第四章 投影与视图（单元测试·基础卷）数学鲁教版五四制九年级上册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第四章 投影与视图·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 第I卷（选择题） 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列哪种影子是平行投影（   ） A．皮影戏中的影子 B．太阳光下房屋的影子 C．路灯下行人的影子 D．在手电筒照射下纸片的影子 2.如图摆放的几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 3.圭表是古代汉族科学家发明的度量日影长度以定节令的一种天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成．当太阳照着表的时候，圭上出现了表的影子，根据影子的方向和长度，就能读出时间，则表在圭面上形成的投影是（    ） A．中心投影 B．平行投影 C．既是平行投影又是中心投影 D．不能确定 4.如图，是线段在投影面上的正投影，已知，，则投影的长为（   ） A． B． C． D． 5.如图，某机器零件的三视图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A．主视图 B．左视图 C．俯视图 D．不存在 6.如图，是一个几何体的三视图，则这个几何体是（    ） A． B． B． D． 7.如图，位似图形由三角尺与其在灯光照射下的中心投影组成，相似比为1：2，且三角尺一边长为5cm，则投影三角形的对应边长为（　　） A．8cm B．20cm C．3.2cm D．10cm 8.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（    ） A． B． C． D． 9.如图，在平面直角坐标系中，光源位于点处．木杆两端的坐标分别为，，则木杆在x轴上的影长为（　　） A．5 B．8 C．10 D．12 10.桌面上有一个由若干个立方体摆放出来的几何造型，从左面看如图1，从正面看如图2，则桌面上的立方体的个数最少和最多分别为（   ） A．6个、18个 B．6个、20个 C．12个、20个 D．12个、22个 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.下列各种现象：①阳光下沙滩上人的影子；②晚上人走在路灯下的影子；③中午用来乘凉的树影；④阳光下旗杆的影子．其中属于中心投影的是 （填序号） 12.如图所示是某一天不同时刻同一棵树的影子，则它们按时间先后顺序排列序号应为 ． 13.如图是由几个相同的小正方体搭成的几何体，在保持主视图和左视图不变的情况下，最多可以拿掉 个小正方体． 第13题图 第14题图 第15题图 14.小明家的客厅有一张直径为1.2米，高0.8米的圆桌BC，在距地面2米的A处有一盏灯，圆桌的影子为DE，依据题意建立平面直角坐标系，其中D点坐标为（2,0），则点E的坐标是 ． 15.如图，是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三种视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是 ． 16.如图，方桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射方桌后，在地面上 形成阴影(正方形)示意图，已知方桌边长1.2 m，桌面离地面1.2 m，灯泡离地 面3.6 m，则地面上阴影部分的面积为 ． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）张师傅根据某直三棱柱零件（如图1），按的比例画出准确的三视图如图2．已知中，，，，．      (1)求的长． (2)求出这个直三棱柱的体积． 18.（6分）在同一时刻的物高与水平地面上的影长成正比例．如图，小莉发现垂直地面的电线杆的影子落在地面和土坡上，影长分别为和，经测量得与地面成角，且此时测得垂直于地面的长标杆在地面上影长为，求电线杆的长度． 19．（8分）某天晚上，同学们带上竹竿和卷尺到马路的人行道上测量路对面路灯的高度．因路上设有隔离带，同学们无法直接到达路灯下面．同学们在人行道上将1米长的竹竿直立，并不断移动竹竿的位置，当竹竿在路灯下的影长米时停止移动，并标记为点，然后沿着方向直行2米，即米，在点处直立竹竿，测得此时竹竿的影长米，求路灯的高度．（结果精确到0.1米） 20.（8分）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片，，此时各叶片影子在点M右侧成线段，测得，，设光线与地面夹角为α，测得 (1)求点O，M之间的距离． (2)转动时，求叶片外端离地面的最大高度． 21.（10分）如图，是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段表示站立在广场上的小亮，线段表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯的位置． (1)在小亮由B处沿所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为 ； (2)请你在图中画出小亮站在处的影子； (3)当小亮离开灯杆的距离时，身高（AB）为的小亮的影长为，问当小亮离开灯杆的距离时，小亮的影长是多少m？ 22.（10分）某一个周末张明去爸爸的工作室玩，张明发现爸爸桌面上设计的某个零件三视图如下图所示，爸爸见张明对设计图纸如此感兴趣就考了张明如下几个问题，你能帮张明解决这些问题吗？ (1)此物体是 ； (2)请你求出此物体的表面积； (3)如果这个零件是用来支撑圆桌的，在圆桌的正上方有一盏吊灯，在灯光下，圆桌在地板上的投影是面积为的圆．已知圆桌的高度为，圆桌面的半径为，求吊灯距地面的高度． 23.（12分）甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量，下面是他们通过测量得到的一些信息： 甲组：如图①，测得一根直立于平地、长为80cm的竹竿的影长为60cm． 乙组：如图②，测得学校旗杆的影长为900cm． 丙组：如图③，测得校园景灯？（灯罩视为圆柱体，灯杆粗细忽略不计）的灯罩部分影长为90cm，灯杆被阳光照射到的部分长为50cm，未被照射到的部分长为32cm． (1)请你根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度． (2)请根据甲、丙两组得到的信息，解答下列问题： ①求灯罩底面半径的长； ②求从正面看灯罩得到的图形的面积和从上面看灯罩得到的图形的面积． 24.（12分）操作与研究：如图，被平行于的光线照射，于D，在投影面上． (1)指出图中线段的投影是______，线段的投影是______． (2)问题情景：如图1，中，，，我们可以利用与相似证明，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理． (3)【结论运用】如图2，正方形的边长为15，点O是对角线的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接， ①试利用射影定理证明； ②若，求的长． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第四章 投影与视图·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 第I卷（选择题） 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列哪种影子是平行投影（   ） A．皮影戏中的影子 B．太阳光下房屋的影子 C．路灯下行人的影子 D．在手电筒照射下纸片的影子 2.如图摆放的几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 3.圭表是古代汉族科学家发明的度量日影长度以定节令的一种天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成．当太阳照着表的时候，圭上出现了表的影子，根据影子的方向和长度，就能读出时间，则表在圭面上形成的投影是（    ） A．中心投影 B．平行投影 C．既是平行投影又是中心投影 D．不能确定 4.如图，是线段在投影面上的正投影，已知，，则投影的长为（   ） A． B． C． D． 5.如图，某机器零件的三视图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A．主视图 B．左视图 C．俯视图 D．不存在 6.如图，是一个几何体的三视图，则这个几何体是（    ） A． B． C． D． 7.如图，位似图形由三角尺与其在灯光照射下的中心投影组成，相似比为1：2，且三角尺一边长为5cm，则投影三角形的对应边长为（　　） A．8cm B．20cm C．3.2cm D．10cm 8.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（    ）    A． B． C． D． 9.如图，在平面直角坐标系中，光源位于点处．木杆两端的坐标分别为，，则木杆在x轴上的影长为（　　） A．5 B．8 C．10 D．12 10.桌面上有一个由若干个立方体摆放出来的几何造型，从左面看如图1，从正面看如图2，则桌面上的立方体的个数最少和最多分别为（   ）    A．6个、18个 B．6个、20个 C．12个、20个 D．12个、22个 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.下列各种现象：①阳光下沙滩上人的影子；②晚上人走在路灯下的影子；③中午用来乘凉的树影；④阳光下旗杆的影子．其中属于中心投影的是 （填序号） 12.如图所示是某一天不同时刻同一棵树的影子，则它们按时间先后顺序排列序号应为 ． 13.如图是由几个相同的小正方体搭成的几何体，在保持主视图和左视图不变的情况下，最多可以拿掉 个小正方体． 14.小明家的客厅有一张直径为1.2米，高0.8米的圆桌BC，在距地面2米的A处有一盏灯，圆桌的影子为DE，依据题意建立平面直角坐标系，其中D点坐标为（2,0），则点E的坐标是 ． 15.如图，是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三种视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是 ． 16.如图，方桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射方桌后，在地面上形成阴影(正方形)示意图，已知方桌边长1.2 m，桌面离地面1.2 m，灯泡离地面3.6 m，则地面上阴影部分的面积为 ． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）张师傅根据某直三棱柱零件（如图1），按的比例画出准确的三视图如图2．已知中，，，，．      (1)求的长． (2)求出这个直三棱柱的体积． 18.（6分）在同一时刻的物高与水平地面上的影长成正比例．如图，小莉发现垂直地面的电线杆的影子落在地面和土坡上，影长分别为和，经测量得与地面成角，且此时测得垂直于地面的长标杆在地面上影长为，求电线杆的长度． 19．（8分）某天晚上，同学们带上竹竿和卷尺到马路的人行道上测量路对面路灯的高度．因路上设有隔离带，同学们无法直接到达路灯下面．同学们在人行道上将1米长的竹竿直立，并不断移动竹竿的位置，当竹竿在路灯下的影长米时停止移动，并标记为点，然后沿着方向直行2米，即米，在点处直立竹竿，测得此时竹竿的影长米，求路灯的高度．（结果精确到0.1米） 20.（8分）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片，，此时各叶片影子在点M右侧成线段，测得，，设光线与地面夹角为α，测得 (1)求点O，M之间的距离． (2)转动时，求叶片外端离地面的最大高度． 21.（10分）如图，是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段表示站立在广场上的小亮，线段表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯的位置． (1)在小亮由B处沿所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为 ； (2)请你在图中画出小亮站在处的影子； (3)当小亮离开灯杆的距离时，身高（AB）为的小亮的影长为，问当小亮离开灯杆的距离时，小亮的影长是多少m？ 22.（10分）某一个周末张明去爸爸的工作室玩，张明发现爸爸桌面上设计的某个零件三视图如下图所示，爸爸见张明对设计图纸如此感兴趣就考了张明如下几个问题，你能帮张明解决这些问题吗？ (1)此物体是 ； (2)请你求出此物体的表面积； (3)如果这个零件是用来支撑圆桌的，在圆桌的正上方有一盏吊灯，在灯光下，圆桌在地板上的投影是面积为的圆．已知圆桌的高度为，圆桌面的半径为，求吊灯距地面的高度． 23.（12分）甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量，下面是他们通过测量得到的一些信息： 甲组：如图①，测得一根直立于平地、长为80cm的竹竿的影长为60cm． 乙组：如图②，测得学校旗杆的影长为900cm． 丙组：如图③，测得校园景灯？（灯罩视为圆柱体，灯杆粗细忽略不计）的灯罩部分影长为90cm，灯杆被阳光照射到的部分长为50cm，未被照射到的部分长为32cm． (1)请你根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度． (2)请根据甲、丙两组得到的信息，解答下列问题： ①求灯罩底面半径的长； ②求从正面看灯罩得到的图形的面积和从上面看灯罩得到的图形的面积． 24.（12分）操作与研究：如图，被平行于的光线照射，于D，在投影面上． (1)指出图中线段的投影是______，线段的投影是______． (2)问题情景：如图1，中，，，我们可以利用与相似证明，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理． (3)【结论运用】如图2，正方形的边长为15，点O是对角线的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接， ①试利用射影定理证明； ②若，求的长． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第四章 投影与视图·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 第I卷（选择题） 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列哪种影子是平行投影（   ） A．皮影戏中的影子 B．太阳光下房屋的影子 C．路灯下行人的影子 D．在手电筒照射下纸片的影子 【答案】B 【分析】此题主要考查了中心投影、平行投影的性质，解决本题的关键是理解平行投影的形成光源为太阳光．根据中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光，找到是太阳光的光源即可． 【详解】解：A．皮影戏中的影子是中心投影； B．太阳光下房屋的影子是是平行投影； C．路灯下行人的影子是中心投影； D．在手电筒照射下纸片的影子是中心投影； 故选B． 2.如图摆放的几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据左视图是从左面看到的视图判定则可． 【详解】解：从左边看，是左右边各一个长方形，大小不同， 故选A． 【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图． 3.圭表是古代汉族科学家发明的度量日影长度以定节令的一种天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成．当太阳照着表的时候，圭上出现了表的影子，根据影子的方向和长度，就能读出时间，则表在圭面上形成的投影是（    ） A．中心投影 B．平行投影 C．既是平行投影又是中心投影 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了中心投影和平行投影的定义，熟记相关定义是解本题的关键． 根据中心投影的定义：把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影；平行投影的定义：光源是以平行的方式照射到物体上的投影，据此解答即可． 【详解】解：太阳光下表的影子为平行投影． 故选B． 4.如图，是线段在投影面上的正投影，已知，，则投影的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正投影，解直角三角形，过B作于点C，利用锐角三角函数求出的长即可． 【详解】解：过点B作于点C， 则四边形是矩形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 故选：B． 5.如图，某机器零件的三视图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A．主视图 B．左视图 C．俯视图 D．不存在 【答案】C 【分析】根据该几何体的三视图，结合轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形及中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形进行判断即可． 【详解】 解：该几何体的三视图如下： 三视图中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是俯视图， 故选：C． 6.如图，是一个几何体的三视图，则这个几何体是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合三视图确定各图形的位置后即可确定正确的选项． 【详解】解：结合三个视图发现，这个几何体是长方体和圆锥的组合图形． 故选：B． 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是能够正确的确定各个图形的位置，难度不大． 7.如图，位似图形由三角尺与其在灯光照射下的中心投影组成，相似比为1：2，且三角尺一边长为5cm，则投影三角形的对应边长为（　　） A．8cm B．20cm C．3.2cm D．10cm 【答案】D 【分析】根据位似图形的性质得出相似比为1：2，对应边的比为1：2，即可得出投影三角形的对应边长． 【详解】∵位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为1：2，三角尺的一边长为5cm，∴投影三角形的对应边长为：510（cm）． 故选D． 【点睛】本题考查了位似图形的性质以及中心投影的应用，根据对应边的比为1：2，再得出投影三角形的对应边长是解决问题的关键． 8.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 本题考查三棱锥的三视图的判断与应用，几何体的体积的求法．判断几何体的形状，利用三视图的数据，然后求解几何体的体积即可． 【详解】 解：由题意可知，几何体是底面是等腰三角形，底边长为2，高为1，三棱锥的高为，侧棱与底面等腰三角形的顶点垂直，三棱锥的体积为：． 故选：A． 9.如图，在平面直角坐标系中，光源位于点处．木杆两端的坐标分别为，，则木杆在x轴上的影长为（　　） A．5 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了中心投影、坐标与图形、相似三角形的判定和性质，利用中心投影，过作轴于，交于，证明，然后利用相似三角形的对应边成比例可求出结果．熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 【详解】解：过作轴于，交于，如图，    ∵，A，B． ∴，，，轴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 10.桌面上有一个由若干个立方体摆放出来的几何造型，从左面看如图1，从正面看如图2，则桌面上的立方体的个数最少和最多分别为（   ）    A．6个、18个 B．6个、20个 C．12个、20个 D．12个、22个 【答案】B 【分析】本题考查了由三视图判断几何体．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字． 利用左视图以及主视图可以得出这个几何体最少的块数以及最多的块数即可解答． 【详解】解：如图所示：    小立方体的个数最少是（个）；最多是（个）小立方体． 故选：B． 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.下列各种现象：①阳光下沙滩上人的影子；②晚上人走在路灯下的影子；③中午用来乘凉的树影；④阳光下旗杆的影子．其中属于中心投影的是 （填序号） 【答案】② 【分析】本题考查了中心投影，明确太阳光一般看作平行光线是本题解题的关键． 根据中心投影的性质，找到光源是灯光即可得． 【详解】解：①阳光下沙滩上人的影子，是平行投影，不符合题意； ②晚上人走在路灯下的影子，是中心投影，符合题意； ③中午用来乘凉的树影，是平行投影，不符合题意； ④阳光下旗杆的影子，是平行投影，符合题意； 故答案为：②． 12.如图所示是某一天不同时刻同一棵树的影子，则它们按时间先后顺序排列序号应为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行投影，熟练掌握平行投影的变化规律是解题的关键：①太阳光下物体影子的长短不仅与物体的高度有关，而且与时间有关：同一时刻，高物体的影子较长，所有物体的影子长度与其高度成正比；②太阳光下物体影子的方向和长度变化规律（北半球）如下：一天之中，由于太阳东升西落，所以早晨物体的影子向西，傍晚物体的影子向东．一天之中，物体影子的方向变化为：正西—西北—正北—东北—正东，影子的长度变化为：长—短—长． 根据不同时刻物体在太阳光下的影子的方向、大小的变化规律进行判断即可：就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：正西—西北—正北—东北—正东，物体影子的长短为：长—短—长． 【详解】解：西为④，西北为②，东北为①，东为③， 故其按时间的先后顺序为：， 故答案为：． 13.如图是由几个相同的小正方体搭成的几何体，在保持主视图和左视图不变的情况下，最多可以拿掉 个小正方体． 【答案】1 【分析】先分别确定保持主视图，左视图不变能拿掉的正方体的个数，进而得出答案． 【详解】该组合体的主视图如下：保持主视图不变可拿掉前两行的4个正方体； 该组合体的左视图如下：保持左视图不变可拿掉后面的4个正方体． 在保持主视图和左视图不变的情况下，最多可以拿掉重叠的1个正方体． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了几何体的三视图，确定该几何体的两种三视图是解题的关键． 14.小明家的客厅有一张直径为1.2米，高0.8米的圆桌BC，在距地面2米的A处有一盏灯，圆桌的影子为DE，依据题意建立平面直角坐标系，其中D点坐标为（2,0），则点E的坐标是 ． 【答案】(4,0) 【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】解：∵BC∥DE， ∴△ABC∽△ADE， ∴， ∵BC=1.2， ∴DE=2， ∴E（4，0）． 故答案为（4，0）． 【点睛】本题考查了中心投影，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 15.如图，是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三种视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是 ． 【答案】4 【分析】根据俯视图可知底层个数，由主视图、左视图可知上层正方体的个数及位置即可得答案． 【详解】解：由俯视图可知，这个几何体的底层有3个小正方体， 结合主视图、左视图可知上层后排左侧有1个正方体， 所以组成该几何体的小正方体的个数是4个， 故答案为：4． 【点睛】本题考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案． 16.如图，方桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射方桌后，在地面上形成阴影(正方形)示意图，已知方桌边长1.2 m，桌面离地面1.2 m，灯泡离地面3.6 m，则地面上阴影部分的面积为 ． 【答案】3.24 m2 【分析】将四棱锥中高的比转化为相似比解答．，再利用面积比等于相似比的平方，求地面上阴影部分的面积即可. 【详解】 解：根据题意由图可知， ， 由于面积比等于相似比的平方，故地面上阴影部分的面积为 ×1.2×1.2=3.24m2． 【点睛】解答此题要根据相似多边形的性质：相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）张师傅根据某直三棱柱零件（如图1），按的比例画出准确的三视图如图2．已知中，，，，．      (1)求的长． (2)求出这个直三棱柱的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三棱柱的三视图及三棱柱的体积计算： （1）过点E作于点H，则根据题意可得出，然后由勾股定理计算即可得出答案； （2）根据三棱柱的体积等于底面积乘以棱柱的高进行计算即可． 【详解】（1）解：过点E作于点H，如图． 在中，，， 所以可设． 根据勾股定理，得，解得， ∴， 由三视图，可知． （2）解：直三棱柱的体积为． 18.（6分）在同一时刻的物高与水平地面上的影长成正比例．如图，小莉发现垂直地面的电线杆的影子落在地面和土坡上，影长分别为和，经测量得与地面成角，且此时测得垂直于地面的长标杆在地面上影长为，求电线杆的长度． 【答案】 【分析】过点D作作交BC延长线于E，先利用勾股定理求出，，过点D作垂足为F，则可知四边形是矩形，得到，，再由垂直于地面的长的标杆在地面上的影长为得到，则，即可得到． 【详解】解：过点D作作交延长线于E， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 过点D作垂足为F， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵垂直于地面的长的标杆在地面上的影长为， ∴， ∴， ∴． ∴旗杆的长度约为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质与判定，解直角三角形，平行投影，解题的关键在于能够正确理解题意、解直角三角形． 19．（8分）某天晚上，同学们带上竹竿和卷尺到马路的人行道上测量路对面路灯的高度．因路上设有隔离带，同学们无法直接到达路灯下面．同学们在人行道上将1米长的竹竿直立，并不断移动竹竿的位置，当竹竿在路灯下的影长米时停止移动，并标记为点，然后沿着方向直行2米，即米，在点处直立竹竿，测得此时竹竿的影长米，求路灯的高度．（结果精确到0.1米） 【答案】路灯的高度约为7.7米． 【分析】本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用．由题意可知，推出，求得，求得，再由相似三角形的对应边成比例即可得出答案． 【详解】解：设米， 由题意得， 米， ， ， ， 米，米，米， ∴(米）， 米， ， ， ， ， ， 解得． 答：路灯的高度约为7.7米． 20.（8分）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片，，此时各叶片影子在点M右侧成线段，测得，，设光线与地面夹角为α，测得 (1)求点O，M之间的距离． (2)转动时，求叶片外端离地面的最大高度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点O作、的平行线，交于H，根据平行线分线段成比例得出点H是的中点，得出，再由正切函数求解即可； （2）过点O作水平线交于点J，过点B作，垂足为I，延长，使得，利用相似三角形的判定和性质得出，确定四边形是平行四边形，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）如图，过点O作、的平行线，交于H， 由题意可知，点O是的中点， ∵， ∴， ∴点H是的中点， ∵， ∴， ∴， 又∵由题意可知： ∴， ∴， 解得， ∴点O、M之间的距离等于； （2）过点O作水平线交于点J，过点B作，垂足为I，延长，使得， ∵， ∴， ∵由题意可知：， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，，， ∵在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴叶片外端离地面的最大高度等于． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例和相似三角形的应用，及勾股定理和平行四边形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 21.（10分）如图，是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段表示站立在广场上的小亮，线段表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯的位置． (1)在小亮由B处沿所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为 ； (2)请你在图中画出小亮站在处的影子； (3)当小亮离开灯杆的距离时，身高（AB）为的小亮的影长为，问当小亮离开灯杆的距离时，小亮的影长是多少m？ 【答案】(1)变短 (2)见解析 (3)小亮的影长是． 【分析】本题考查的是相似三角形的判定及性质，解答此题的关键是根据题意画出图形，构造出相似三角形，再根据相似三角形的性质解答． （1）根据光是沿直线传播的道理可知在小亮由B处沿所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为变短； （2）连接并延长交直线于点E，则线段即为小亮站在处的影子； （3）根据灯的光线与人、灯杆、地面形成的两个直角三角形相似解答即可． 【详解】（1）解：因为光是沿直线传播的，所以当小亮由B处沿所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为变短； 故答案为：变短； （2）解：如图所示，即为所求； ； （3）解：如图， 先设，则当时，， ∴，即， ∴米； 当米时，设小亮的影长是y米， ∴=， ∴， ∴． 即小亮的影长是． 22.（10分）某一个周末张明去爸爸的工作室玩，张明发现爸爸桌面上设计的某个零件三视图如下图所示，爸爸见张明对设计图纸如此感兴趣就考了张明如下几个问题，你能帮张明解决这些问题吗？ (1)此物体是 ； (2)请你求出此物体的表面积； (3)如果这个零件是用来支撑圆桌的，在圆桌的正上方有一盏吊灯，在灯光下，圆桌在地板上的投影是面积为的圆．已知圆桌的高度为，圆桌面的半径为，求吊灯距地面的高度． 【答案】(1)圆柱 (2) (3) 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，中心投影，相似三角形的判定与性质等知识． （1）根据三视图判断即可； （2）根据圆柱的表面积公式计算即可； （3）先根据投影面积求得半径的长，再依题意可以得到，然后由它们的对应边成比例即可求得结果． 【详解】（1）解：∵主视图恶化左视图是矩形，俯视图是圆， ∴此物体是圆柱． 故答案为：圆柱； （2）解； （3）解：如图， ∵圆桌在地板上的投影是面积为的圆 ∴， ∴（负值舍去）． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 23.（12分）甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量，下面是他们通过测量得到的一些信息： 甲组：如图①，测得一根直立于平地、长为80cm的竹竿的影长为60cm． 乙组：如图②，测得学校旗杆的影长为900cm． 丙组：如图③，测得校园景灯？（灯罩视为圆柱体，灯杆粗细忽略不计）的灯罩部分影长为90cm，灯杆被阳光照射到的部分长为50cm，未被照射到的部分长为32cm． (1)请你根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度． (2)请根据甲、丙两组得到的信息，解答下列问题： ①求灯罩底面半径的长； ②求从正面看灯罩得到的图形的面积和从上面看灯罩得到的图形的面积． 【答案】(1)学校旗杆的高度为12m (2)①灯罩底面半径的长为24cm；②从正面看灯罩得到的图形面积为2688(cm2)，从上面看灯罩得到的图形面积为576π(cm2) 【分析】（1）根据平行投影的性质，得到三角形相似，列式计算即可； （2）①易得：，得到，即可得解；②易得：，得到，证明，求出，进而求出的长，进而求出从正面看灯罩得到的图形的面积和从上面看灯罩得到的图形的面积即可． 【详解】（1）解：由题意，可知：， ∴，即：， ∴； 答：学校旗杆的高度为． （2）解：①根据题意可知，， ∴，即． ∴， ∴灯罩底面半径的长为24 cm． ②∵太阳光为平行光， ∴， ∴， 由题意，可知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴从正面看灯罩为矩形，面积为：， 从上面看灯罩为圆形，面积为：． 【点睛】本题考查平行投影，相似三角形的判定和性质，以及三视图．熟练掌握平行投影的性质，证明三角形全等和相似，是解题的关键． 24.（12分）操作与研究：如图，被平行于的光线照射，于D，在投影面上． (1)指出图中线段的投影是______，线段的投影是______． (2)问题情景：如图1，中，，，我们可以利用与相似证明，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理． (3)【结论运用】如图2，正方形的边长为15，点O是对角线的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接， ①试利用射影定理证明； ②若，求的长． 【答案】(1)， (2)见解析； (3)①见解析；②． 【分析】（1）根据题意，即可解答； （2）通过证明得到，然后利用比例性质即可得到； （3）①根据射影定理得，，则，即，加上，于是可根据相似三角形的判定得到结论； （2）②先计算出，，，再利用（1）中结论得到，代入数据即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，图中线段的投影是，线段的投影是． 故答案为：，； （2）证明：如图， ∵，， ∴， 而， ∴， ∴， ∴； （3）①证明：如图， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 而， ∴； ②∵， 而， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质和正方形的性质．也考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第四章投影与视图基础通关（参考答案） 一、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6 B 0 A 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.② 12. ④②①③ 13.1 14.(4,0) 15.4 16.3.24m2 三、解答题（共8小题，共72分） 17.(6分) 【详解】(1)解：过点E作EH⊥FG于点H,如图. G 在Rt△EHF中，∠EFG=45°，EF=4cm, 所以可设FH=EH=XCm: 根据勾股定理，得x2+x2=42,解得x=22,(2分) :EH=2v2 cm, 由三视图，可知AB=EH=2V5cm（4分) (2)解：直三棱柱的体积为S△ERG AD=专×10×22×7=70V2(cm时小(6分) 18.(6分) 【详解】解：过点D作作DE⊥BC交BC延长线于E, 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :CD=4m,tan∠DcE=器=tan300=5 3 .CE=3DE, CE2+DE2=CD2 ∴3DE2+DE2=42, DE=2m, :CE=V3DE=2W3m,(2分) 过点D作DF⊥AB垂足为F, :DF⊥AB,AB⊥BC,DE⊥BC, :四边形BEDF是矩形， :.DF=BE=BC+CE=(10+23)m.BF=DE=2m :垂直于地面的1m长的标杆在地面上的影长为2m, :器=克，(4分) AF=(10+25)=(5+5)m, ∴AB=AF+BF=5+V5+2=(7+V5)m: :旗杆AB的长度约为(7+V3)m.(6分) 19.(8分) 【详解】解：设AB=x米， 由题意得∠GFH=∠DCE=∠ABC=90°， :CD=EC=1米， ·∠AEB=∠EDC=45o, ·∠AEB=∠EAB=45°， ·AB=EB,(2分) 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :AB=x米，FC=2米，FH=1.3米， .FE=CF-CE=2-1=1(米)， :BH=BE+FE+FH=X+1+1.3=(2.3+x)米，(4分) :∠AHB=∠AHB, ·△AHB△GHF, 器=器， :FG=1, 清=，(6分) 解得x≈7.7. 答：路灯的高度约为7.7米.(8分) 20.(8分) 【详解】(I)如图，过点O作AC、BD的平行线，交CD于H, B 、.Hac 7777777777777777777777 由题意可知，点O是AB的中点， OH‖ACIBD, 器=器=1， 点H是CD的中点， :CD=13m, :.CH=HD=CD=6.5m, MH=MC+CH=8.5+6.5=15m,(2分) 又：由题意可知：∠OHM=∠BDC=《 tan∠0HM=tana=腊=号， 器=， 解得0M=10m, 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点O、M之间的距离等于10m;(4分) (2)过点O作水平线OJ交BD于点，过点B作BILOJ,垂足为1，延长MO,使得 OK=0B. 777777777777777777777 B1⊥0J, ∠BI0=∠BIJ=90°， :由题意可知：∠0BJ=∠0BI+∠JBI=90°， 又：∠B0I+∠0BI=90°， .∠BOI=∠JBI, △BI0△JIB, :=哥=， :B1=,01=等，(5分) CD,HI DJ, 四边形OHDJ是平行四边形， .0J=HD=6.5m, :0j=01+J=号J+1J=6.5m, J=4.5m,B1=3m,01=2m, :在Rt△0BI中，由勾股定理得：0B2=OI2+B2, :0B=V02+B2=V22+32=V13m,(7分) 0B=0K=V13m, MK=M0+0K=(10+V13)m, :叶片外端离地面的最大高度等于(10+V3)m(8分) 21.(10分) 【详解】1)解：变短；(2分) 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：如图所示，BE即为所求； P C D 77777:(5分) (3)解：如图， C E B D、F 777之777777777777772 77777 先设0P=x,则当0B=3.2m时，BE=1.6m, 品-器，即=6， x=4.8米；(7分) 当0D=6米时，设小亮的影长是y米， “加=器， DE :六=拾，(9分) y=3, 即小亮的影长是3m.(10分) 22.(10分) 【详解】(1)解：圆柱；(2分) (2)解：2×π×(9)2+π×20×40=1000r5分) (3)解：如图， 0.5 E 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :圆桌在地板上的投影是面积为0.81πm2的圆 .πDE2=0.81π， DE=0.9m(负值舍去).(6分) :BC‖DE, .△ABC△ADE, :器=脂，(8分) 40=8器， 解得AD=m.(10分) 23.(12分) 【详解】(1)解：由题意，可知：Rt△ABC∽Rt△DEF, 器=s,即：器=品，(2分) .DE=1200cm=12m: 答：学校旗杆的高度为12m.(4分) (2)解：①根据题意可知，Rt△GPH∽Rt△KPM∽Rt△ABC, 骺-器，版=景，即器-㗊般-器.(5分) .GH=37.5cm,MK =24cm, .灯罩底面半径MK的长为24cm.(6分) ②：太阳光为平行光， :MHI LQ, ∠MPK=KLN, 由题意，可知：MK=NK,∠MKP=∠NKL=90o, .Rt△KPM≌Rt△K'LN(AAS), LK=PK=32cm,(7分) MHIILQ, :.Rt△GPH∽Rt△GLQ, 器=器=，即：是=，(9分) HG 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .LG=170cm, .KK=170-50-32-32=56cm,(10分) :.从正面看灯罩为矩形，面积为：24×2×56=2688(cm2), 从上面看灯罩为圆形，面积为：π×242=576π(cm2).(12分) 24.(12分) 【详解】(1)解：AD,(1分) BD;(2分) （2)证明：如图， B D :CD⊥AB,∠ACB=90o, ∠ADC=∠ACB=90o, 而∠CAD=∠BAC, Rt△ACD∽Rt△ABC,(4分) AC:AB=AD AC, AC2=AD·AB;(6分) (3)①证明：如图， A D B :四边形ABCD为正方形， .OC⊥B0,∠BCD=90°， :BC2=B0.BD, ∵CF⊥BE, 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BC2=BF.BE,(7分) :BO.BD=BF.BE, 即噩=器， 而∠OBF=∠EBD, .△BOF△BED:(9分) ②：BC=CD=15, 而DE=2CE, .DE=10,CE=5, 在Rt△BCE中，BE=N52+152=5V10, 在Rt△0BC冲，OB=号BC=,(10分) :△BOFM△BED, 器=器，即= :0F=35.(12分)