三角点阵中前n行的点数计算 问题1：361036120问题2：(1)u1)解：(2)由题意，得m,1)=325. 即n+-650=0.解得1=25,22=一26（舍去）.∴.n的值为25：(3)不能，理由如下： 16